華約自主招生全真模擬-數(shù)學(xué)AAA(含答案以及詳解).doc

教育部考試中心 高水平大學(xué)自主選拔學(xué)業(yè)能力測(cè)試 全真模擬Advanced Assessment for Admission（AAA）數(shù) 學(xué)一、選擇題：本大題共10小題，每小題3分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1 已知P為三角形ABC內(nèi)部任一點(diǎn)（不包括邊界），且滿足，則ABC一定為( )A直角三角形；B. 等邊三角形；C. 等腰直角三角形；D. 等腰三角形2圓錐的軸截面SAB是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，O為底面中心，M為SO的中點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P在圓錐底面內(nèi)（包括圓周）。若AMMP，則P點(diǎn)形成的軌跡的長(zhǎng)度為_A. B. C. 3 D.3.設(shè)有一個(gè)體積為54的正四面體，若以它的四個(gè)面的中心為頂點(diǎn)做一個(gè)四面體，則所作四面體的體積為_A.1 B. 2 C. 3 D. 44. 計(jì)算器上有一個(gè)特殊的按鍵，在計(jì)算器上顯示正整數(shù)n時(shí)按下這個(gè)按鍵，會(huì)等可能的將其替換為0n-1中的任意一個(gè)數(shù)。如果初始時(shí)顯示2011，反復(fù)按這個(gè)按鍵使得最終顯示0，那么這個(gè)過程中，9、99、999都出現(xiàn)的概率是 A .1 104 B. 1 105 C.1 106 D.1 1075已知，直線與的交點(diǎn)在直線上，則 。A.0 B.1. C-1 D.26設(shè)，則。A 1 B 2 C 3 D 47 已知，則 A 4/5 B 3/5 C1 D -4/58頂點(diǎn)在同一球面上的正四棱柱中，則兩點(diǎn)間的球面距離為（ ） A B C D9. 在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，將適合且使關(guān)于t的方程沒有實(shí)數(shù)根的點(diǎn)所成的集合記為N，則由點(diǎn)集N所成區(qū)域的面積為 。A 81/4 B 83/4 C 81/5 D 83/510. 已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為F1、F2，過橢圓的右焦點(diǎn)作一條直線l交橢圓于點(diǎn)P、Q，則F1PQ內(nèi)切圓面積的最大值是 A 2516 B 925 C 1625 D 916二、解答題:解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。一設(shè)若時(shí)，且在區(qū)間上的最大值為1，求的最大值和最小值二、已知橢圓C：（），其離心率為，兩準(zhǔn)線之間的距離為。（1）求之值；（2）設(shè)點(diǎn)A坐標(biāo)為(6, 0)，B為橢圓C上的動(dòng)點(diǎn)，以A為直角頂點(diǎn)，作等腰直角ABP（字母A，B，P按順時(shí)針方向排列），求P點(diǎn)的軌跡方程。三.（本小題滿分25分）已知數(shù)列an中的相鄰兩項(xiàng)a2k-1，a2k是關(guān)于x的方程x2（3k+2k）x+3k2 k =0的兩個(gè)根.（1）求數(shù)列an的前2n項(xiàng)和S2n.（2）記f（n）=（+3），Tn=+，求證：Tn（nN+）四、已知橢圓 過定點(diǎn)A（1，0），且焦點(diǎn)在x軸上，橢圓與曲線的交點(diǎn)為B、C?，F(xiàn)有以A為焦點(diǎn)，過B，C且開口向左的拋物線，其頂點(diǎn)坐標(biāo)為M（m，0），當(dāng)橢圓的離心率滿足 時(shí)，求實(shí)數(shù)m的取值范圍。五、已知從“神八”飛船帶回的某種植物種子每粒成功發(fā)芽的概率都為，某植物研究所進(jìn)行該種子的發(fā)芽實(shí)驗(yàn)，每次實(shí)驗(yàn)種一料種子，每次實(shí)驗(yàn)結(jié)果相互獨(dú)立。