（計(jì)算數(shù)學(xué)專(zhuān)業(yè)論文）一類(lèi)帶弱奇異核偏積分微分方程二階差分全離散格式.pdf

湖南師范大學(xué)碩士學(xué)位論文 o 1中文摘要 在記憶材料的熱傳導(dǎo)、多孔粘彈性介質(zhì)的壓縮、原子反應(yīng)、動(dòng)力 學(xué)等問(wèn)題中，常常碰到拋物型積分微分方程。對(duì)于該方程的數(shù)值求 解，國(guó)外的v t h o m e e ( f 1 、5 、7 、1 6 、1 7 、1 8 、1 9 、2 0 、2 1 、2 2 、2 3 、2 4 、 3 l 】) ，s t i gl a r s s o n ( 1 1 9 ) ，wm c l e a n ( j 5 、1 7 、2 0 、2 4 ) ，c hl u b i c h ( 1 8 ) ， jc l o p e z m a r c o s ( 3 ) ，j ms a n z s e r n a ( 【6 j ) ，g f a i r w e a t h e r ( 1 4 、1 5 ) ， l w a h l b i n ( 【1 、1 7 、1 9 ) ，i hs l o a n ( 7 ，1 8 ，2 2 ，2 3 】) ，y a n p i n gl i n ( 【3 1 ) 等，國(guó)內(nèi)的陳傳淼( 【l 、3 5 】) 、黃云清( 【2 】) 、徐大( 【8 、9 、1 0 、 1 1 、1 2 、1 3 ) 、湯濤( 【3 3 】) 、胡齊芽( 3 4 】) 、張鐵( f 3 9 】) 等做了大量 的研究，他們大多采用有限元方法( 【l 、5 、1 0 、1 3 、1 6 、3 1 、 3 5 、3 9 ) ，譜配置方法( 3 3 ) 及樣條配置方法( ( 1 5 】) 。用有限差分法 進(jìn)行時(shí)間、空間全離散卻很少涉及( 3 、6 】) 。 本文考慮一類(lèi)帶弱奇異核拋物型偏積分微分方程時(shí)間、空間全 離散，采用二階有限差分法，得出其相應(yīng)的穩(wěn)定性和誤差估計(jì)。 主要結(jié)果如下： ( 1 ) 給出線(xiàn)性方程二階向后差分格式、c r a n k n i c o s l o n 格式的穩(wěn)定 性、誤差估計(jì)及數(shù)值例子。 ( 2 ) 給出線(xiàn)性方程一種o ( j + h a ) 高精度格式的穩(wěn)定性、誤差估 計(jì)及數(shù)值例子。 ( 3 ) 給出非線(xiàn)性方程的二階向后差分格式穩(wěn)定性、誤差估計(jì)。 ( 4 ) 給出二階卷積積分的權(quán)重。 關(guān)鍵詞；弱奇異核；偏積分微分方程；分?jǐn)?shù)次計(jì)算；二階全離 散；卷積積分；差分格式 0 2 a b s t r a c t t h ei n t e g r o d i f f e r e n t i a le q u a t i o no fp a r a b o l i ct y p eo f t e no c c u r si na p p l i c a t i o n ss u c h h e a tc o n d u c t i o ni nm a t e r i a lw i t hm e m o r y ， c o m p r e s s i o no f p o r o v i s c o e l a s t i cm e d i a ，n u c l e a rr e a c t o rd y n a m i c s ， e t c 。t h e r ea r el o t s o fd o c u m e n t so fv j t h o m 6 e ( 1 ，7 ， 1 6 ，1 7 1 871 9 ，2 0 、2 1 ， 2 2 、2 3 、2 4 、3 1 ) ，s t i gl a r s s o n ( 1 9 ) ，w m c l e a n ( 5 、1 7 、2 0 、 2 4 ) ，c hl u b i c h ( 1 8 ) ，j cl d p e z m a r c o s ( 3 ) ，j ms a n z s e r n a ( 6 ) ， gf a i r w e a t h e r ( 1 4 、1 5 ) ，lw a h l b i n ( 1 、1 7 、1 9 ) ，ih s l o a n ( 7 、 1 8 、2 2 、2 3 ) ，y a n p i n gl i n ( 3 1 ) i no v e r s e a sa n dc h u a n m i a oc h e n ( 1 、 3 5 ) ，y u n q i n gh u a n g ( 2 ) ，d ax u ( i s 、9 、1 0 、1 1 、1 2 、1 3 ) ， t a o t a n g ( j 3 3 ) ，q i y ah u ( 3 4 ) 、z h a n gt i e 3 9 】i nh o m e al o to ft h e mu s e f e m ( 1 、5 、1 0 、1 3 、1 6 、3 1 、3 5 、3 9 ) ；s p e c t r a l c o l l o c a t i o n m e t h o d s ( 3 3 ) ；s p l i n e c o l l o c a t i o nm e t h o d s ( 1 5 ) 。