江西省撫州市2023-2024學(xué)年高二下學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)

撫州市2023—2024學(xué)年度下學(xué)期學(xué)生學(xué)業(yè)質(zhì)量監(jiān)測高二數(shù)學(xué)試題卷命題：撫州市教育發(fā)展研究中心說明：1.本卷共有4大題，19個小題，全卷滿分150分，考試時間120分鐘.2.本卷分為試題卷和答題卡，答案要求寫在答題卡上，不得在試題卷上作答，否則不給分.一?單項選擇題：共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的選項中，僅有一項符合題目要求.1.已知函數(shù)，則等于（）A. B. C. D.2.在數(shù)列中，若，則（）A.2 B.4 C.1 D.3.2024年是安徽省實施“”選科方案后的第一年新高考，該方案中的“2”指的是從政治、地理、化學(xué)、生物4門學(xué)科中任選2門，假設(shè)每門學(xué)科被選中的可能性相等，那么化學(xué)和地理至少有一門被選中的概率是（）A. B. C. D.4.設(shè)，，隨機(jī)變量X的分布列是（）a則方差（）A.既與有關(guān)，也與有關(guān) B.與有關(guān)，但與無關(guān)C.與有關(guān)，但與無關(guān) D.既與無關(guān)，也與無關(guān)5.已知等差數(shù)列與的前項和分別為，且，則的值為（）A. B. C. D.6.已知函數(shù)在區(qū)間上存在單調(diào)遞增區(qū)間，則實數(shù)的取值范圍是（）A. B.C. D.7.意大利著名數(shù)學(xué)家斐波那契在研究兔子繁殖問題時，發(fā)現(xiàn)有這樣一列數(shù)：.其中從第三項起，每個數(shù)等于它前面兩個數(shù)的和.后來人們把這樣的一列數(shù)組成的數(shù)列稱為“斐波那契數(shù)列”.記為“斐波那契數(shù)列”的前項和，若，，則（）A B. C. D.8.已知函數(shù)，若，則的取值范圍是（）A B. C. D.二?多項選擇題：共3小題，每小題6分，共18分.每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對得6分，部分選對得部分分，不選或有選錯的得0分.9.函數(shù)，的導(dǎo)函數(shù)圖象如圖所示，下列結(jié)論中一定正確的是（）A.的減區(qū)間是B.的增區(qū)間是C.有一個極大值點，兩個極小值點D.有三個零點10.下列說法正確的是（）A.互斥事件一定是對立事件，對立事件不一定是互斥事件B.若，則C.已知，若，則事件M，N相互獨立D.根據(jù)分類變量X與Y的成對樣本數(shù)據(jù)，計算得到，依據(jù)的獨立性檢驗，可判斷X與Y有關(guān)且犯錯誤的概率不超過0.0511.已知函數(shù)，則下列結(jié)論正確的是（）A.函數(shù)存在三個不同的零點B.函數(shù)既存極大值又存在極小值C.若時，，則的最小值為D.若方程有兩個實根，則三?填空題：共3小題，每題5分，共15分.12.若直線與曲線相切，則__________.13.小王喜愛逛街和吃火鍋．在周末，她下午去逛街概率為．若她下午去逛街，則晚上一定去吃火鍋；若下午不去逛街，則晚上去吃火鍋的概率為．已知小王在某個周末晚間去吃火鍋，則下午逛街的概率為______．14.已知分別是函數(shù)和圖象上的動點，若對任意的，都有恒成立，則實數(shù)的最大值為______．四?解答題：本大題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明，演算步驟或證明過程.解答寫在答題卡上的指定區(qū)域內(nèi).15.已知公差不為0的等差數(shù)列首項，且成等比數(shù)列.（1）求數(shù)列的通項公式；（2）設(shè)，求數(shù)列的前項和.16.已知函數(shù)（1）求的單調(diào)增區(qū)間；（2）方程在有解，求實數(shù)的范圍.17.已知數(shù)列的首項，且.（1）求數(shù)列通項公式：（2）若數(shù)列的前項和為，證明：.18.某小區(qū)在2024年的元旦舉辦了聯(lián)歡會，現(xiàn)場來了1000位居民．聯(lián)歡會臨近結(jié)束時，物業(yè)公司從現(xiàn)場隨機(jī)抽取了20位幸運(yùn)居民進(jìn)入摸獎環(huán)節(jié)，這20位幸運(yùn)居民的年齡用隨機(jī)變量X表示，且．（1）請你估計現(xiàn)場年齡不低于60歲的人數(shù)（四舍五入取整數(shù)）；（2）獎品分為一等獎和二等獎，已知每個人摸到一等獎的概率為40%，摸到二等獎的概率為60%，每個人摸獎相互獨立，設(shè)恰好有個人摸到一等獎的概率為，求當(dāng)取得最大值時的值．