標(biāo)架與坐標(biāo).doc

1.5 標(biāo)架與坐標(biāo)1. 直線上的坐標(biāo)系在直線上確定一個(gè)定點(diǎn)O且取定一個(gè)非零向量，則對(duì)直線上的每個(gè)向量，都存在惟一的實(shí)數(shù)x，都可表示成定義1.5.1 直線上的一個(gè)定點(diǎn)連同直線上的一個(gè)非零向量叫做直線的一個(gè)標(biāo)架，記作O；. 若是單位向量，則O；叫笛卡兒標(biāo)架，一般的標(biāo)架稱為仿射標(biāo)架. 定義1.5.2 對(duì)于取定標(biāo)架O；的直線上的任意點(diǎn)P，向量叫做點(diǎn)P的向徑（徑矢），向徑關(guān)于標(biāo)架O；的分量x叫做點(diǎn)P關(guān)于標(biāo)架O；的坐標(biāo)，記為P(x)或(x).定義1.5.3在直線上取定標(biāo)架O；之后，直線上的點(diǎn)P就與向徑取得一一對(duì)應(yīng)，而向徑通過關(guān)系式= x就與全體實(shí)數(shù)的集合之間取得一一對(duì)應(yīng)，因此直線上的全部向量或點(diǎn)的集合與全體實(shí)數(shù)的集合之間取得了一一對(duì)應(yīng)關(guān)系，這個(gè)一一對(duì)應(yīng)關(guān)系叫做直線上的向量或點(diǎn)的坐標(biāo)系. 若O；是笛卡兒標(biāo)架，則由它決定的坐標(biāo)系叫笛卡兒坐標(biāo)系，若O；是仿射標(biāo)架，則由它決定的坐標(biāo)系叫仿射坐標(biāo)系. 由于直線坐標(biāo)系完全由標(biāo)架O；決定，我們也常用O；來表示直線坐標(biāo)系. 此時(shí)O叫坐標(biāo)原點(diǎn)，叫坐標(biāo)向量. 取定標(biāo)架O；的直線叫坐標(biāo)軸，簡(jiǎn)稱軸. 可記為Ox. 2. 平面上的坐標(biāo)系在平面上確定一個(gè)定點(diǎn)O且取定兩個(gè)不共面的向量，則對(duì)平面上每個(gè)向量，都存在惟一一對(duì)有序?qū)崝?shù)，使分解成和的線性組合：定義1.5.4 平面上的一個(gè)定點(diǎn)O連同平面上的兩個(gè)不共線的有序向量，的全體叫做平面的一個(gè)標(biāo)架，記作O；，. 若，都是單位向量，則O；，叫笛卡兒標(biāo)架，若，不僅是單位向量而且相互垂直，則O；，叫笛卡兒直角標(biāo)架，一般的標(biāo)架O；，稱為平面仿射標(biāo)架. 定義1.5.5 公式中的有序?qū)崝?shù)對(duì)x，y叫做向量對(duì)于標(biāo)架O；，的分量或坐標(biāo). 定義1.5.6 對(duì)于取定標(biāo)架O；，上的平面上任意點(diǎn)P，向量叫做點(diǎn)P的向徑（徑矢），向徑關(guān)于標(biāo)架O；，的分量x，y叫做點(diǎn)P關(guān)于標(biāo)架O；，的坐標(biāo)，記為P(x，y)或(x，y).在平面上取定標(biāo)架O；，之后，平面上的點(diǎn)P就與向徑取得一一對(duì)應(yīng)，而向徑通過關(guān)系式= x又與有序?qū)崝?shù)對(duì)的集合之間取得一一對(duì)應(yīng)，因此平面上的全部向量或點(diǎn)的集合與全體有序?qū)崝?shù)對(duì)集合之間取得了一一對(duì)應(yīng)關(guān)系，這個(gè)一一對(duì)應(yīng)關(guān)系叫做平面上的向量或點(diǎn)的坐標(biāo)系. 若O；，是笛卡兒（直角）標(biāo)架，則由它決定的坐標(biāo)系叫笛卡兒（直角）坐標(biāo)系，若O；，是仿射標(biāo)架，則由它決定的坐標(biāo)系叫平面仿射坐標(biāo)系. 由于平面坐標(biāo)系完全由標(biāo)架O；，決定，我們也常用O；，來表示平面坐標(biāo)系. 此時(shí)O叫坐標(biāo)原點(diǎn)，叫坐標(biāo)向量. 平面右旋坐標(biāo)系和左旋坐標(biāo)系的概念. 今后使用的一般都是平面右旋笛卡兒直角坐標(biāo)系，簡(jiǎn)稱為平面直角坐標(biāo)系，其坐標(biāo)向量通常用表示. 取定標(biāo)架O；，后，將，歸結(jié)到原點(diǎn)O，就得到坐標(biāo)軸，簡(jiǎn)稱軸Ox和Oy，分別稱為x軸和y軸. 坐標(biāo)系可記為Oxy. 平面坐標(biāo)系使我們建立了平面上的點(diǎn)與一對(duì)有序數(shù)組(x，y)之間的一一對(duì)應(yīng)關(guān)系，于是幾何與代數(shù)就結(jié)合起來，增強(qiáng)了我們研究平面圖形的能力與手段.