概率論與數(shù)理統(tǒng)計 知識點總復(fù)習(xí).doc

隨機事件和概率第一節(jié) 基本概念1、排列組合初步（1）排列組合公式 從m個人中挑出n個人進(jìn)行排列的可能數(shù)。 從m個人中挑出n個人進(jìn)行組合的可能數(shù)。 (2)加法原理（兩種方法均能完成此事）：m+n某件事由兩種方法來完成，第一種方法可由m種方法完成，第二種方法可由n種方法來完成，則這件事可由m+n 種方法來完成。(3)乘法原理（兩個步驟分別不能完成這件事）：mn某件事由兩個步驟來完成，第一個步驟可由m種方法完成，第二個步驟可由n 種方法來完成，則這件事可由mn 種方法來完成。(4)一些常見排列 特殊排列 相鄰 彼此隔開 順序一定和不可分辨 重復(fù)排列和非重復(fù)排列（有序） 對立事件 順序問題2、隨機試驗、隨機事件及其運算（1）隨機試驗和隨機事件如果一個試驗在相同條件下可以重復(fù)進(jìn)行，而每次試驗的可能結(jié)果不止一個，但在進(jìn)行一次試驗之前卻不能斷言它出現(xiàn)哪個結(jié)果，則稱這種試驗為隨機試驗。試驗的可能結(jié)果稱為隨機事件。（2）事件的關(guān)系與運算關(guān)系：如果事件A的組成部分也是事件B的組成部分，（A發(fā)生必有事件B發(fā)生）：如果同時有，則稱事件A與事件B等價，或稱A等于B：A=B。A、B中至少有一個發(fā)生的事件：AB，或者A+B。屬于A而不屬于B的部分所構(gòu)成的事件，稱為A與B的差，記為A-B，也可表示為A-AB或者，它表示A發(fā)生而B不發(fā)生的事件。A、B同時發(fā)生：AB，或者AB。AB=，則表示A與B不可能同時發(fā)生，稱事件A與事件B互不相容或者互斥?；臼录腔ゲ幌嗳莸?。-A稱為事件A的逆事件，或稱A的對立事件，記為。它表示A不發(fā)生的事件?；コ馕幢貙αⅰ＿\算： 結(jié)合率：A(BC)=(AB)C A(BC)=(AB)C 分配率：(AB)C=(AC)(BC) (AB)C=(AC)(BC) 德摩根率： ，3、概率的定義和性質(zhì)（1）概率的公理化定義設(shè)為樣本空間，為事件，對每一個事件都有一個實數(shù)P(A)，若滿足下列三個條件：1 0P(A)1， 2 P() =13 對于兩兩互不相容的事件，有常稱為可列（完全）可加性。則稱P(A)為事件的概率。（2）古典概型（等可能概型）1 ，2 。設(shè)任一事件，它是由組成的，則有P(A)= =4、五大公式（加法、減法、乘法、全概、貝葉斯）（1）加法公式P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB)當(dāng)P(AB)0時，P(A+B)=P(A)+P(B)（2）減法公式P(A-B)=P(A)-P(AB)當(dāng)BA時，P(A-B)=P(A)-P(B)當(dāng)A=時，P()=1- P(B)（3）條件概率和乘法公式定義 設(shè)A、B是兩個事件，且P(A)0，則稱為事件A發(fā)生條件下，事件B發(fā)生的條件概率，記為。條件概率是概率的一種，所有概率的性質(zhì)都適合于條件概率。例如P(/B)=1P(/A)=1-P(B/A)乘法公式：更一般地，對事件A1，A2，An，若P(A1A2An-1)0，則有。（4）全概公式設(shè)事件滿足1兩兩互不相容，2，則有。此公式即為全概率公式。（5）貝葉斯公式設(shè)事件，及滿足1 ，兩兩互不相容，0，1，2，2 ，則，i=1，2，n。此公式即為貝葉斯公式。，（，），通常叫先驗概率。，（，），通常稱為后驗概率。如果我們把當(dāng)作觀察的“結(jié)果”，而，理解為“原因”，則貝葉斯公式反映了“因果”的概率規(guī)律，并作出了“由果朔因”的推斷。5、事件的獨立性和伯努利試驗（1）兩個事件的獨立性設(shè)事件、滿足，則稱事件、是相互獨立的（這個性質(zhì)不是想當(dāng)然成立的）。 若事件、相互獨立，且，則有所以這與我們所理解的獨立性是一致的。