附：若，則．19.已知函數(shù)（為常數(shù)，為自然對數(shù)的底數(shù)），曲線在與軸的交點處的切線斜率為1.（1）求的值及函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）證明：當(dāng)時，；（3）證明：當(dāng)時，.撫州市2023—2024學(xué)年度下學(xué)期學(xué)生學(xué)業(yè)質(zhì)量監(jiān)測高二數(shù)學(xué)試題卷命題：撫州市教育發(fā)展研究中心說明：1.本卷共有4大題，19個小題，全卷滿分150分，考試時間120分鐘.2.本卷分為試題卷和答題卡，答案要求寫在答題卡上，不得在試題卷上作答，否則不給分.一?單項選擇題：共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的選項中，僅有一項符合題目要求.1.已知函數(shù)，則等于（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】利用極限的計算方法即可得解.【詳解】因為函數(shù),所以,所以.故選：A.【點睛】2.在數(shù)列中，若，則（）A.2 B.4 C.1 D.【答案】B【解析】【分析】由已知遞推式可求出，可得此數(shù)列是以3為周期的周期數(shù)列，從而可求出答案.【詳解】因為數(shù)列中，，所以，，，，所以數(shù)列是以3為周期的周期數(shù)列，所以.故選：B3.2024年是安徽省實施“”選科方案后的第一年新高考，該方案中的“2”指的是從政治、地理、化學(xué)、生物4門學(xué)科中任選2門，假設(shè)每門學(xué)科被選中的可能性相等，那么化學(xué)和地理至少有一門被選中的概率是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】分別計算出任選兩門的種類數(shù)，再得出化學(xué)和地理都沒有被選中的情況，即可得出結(jié)果.【詳解】依題意從從政治、地理、化學(xué)、生物4門學(xué)科中任選2門共有種情況，其中化學(xué)和地理都沒有被選中共有種，因此化學(xué)和地理至少有一門被選中的概率是.故選：D4.設(shè)，，隨機(jī)變量X的分布列是（）a則方差（）A.既與有關(guān)，也與有關(guān) B.與有關(guān)，但與無關(guān)C.與有關(guān)，但與無關(guān) D.既與無關(guān)，也與無關(guān)【答案】B【解析】【分析】根據(jù)方差公式求出方差，再判斷即可.【詳解】由分布列可得，故.故選：B【點睛】關(guān)鍵點點睛：解決本題的關(guān)鍵是熟練掌握期望和方差的公式.5.已知等差數(shù)列與的前項和分別為，且，則的值為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】利用等差數(shù)列的性質(zhì)與求和公式，結(jié)合已知條件求解即可.【詳解】因為等差數(shù)列與的前項和分別為，且，所以設(shè)，所以.故選：D6.已知函數(shù)在區(qū)間上存在單調(diào)遞增區(qū)間，則實數(shù)取值范圍是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】分析可知，存在，使得，由參變量分離法可得，求出函數(shù)在上的最小值，即可得出實數(shù)的取值范圍.【詳解】因為，則，因為函數(shù)在區(qū)間上存在單調(diào)遞增區(qū)間，則存在，使得，即，可得，設(shè)，因為函數(shù)、在上均為增函數(shù)，則函數(shù)在上為增函數(shù)，當(dāng)時，，故.故選：B.7.意大利著名數(shù)學(xué)家斐波那契在研究兔子繁殖問題時，發(fā)現(xiàn)有這樣一列數(shù)：.其中從第三項起，每個數(shù)等于它前面兩個數(shù)的和.后來人們把這樣的一列數(shù)組成的數(shù)列稱為“斐波那契數(shù)列”.記為“斐波那契數(shù)列”的前項和，若，，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由題意得當(dāng)時，，變形的可證得，，再結(jié)合已知條件可求得結(jié)果.【詳解】由題意得當(dāng)時，，則，所以，，……，，，所以，所以，所以，因為當(dāng)時，，則，所以，所以，所以，所以，所以.故選：A【點睛】關(guān)鍵點點睛：此題考查遞推數(shù)列的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是對“斐波那契數(shù)列”的正確理解，得到當(dāng)時，，考查計算能力，屬于中檔題.8.