b u taf e wo ft h e mu s e f i n i t ed i f f e r e n c es c h e m e ( 3 、6 ) 。 w e s t u d yap a r t i a li n t e g r o d i f f e r e n t i a le q u a t i o n so fp a r a b o l i ct y p ew i t h aw e a k l ys i n g u l a rk e r n e l ，w h i c hu s i n gs e c o n do r d e rf u l l yd i s c r e t ed i f f e r e n c e s c h e m ed e r i v e ds t a b i l i t i e sa n he r r o re s t i m e t e dr e s p e c t i v e l y m a i nr e s u l t sf o l l o w s ： ( 1 ) g i v e nt h es t a b i l i t y ，e r r o i e s t i m a t ea n dn u m e r i c a le x p e r i m e n t sf o rt h e l i n e a re q u a t i o no fs e c o n do r d e rb a c k w a r dd i f f e r e n c ea n dc r a n k - n i c o l s o ns c h e m e ( 2 ) g i v e nt h es t a b i l i t y , e r r o re s t i m a t ea n dn u m e r i c a le x p e r i m e n t sf o rt h e l i n e a re q u a t i o no fa0 陋 + h 4 ) h i g ha c c u r a c ys c h e m e ( 3 ) g i v e nt h es t a b i l i t y e r r o re s t i m a t ea n dn u m e r i c a le x p e r i m e n t sf o rt h e n o n l i n e a re q u a t i o no fs e c o n do r d e rb a c k w a r dd i f f e r e n c e ( 4 ) g i v e nt h ew e i g h t e do fs e c o n do r d e rc o n v o l u t i o nq u a r i r a t u r e k e yw o r d s ：w e a k l ys i n g u l a rk e r n e l ；p a r t i a li n t e g r o - d i f f e r e n t i a le q u a t i o n ； f r a c t i o n a lc a l c u l u s ；s e c o n do r d e rf u l l yd i s c r e t e ；c o n v o l u t i o nq u a d r a t u r e ；f i n i t e d i f f e r e n c es e h e m e 第一章序言 在工程、物理、生物、控制等許多領(lǐng)域的問(wèn)題常常由偏微分方程 來(lái)描述。但是在很多情況下，僅僅一個(gè)微分方程并不能精確的描述 這個(gè)物理系統(tǒng)，因?yàn)橐粋€(gè)微分方程只能描述一個(gè)系統(tǒng)在某一固定時(shí) 刻的狀況，它不能反應(yīng)過(guò)去的效果積累；特別是在熱傳導(dǎo)、原子反 應(yīng)、動(dòng)力學(xué)和熱電理論中，它們常常需要反映這個(gè)系統(tǒng)中的“記憶” 功效，這就導(dǎo)致我們?cè)诨镜钠⒎址匠讨性黾右粋€(gè)積分項(xiàng)，從而 得到偏積分微分方程( p i d e s ) ( 見(jiàn) 1 4 】) 。 我們將研究下面這類(lèi)非線(xiàn)性偏積分微分方程數(shù)值解的有限差分 格式 u t ( $ ，t ) + t ( ，) 札。