若事件、相互獨立，則可得到與、與、與也都相互獨立。（證明）由定義，我們可知必然事件和不可能事件與任何事件都相互獨立。（證明） 同時，與任何事件都互斥。（2）多個事件的獨立性設(shè)ABC是三個事件，如果滿足兩兩獨立的條件，P(AB)=P(A)P(B)；P(BC)=P(B)P(C)；P(CA)=P(C)P(A)并且同時滿足P(ABC)=P(A)P(B)P(C)那么A、B、C相互獨立。對于n個事件類似。兩兩互斥互相互斥。兩兩獨立互相獨立？（3）伯努利試驗定義 我們作了次試驗，且滿足u 每次試驗只有兩種可能結(jié)果，發(fā)生或不發(fā)生；u 次試驗是重復(fù)進(jìn)行的，即發(fā)生的概率每次均一樣；u 每次試驗是獨立的，即每次試驗發(fā)生與否與其他次試驗發(fā)生與否是互不影響的。這種試驗稱為伯努利概型，或稱為重伯努利試驗。用表示每次試驗發(fā)生的概率，則發(fā)生的概率為，用表示重伯努利試驗中出現(xiàn)次的概率，。隨機變量及其分布第一節(jié) 基本概念在許多試驗中，觀察的對象常常是一個隨同取值的量。例如擲一顆骰子出現(xiàn)的點數(shù)，它本身就是一個數(shù)值，因此P(A)這個函數(shù)可以看作是普通函數(shù)（定義域和值域都是數(shù)字，數(shù)字到數(shù)字）。但是觀察硬幣出現(xiàn)正面還是反面，就不能簡單理解為普通函數(shù)。但我們可以通過下面的方法使它與數(shù)值聯(lián)系起來。當(dāng)出現(xiàn)正面時，規(guī)定其對應(yīng)數(shù)為“1”；而出現(xiàn)反面時，規(guī)定其對應(yīng)數(shù)為“0”。于是稱為隨機變量。又由于是隨著試驗結(jié)果（基本事件）不同而變化的，所以實際上是基本事件的函數(shù)，即X=X()。同時事件A包含了一定量的（例如古典概型中A包含了1，2，m，共m個基本事件），于是P(A)可以由P(X()來計算，這是一個普通函數(shù)。定義 設(shè)試驗的樣本空間為，如果對中每個事件都有唯一的實數(shù)值X=X()與之對應(yīng)，則稱X=X()為隨機變量，簡記為。有了隨機變量，就可以通過它來描述隨機試驗中的各種事件，能全面反映試驗的情況。這就使得我們對隨機現(xiàn)象的研究，從前一章事件與事件的概率的研究，擴大到對隨機變量的研究，這樣數(shù)學(xué)分析的方法也可用來研究隨機現(xiàn)象了。一個隨機變量所可能取到的值只有有限個（如擲骰子出現(xiàn)的點數(shù)）或可列無窮多個（如電話交換臺接到的呼喚次數(shù)），則稱為離散型隨機變量。像彈著點到目標(biāo)的距離這樣的隨機變量，它的取值連續(xù)地充滿了一個區(qū)間，這稱為連續(xù)型隨機變量。1、隨機變量的分布函數(shù)（1）離散型隨機變量的分布率設(shè)離散型隨機變量的可能取值為Xk(k=1,2,)且取各個值的概率，即事件(X=Xk)的概率為P(X=xk)=pk，k=1,2,，則稱上式為離散型隨機變量的概率分布或分布律。有時也用分布列的形式給出：。顯然分布律應(yīng)滿足下列條件：（1），（2）。（2）分布函數(shù)對于非離散型隨機變量，通常有，不可能用分布率表達(dá)。例如日光燈管的壽命，。所以我們考慮用落在某個區(qū)間內(nèi)的概率表示。定義 設(shè)為隨機變量，是任意實數(shù)，則函數(shù)稱為隨機變量X的分布函數(shù)。 可以得到X落入?yún)^(qū)間的概率。也就是說，分布函數(shù)完整地描述了隨機變量X隨機取值的統(tǒng)計規(guī)律性。分布函數(shù)是一個普通的函數(shù)，它表示隨機變量落入?yún)^(qū)間（ ，x內(nèi)的概率。的圖形是階梯圖形，是第一類間斷點，隨機變量在處的概率就是在處的躍度。分布函數(shù)具有如下性質(zhì)：1 ；2 是單調(diào)不減的函數(shù)，即時，有 ；3 ， ；4 ，即是右連續(xù)的；5 。