數(shù)學(xué)大師啟示錄 帕斯卡和費馬.doc

這是驚人的，起源于賭博的概率理論，竟會成為人類知識的最重要的對象。 拉普拉斯 我找到了許許多多極其優(yōu)美的定理。 費馬出類拔萃 在法國中南部僻靜的克萊蒙費朗城，有一座雅致的白色樓房，四周大樹環(huán)抱，前面綠草如茵。1623年6月19日，一個嬰兒呱呱地哭叫著在這里誕生。他就是法國杰出的數(shù)學(xué)家、物理學(xué)家、哲學(xué)家和文學(xué)家布萊斯帕斯卡。 布萊斯的父親埃利納帕斯卡是地方救護會會長，學(xué)識淵博，樂善好施，在當(dāng)?shù)睾苡忻?。母親安東尼達白戈妮是位心地善良、容貌美麗的婦女?？上Ъt顏薄命，在一次突發(fā)的急病中，她撇下年僅4歲的布萊斯和他的姐妹吉爾帕蒂和杰克琳，猝然去世。 1630年，帕斯卡一家由克萊蒙費朗遷到巴黎。這時候布萊斯剛7歲。孩子早熟，普通學(xué)校里的課程他學(xué)起來毫不費力?？墒牵w弱多病。父親為了避免孩子用腦過度，親自指導(dǎo)他學(xué)習(xí)，只教他古典語言，不讓他接觸數(shù)學(xué)。誰知“弄巧成拙”，埃利納對數(shù)學(xué)諱莫如深的態(tài)度，反而激起孩子強烈的好奇心。他常常詢問父親有關(guān)數(shù)學(xué)的問題，埃利納總是避而不答。布萊斯12歲了。有一回他又纏著父親，提出他的老問題：“爸爸，幾何是什么?您給講講吧!”經(jīng)不住孩子不斷的請求，埃利納終于給他做了一個簡明而生動的介紹。這不啻在干柴上點了一把火。長期被壓抑的熱情一下子迸發(fā)出來。幾何學(xué)的大門雖然剛露出一道細縫，里面透出來的誘人光芒已經(jīng)使布萊斯頭暈?zāi)垦＃缱砣绨V。他按捺不住心頭的激動，決心用自己的智慧和毅力去敲開這扇莊嚴(yán)的大門。 布萊斯帕斯卡鉆研幾何的事跡，在數(shù)學(xué)史上傳為美談。一開始，沒有任何書本暗示，他證明出一個重要的幾何定理：三角形三內(nèi)角之和等于兩直角。這一了不起的成就使他大受鼓舞。父親更是高興得熱淚盈眶。這件事似乎還不夠神奇。據(jù)姐姐吉爾帕蒂說，布萊斯在看到歐幾里得幾何原本以前，就獨立發(fā)現(xiàn)了這本書的前32個定理，甚至連順序也完全相同?！叭切稳齼?nèi)角之和等于兩直角”，恰好是幾何原本的第32個定理。一般認(rèn)為，布萊斯無疑是獨立地發(fā)現(xiàn)和證明了幾何原本的一部分定理，但是吉爾帕蒂的說法可能言過其實，因為這幾乎是不可思議的事。 兩年以后，14歲的布萊斯就跟隨父親到明尼茲修道院，參加梅森神甫主持的每周討論會。會員都是著名的學(xué)者：費馬、德札爾格、羅貝瓦爾、笛卡兒從荷蘭和他們保持經(jīng)常的通信。這個小團體后來發(fā)展為自由學(xué)院，到1699年演變?yōu)榉▏茖W(xué)院。神秘六邊形 正當(dāng)小帕斯卡在幾何上披荊斬棘，迅速向新高峰攀登的時候，老帕斯卡在事業(yè)上意外地遇到麻煩。由于極端的誠實和正直，在一項征稅問題上，他同紅衣主教黎塞留發(fā)生了爭執(zhí)。讀者一定記得，慷慨許諾過笛卡兒可以自由發(fā)表自己著作的就是這位主教。不過，這一次他似乎沒有那么寬容。埃利納只得帶著全家到鄉(xiāng)下躲起來。事情后來是怎樣了結(jié)的，說法不一。據(jù)說是美麗的杰克琳拯救了她父親和家庭。有一次主教去看演出，一位年輕女演員的精彩表演使他大為傾倒。喚到面前來一問，原來她是埃利納的小女兒。主教二話未說，痛快地把舊賬一筆勾銷，還把埃利納安排到法國北部城市魯昂的稅務(wù)局工作。 課稅員的工作相當(dāng)辛苦。埃利納常常抱著賬本一直計算到深夜。小帕斯卡在旁邊默默地觀察著父親的工作，他又一次表現(xiàn)出超乎尋常的才能。他發(fā)現(xiàn)一切加減運算都可以用機械來完成。