( ，t ) 一盧o s ) u x 。( 。，s ) d s = ，( z ，t ) ， ( 1 1 ) ( 其中核盧 ) = t “2 r ( ) ，在t = 0 點(diǎn)是奇異的) 0 耋z 耋1 ，0 耋t t 其線(xiàn)性部分為： u t ( x ，t ) 一片? ( 一s ) n 。( z ，s ) d s = ，( z ，t ) 滿(mǎn)足如下邊界條件： “( 0 ，t ) = u ( t ，t ) = 0 ，0 t 0 ) ，映 射為如下函數(shù)： ( j 1 2 ，) ( t ) = f o ( t s ) 一1 2 f ( s ) d s 滿(mǎn)足下列性質(zhì)( 見(jiàn)f 6 】的p 3 2 0 ) ： ( ，1 2 ( ，1 2 ，) ) ( f ) = 7 r 名f ( s ) d s ( 1 , 6 ) ( 17 ) 因此7 r - l ：f 能看成不定積分算子的平方根，通過(guò)運(yùn)用分?jǐn)?shù)次計(jì)算 的理論( 見(jiàn)【4 】) ，我們能定義微分算子d = d d t 的平方根d ，2 ： d 2 2 d 1 2f of ( s ) d s = ，( t ) ， v - 1 2 d m 1 肛= 恒等算子 在( 1 ，1 ) 的齊次方程兩邊運(yùn)用d ，膽可得： d 1 2 d u = 7 r u x ；( 1 8 ) 因此方程( 1 1 ) 的齊次方程可被看作介于我們熟悉的方程；d u = a u x x 與d 2 = b u 。( n ，b 為正常數(shù)) 之間的一類(lèi)方程 近年來(lái)，國(guó)內(nèi)外有很多人研究了這類(lèi)方程。陳傳淼、v t h o m d e 和 l b w a h l b i n 1 1 采用向后e u l e r 格式，空間方向采用線(xiàn)性有限元，積分 項(xiàng)通過(guò)內(nèi)積求積技巧進(jìn)行離散，得到解的正則性條件及誤差估計(jì)。 ，e l d p e z m a r c o a 3 】研究了一類(lèi)非線(xiàn)性的積分微分方程，采用了一 階全離散差分格式。w m e i e a n ，v t h o m d e 5 1 使用了e u l e r 和二階向后 差分格式，空間方向用g a l e r k i n 有限元方法，并給出了問(wèn)題( 1 2 ) 一( 1 4 ) 的正則性估計(jì)。s a n z s e r n a 6 】也研究了這類(lèi)問(wèn)題，在時(shí)間方向， 他采用了向后e u 婦格式和一階卷積求積逼近積分項(xiàng)，對(duì)光滑與非光 滑的初始值導(dǎo)出了相應(yīng)的誤差估計(jì)。徐大 8 j 考慮了e u l e r 和c r a n k n i c o i s o n 格式和一階、二階卷積求積，得到了帶權(quán)的誤差估計(jì)?！? 5 】 使用g a l e r k i n 和配置方法進(jìn)行時(shí)間離散，得到最優(yōu)階誤差估計(jì)【1 4 】 空間方向使用正交樣條配置方法，得到空間半離散的穩(wěn)定性和收斂 性。1 9 1 時(shí)間方向采用分片常數(shù)和分片線(xiàn)性元不連續(xù)g m e r k i n 方法 ( d g ) ，空間方向使用有限元，而且允許變時(shí)間步長(zhǎng)。( 3 2 】空間方 向采用g a u s s l o b a t t o 積分點(diǎn)上擬譜配囂方法得到無(wú)條件穩(wěn)定及最優(yōu) 誤差界。【2 2 考慮了不連續(xù)g a l e r k i n 方法( d g ) 、稀疏求積公式、得到 問(wèn)題的先驗(yàn)和后驗(yàn)估計(jì)，并給出了自適用算法?！? 4 】先通過(guò)l a p l a c e 變換及逆變換把解表示為光滑圍道上的積分，從而可以采用并行算 法來(lái)數(shù)值求解。 18 】時(shí)間方向使用一階、二階向后差分，空間方向 采用分片線(xiàn)性元，利用卷積積分得到最優(yōu)階誤差界【3 3 考慮的是 v o l t e r r a 積分微分方程，核k ( t ，8 ) = ( t s ) ，0 o t 1 ，作者采用 多項(xiàng)式樣條配置法，利用適當(dāng)?shù)姆旨?jí)網(wǎng)格，可使相應(yīng)的配置逼近具 有m + 1 一“的超收斂階由于時(shí)間離散必須保留前面所有的值， 它將要求大量的內(nèi)存，為了克服這些困難，黃元清 2 提出了一種累 加格式，使得儲(chǔ)存量和工作量均能大大減少 1 7 】是【2 在帶弱奇 異核偏積分微分方程上的具體應(yīng)用，并采用變步長(zhǎng)進(jìn)行時(shí)間離散。 