已知函數(shù)，若，則的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】先把轉(zhuǎn)化為，設(shè)函數(shù)，分析函數(shù)的單調(diào)性，問題轉(zhuǎn)化為，再設(shè)，轉(zhuǎn)化為求恒成立，利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最小值，利用最小值大于或等于0，可求的取值范圍.【詳解】由，兩邊同時加，得：.設(shè)，則，所以在上單調(diào)遞增.所以.設(shè)，，則，由；由.所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以.由.故選：C【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題考查利用函數(shù)不等式恒成立求參數(shù)的取值范圍，解題的關(guān)鍵在于通過指對同構(gòu)思想將問題為函數(shù)單調(diào)性問題，結(jié)合參變量分離法轉(zhuǎn)化為函數(shù)最值問題來求解.二?多項選擇題：共3小題，每小題6分，共18分.每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對得6分，部分選對得部分分，不選或有選錯的得0分.9.函數(shù)，的導(dǎo)函數(shù)圖象如圖所示，下列結(jié)論中一定正確的是（）A.的減區(qū)間是B.的增區(qū)間是C.有一個極大值點，兩個極小值點D.有三個零點【答案】BC【解析】【分析】由已知結(jié)合導(dǎo)數(shù)與單調(diào)性及極值關(guān)系，函數(shù)性質(zhì)檢驗各選項即可判斷.【詳解】結(jié)合導(dǎo)函數(shù)圖象可知，當(dāng)時，，單調(diào)遞減，當(dāng)時，，單調(diào)遞增，當(dāng)時，，單調(diào)遞減，當(dāng)時，，單調(diào)遞增，所以，函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為，，單調(diào)遞增區(qū)間為，，錯誤，正確，所以函數(shù)在，時取得極小值，在時，函數(shù)取得極大值，C正確；因為無法確定，，的正負(fù)，從而無法確定函數(shù)的零點個數(shù)，D錯誤.故選：BC10.下列說法正確的是（）A.互斥事件一定是對立事件，對立事件不一定是互斥事件B.若，則C.已知，若，則事件M，N相互獨立D.根據(jù)分類變量X與Y的成對樣本數(shù)據(jù)，計算得到，依據(jù)的獨立性檢驗，可判斷X與Y有關(guān)且犯錯誤的概率不超過0.05【答案】BC【解析】【分析】根據(jù)互斥事件與對立事件的概念判斷A，根據(jù)正態(tài)分布的對稱性求解概率判斷B，根據(jù)條件概率及獨立事件的概念判斷C，根據(jù)獨立性檢驗的試驗結(jié)果判斷D.【詳解】對于A，對立事件一定是互斥事件，互斥事件不一定是對立事件，故A錯誤；對于B，因為，所以正態(tài)曲線的對稱軸為，則，故B正確；對于C，因為，所以，即，則，則事件M，N相互獨立，故C正確；對于D，因為，所以不能根據(jù)作出D中的判斷，故D錯誤；故選：BC11.已知函數(shù)，則下列結(jié)論正確的是（）A.函數(shù)存在三個不同的零點B.函數(shù)既存在極大值又存在極小值C.若時，，則的最小值為D.若方程有兩個實根，則【答案】BD【解析】【分析】求導(dǎo)后，結(jié)合正負(fù)可得單調(diào)性；利用零點存在定理可說明零點個數(shù)，知A錯誤；根據(jù)極值定義可知B正確；采用數(shù)形結(jié)合的方式可求得CD正誤.【詳解】定義域為，，當(dāng)時，；當(dāng)時，；在，上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；對于A，，，，在區(qū)間和內(nèi)各存在一個零點；當(dāng)時，，，恒成立；有且僅有兩個不同的零點，A錯誤；對于B，由單調(diào)性可知：的極小值為，極大值為，B正確；對于C，，作出圖象如下圖所示，可知方程存在另一個解，若當(dāng)時，，則，C錯誤；對于D，方程有兩個實根等價于與有兩個不同交點，作出圖象如下圖所示，結(jié)合圖象可知：，D正確.故選：BD.三?填空題：共3小題，每題5分，共15分.12若直線與曲線相切，則__________.【答案】2【解析】【分析】由函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為3，求切點，根據(jù)切點在直線上，可求的值.