2014-2015年選修2-1-3課時提升作業(yè)(二十二) 3.1.3.doc

溫馨提示： 此套題為Word版，請按住Ctrl,滑動鼠標滾軸，調(diào)節(jié)合適的觀看比例，答案解析附后。關閉Word文檔返回原板塊。課時提升作業(yè)(二十二)空間向量的數(shù)量積運算(30分鐘50分)一、選擇題(每小題3分,共18分)1.已知|a|=1,|b|=2,且a-b與a垂直,則a與b的夾角為()A.60B.30C.135D.45【解析】選D.因為a-b與a垂直,所以(a-b)a=0,所以aa-ab= |a|2-|a|b|cos=1-12cos=0,所以cos=22.因為0180,所以=45.2.(2014廣州高二檢測)若a,b均為非零向量,則ab=|a|b|是a與b共線的()A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充分必要條件D.既不充分又不必要條件【解析】選A.ab=|a|b|cos=1=0,即a與b共線,反之不成立,因為當a與b共線反向時,ab=-|a|b|.3.已知a,b均為單位向量,它們的夾角為60,那么|a+3b|等于()A.7B.10C.13D.4【解析】選C.|a+3b|2=(a+3b)2=a2+6ab+9b2=1+6cos60+9=13.所以|a+3b|=13.4.(2014青島高二檢測)已知a=(2,-1,2),b=(2,2,1),則以a,b為鄰邊的平行四邊形的面積為()A.8B.652C.4D.65【解析】選D.cos=49,所以sin=659,所以平行四邊形的面積S=|a|b|sin=65.5.已知PA平面ABC,垂足為A,ABC=120,PA=AB=BC=6,則PC等于()A.62B.6C.12D.144【解析】選C.因為PC=PA+AB+BC,所以PC2=PA2+AB2+BC2+2ABBC= 36+36+36+236cos60=144.所以|PC|=12.6.(2014福州高二檢測)若向量m垂直于向量a和b,向量n=a+b(,R,且0),則()來源:學,科,網(wǎng)A.mnB.mnC.m,n既不平行也不垂直D.以上三種情況都可能【解析】選B.因為mn=m(a+b)=ma+mb=0,所以mn.【一題多解】選B.由向量n=a+b(,R,且0)知向量n與向量a,b共面,故向量mn.二、填空題(每小題4分,共12分)7.已知i,j,k是兩兩垂直的單位向量,a=2i-j+k,b=i+j-3k,則ab等于.【解析】ab=(2i-j+k)(i+j-3k)=2i2-j2-3k2=-2.答案:-28.已知空間向量a,b,c滿足a+b+c=0,|a|=3,|b|=1,|c|=4,則ab+bc+ca的值為.【解題指南】本題的關鍵是利用條件a+b+c=0,兩邊平方,再結(jié)合模求解.【解析】因為a+b+c=0,所以(a+b+c)2=0,所以a2+b2+c2+2(ab+bc+ca)=0,所以ab+bc+ca=-32+12+422=-13.答案:-139.(2014聊城高二檢測)設|m|=1,|n|=2,2m+n與m-3n垂直,a=4m-n,b=7m+2n,則=.【解析】因為(2m+n)(m-3n),所以(2m+n)(m-3n)=0,化簡得mn=-2.又因為|a|=16+4+16=6, |b|= =49+16-56=3,ab=(4m-n)(7m+2n)=28|m|2-2|n|2+mn=18,所以cos=1863=1,得=0.答案:0【變式訓練】已知a+3b與7a-5b垂直,且a-4b與7a-2b垂直,求.【解析】(a+3b)(7a-5b)=7|a|2-15|b|2+16ab=0,(a-4b)(7a-2b)=7|a|2+8|b|2-30ab=0,解之得|b|2=2ab=|a|2,所以cos=12,所以=60.三、解答題(每小題10分,共20分)10.如圖所示,已知ADB和ADC都是以D為直角頂點的直角三角形,且AD=BD=CD,BAC=60.求BDAC的值.【解析】不妨設AD=BD=CD=1,則AB=AC=2.BDAC=(AD-AB)AC=ADAC-ABAC,由于ADAC=AD(AD+DC)=ADAD=1,ABAC=|AB|AC|cos60=2212=1.所以BDAC=0.11.(2014牡丹江高二檢測)如圖所示,已知平行六面體ABCD-A1B1C1D1的底面ABCD是菱形,且C1CB=C1CD=BCD=60.求證:CC1BD.【解題指南】利用已知條件表示所證明的兩條直線所在的向量的數(shù)量積為0,即可證明兩條直線垂直.【證明】設CB=a,CD=b,CC1=c,則|a|=|b|.因為BD=CD-CB=b-a,所以BDCC1=(b-a)c=bc-ac=|b|c|cos60-|a|c|cos60=0,所以CC1BD,即CC1BD.(30分鐘50分)一、選擇題(每小題4分,共16分)1.已知a,b是異面直線,ab,e1,e2分別為取自直線a,b上的單位向量,且a=2e1+3e2,b=ke1-4e2,ab,則實數(shù)k的值為()A.-6B.6C.3D.-3X K B 1.C O M【解析】選B.由ab,得ab=0,所以(2e1+3e2)(ke1-4e2)=0.因為e1e2=0,所以2k-12=0,所以k=6.2.(2014鄭州高二檢測)設平面上有四個互異的點A,B,C,D,已知(DB+DC-2DA)(AB-AC)=0,則ABC是()A.