下面引進(jìn)空間直角坐標(biāo)系.3. 空間坐標(biāo)系在空間上確定一個(gè)定點(diǎn)O且取定3個(gè)不共面的有序向量，則對(duì)空間上每個(gè)向量，都存在惟一一組有序?qū)崝?shù)組x，y，z，使分解成，和的線性組合：定義1.5.7 空間上的一個(gè)定點(diǎn)O連同3個(gè)不共面的有序向量，的全體叫做空間的一個(gè)標(biāo)架，記作O；，. 若，都是單位向量，則O；，叫笛卡兒標(biāo)架，若，不僅是單位向量而且兩兩垂直，則O；，叫笛卡兒直角標(biāo)架，一般的標(biāo)架O；，稱為空間仿射標(biāo)架. 介紹右手標(biāo)架和左手標(biāo)架的概念. 定義1.5.8 公式中的有序?qū)崝?shù)組x，y，z叫做向量對(duì)于標(biāo)架O；，的分量或坐標(biāo)，記作(x，y，z)或 x，y，z . 定義1.5.9 對(duì)于取定標(biāo)架O；，的空間中的任意點(diǎn)P，向量叫做點(diǎn)P的向徑（徑矢），向徑關(guān)于標(biāo)架O；，的分量x，y，z叫做點(diǎn)P關(guān)于標(biāo)架O；，的坐標(biāo)，記為P(x，y，z)或(x，y，z).在空間取定標(biāo)架O；，之后，空間上的點(diǎn)P就與向徑取得一一對(duì)應(yīng)，而向徑通過關(guān)系式= x又與有序三數(shù)組的集合之間取得一一對(duì)應(yīng)，因此空間上的全部向量或點(diǎn)的集合與全體有序三數(shù)組的集合之間取得了一一對(duì)應(yīng)關(guān)系，這個(gè)一一對(duì)應(yīng)關(guān)系叫做空間中的向量或點(diǎn)的一個(gè)坐標(biāo)系. 若O；，是笛卡兒（直角）標(biāo)架，則由它決定的空間坐標(biāo)系叫笛卡兒（直角）坐標(biāo)系，若O；，是仿射標(biāo)架，則由它決定的坐標(biāo)系叫空間仿射坐標(biāo)系. 由于空間坐標(biāo)系完全由標(biāo)架O；，決定，我們也常用O；，表示空間坐標(biāo)系. 此時(shí)O叫坐標(biāo)原點(diǎn)，叫坐標(biāo)向量. 今后使用的一般都是空間右手笛卡兒直角坐標(biāo)系，簡(jiǎn)稱為空間直角坐標(biāo)系，其坐標(biāo)向量通常用表示. 取定標(biāo)架O；，后，將，歸結(jié)到原點(diǎn)O，就得到3個(gè)坐標(biāo)軸，簡(jiǎn)稱軸Ox，Oy和Oz軸，分別稱為x，y和z軸. 空間坐標(biāo)系可記為Oxyz. 如無特別聲明，今后使用的都是空間直角坐標(biāo)系. 1）坐標(biāo)面與卦限三條坐標(biāo)軸中的任意兩條可以確定一個(gè)平面，這樣定出的三個(gè)平面統(tǒng)稱為坐標(biāo)面.由x軸與y軸所決定的坐標(biāo)面稱為xOy面，由y軸與z軸所決定的坐標(biāo)面稱為yOz面，由z軸與x軸所決定的坐標(biāo)面稱為zOx面.三個(gè)坐標(biāo)面把空間分成了八個(gè)部分，這八個(gè)部分稱為卦限（如下圖）.2）空間點(diǎn)的直角坐標(biāo)取定空間直角坐標(biāo)系之后，我們就可以建立起空間點(diǎn)與有序數(shù)組之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系.設(shè)P為空間的一已知點(diǎn)，過P點(diǎn)分別作垂直于x軸、y軸、z軸的三個(gè)平面，它們與x軸、y軸、z軸的交點(diǎn)依次為Q，R，S，這三點(diǎn)在x軸、y軸、z軸的坐標(biāo)依次為x，y，z，于是：空間點(diǎn)就唯一地確定了一個(gè)有序數(shù)組x，y，z，這組數(shù)叫P點(diǎn)的坐標(biāo).依次稱x，y，z為點(diǎn)P的橫坐標(biāo)、縱坐標(biāo)和立坐標(biāo)，記為P（x，y，z）.3）用向量的分量進(jìn)行向量的線性運(yùn)算定理1.5.1 向量的分量等于其終點(diǎn)的坐標(biāo)減去其起點(diǎn)的坐標(biāo). 即設(shè)M1()，M2(x2，y2，z2)，則證 由點(diǎn)及向量坐標(biāo)的定義知，所以 =.由定義知.定理1.5.2 兩向量的和分量等于其對(duì)應(yīng)的分量的和：證 設(shè)，那么=+=，所以定理1.5.3 數(shù)乘向量時(shí)，kx，y，z= k x，k y，k z. 定理1.5.4 設(shè)，則共線的充要條件是 . 定理1.5.5 三向量，共面的充要條件是 證 因?yàn)椴还裁?，所以存在不全為零的?shí)