j h s l o a n ，v t h o m g e 7 1 建議減少求積區(qū)間，使用高階的求積公式【3 4 】 中采用了“幾何阿格”，使得工作量減少。本文我們運(yùn)用二階向后差 分格式進(jìn)行時(shí)間離散，空間方向采用二階有限差分格式，對(duì)積分項(xiàng) 采用二階卷積求積由于方程的解在t = 0 不光滑，導(dǎo)致誤差估計(jì)在 整個(gè)過(guò)程都不能達(dá)到時(shí)間的二階精度。 全文中，我們假設(shè)( 參考 3 】的( 1 7 ) ) i 牡( z ，t ) lsd _ 1 2 ，i “t ( o ，) i c 亡一3 2 ， i u 船t ( o ，o ) i c ，i 釷砧“( 茁，t ) l c 亡一1 2 ，( 1 9 ) 對(duì)0 0 一1 0 1 、 1 如果在( 1 1 0 ) ，( 1 1 1 ) 中，選取適當(dāng)?shù)? 和r ，我們能得到如下正則性 估計(jì)( o 為連續(xù)的l 2 模) ( 見(jiàn)【8 1 的( 7 1 2 ) ) ： i | “忙，t ) i l o 以_ 1 2 ，j | m ( 茁，t ) l l o 莖c t 一3 2 ， i i m ( $ ，0 ) l o e ，u t ( z ，t ) i i o c 。2 ，( 1 1 2 ) 對(duì)0 ts t 本文安排如下t 第一章介紹了當(dāng)前數(shù)值求解偏積分微分方程( p i d e s ) 已有的方 法和結(jié)論，給出全文的正則性假設(shè)。 一些預(yù)備知識(shí)放在第二章重點(diǎn)介紹了卷積求積和一些引理 在第三、第四章中，將f 3 】的結(jié)果推廣到二階，但所采用的證明方 法完全與它不同。對(duì)于時(shí)間方向分別使用二階向后差分格式、c r a n k n i c o l s o n 格式進(jìn)行離散空間方向運(yùn)用二階差分格式、對(duì)積分項(xiàng)使用 二階卷積求積公式。得出它們各自的穩(wěn)定性和誤差估計(jì)。所得的誤差 界與參考文獻(xiàn)的一些文章使用有限元方法( f e m ) 、不連續(xù)g a l e r k i n 方法( d g ) 、樣條配置方法( s p l i n e c o l l o c a t i o nm e t h o d ) 、譜配置方 法( s p e c t r a lc o l l o c a t i o nm e t h o d ) 及快速逆的l a p l a c e 變換方法所得的 結(jié)果一致。 第五章，我們討論了一類(lèi)非線(xiàn)性偏積分微分方程，證明了它的二 階全離散格式的穩(wěn)定性，得到了誤差估計(jì)。 第六章中首次使用f 2 5 】中種六點(diǎn)隱格式進(jìn)行時(shí)間離散，將它 由標(biāo)準(zhǔn)的拋物問(wèn)題推廣到拋物型偏積分微分方程。使用了完全不同 湖南師范大學(xué)碩士學(xué)位論文 于 6 】的推導(dǎo)，導(dǎo)出了類(lèi)似于拋物情形下的格式穩(wěn)定性和高階估計(jì) 0 ( 磚；+ 4 ) 。 一些歸納性的評(píng)價(jià)放在第七章。 最后一章給出r 一些數(shù)值例子。特別，給出了二階卷積求積權(quán)重 的具體表達(dá)式。 湖南師范大學(xué)碩士學(xué)位論文 6 第二章預(yù)備知識(shí) 2 1記號(hào)及數(shù)值求積公式 我們給出如下網(wǎng)格x j = i h ，j = 0 ，1 ，j ，其中h = i j ( ：是正整數(shù) ) ，時(shí)間步長(zhǎng)記為k ，給出時(shí)間的一個(gè)劃分t 。= n k ，n = 0 ，i ，n ，( n = i t k ) ，記吩近似牡( ，t 。) ，定義一階向后差商、二階向后差商為： 端! k v - 薯i3 再n 扛盯：， 仁， 趔2 叼=( j v j 一2 叼一1 + ；叼一2 ) ”+ 我們介紹以下二階積分近似，運(yùn)用二階卷積積分公式( 見(jiàn) 4 ，8 1 ) j ；：“口( 。一s ) 妒( s ) d 5 ( 妒) = k 1 ，2 e 偉妒“9 + 。o 妒o ( 22 ) 其中島是下列級(jí)數(shù)的系數(shù)； p ( 業(yè)掣) = ( 韭羋生) 一，。= 萎島擴(kuò)( 2 3 ) 采用校正積分權(quán)叫。o 以保證積分能達(dá)到二階精度，因此積分公式( 2 2 ) 對(duì)多項(xiàng)式1 準(zhǔn)確成立，即： 1 7 2 芝偉+ ( ) = 露“p ( t 。一s ) d s = 2 ( t 。