中考數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)總結(jié) 相似形 （13大知識(shí)點(diǎn)+例題） 新人教版(1).doc

相似形知識(shí)點(diǎn)：一、比例線(xiàn)段1、比：選用同一長(zhǎng)度單位量得兩條線(xiàn)段。a、b的長(zhǎng)度分別是m、n，那么就說(shuō)這兩條線(xiàn)段的比是a：bm：n（或） 2、比的前項(xiàng)，比的后項(xiàng)：兩條線(xiàn)段的比a：b中。a叫做比的前項(xiàng)，b叫做比的后項(xiàng)。 說(shuō)明：求兩條線(xiàn)段的比時(shí)，對(duì)這兩條線(xiàn)段要用同一單位長(zhǎng)度。 3、比例：兩個(gè)比相等的式子叫做比例，如 4、比例外項(xiàng)：在比例（或a：bc：d）中a、d叫做比例外項(xiàng)。 5、比例內(nèi)項(xiàng)：在比例（或a：bc：d）中b、c叫做比例內(nèi)項(xiàng)。 6、第四比例項(xiàng)：在比例（或a：bc：d）中，d叫a、b、c的第四比例項(xiàng)。 7、比例中項(xiàng)：如果比例中兩個(gè)比例內(nèi)項(xiàng)相等，即比例為（或a:b=b:c時(shí)，我們把b叫做a和d的比例中項(xiàng)。 8、比例線(xiàn)段：在四條線(xiàn)段中，如果其中兩條線(xiàn)段的比等于另外兩條線(xiàn)段的比，那么，這四條線(xiàn)段叫做成比例線(xiàn)段，簡(jiǎn)稱(chēng)比例線(xiàn)段。 9、比例的基本性質(zhì)：如果a：bc：d那么adbc逆命題也成立，即如果adbc，那么a：bc：d 10、比例的基本性質(zhì)推論：如果a：b=b：d那么b2=ad，逆定理是如果b2=ad那么a：b=b：c。說(shuō)明：兩個(gè)論是比積相等的式子叫做等積式。比例的基本性質(zhì)及推例式與等積式互化的理論依據(jù)。 11、合比性質(zhì)：如果，那么 12等比性質(zhì)：如果，（），那么 說(shuō)明：應(yīng)用等比性質(zhì)解題時(shí)常采用設(shè)已知條件為k ，這種方法思路單一，方法簡(jiǎn)單不易出錯(cuò)。 13、黃金分割把一條線(xiàn)段分成兩條線(xiàn)段，使較長(zhǎng)的線(xiàn)段是原線(xiàn)段與較小的線(xiàn)段的比例中項(xiàng)，叫做把這條線(xiàn)段黃金分割。 說(shuō)明：把一條線(xiàn)段黃金分割的點(diǎn)，叫做這條線(xiàn)段的黃金分割點(diǎn)，在線(xiàn)段ab上截取這條線(xiàn)段的倍得到點(diǎn)c，則點(diǎn)c就是ab的黃金分割點(diǎn)。 二、平行線(xiàn)分線(xiàn)段成比例 1、平行線(xiàn)等分線(xiàn)段定理：如果一組平行線(xiàn)在一條直線(xiàn)上截得的線(xiàn)段相等，那么在其它直線(xiàn)上截得的線(xiàn)段也相等。 格式：如果直線(xiàn)l1l2l3， ab bc， 那么：a1b1b1c1，如圖4l說(shuō)明：由此定理可知推論1和推論2 推論1：經(jīng)過(guò)梯形一腰的中點(diǎn)與底平行的直線(xiàn)必平分另一腰。 格式：如果梯形abcd，adbc，aeeb，efad，那么df=fc 推論2：經(jīng)過(guò)三角形一邊的中點(diǎn)與另一邊平行的直線(xiàn)必平分第三邊。 格式，如果abc中，d是ab的中點(diǎn)，debc，那么aeec，如圖432、平行線(xiàn)分線(xiàn)段成比例定理：三條平行線(xiàn)截兩條直線(xiàn)，所得的對(duì)應(yīng)線(xiàn)段成比例。說(shuō)明：平行線(xiàn)等分線(xiàn)段定理是平行線(xiàn)分線(xiàn)段成比問(wèn)定理的特殊情況。3平行線(xiàn)分線(xiàn)段成比例定理的推論：平行于三角形一邊的直線(xiàn)截其它兩邊，所得的對(duì)應(yīng)線(xiàn)段成比例。 