球坐標(biāo)系下的分離變量球函數(shù)

第九章球坐標(biāo)系下的分離變量球函數(shù) 本章內(nèi)容概要 9 1球坐標(biāo)系下的亥姆霍茲方程的分離變量給出該亥姆霍茲方程分離變量的解 9 2 9 3 締合 勒讓德函數(shù) 球函數(shù)的性質(zhì) 母函數(shù) 遞推公式 正交歸一性關(guān)系 前幾階的勒讓德多項式 球坐標(biāo)系下分離變量法的應(yīng)用 見本章6道例題 令 代入得 9 1球坐標(biāo)系下的亥姆霍茲方程的分離變量 一 亥姆霍茲方程的引入 分離變量得 亥姆霍茲方程 對三維波動方程 為使t 時 T t 有限 取 Tips k 0時 取T t Constant 位勢方程 二 球坐標(biāo)系下亥姆霍茲方程的分離變量 1 徑向坐標(biāo)r和角向坐標(biāo)的分離變量 令 代入Helmholhz方程 方程兩邊同時乘以 整理得 0 即 2 角向坐標(biāo)q和j的分離變量 令 代入角向方程 方程兩邊同時乘以 整理得 即 3 的本征問題求解 自然周期條件 本征值 本征函數(shù) 或 本征值 本征函數(shù) 4 的本征問題求解 有限值 自然邊界條件 令x cosq 則dx sinqdq 此即l階勒讓德方程 滿足有限的本征解為 本征值 本征函數(shù) m 0 的方程變?yōu)?此時為常數(shù)即 繞z軸對稱 m 0時 令 方程變?yōu)?為求方程的解 考慮勒讓德多項式滿足的方程 對x求m次導(dǎo) 整理 得 比較上式與 式 知本征解為 記為締合勒讓德函數(shù) 由勒讓德函數(shù)的微分表達(dá)式 得 注意到為l階多項式 使 則 從的微分表達(dá)式 也可看出 若先選定m 則 若先選定l 則 或 本征值 本征函數(shù) 或者 附注 締合 勒讓德函數(shù)的正交歸一關(guān)系 或者 范數(shù) 范數(shù) 詳細(xì)證明見下節(jié) 5 總結(jié) 角向函數(shù)的本征問題 本征值 本征函數(shù) 本征值 或者 本征函數(shù) 為有限值 自然周期邊界條件 有界條件 例 量子力學(xué)中 定義角動量平方算符為 則 即 算符有分立的本征值 稱為球諧函數(shù) 球諧函數(shù)具有正交性 因此 函數(shù) 可在球坐標(biāo)系展開為 k 0時 徑向方程為歐拉方程 令 得其解為 k 0時 方程稱為l階球貝塞爾方程 此時 令 徑向方程 根據(jù)前面的討論 l為自然數(shù) 即 6 徑向函數(shù)的求解 此時Helmholhz方程變?yōu)長aplace方程 根據(jù)對貝塞爾方程的討論 方程通解為 通常令 分別稱為l階球貝塞爾函數(shù)和l階球諾依曼函數(shù) 則l階球貝塞爾方程的通解為 方程化為 l為整數(shù) 則方程為半奇數(shù)階貝塞爾方程 7 總結(jié) 球坐標(biāo)系下Helmholhz方程的通解形式 k 0時 Helmholhz方程即為Laplace方程 位勢方程 k 0時 或者 若討論的問題具有旋轉(zhuǎn)對稱性 則m 0 此時 k2 本征值 可由徑向 r 的邊界條件給出 例9 3 方程 一般情形m 0 繞極軸旋轉(zhuǎn)對稱 m 0 球?qū)ΨQ m 0且l 0 Helmholtz方程 Laplace 位勢 方程 球坐標(biāo)系下方程的通解 9 2球函數(shù) 9 3 締合 勒讓德多項式 一 勒讓德多項式的母函數(shù) 生成函數(shù) 在單位球的北極 置電荷量為的正電荷 球內(nèi)M點與N點距離為 N 則 M點電勢為 u M 也可由拉普拉斯方程通過分離變量法求出 此問題關(guān)于z軸對稱 且球內(nèi)電勢有限 令 則因 有 又 由 9 1的討論知 此問題通解為 因此 稱為勒讓德多項式的母函數(shù) 同理得 因此 勒讓德函數(shù)是函數(shù)在r 0處的泰勒 洛朗展開的系數(shù) 比較r的l次冪的系數(shù) 二 勒讓德多項式的遞推公式 由母函數(shù)公式 兩邊對r求導(dǎo) 得 整理 得遞推公式 三 勒讓德多項式的正交歸一關(guān)系 締合 勒讓德方程是Sturm Liouville方程的一例 因此 締合 勒讓德多項式在 1 1 上正交 下面由勒讓德方程證明正交歸一關(guān)系 或者 并在 1 1 積分得 作分部積分 相減結(jié)果為零 又k l 故 1 正交性 2 歸一關(guān)系 上式兩邊平方 并在 1 1 積分 由正交性得 