7 r ) 1 膽 ( 2 4 ) 口= u 定義以下差分記號(hào)： j 2 巧= 巧+ l 一2 v j + k 一1 ，巧= k + 1 一嵋一1 為了后面的需要，我們收集了差分計(jì)算的一些記號(hào)和結(jié)論。記 號(hào)驢( n = 0 ，1 ，明表示“中的向量，即u n 表示向量( 研，叼， ，叼一，) 。在我們的分析過(guò)程中，如遇到和，我們定義u o = p ，= 湖南師范大學(xué)碩士學(xué)位論文 7 0 。如( m ，k ，一) ，( 叭，w j t ) 為r 。1 中的向量，則我們 規(guī)定： + 碼= y j + l 一嵋，一k = 嵋一k l ， 耳y j = u 衛(wèi)巧= 巧一1 ，( v w ) j = v j ， 1 j 曼( j 一1 ) ， j 一1 一l s 墨譬1 ) i v j l ， 2 “v j w j ， l i v l t 2 = 容易驗(yàn)證下面的等式成立( 見(jiàn)1 3 】的( 26 ) ( 29 ) ) ： = 一 j l = 一h ( a + k ) ( + w j ) ， j = o = 0 ， = j 1 2 2一些引理 首先由c a u c h y 不等式我們很容易得到下述引理。 引理1 ：當(dāng)= u ，= 0 時(shí)，我們有： i ) 當(dāng)n 1 時(shí)， 0 2 ) 當(dāng)0 n n ，0 m 莖n 時(shí)， i i 4i l 礦m u ”虬 證明t 1 ) = 至6 2 叼叼= 量h c 、u j + l , 一2 吁+ 曝1 ) 叼 j 一1j ! i ”1 = e 曙叼+ 啄一，叼一2j u “0 2 j = lj 篁i 善“( ( 嗡，) 2 + ( 叼) 2 ) 2 + 善 ( ( 唔，) 2 + ( 叼) 2 ) 2 2o u “i 2 s 2l u “1 1 2 2l l u “1 1 2 = o ( 2 5 ) ( 2 6 ) ( 2 7 ) ( 28 ) ( 2 9 ) 湖南師范大學(xué)碩士學(xué)位論文 - 8 同理可得 故 2 ) “ 曙- 叼f ) 2 ( hi 曙- j i 叼 ) 2 j = jj = l ，一】，一】 ( h ( 僻。) 2 ) ( ( 叼) 2 ) sl lu ” f 2 8u ”1 1 2 j 一1 ( 驀6 曄t 叼雌i i u ”1 1 2 i i u 刪i i l = i 三 d 2 叩叼j = i 圣 ( 曙1 2 叩+ 呼1 ) 叼 j l： 1 i 歪“嘴，叼i + i 善6 嚶z 叼i + 2 i i 儼ij ijc ，”| | s4 u “u “ 證畢。 引理2 ：如果實(shí)數(shù)序列( n o t 。一，n 。，) 滿(mǎn)足a ( z ) ：量a n z n 在開(kāi) n = o 球域d = 如c ：jzi o 。當(dāng) h 0 ，( 見(jiàn)【1 8 引理41 ) ，因此， 我們得到| r e 聲( 世三萼蚴) = r e 后( i 一2 z + 扣2 ) 20 ，對(duì)于h l 。發(fā)生 函數(shù)( 2 3 ) 滿(mǎn)足引理2 的條件( 2 1 0 ) 。 首先我們給出的e ( “。) ( 。) = ( 。) 一1 1 2 ( “。) ( 。) 界，其中( 妒) 在( 2 2 ) 中被定義。 湖南師范大學(xué)碩士學(xué)位論文 t 9 引理3 ：如果盧( t ) = 一1 2 r ( u 2 ) ，則對(duì)n 1 有 l e ( 妒1 2 ：jig 。2 。二1 7 i i = ，t ( o ) f + g 3 2 f 。f - 一。i 妒“( s ) l d s ( 21 1 ) + c k 2 露一1 ( t 。一s ) 。1 2 e ( s ) l d s 、 。 證明：見(jiàn)( 8 ，引理7 2 】。 引理4 ：若u 。是0 t 墨t 上實(shí)的，連續(xù)可微的函數(shù)，且u 。在 0 t t 上連續(xù)可積，則存在一個(gè)正常數(shù)c 僅僅依賴(lài)于t ，滿(mǎn)足： 5 ( “：。堅(jiān)! 1 2 ：i g n ( u z z ) 一7 1 7 2 ( “。z ) ( n ) l c 。( 2 n ) 1 7 2 ， (212)n1 n ” 證明：從假設(shè)( 1 9 ) ，我們得到 自2 t 二1 2 l u 。( z ，o ) 15c k 2 ( n ) 一1 2 c k ( k n ) 1 2 ( 21 3 ) 當(dāng)n ：1 時(shí)， 簍1 2f 。l u 。x x t t ( x c k t c 。