說(shuō)明1：平行線(xiàn)分線(xiàn)段成比例定理可用形象的語(yǔ)言來(lái)表達(dá)。如圖44 說(shuō)明2：圖44的三種圖形中這些成比例線(xiàn)段的位置關(guān)系依然存在。 4、三角形一邊的平行線(xiàn)的判定定理。如果一條直線(xiàn)截三角形的兩邊（或兩邊的延長(zhǎng)線(xiàn)）所得的對(duì)應(yīng)線(xiàn)段成比例，那么這條直線(xiàn)平行于三角形的第三邊。 5、三角形一邊的平行線(xiàn)的判定定理：平行于三角形的一邊，并且和其它兩邊相交的直線(xiàn)，所截得的三角形的三邊與原三角形三邊對(duì)應(yīng)成比例。 6、線(xiàn)段的內(nèi)分點(diǎn)：在一條線(xiàn)段上的一個(gè)點(diǎn)，將線(xiàn)段分成兩條線(xiàn)段，這個(gè)點(diǎn)叫做這條線(xiàn)段的內(nèi)分點(diǎn)。 7、線(xiàn)段的外分點(diǎn)：在一條線(xiàn)段的延長(zhǎng)線(xiàn)上的點(diǎn)，有時(shí)也叫做這條線(xiàn)段的外分點(diǎn)。 說(shuō)明：外分點(diǎn)分線(xiàn)段所得的兩條線(xiàn)段，也就是這個(gè)點(diǎn)分別和線(xiàn)段的兩個(gè)端點(diǎn)確定的線(xiàn)段。三、相似三角形 1、相似三角形：兩個(gè)對(duì)應(yīng)角相等，對(duì)應(yīng)邊成比例的三角形叫做相似三角形。 說(shuō)明：證兩個(gè)三角形相似時(shí)和證兩個(gè)三角形全等一樣，通常把表示對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)的字母寫(xiě)在對(duì)應(yīng)的位置上，這樣便于找出相似三角形的對(duì)應(yīng)角和對(duì)應(yīng)邊。 2、相似比：相似三角形對(duì)應(yīng)邊的比k，叫做相似比（或叫做相似系數(shù)）。 3、相似三角形的基本定理：平分于三角形一邊的直線(xiàn)和其它兩邊（或兩邊的延長(zhǎng)線(xiàn)）相交，所構(gòu)成的三角形與原三角形相似。 說(shuō)明：這個(gè)定理反映了相似三角形的存在性，所以有的書(shū)把它叫做相似三角形的存在定理，它是證明三角形相似的判定定理的理論基礎(chǔ)。 4、三角形相似的判定定理： （1）判定定理1：如果一個(gè)三角形的兩個(gè)角與另一個(gè)三角形的兩個(gè)角對(duì)應(yīng)相等，那么就兩個(gè)三角形相似。可簡(jiǎn)單說(shuō)成：兩角對(duì)應(yīng)相等，兩三角形相似。 （2）判定定理2：如果一個(gè)三角形的兩條邊和另一個(gè)三角形的兩條邊對(duì)應(yīng)成比例，并且?jiàn)A角相等，那么這兩個(gè)三角形相似，可簡(jiǎn)單說(shuō)成：兩邊對(duì)應(yīng)成比例且?jiàn)A角相等，兩三角形相似。 （3）判定定理3：如果一個(gè)三角形的三條邊與另一個(gè)三角形的三條邊對(duì)應(yīng)成比例，那么這兩個(gè)三角形相似，可簡(jiǎn)單說(shuō)成：三邊對(duì)應(yīng)成比例，兩三角形相似。 （4）直角三角形相似的判定定理如果一個(gè)直角三角形的斜邊和一條直角邊與另一個(gè)直角三角形的斜邊和一條直角邊對(duì)應(yīng)成比例，那么這兩個(gè)直角三角形相似。 說(shuō)明：以上四個(gè)判定定理不難證明，以下判定三角形相似的命題是正確的，在解題時(shí)，也可以用它們來(lái)判定兩個(gè)三角形的相似。 第一：頂角（或底角）相等的兩個(gè)等腰三角形相似。 第二：腰和底對(duì)應(yīng)成比例的兩個(gè)等腰三角形相似。 第三：有一個(gè)銳角相等的兩個(gè)直角三角形相似。 第四：直角三角形被斜邊上的高分成的兩個(gè)直角三角形和原三角形相似。 第五：如果一個(gè)三角形的兩邊和其中一邊上的中線(xiàn)與另一個(gè)三角形的兩邊和其中一邊上的中線(xiàn)對(duì)應(yīng)成比例，那么這兩個(gè)三角形相似。 