直角三角形B.等腰三角形C.等腰直角三角形D.等邊三角形【解析】選B.因為DB+DC-2DA=(DB-DA)+(DC-DA)=AB+AC,所以(AB+AC)(AB-AC)=|AB|2-|AC|2=0,所以|AB|=|AC|.3.(2014銀川高二檢測)已知在平行六面體ABCD-A1B1C1D1中,同一頂點為端點的三條棱長都等于1,且彼此的夾角都是60,則此平行六面體的對角線AC1的長為()A.3B.2C.5D.6【解析】選D.因為AC1=AB+AD+AA1,所以|AC1|2=(AB+AD+AA1)2=AB2+AD2+AA12+2ABAD+2ABAA1+ 2ADAA1=1+1+1+2(cos60+cos60+cos60)=6,所以|AC1|=6.【拓展延伸】求兩點間的距離或某條線段的長度先將此線段用向量表示,然后用其他已知夾角和模的向量表示此向量,最后利用|a|2=aa,通過向量運算去求|a|,即得所求距離.4.(2014天津高二檢測)如圖,正四面體ABCD中,E是BC的中點,那么()A.AEBCAECDD.AEBC與AECD不能比較大小X k B 1 . c o m【解析】選C.因為AEBC=12(AB+AC)(AC-AB)=12(|AC|2-|AB|2)=0,AECD=(AB+BE)CD=AB(BD-BC)+12BCCD=|AB|BD|cos120-|AB|BC|cos120+12|BC|CD|cos120AECD.二、填空題(每小題5分,共10分)5.如圖,四面體ABCD的每條棱長都等于2,點E,F分別為棱AB,AD的中點,則|AB+BC|=,|BC-EF|=,EF與AC所成角為.【解題指南】可先化簡AB+BC知其等于AC,再用BD表示EF進而把向量BC-EF用向量BC,12BD表示.【解析】|AB+BC|=|AC|=2;EF=12BD,BDBC=22cos60=2,故|BC-EF|2=|BC-12BD|2=BC2-BCBD+14BD2=4-2+144=3,故|BC-EF|=3.又因為EF=12BD=12(AD-AB),故ACEF=12AC(AD-AB)=12(ACAD-ACAB)=0,因為0180,所以=90.答案:23906.在正方體ABCD-A1B1C1D1中,有下列命題:(AA1+AD+AB)2=3AB2;A1C(A1B1-A1A)=0;AD1與A1B的夾角為60;正方體的體積為|ABAA1AD|.其中正確命題的序號是.【解析】如圖所示,(AA1+AD+AB)2=(AA1+A1D1+D1C1)2=AC12=3AB2; A1C(A1B1-A1A)=A1CAB1=0;AD1與A1B的夾角是D1C與D1A夾角的補角,而D1C與D1A的夾角為60,故AD1與A1B的夾角為120;正方體的體積為|AB|AA1|AD|.綜上可知,正確.答案:三、解答題(每小題12分,共24分)7.已知正四面體OABC的棱長為1,點E,F分別是OA,OC的中點.求下列向量的數(shù)量積:(1)EFBC.(2)(OA+OB)(CA+CB).(3)|OA+OB+OC|.【解題指南】根據(jù)數(shù)量積的定義進行計算,求出每組向量中每個向量的模以及它們的夾角,注意充分結(jié)合正四面體的特征.w w w .x k b 1.c o m【解析】(1)因為E,F分別是OA,OC的中點,所以EFAC,且EF=12AC,于是EFBC=|EF|BC|cos=12|AC|BC|cos=1211cos=1211cos60=14.(2)(OA+OB)(CA+CB)=(OA+OB)(OA-OC+OB-OC)=(OA+OB)(OA+OB-2OC)w w w .x k b 1.c o m=OA2+OAOB-2OAOC+OBOA+OB2-2OBOC=1+12-212+12+1-212=1.(3)|OA+OB+OC|=(OA+OB+OC)2=12+12+12+211cos603=6.【拓展延伸】利用圖形找關系在幾何體中進行向量的數(shù)量積運算,要充分利用幾何體的性質(zhì),把待求向量用已知夾角和模的向量表示后再進行運算. X k B 1 . c o m8.(2014濟南高二檢測)如圖,正三棱柱ABC-A1B1C1中,底面邊長為2.w w w .x k b 1.c o m(1)設側(cè)棱長為1,計算.(2)設AB1與BC1的夾角為3,求|BB1|.【解析】(1)AB1=AB+BB1,BC1=BB1+BC.因為BB1平面ABC,所以BB1AB=0,BB1BC=0.又ABC為正三角形,所以=-=-3=23.因為AB1BC1=(AB+BB1)(BB1+BC)=ABBB1+ABBC+BB12+BB1BC=|AB|BC|cos+BB12新 課 標 第 一 網(wǎng)=-1+1=0,所以=90.(2)結(jié)合(1)知AB1BC1=|AB|BC|cos+BB12=BB12-1.又|AB1|=AB2+BB12=2+BB12=|BC1|,所以cos=BB12-12+BB12=12,所以|BB1|=2.【變式訓練】如圖所示,已知三棱錐A-BCD中,AB=CD,AC=BD,E,F分別是AD,BC的中點,試用向量方法證明EF是AD與BC的公垂線.【解析】因為點F是BC的中點,所以AF=12(AB+AC).X Kb 1.Co m所以EF=AF-AE=12(AB+AC)-12AD=1