k f 鑒c 珊( t ) 3 肛k ( k 艫n ) ，2 ( 2 1 4 1 ) s 32 1 1 2 52 、 當(dāng)n 2 時(shí)， 簍膽巍卷吲c k 幽a 1 2 c k c k c k t - l 2 鯰c ( t ) k 8 ( 1 k 膽( 幽n1 ) ) 1 2 m z ， 3 2 女f 一1 2 s 一， 一 、“7 其中第二個(gè)不等式運(yùn)用了積分中值定理( t 。s t 。) 5 2 “1 ( n s ) 一1 2 i “。；t t ( z ，s ) j d s c k 2j ：；“1 ( t 。一s ) - w 2 s 一1 2 d 8 c k 2 ”( t 。一s ) - 1 2 5 1 2 d s c k 2 詹( 1 一z ) 一1 2 x l 2 d z ( 21 5 ) s g b ( ，；) 2sc ( t ) k ( k n ) 由( 2 1 3 ) 一( 2 1 5 ) 及引理3 即得。證畢。 引理5 ：( 離散型g r o n w a l l 引理) 如果是一非負(fù)的實(shí)數(shù)序列， 滿(mǎn)足： n 一1 0 2 n o n + 風(fēng)( m s ，n 0 ， s = o 湖南師范大學(xué)碩士學(xué)位論文 1 0 其中a 。是非降序列，a 。非負(fù)，而且風(fēng)20 ，那么 證明：見(jiàn) 7 , p 1 0 5 5 】 u 。sq “e x p ( 以) ，n 0 湖南師范大學(xué)碩士學(xué)位論文 1 1 第三章線(xiàn)性方程二階向后差分格式、穩(wěn)定性及誤差 估計(jì) j c l 6 p e z m a r c o s 3 】在1 9 9 0 年采用差分方法研究了問(wèn)題( 1 1 ) 、 ( 1 3 ) 、( 14 ) 。其中時(shí)間方向使用向后e u l e r 格式、空間方向采用二 階差分、積分項(xiàng)使用一階卷積求積。本章是 3 】的推廣，我們將對(duì)線(xiàn) 性偏積分微分方程( 1 2 ) 一( 1 4 ) 的時(shí)間方向運(yùn)用二階向后差分格式、 對(duì)空間方向采用二階差分進(jìn)行離散、積分項(xiàng)使用二階卷積求積公式 ( 2 2 ) ，給出其穩(wěn)定性和誤差估計(jì)。但是所采用的證明方法與 3 完全 不同。得到的結(jié)果證實(shí)了【1 、6 的預(yù)測(cè)，不能達(dá)到時(shí)間的二階精度。 該結(jié)果也與【5 l 使用有限元方法、f 8 】采用z 一變換進(jìn)行時(shí)間離散、f 1 7 】 使用變步長(zhǎng)時(shí)間離散、f 1 8 】使用快速逆的l a p l a c e 變換方法、【2 2 】使 用不連續(xù)g a l e r k i n ( d g ) 方法及【2 4 】基于l a p l a c e 的并行算法研究這類(lèi) 問(wèn)題所得到的結(jié)果完全一致。 3 1數(shù)值格式 線(xiàn)性方程( 1 2 ) 一( 1 4 ) 的離散格式可以寫(xiě)成如下形式 當(dāng)n 2 時(shí)： 即 - 1 j 3 叼一2 u ；一1 + i 叼一2 ) ( 矗鏟碼) = 口 。一1 ( ；叼一2 呀一1 + i 1 “j n 一2 ) 弋礦k l t 2 島偉6 2 叼一9 + 鑼j 2 叼) 2 學(xué)，f 3 1 1 1 p ；ui jlli j = 1 ，2 ，一，( 1 ，一1 ) ，n = 2 ，3 ，一， 當(dāng)n = 1 時(shí)t k - 1 ( 叼一叼) 一g ( 矗鏟) ；詹， 塑童塑薹查蘭絲圭蘭竺塞苧：! ! ： 即： 其中 一( 叼一田) 一( 萬(wàn)k l 2 壺偉d 2 田+ 鑼d 2 四) 2 囂，( 3 1 t 2 1 口= ul d i t i j = 1 ，2 ，( 1 ，一1 ) 叼= 叼= 0 ， u o = ( 卿，硼， n = 0 ，1 ， ，一。) 已給出 3 2穩(wěn)定性 ( 3 2 ) ( 3 3 ) 下面給出格式的穩(wěn)定性 定理3 1 ：如果叼按照( 3 1 ) 一( 3 3 ) 定義，當(dāng)k = o ( a 2 ) 時(shí)，那么 對(duì)于n 1 ， n i iu i | sc ( t ) | | c ，oj i + 3 自8 ，n 璣( 3 4 ) 證明：當(dāng)k = 1 ，2 時(shí)，記趣叼= 叼一叼“ 由定義，我們很容易驗(yàn)證： 敞 1 - l 2 = 2 j = l “( 叼一叼一) 叼 ，一1 。h ( ( v d 2 ( 吁“) 2 十( 岬一叼“) 2 ) ( 3 5 ) = ti l u “2 + | k u “| 【2 ， ；叼一2 叼- 1 十 叼= ，叼一j a 。叼 七 = 裔a州1u1,u+nalf 薔a 1 v n l i 拿寫(xiě)締u 叫。圳a 。