（3）連續(xù)型隨機變量的密度函數(shù)定義 設(shè)是隨機變量的分布函數(shù)，若存在非負(fù)函數(shù)，對任意實數(shù)，有， 則稱為連續(xù)型隨機變量。稱為的概率密度函數(shù)或密度函數(shù)，簡稱概率密度。的圖形是一條曲線，稱為密度（分布）曲線。由上式可知，連續(xù)型隨機變量的分布函數(shù)是連續(xù)函數(shù)。所以，密度函數(shù)具有下面4個性質(zhì)：1 。2 。的幾何意義；在橫軸上面、密度曲線下面的全部面積等于1。如果一個函數(shù)滿足1、2，則它一定是某個隨機變量的密度函數(shù)。3 。4 若在處連續(xù)，則有。它在連續(xù)型隨機變量理論中所起的作用與在離散型隨機變量理論中所起的作用相類似。 對于連續(xù)型隨機變量，雖然有，但事件并非是不可能事件。令，則右端為零，而概率，故得。不可能事件（）的概率為零，而概率為零的事件不一定是不可能事件；同理，必然事件（）的概率為1，而概率為1的事件也不一定是必然事件。2、常見分布01分布P(X=1)=p, P(X=0)=q二項分布在重貝努里試驗中，設(shè)事件發(fā)生的概率為。事件發(fā)生的次數(shù)是隨機變量，設(shè)為，則可能取值為。， 其中，則稱隨機變量服從參數(shù)為，的二項分布。記為。容易驗證，滿足離散型分布率的條件。當(dāng)時，這就是（0-1）分布，所以（0-1）分布是二項分布的特例。泊松分布設(shè)隨機變量的分布律為，則稱隨機變量服從參數(shù)為的泊松分布，記為或者P()。泊松分布為二項分布的極限分布（np=，n）。如飛機被擊中的子彈數(shù)、來到公共汽車站的乘客數(shù)、機床發(fā)生故障的次數(shù)、自動控制系統(tǒng)中元件損壞的個數(shù)、某商店中來到的顧客人數(shù)等，均近似地服從泊松分布。超幾何分布隨機變量X服從參數(shù)為n,N,M的超幾何分布。幾何分布，其中p0，q=1-p。隨機變量X服從參數(shù)為p的幾何分布。均勻分布設(shè)隨機變量的值只落在a，b內(nèi)，其密度函數(shù)在a，b上為常數(shù)k，即axb 其他，其中k=，則稱隨機變量在a，b上服從均勻分布，記為XU(a，b)。分布函數(shù)為 axb 0， xb。當(dāng)ax1x2b時，X落在區(qū)間（）內(nèi)的概率為P(。指數(shù)分布設(shè)隨機變量X的密度函數(shù)為 ,0, ,其中，則稱隨機變量X服從參數(shù)為的指數(shù)分布。X的分布函數(shù)為 , x0。 記住幾個積分： ， 正態(tài)分布設(shè)隨機變量的密度函數(shù)為， ，其中、為常數(shù)，則稱隨機變量服從參數(shù)為、的正態(tài)分布或高斯（Gauss）分布，記為。具有如下性質(zhì)：1 的圖形是關(guān)于對稱的；2 當(dāng)時，為最大值；3 以軸為漸近線。特別當(dāng)固定、改變時，的圖形形狀不變，只是集體沿軸平行移動，所以又稱為位置參數(shù)。當(dāng)固定、改變時，的圖形形狀要發(fā)生變化，隨變大，圖形的形狀變得平坦，所以又稱為形狀參數(shù)。若，則的分布函數(shù)為。參數(shù)、時的正態(tài)分布稱為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，記為，其密度函數(shù)記為，分布函數(shù)為。是不可求積函數(shù)，其函數(shù)值，已編制成表可供查用。(x)和(x)的性質(zhì)如下：1 (x)是偶函數(shù)，(x)(-x)；2 當(dāng)x=0時，(x)為最大值；3 (-x)1-(x)且(0)。如果，則。所以我們可以通過變換將的計算轉(zhuǎn)化為的計算，而的值是可以通過查表得到的。 分位數(shù)的定義。3、隨機變量函數(shù)的分布隨機變量是隨機變量的函數(shù)，若的分布函數(shù)或密度函數(shù)知道，則如何求出的分布函數(shù)或密度函數(shù)。