將方程左邊也展開為r的級數(shù)表達(dá)式 比較的系數(shù)得 母函數(shù)關(guān)系 由勒讓德多項式的正交歸一關(guān)系 可將在區(qū)間 1 1 上的函數(shù)f x 用勒讓德多項式展開 四 締合勒讓德函數(shù) 1 締合勒讓德函數(shù)的引入 在 9 1討論中 通過對勒讓德方程微分m次 驗證了締合勒讓德方程的解 即締合勒讓德函數(shù) 2 締合勒讓德函數(shù)的遞推公式 證明方法 由勒讓德多項式的遞推公式求m次導(dǎo) 并利用勒讓德函數(shù)的母函數(shù)公式 詳見課本Page167 168的證明 締合勒讓德函數(shù)有其他遞推公式 可參考 王竹溪 特殊函數(shù)概論 劉式達(dá) 劉式適 特殊函數(shù) 同m 不同l的遞推公式 例如 同l 不同m的遞推公式 3 締合勒讓德函數(shù)的正交歸一關(guān)系 證明 令 將代入 并分部積分 此項為0 分部積分 作微分運算 放大 根據(jù)同l不同m的遞推公式 將該式遞推m次 上式中用到勒讓德多項式正交歸一關(guān)系 得證 4 負(fù)指標(biāo)的締合勒讓德函數(shù) 在亥姆霍茲方程方程的通解中 用到 不能由定義 考慮利用微分表達(dá)式定義 則 并且可證 Eg 前幾階的勒讓德函數(shù) Question l階締合勒讓德函數(shù) x的次數(shù)是多少 或者 復(fù)數(shù)形式 是Helmholtz方程在自然周期條件 邊界值有限條件下的角向本征函數(shù) 五 球諧函數(shù) 球諧函數(shù)滿足的方程為 球諧函數(shù)為 實函數(shù)形式 l階獨立的球函數(shù)共2l 1個 由締合勒讓德函數(shù)的正交歸一關(guān)系 以及j方向本征函數(shù)系的正交歸一關(guān)系 得復(fù)數(shù)形式球諧函數(shù)的正交歸一關(guān)系 其中為的復(fù)數(shù)共軛 即 球諧函數(shù)的遞推公式 可由遞推公式推導(dǎo)的遞推公式 本節(jié)主要結(jié)論 一 勒讓德函數(shù)的母函數(shù)公式 二 勒讓德函數(shù)的遞推公式 三 勒讓德函數(shù)的正交歸一關(guān)系 四 締合勒讓德函數(shù) 1 定義 2 締合勒讓德函數(shù)的遞推公式 了解 同m 不同l的遞推公式 同l 不同m的遞推公式 3 締合勒讓德函數(shù)的正交歸一關(guān)系 重要 4 時的締合勒讓德函數(shù) 了解 或復(fù)數(shù)形式 五 球諧函數(shù) l階獨立的球函數(shù)共2l 1個 復(fù)數(shù)形式的球諧函數(shù)的正交歸一關(guān)系 球諧函數(shù)的遞推公式 了解 例9 2一半徑為a的空心球 若在其表面一半充電到電勢u0 另一半電勢為0 求球內(nèi)外電勢分布 解 球內(nèi) 球外 習(xí)題9 1第2題勻強電場中放置一接地導(dǎo)體球 球的半徑為a 求球外的電勢 例9 3均質(zhì)球 半徑為r0 初始溫度分布為f r 球表面溫度保持為0 使它冷卻 求溫度分布 解 球內(nèi) 一 亥姆霍茲方程的引入 二 球坐標(biāo)系下亥姆霍茲方程的分離變量 1 徑向坐標(biāo)r和角向坐標(biāo)的分離變量 2 角向坐標(biāo) 和j的分離變量 3 的本征問題求解 4 的本征問題求解 5 總結(jié) 角向函數(shù)的本征問題 6 徑向函數(shù)的求解 7 總結(jié) 球坐標(biāo)系下Helmholhz方程的通解形式 9 1球坐標(biāo)系下的亥姆霍茲方程的分離變量 9 3勒讓德多項式的母函數(shù) 正交性和遞推公式 一 勒讓德多項式的母函數(shù) 生成函數(shù) 二 勒讓德多項式的遞推公式 三 勒讓德多項式的正交歸一關(guān)系 四 締合勒讓德函數(shù) 1 締合勒讓德方程 2 締合勒讓德函數(shù)的遞推公式 3 締合勒讓德函數(shù)的正交歸一關(guān)系 4 時的締合勒讓德函數(shù) 五 球諧函數(shù) 本章考試范圍 體系具有旋轉(zhuǎn)對稱性時 m 0 1 熟悉Helmholhz方程在球坐標(biāo)下的通解 k 0時 Helmholhz方程即為Laplace方程 k 0時 不要求能解具體問題 m 0時 3 熟悉締合勒讓德函數(shù) 球諧函數(shù)正交歸一關(guān)系 附注 Laplace方程在平面極坐標(biāo)系的通解形式 2 締