u 刈。) ( 3 e ) = i lc 廠(chǎng)“2 + 0 0 2 一j ( 。| |”| f 2 + i l。”1 1 2 ) r 叫 = a 1l l u “1 1 2 一 2l lu ”釅+ i ia 1 u ”| 1 2 一i 1l l 2 u “1 1 2 湖南師范大學(xué)碩士學(xué)位論文 - 1 3 由( 3 6 ) ，對(duì)2 n 墨n 求和得 ( - i fu “曠一j z | | u “舊 n = 2 = ( | iu “釅一i | u ”一1 曠一i 1l l u ”1 1 2 + i | lu “一21 1 2 ) 2 = ( 馴u “一| | u ”11 1 2 + 劃曠 2 | | 2 ) = ；j j u ”0 2 一；4 ，”一1 2 一：l ju 1jj 2 + j ju o | | 2 ， ( | | a - u “臚一j | | a 。u ” n = 2 = ( i la 1 u “| | 2 一；| f l u “+ a 1 u “。| | 2 ) k 2 ( | | a w ”| | 2 一j ( i | a 1 u ”i l + l l 礦”一1i ) 2 ) 暫2 2 ( | | l 【嚴(yán)1 1 2 一i ( | | a 1 u “1 1 2 + i t u ”qf | 2 ) ) ”2 i 1 暑( f f 1 p8 2 一| fa 1 u 8 。f f 2 ) = ；( f fa 1 u 8 2 一 ( 37 ) 因此對(duì)n 2 有； k + 南e ( u 1f f 2 一f f ，0f | 2 + f fa i u l8 2 ) + ；( i ia l | f 2 一f f l u l 2 ) + ( | | u ”1 1 2 一 i lu 一11 1 2 一 l i u 11 1 2 + l iu o 妒) ；| | u ”j j 2 一；j ju “一1 臚jj j u 1jj 2 一 j | u o | j 2 ( 3 , 8 ) 當(dāng)n 2 時(shí)，在( 3 1 1 ) 的兩邊同時(shí)乘以h u ? ，并對(duì)j ( 15j ( j 1 ) ) 求和可得： 一v k 3 2 蓋n 島f 3 t 9 ) 一矗o = k 當(dāng)n = 1 時(shí)，在式( 3 1 2 ) 的兩邊同時(shí)乘以 田，并對(duì)j ( 1 js ( ，一1 ) ) 求和可得： 弘奶一嚳主體 徹坤，奶( 3 1 0 ) 一?！發(fā) o = k 湖南師范大學(xué)碩士學(xué)位論文 1 4 故當(dāng)n 2 時(shí) + ： n o z ：可k 3 2 n 量島 + 矗n 。 + 警箬毫島 + 矗u l o + 壹七 = 譬叁塞島 + 矗登。 + 登 n 2 l 口= u n = l n = l 由( 2 7 ) ，先交換求和次序，再對(duì)每個(gè)固定的j ，由引理2 可將上式 等號(hào)的右邊第一項(xiàng)化為： 島 一島h a + 叼一，+ w ”2 1 。：一l n ”2 1p = 0 j = 0 。 。 = 一h 戽+ 叼_ p + 叼 攔”封9 = 。 。 f 31 1 ) = 一h ( 島+ 叼”+ 叼一z o ( z l + 叼) 2 ) j = on = o p = o j 一1 s 阮h ( a + 蜉) 2 2 島l l u o n 因此由( 3 8 ) 及引理1 2 ) 和上式可得 i 3 i iu “i i 2 一i 1 i lu ”一1 | | 2 一 | | u 11 1 2 一 i iu o1 1 2 1 k 3 r 2 塞妻島 + 矗登“ + 登女 萬(wàn)2 k 3 1 2 島瀘2 + 彘n i l l + n 南l l s 丌2 k 3 1 2 肺i fu 。| | 。+ 差登iu 。川u 。洲h n | i + 登| | ，n u n | | 幫彈得： i i u ”i 2 ( 1 lu ”一1j | 2 + i | u 1 | | 2 + i iu o | | 2 ) + 警竽脅f lu of 1 2 + 麗1 6 k 萎fu 。o 川u o 川u n | l 十；曼ki i ，n lu n 一 n 2 l 湖南師范大學(xué)碩士學(xué)位論文1 5 假設(shè)| | u ”h 翳渺l l ，妣 l u ”臚 ( | | u ”一1i i2 + | | u 1i i 。+ | juc ，釅) 十萼善! 阮| | 己，。i i i i mi | + 囂ml u 加c ，。u m | 十；m 七i | ，n u m | 5j ( | | u ”1 1 2 + | | u 1i l2 + | | u ol | 。) + 等警風(fēng)| | u 。i i i iu m i i + 囂基ju 。u 。