（1）是離散型隨機變量已知的分布列為，顯然，的取值只可能是，若互不相等，則的分布列如下：，若有某些相等，則應(yīng)將對應(yīng)的相加作為的概率。（2）是連續(xù)型隨機變量先利用X的概率密度fX(x)寫出Y的分布函數(shù)FY(y)，再利用變上下限積分的求導(dǎo)公式求出fY(y)。二維隨機變量及其分布第一節(jié) 基本概念1、二維隨機變量的基本概念（1）二維離散型隨機變量聯(lián)合概率分布及邊緣分布如果二維隨機向量（X，Y）的所有可能取值為至多可列個有序?qū)Γ▁,y）時，則稱為離散型隨機量。理解：（X=x,Y=y）（X=xY=y）設(shè)=（X，Y）的所有可能取值為，且事件=的概率為pij,稱為=（X，Y）的分布律或稱為X和Y的聯(lián)合分布律。聯(lián)合分布有時也用下面的概率分布表來表示： YXy1y2yjpix1p11p12p1jp1x2p21p22p2jp2xipi1pipjp1p2pj1這里pij具有下面兩個性質(zhì)：（1）pij0（i,j=1,2,）；（2）對于隨機向量（X，Y），稱其分量X（或Y）的分布為（X，Y）的關(guān)于X（或Y）的邊緣分布。上表中的最后一列（或行）給出了X為離散型，并且其聯(lián)合分布律為，則X的邊緣分布為 ；Y的邊緣分布為 。（2）二維連續(xù)型隨機向量聯(lián)合分布密度及邊緣分布對于二維隨機向量，如果存在非負(fù)函數(shù)，使對任意一個其鄰邊分別平行于坐標(biāo)軸的矩形區(qū)域D，即D=(X,Y)|axb,cyx1時，有F（x2,y）F(x1,y);當(dāng)y2y1時，有F(x,y2) F(x,y1);（3）F（x,y）分別對x和y是右連續(xù)的，即（4）2、隨機變量的獨立性（1）一般型隨機變量F(X,Y)=FX(x)FY(y)（2）離散型隨機變量例35：二維隨機向量（X，Y）共有六個取正概率的點，它們是：（1，-1），（2，-1），（2，0），2，2），（3，1），（3，2），并且（X，Y）取得它們的概率相同，則（X，Y）的聯(lián)合分布及邊緣分布為 YX-1012p1100020300pj1（3）連續(xù)型隨機變量f(x,y)=fX(x)fY(y)聯(lián)合分布邊緣分布f(x,y)=fX(x)fY(y)直接判斷，充要條件：可分離變量正概率密度區(qū)間為矩形例36：如圖3.1，f(x,y)=8xy, fX(x)=4x3, fY(y)=4y-4y3，不獨立。例37：f(x,y)=（4）二維正態(tài)分布=0（5）隨機變量函數(shù)的獨立性若X與Y獨立，h,g為連續(xù)函數(shù)，則：h（X）和g（Y）獨立。例如：若X與Y獨立，則：3X+1和5Y-2獨立。3、簡單函數(shù)的分布兩個隨機變量的和Z=X+Y離散型：連續(xù)型fZ(z)兩個獨立的正態(tài)分布的和仍為正態(tài)分布（）。2、隨機變量的獨立性例317：設(shè)（X，Y）的聯(lián)合分布密度為（1） 求C；（2） 求X，Y的邊緣分布；（3） 討論X與Y的獨立性；（4） 計算P（X+Y1）。3、簡單函數(shù)的分布隨機變量的數(shù)字特征第一節(jié) 基本概念1、一維隨機變量的數(shù)字特征（1）一維隨機變量及其函數(shù)的期望設(shè)X是離散型隨機變量，其分布律為P()pk，k=1,2,n，期望就是平均值。數(shù)學(xué)期望的性質(zhì)（1） E(C)=C（2） E(CX)=CE(X)（3） E(X+Y)=E(X)+E(Y)，（4） E(XY)=E(X) E(Y)，充分條件：X和Y獨立； 充要條件：X和Y不相關(guān)。（5） Y=g(X)離散： 連續(xù)：（2）方差D(X)=EX-E(X)2，方差，標(biāo)準(zhǔn)差離散型隨機變量連續(xù)型隨機變量方差的性質(zhì)（1） D(C)=0；E(C)=C（2） D(aX)=a2D(X)； E(aX)=aE(X)（3） D(aX+b)= a2D(X)； E(aX+b)=aE(X)+b（4） D(X)=E(X2)-E2(X)（5） D(X+Y)=D(X)+D(Y)，充分條件：X和Y獨立； 充要條件：X和Y不相關(guān)。 