【詳解】因為，所以.由，因為，所以切點坐標(biāo)為，因為點在直線上，所以.故答案為：213.小王喜愛逛街和吃火鍋．在周末，她下午去逛街的概率為．若她下午去逛街，則晚上一定去吃火鍋；若下午不去逛街，則晚上去吃火鍋的概率為．已知小王在某個周末晚間去吃火鍋，則下午逛街的概率為______．【答案】##【解析】【分析】借助條件概率公式計算即可得.【詳解】設(shè)其周末晚間去吃火鍋的概率為，下午去逛街的概率為，則，，則.故答案：.14.已知分別是函數(shù)和圖象上的動點，若對任意的，都有恒成立，則實數(shù)的最大值為______．【答案】【解析】【分析】先求出到直線的距離，則，再利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的最小值，即可得解.【詳解】點到直線的距離，則，又，由知，和在上單調(diào)遞增，所以在上單調(diào)遞增，其值域為，又，令，令，當(dāng)時，，當(dāng)時，，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以，所以，因為對任意的，都有恒成立，所以，所以實數(shù)的最大值為.故答案為：.【點睛】方法點睛：對于利用導(dǎo)數(shù)研究不等式的恒成立與有解問題的求解策略：（1）通常要構(gòu)造新函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，求出最值，從而求出參數(shù)的取值范圍；（2）利用可分離變量，構(gòu)造新函數(shù)，直接把問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題．（3）根據(jù)恒成立或有解求解參數(shù)的取值時，一般涉及分離參數(shù)法，但壓軸試題中很少碰到分離參數(shù)后構(gòu)造的新函數(shù)能直接求出最值點的情況，進(jìn)行求解，若參變分離不易求解問題，就要考慮利用分類討論法和放縮法，注意恒成立與存在性問題的區(qū)別．四?解答題：本大題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明，演算步驟或證明過程.解答寫在答題卡上的指定區(qū)域內(nèi).15.已知公差不為0等差數(shù)列首項，且成等比數(shù)列.（1）求數(shù)列的通項公式；（2）設(shè)，求數(shù)列的前項和.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)條件，列出關(guān)于的方程，即可求解；（2）由（1）可知，，利用錯位相減法求和.【小問1詳解】設(shè)等差數(shù)列的公差為，由題意，得解得或（舍）∴；【小問2詳解】，，此時；，，，，所以.16.已知函數(shù)（1）求的單調(diào)增區(qū)間；（2）方程在有解，求實數(shù)的范圍.【答案】（1），（2）【解析】【分析】（1）求出，令解不等式可得答案；（2）利用導(dǎo)數(shù)求出在的值域可得答案.【小問1詳解】，由解得，或，所以的單調(diào)增區(qū)間為，；【小問2詳解】，當(dāng)時，，單調(diào)遞增，當(dāng)時，，單調(diào)遞減，所以，，，所以，若方程在有解，則.17.已知數(shù)列的首項，且.（1）求數(shù)列的通項公式：（2）若數(shù)列的前項和為，證明：.【答案】（1）（2）證明見詳解.【解析】【分析】（1）將等式變形為，并通過累乘法求解數(shù)列通項公式；（2）由（1）可知，將放縮，再根據(jù)裂項相消法即可證明.【小問1詳解】因為，所以，即，將上述個式子相乘得，所以，當(dāng)時，成立，故.【小問2詳解】由（1）得，所以，所以，即.18.某小區(qū)在2024年的元旦舉辦了聯(lián)歡會，現(xiàn)場來了1000位居民．聯(lián)歡會臨近結(jié)束時，物業(yè)公司從現(xiàn)場隨機(jī)抽取了20位幸運(yùn)居民進(jìn)入摸獎環(huán)節(jié)，這20位幸運(yùn)居民的年齡用隨機(jī)變量X表示，且．（1）請你估計現(xiàn)場年齡不低于60歲的人數(shù)（四舍五入取整數(shù)）；（2）獎品分為一等獎和二等獎，已知每個人摸到一等獎的概率為40%，摸到二等獎的概率為60%，每個人摸獎相互獨立，設(shè)恰好有個人摸到一等獎的概率為，求當(dāng)取得最大值時的值．附：若，則．【答案】（1）159（2）取得最大值時n的值為8【解析】【分析】（1）利用正態(tài)分布的對稱性可求，故可估算年齡不低于60歲的人數(shù).（2）利用不等式組可求取得最大值時的值.【小問1詳解】因為，所以，則，所以現(xiàn)場年齡不低于6