u ”i + n 女| | ，n lu ml f 進(jìn)一步得到： | | u m 2 ；( 1 1u 11 1 2 十i tu o 2 ) + 礦4 k 8 2 島i | u oi i i iu u | | + 器e lu n o u oi i i iu mi | + 2 南i i ，n u mi | ；面- 妒u ”| | + n 嚳= l 馴u 。川u ”i l ( a i 2 ) + 器堇n | w 。u 。u ”| | + 2 登l i ，n 川礦”| | n = l n = 1 | | u n 。i ，1 _ 即： | | 1 | | 2 = + 警乒毫島 + 矗u l 。 + 鳧 口t u - 1 1 u 。川u 1 | | + 4 ( 1 k a r 2 m 十嘉lu 1 。1 ) i u 。洲u ti i + 七j j ，1 “u z | | 不等式是由基本不等式及引理11 ) 得 s0 。因此： i i u 1l l _ i iu ol i + 4 ( 箋# 隨+ 嘉i u l oj ) j ju oj j + j j ，1j j ( 3 1 4 ) 湖南師范大學(xué)碩士學(xué)位論文 1 6 由于w 。o = o ( k n “2 ) ( 見(jiàn)【4 ，定理2 4 ( 1 ) 】) ( 1s ns n ) ，可得： nn iw h oi c ( k 1 2 n 一1 2 ) c ( n k ) 1 2s a ( t ) ( 3 1 5 ) n = 1n 2 1 由( 3 1 3 ) 、( 3 1 4 ) 及( 3 1 5 ) 即得。證畢。 3 3誤差估計(jì) 定理3 2 ：假設(shè)u 為問(wèn)題( 1 2 ) 一( 1 4 ) 的解，( c ，。，u n ) ( n ： t 糾) 是滿(mǎn)足( 31 ) 一( 3 3 ) 的數(shù)值解，對(duì)充分光滑的。( 。) 及，( 。，) ，。滿(mǎn)足 “g ( ( o ，t ；打2 n 硪) n c 3 ( ( o ，t 】) ，進(jìn)一步假設(shè)問(wèn)題( 1 2 ) 一( 1 4 ) 的解滿(mǎn) 足假設(shè)條件( 1 9 ) ，當(dāng)k = o ( h 2 ) 時(shí)： 。當(dāng)鬈；，i f 驢一“l(fā) | z c ( t ) ( i i u o 一“。i i + 3 肛+ 2 ) ( 3 1 6 ) 證明：令n = 叼一叫n ，其中叫n = u ( q ，t 。) ，則 當(dāng)n 三2 時(shí)， 而 故 其中 k - 1 ( ；哆一2 e l _ 1 + i 1 勺n 一2 ) 一嚳毫島6 2 e j n 一9 一鍇d 2 e j 0 d = u = , f 于_ _ - - 1 3 u ，n 一2 哼一1 + i 1 n 一2 ) + 可k l 2 三n 偉鏟n p + 鑼6 2 嘭 地( x j ，t n ) 一名“盧( k s ) u 。( q ，s ) d s = f ( x j ，t 。) 一1 ( 2 哆一2 哼一1 + 1 勺n 一2 ) 一市k l 2 n 偉d 2 哼一一鑼j 2 四= 囈一噶 噶。u t ( x j ，“) k - 1 ( 2 “；一2 哼一1 + ；“；一2 ) ， 噶2 石“盧( t - s ) u 。z ( s ) 如一( k 礦l 2 善n 昂d 2 哆一p + 帶鏟田) 湖南師范大學(xué)碩士學(xué)位論文 1 7 當(dāng)n = 1 時(shí) 其中 k - l ( e ，1 一e ? ) 一可k l 2 圭島d 。e j l 一一一鑼d 。弓0 = 0 1 = 療一k - 1 ( “；u ；) + 百k l r 2e 島巧2 勺1 9 + 幫6 2 “? 口2 i j = 吃一喝 噸= u t ( x j ，t 1 ) 一k - 1 ( 卜u ? ) ， 喝= 露1 p ( t 一s ) u 。( s ) d s 一( 警塞島d 2 1 1 + 鑼d 2 q ) 口2 u 根據(jù)定理3l ，可得 n i le “0 c ( t ) le oi i + 3e 1 1 叩一叩| i ”1( 31 7 ) sc ( t ) i le oi | + 3 ( | | 叩i i + i l 霄眥 n = 1 由帶積分余項(xiàng)的t a y l o r 展開(kāi)可得，對(duì)一切x ( o x 1 ) 均有 當(dāng)竹3 時(shí)： ( z t n 一) = “扛，t n ) 一饑( z ，n ) + 擊( 一) 2 7 l t t ( x ，“) + 擊賞- 1 “w ( z ，s ) ( t 。一一s ) 2 d s ， “扛，t - 2 ) = u 扛，“) 一2 k u t ( x ，k ) + 擊( 一2 k ) 2 “t t ( x ，。) + 芻j ：l u ( z ，s ) ( t 。一2 一s ) 2 d s 由上述兩式可得( 1 j j