華約自主招生全真模擬-數(shù)學AAA(含答案以及詳解).doc

教育部考試中心 高水平大學自主選拔學業(yè)能力測試 全真模擬Advanced Assessment for Admission（AAA）數(shù) 學一、選擇題：本大題共10小題，每小題3分，在每小題給出的四個選項中只有一項是符合題目要求的。1 已知P為三角形ABC內部任一點（不包括邊界），且滿足，則ABC一定為( )A直角三角形；B. 等邊三角形；C. 等腰直角三角形；D. 等腰三角形2圓錐的軸截面SAB是邊長為2的等邊三角形，O為底面中心，M為SO的中點，動點P在圓錐底面內（包括圓周）。若AMMP，則P點形成的軌跡的長度為_A. B. C. 3 D.3.設有一個體積為54的正四面體，若以它的四個面的中心為頂點做一個四面體，則所作四面體的體積為_A.1 B. 2 C. 3 D. 44. 計算器上有一個特殊的按鍵，在計算器上顯示正整數(shù)n時按下這個按鍵，會等可能的將其替換為0n-1中的任意一個數(shù)。如果初始時顯示2011，反復按這個按鍵使得最終顯示0，那么這個過程中，9、99、999都出現(xiàn)的概率是 A .1 104 B. 1 105 C.1 106 D.1 1075已知，直線與的交點在直線上，則 。A.0 B.1. C-1 D.26設，則。A 1 B 2 C 3 D 47 已知，則 A 4/5 B 3/5 C1 D -4/58頂點在同一球面上的正四棱柱中，則兩點間的球面距離為（ ） A B C D9. 在平面直角坐標系內，將適合且使關于t的方程沒有實數(shù)根的點所成的集合記為N，則由點集N所成區(qū)域的面積為 。A 81/4 B 83/4 C 81/5 D 83/510. 已知橢圓的左、右焦點分別為F1、F2，過橢圓的右焦點作一條直線l交橢圓于點P、Q，則F1PQ內切圓面積的最大值是 A 2516 B 925 C 1625 D 916二、解答題:解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。一設若時，且在區(qū)間上的最大值為1，求的最大值和最小值二、已知橢圓C：（），其離心率為，兩準線之間的距離為。（1）求之值；（2）設點A坐標為(6, 0)，B為橢圓C上的動點，以A為直角頂點，作等腰直角ABP（字母A，B，P按順時針方向排列），求P點的軌跡方程。三.（本小題滿分25分）已知數(shù)列an中的相鄰兩項a2k-1，a2k是關于x的方程x2（3k+2k）x+3k2 k =0的兩個根.（1）求數(shù)列an的前2n項和S2n.（2）記f（n）=（+3），Tn=+，求證：Tn（nN+）四、已知橢圓 過定點A（1，0），且焦點在x軸上，橢圓與曲線的交點為B、C?，F(xiàn)有以A為焦點，過B，C且開口向左的拋物線，其頂點坐標為M（m，0），當橢圓的離心率滿足 時，求實數(shù)m的取值范圍。五、已知從“神八”飛船帶回的某種植物種子每粒成功發(fā)芽的概率都為，某植物研究所進行該種子的發(fā)芽實驗，每次實驗種一料種子，每次實驗結果相互獨立。假定某次實驗種子發(fā)芽則稱該次實驗是成功的，如果種子沒有發(fā)芽，則稱該次實驗是失敗的。若該研究所共進行四次實驗，設表示四次實驗結束時實驗成功的次數(shù)與失敗的次數(shù)之差的絕對值 （1）求隨機變量的數(shù)學期望E； （2）記“關于x的不等式的解集是實數(shù)集R”為事件A，求事件A發(fā)生的概率P（A）。 高水平大學自主選拔學業(yè)能力測試 全真模擬數(shù)學答案及詳解1 解：因為，所以已知條件可改寫為。容易得到此三角形為等腰三角形。 因此 選 D。2 解：建立空間直角坐標系。設A(0,-1,0), B(0,1,0), ，P(x,y,0).于是有由于AMMP，所以，即，此為P點形成的軌跡方程，其在底面圓盤內的長度為。 因此 選 B。3. B 4. 答：若計算器上顯示n的時候按下按鍵，因此時共有1n-1共n種選擇，所以產生給定的數(shù)m的概率是。如果計算器上的數(shù)在變化過程中除了2011，999，99，9和0以外，還產生了，則概率為，所以所求概率為 注意到兩式相除即得。5解：由已知可知，可設兩直線的交點為，且為方程，的兩個根，即為方程的兩個根。因此，即0。6解： 。7 8 B9. 答：令，原方程化為 所給方程沒有實根等價于方程無實根或有實根但均為負根，所以，或點集N所成區(qū)域為圖中陰影部分，其面積為10. 答：因為三角形內切圓的半徑與三角形周長的乘積是面積的2倍，且F1PQ的周長是定值8，所以只需求出F1PQ面積的最大值。設直線l方程為，與橢圓方程聯(lián)立得，設，則，于是。因為，所以內切圓半徑，因此其面積最大值是。二、解答題一 解：由題意函數(shù)圖象為開口向上的拋物線，且在區(qū)間上的最大值只能在閉端點取得，故有，從而且若有實根，則，在區(qū)間有即消去c，解出即，這時，且若無實根，則，將代入解得綜上所以，單調遞減故注重分類討論二、解：（1）設c為橢圓的焦半徑，則。于是有a5，b3。（2） 解法一：設B點坐標為，P點坐標為。于是有因為，所以有。 (A1 )又因為ABP為等腰直角三角形，所以有 AB=AP，即 。 (A2 ) 由（A1）推出，代入（A2），得 從而有 ，即（不合題意，舍去）或。 代入橢圓方程，即得動點P的軌跡方程解法二： 設,，則以A為圓心，r為半徑的圓的參數(shù)方程為。設AB與x軸正方向夾角為，B點的參數(shù)表示為，P點的參數(shù)表示為.從上面兩式，得到。又由于B點在橢圓上，可得。此即為P點的軌跡方程。三.（I）解：方程的兩個根為， （5分） （10分）() 證明：，所以， （15分）當時， （20分）同時，綜上，當時， （25分）四、解：橢圓過定點A（1，0），則，。由對稱性知，所求拋物線只要過橢圓與射線的交點，就必過橢圓與射線的交點。聯(lián)立方程 ，解得 。，。設拋物線方程為：，。又 ， 把 ， 代入得，。令， 在內有根且單調遞增， 綜上得：。五、（1）由題意知的可能取值為0，2，4指的是實驗成功2次，失敗2次.指的是實驗成功3次，失敗1次或實驗成功1次，失敗3次.指的是實驗成功4