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2009-2010學年第二學期偏微分方程期末試題（B）一 填空題 （每小題6分，共30分）1現(xiàn)有一長度為的均勻細弦，弦的端作簡諧運動，端自由，弦的初始位移和初始速度是零，那么弦的位移函數(shù)所滿足的定解問題是（ ）。2設有半徑為b的薄圓盤，其側面絕熱，若圓盤邊界上的溫度恒保持為零度，初始溫度分布為，試在極坐標系中寫出圓盤內瞬時溫度分布滿足的定解問題。3 以桿的端點為例，寫出第一、第二、第三類齊次邊界條件的表達式：（ ）。答： （每式2分）4 方程在Fourier變換下的像空間中變成（ ），它是（ ）方程。5 問題 在Laplace變換下的像空間中變成（ ），其中A和B為常數(shù)。二 證明題 （每題10分，共20分）1 已知，證明證明：2證明在變換之下，方程 變成。證明 因為將以上結果代入到原方程即得。三、求解下列定解問題： （20分） 解 令, （2分） 代入方程可得， （1） （2分） （2） （2分）由邊界條件得， （3）解由（1）、（3）構成的本征值問題得本征值為， （2分）本征函數(shù)為， （2分）再將本征值代入（2），并求解，得， （2分）因此，由初始條件得 （2分）再由，得于是 （4分）因此（2分）四、求解定解問題 （5分） 解 此處 由dAlembert公式有 寫出達朗貝爾公式給2分。四、求解定解問題 （25分） 已知， 解 令，代入到方程，得 （3分）兩邊除以，得 （2分）由此得 （1） （2分） （2） （2分）（1）的解是 （2分）而（2）是零階Bessel方程，其通解是 （2分）由，取D=0 （1分）由（推得），得 ，所以得，其中表示的第n個零點。于是得本征值和本征函數(shù)分別是 ， （2分） （2分）從而問題的一般
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