D(XY)=D(X)+D(Y) 2E(X-E(X)(Y-E(Y)，無條件成立。E(X+Y)=E(X)+E(Y)，無條件成立。類似的，n個相互獨立的正態(tài)分布的線性組合，仍服從正態(tài)分布。， （3）常見分布的數(shù)學(xué)期望和方差分布名稱符號均值方差0-1分布p二項分布np泊松分布幾何分布超幾何分布均勻分布指數(shù)分布正態(tài)分布01分布 X01qpE(X)=p，D(X)=pq二項分布 XB(n,p)，（k=0,1,2n）E(X)=np，D(X)=npq泊松分布 P() P(X=k)=，k=0,1,2E(X)= ， D(X)= 超幾何分布 E(X)=幾何分布 ，k=0,1,2E(X)=， D(X)=均勻分布 XUa,b，f(x)=，a, b E(X)=， D(X)=指數(shù)分布 f(x)= ，(x0)E(X)=， D(X)=正態(tài)分布 XN(,2)，E(X)= ， D(X)= 22、二維隨機變量的數(shù)字特征（1）協(xié)方差和相關(guān)系數(shù)對于隨機變量X與Y，稱它們的二階混合中心矩為X與Y的協(xié)方差或相關(guān)矩，記為，即與記號相對應(yīng)，X與Y的方差D（X）與D（Y）也可分別記為與。協(xié)方差有下面幾個性質(zhì)：(i) cov (X, Y)=cov (Y, X);(ii) cov(aX,bY)=ab cov(X,Y);(iii) cov(X1+X2, Y)=cov(X1,Y)+cov(X2,Y);(iv) cov(X,Y)=E(XY)-(E(X)(E(Y).對于隨機變量X與Y，如果D（X）0, D(Y)0，則稱為X與Y的相關(guān)系數(shù)，記作（有時可簡記為）。|1，當(dāng)|=1時，稱X與Y安全相關(guān)：完全相關(guān)而當(dāng)時，稱X與Y不相關(guān)。與相關(guān)系數(shù)有關(guān)的幾個重要結(jié)論（i） 若隨機變量X與Y相互獨立，則；反之不真。（ii） 若（X，Y）N（），則X與Y相互獨立的充要條件是，即X和Y不相關(guān)。（iii） 以下五個命題是等價的：；cov(X,Y)=0;E(XY)=E(X)E(Y);D(X+Y)=D(X)+D(Y);D(X-Y)=D(X)+D(Y).（2）二維隨機變量函數(shù)的期望（3）原點矩和中心矩對于正整數(shù)k，稱隨機變量X的k次冪的數(shù)學(xué)期望為X的k階原點矩，記為vk,即uk=E(Xk), k=1,2, .于是，我們有對于正整數(shù)k，稱隨機變量X與E（X）差的k次冪的數(shù)學(xué)期望為X的k階中心矩，記為，即于是，我們有對于隨機變量X與Y，如果有存在，則稱之為X與Y的k+l階混合原點矩，記為，即大數(shù)定律和中心極限定理第一節(jié) 基本概念1、切比雪夫不等式設(shè)隨機變量X具有數(shù)學(xué)期望E（X）=，方差D（X）=2，則對于任意正數(shù)，有下列切比雪夫不等式切比雪夫不等式給出了在未知X的分布的情況下，對概率的一種估計，它在理論上有重要意義。2、大數(shù)定律（1）切比雪夫大數(shù)定律（要求方差有界）設(shè)隨機變量X1，X2，相互獨立，均具有有限方差，且被同一常數(shù)C所界：D（Xi）C(i=1,2,),則對于任意的正數(shù)，有特殊情形：若X1，X2，具有相同的數(shù)學(xué)期望E（XI）=，則上式成為或者簡寫成：切比雪夫大數(shù)定律指出，n個相互獨立，且具有有限的相同的數(shù)學(xué)期望與方差的隨機變量，當(dāng)n很大時，它們的算術(shù)平均以很大的概率接近它們的數(shù)學(xué)期望。（2）伯努利大數(shù)定律設(shè)是n次獨立試驗中事件A發(fā)生的次數(shù)，p是事件A在每次試驗中發(fā)生的概率，則對于