假定某次實(shí)驗(yàn)種子發(fā)芽則稱該次實(shí)驗(yàn)是成功的，如果種子沒有發(fā)芽，則稱該次實(shí)驗(yàn)是失敗的。若該研究所共進(jìn)行四次實(shí)驗(yàn)，設(shè)表示四次實(shí)驗(yàn)結(jié)束時(shí)實(shí)驗(yàn)成功的次數(shù)與失敗的次數(shù)之差的絕對(duì)值 （1）求隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望E； （2）記“關(guān)于x的不等式的解集是實(shí)數(shù)集R”為事件A，求事件A發(fā)生的概率P（A）。 高水平大學(xué)自主選拔學(xué)業(yè)能力測(cè)試 全真模擬數(shù)學(xué)答案及詳解1 解：因?yàn)?，所以已知條件可改寫為。容易得到此三角形為等腰三角形。 因此 選 D。2 解：建立空間直角坐標(biāo)系。設(shè)A(0,-1,0), B(0,1,0), ，P(x,y,0).于是有由于AMMP，所以，即，此為P點(diǎn)形成的軌跡方程，其在底面圓盤內(nèi)的長(zhǎng)度為。 因此 選 B。3. B 4. 答：若計(jì)算器上顯示n的時(shí)候按下按鍵，因此時(shí)共有1n-1共n種選擇，所以產(chǎn)生給定的數(shù)m的概率是。如果計(jì)算器上的數(shù)在變化過程中除了2011，999，99，9和0以外，還產(chǎn)生了，則概率為，所以所求概率為 注意到兩式相除即得。5解：由已知可知，可設(shè)兩直線的交點(diǎn)為，且為方程，的兩個(gè)根，即為方程的兩個(gè)根。因此，即0。6解： 。7 8 B9. 答：令，原方程化為 所給方程沒有實(shí)根等價(jià)于方程無實(shí)根或有實(shí)根但均為負(fù)根，所以，或點(diǎn)集N所成區(qū)域?yàn)閳D中陰影部分，其面積為10. 答：因?yàn)槿切蝺?nèi)切圓的半徑與三角形周長(zhǎng)的乘積是面積的2倍，且F1PQ的周長(zhǎng)是定值8，所以只需求出F1PQ面積的最大值。設(shè)直線l方程為，與橢圓方程聯(lián)立得，設(shè)，則，于是。因?yàn)?，所以?nèi)切圓半徑，因此其面積最大值是。二、解答題一 解：由題意函數(shù)圖象為開口向上的拋物線，且在區(qū)間上的最大值只能在閉端點(diǎn)取得，故有，從而且若有實(shí)根，則，在區(qū)間有即消去c，解出即，這時(shí)，且若無實(shí)根，則，將代入解得綜上所以，單調(diào)遞減故注重分類討論二、解：（1）設(shè)c為橢圓的焦半徑，則。于是有a5，b3。（2） 解法一：設(shè)B點(diǎn)坐標(biāo)為，P點(diǎn)坐標(biāo)為。于是有因?yàn)椋杂小?(A1 )又因?yàn)锳BP為等腰直角三角形，所以有 AB=AP，即 。 (A2 ) 由（A1）推出，代入（A2），得 從而有 ，即（不合題意，舍去）或。 代入橢圓方程，即得動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程解法二： 設(shè),，則以A為圓心，r為半徑的圓的參數(shù)方程為。設(shè)AB與x軸正方向夾角為，B點(diǎn)的參數(shù)表示為，P點(diǎn)的參數(shù)表示為.從上面兩式，得到。又由于B點(diǎn)在橢圓上，可得。此即為P點(diǎn)的軌跡方程。三.（I）解：方程的兩個(gè)根為， （5分） （10分）() 證明：，所以， （15分）當(dāng)時(shí)， （20分）同時(shí)，綜上，當(dāng)時(shí)， （25分）四、解：橢圓過定點(diǎn)A（1，0），則，。由對(duì)稱性知，所求拋物線只要過橢圓與射線的交點(diǎn)，就必過橢圓與射線的交點(diǎn)。聯(lián)立方程 ，解得 。，。設(shè)拋物線方程為：，。又 ， 把 ， 代入得，。令， 在內(nèi)有根且單調(diào)遞增， 綜上得：。五、（1）由題意知的可能取值為0，2，4指的是實(shí)驗(yàn)成功2次，失敗2次.指的是實(shí)驗(yàn)成功3次，失敗1次或?qū)嶒?yàn)成功1次，失敗3次.指的是實(shí)驗(yàn)成功4