5、相似三角形的性質(zhì)： （1）相似三角形性質(zhì)1：相似三角形對(duì)應(yīng)高的比、對(duì)應(yīng)中線(xiàn)的比、對(duì)應(yīng)角平分線(xiàn)的比都等于相似比。 （2）相似三角形性質(zhì)2：相似三角形周長(zhǎng)的比等于相似比。 說(shuō)明：以上兩個(gè)性質(zhì)簡(jiǎn)單記為：相似三角形對(duì)應(yīng)線(xiàn)段的比等于相似比。 （3）相似三角形面積的比等于相似比的平方。 說(shuō)明：兩個(gè)三角形相似，根據(jù)定義可知它們具有對(duì)應(yīng)角相等、對(duì)應(yīng)邊成比例這個(gè)性質(zhì)。 6、介紹有特點(diǎn)的兩個(gè)三角形 （1）共邊三角形指有一條公共邊的兩個(gè)三角形叫做共邊三角形。 （2）共角三角形有一個(gè)角相等或互補(bǔ)的兩個(gè)三角形叫做共角三角形，如圖46 （3）公邊共角有一個(gè)公共角，而且還有一條公共邊的兩個(gè)三角形叫做公邊共角三角形。 說(shuō)明：具有公邊共角的兩個(gè)三角形相似，則公邊的平方等于疊在一條直線(xiàn)上的兩邊的乘積：如圖47若acdabc，則ac2adab例題： 例1、已知：的值.分析：已知等比條件時(shí)常有以下幾種求值方法：(1)設(shè)比值為k;(2)比例的基本性質(zhì)；(3)方程的思想，用其中一個(gè)字母表示其他字母.解：由，得a:b=2:3,b:c=5:4,即a:b:c=10:15:12.設(shè)a=10k,b=15k,c=12k, 則(a+b):(bc)=25:3.例2 已知：如圖5126(a)，在梯形abcd中，adbc，對(duì)角線(xiàn)交于o點(diǎn)，過(guò)o作efbc，分別交ab，dc于e，f.求證：(1)oe=of;(2);(3)若mn為梯形中位線(xiàn)，求證afmc.分析：(1)利用比例證明兩線(xiàn)段相等的方法.若,a=c(或b=d或a=b)，則b=d(或a=c或c=d)；若,則a=b(只適用于線(xiàn)段，對(duì)實(shí)數(shù)不成立)；若,a=a,b=b,c=c,則d=d.(2)利用平行線(xiàn)證明比例式及換中間比的方法.(3)證明時(shí)，可將其轉(zhuǎn)化為“”類(lèi)型后：化為直接求出各比值，或可用中間比求出各比值再相加，證明比值的和為1；直接通分或移項(xiàng)轉(zhuǎn)化為證明四條線(xiàn)段成比例.(4)可用分析法證明第(3)題，并延長(zhǎng)兩腰將梯形問(wèn)題轉(zhuǎn)化為三角形問(wèn)題.延長(zhǎng)ba，cd交于s，afmc afmc成立.(5)用運(yùn)動(dòng)的觀點(diǎn)將問(wèn)題進(jìn)行推廣.若直線(xiàn)ef平行移動(dòng)后不過(guò)點(diǎn)o，分別交ab，bd，ac，cd于e，o1，o2，f，如圖5126(b),o1f與o2f是否相等?為什么?(6)其它常用的推廣問(wèn)題的方法有：類(lèi)比、從特殊到一般等例3 已知：如圖5127，在abc中，ab=ac，d為bc中點(diǎn)，deac于e，f為de中點(diǎn)，be交ad于n，af交be于m.求證：afbe.分析：(1)分解基本圖形探求解題思路.(2)總結(jié)利用相似三角形的性質(zhì)證明兩角相等，進(jìn)一步證明兩直線(xiàn)位置關(guān)系(平行、垂直等)的方法，利用adedce得到結(jié)合中點(diǎn)定義得到,結(jié)合3=c,得到becafd，因此1=2.進(jìn)一步可得到afbe.(3)總結(jié)證明四條線(xiàn)段成比例的常用方法：比例的定義；平行線(xiàn)分線(xiàn)段成比例定理；三角形相似的預(yù)備定理；直接利用相似三角形的性質(zhì)；利用中間比等量代換；利用面積關(guān)系.例4 已知：如圖5128，rtabc中，acb=90，cdab于d，deac于e，dfbc于f.求證：(1)cd3=aaebfab；(2)bc2：ac2=ce:ea;(3)bc3:ac3=bf:ae.分析：掌握基本圖形“rtabc，c=90，cd