經(jīng)過一段時間的摸索和改進，他終于創(chuàng)造出世界上第一臺可以實際使用的計算機。這是一臺手搖操作的齒輪系統(tǒng)。每個齒輪有10個齒。順時針方向旋轉(zhuǎn)是加，逆時針方向旋轉(zhuǎn)是減。齒輪每轉(zhuǎn)過10個齒，帶動旁邊的高階位的齒輪轉(zhuǎn)一個齒，數(shù)字就進了一位。這樣，一個年剛18歲的孩子成了數(shù)字計算機的發(fā)明者。 在這以前，小帕斯卡廢寢忘食的研究還取得一項重要進展。他發(fā)現(xiàn)了幾何學(xué)中一個非常優(yōu)美的定理帕斯卡定理。好在它的一個特殊情形只用直尺就可以說明，我們在這里把這個定理介紹一下。 設(shè)有l(wèi)和l兩條不平行的直線。在它們上面各任意取三點A、B、C和A、B、C。分別把A和B、A和B、B和C、B和C、C和A、C和A連接起來，就得到三對直線；AB和AB，BC和BC，CA和CA。如果每對直線都有一個交點，設(shè)它們分別為D、E、F。帕斯卡證明了：D、E、F三點必定在同一條直線上。進而他把這三對直線換成圓內(nèi)接六邊形的三對對邊，帕斯卡又證明：如果這些對邊的延長線分別相交，那么，它們的交點也在同一條直線上。他把這種六邊形稱為“神秘六邊形”。 帕斯卡并不就此滿足。他利用德札爾格所發(fā)明的投射法把這個定理進一步推廣。設(shè)想一只燈泡被一張開了一個小孔的紙遮住，于是通過小孔射出一束圓錐狀的光線。如果取一張紙伸到這束光線中去，那么根據(jù)紙片角度的變化，在紙上可以看到光束的邊界呈現(xiàn)不同的圖形：圓、橢圓、拋物線和雙曲線。這些都是圓錐曲線。帕斯卡發(fā)現(xiàn)，上述定理中圓內(nèi)接六邊形的這種性質(zhì)，如果把圓換成其他的圓錐曲線，例如橢圓，同樣是正確的。這在直觀上并不難接受。從下圖可以看出，如果在光束和紙片之間插進一塊玻璃，在玻璃上畫一個“神秘六邊形”，當(dāng)光束穿過玻璃投射到紙面上的時候，出現(xiàn)的就是“神秘六邊形”的影子。這影子也是一個“神秘六邊形”，因為它的三對對邊的交點也在一條直線上。 帕斯卡發(fā)現(xiàn)這個有趣的定理那年才16歲。根據(jù)德札爾格建議，聰明的帕斯卡環(huán)繞這個定理寫了兩篇論文，把有關(guān)圓錐曲線的不下400條定理其中包括阿波羅尼奧斯和其他前人的成果用投射法作了系統(tǒng)總結(jié)，把它們歸納成少數(shù)幾條基本定理。論文所涉及的是和過去希臘幾何完全不同的全新領(lǐng)域射影幾何。這里研究的圖形，它的線段長短和角度大小，在射影對應(yīng)下可以不同，但是在射影對應(yīng)中圖形的某些性質(zhì)仍舊保持不變。例如，把圓換成其他的圓錐曲線，它的內(nèi)接六邊形三對對邊的交點共線的性質(zhì)是始終保持的。可惜這兩篇珍貴的文稿從來沒有發(fā)表，并且旋即失傳；其中的一篇只有薄薄8頁，題為圓錐截線論，于1779年重新找到。德國數(shù)學(xué)家萊布尼茲曾經(jīng)看到過它的手抄本，還對帕斯卡的外甥談起過里面的內(nèi)容。笛卡兒在1640年讀過這兩篇論文，可是他不相信，這樣出色的論文竟會出自一個16歲孩子之手!雙重折磨 年輕的帕斯卡為這一連串令人驚羨的成就付出沉重的代價。通宵達旦的工作使他的健康遭到極大損害。從17歲起，他的生活幾乎每天都在難忍的病痛中度過。嚴(yán)重消化不良引起鉆心的胃痛，把他折磨得汗如雨下。長期的失眠，使漫漫長夜成為可怕的惡魔。更糟糕的事情還在后面：宗教狂熱開始感染帕斯卡的家庭。這并不奇怪。當(dāng)人類智慧的陽光還不能透過層層迷霧把世界真面目揭開的時候，宗教就有它存在的空間。當(dāng)生活的道路崎嶇坎坷，而人們還無法掌握自己命運的時候，迷信就會乘虛而入。在當(dāng)時名目繁多的教派中有一個叫詹森派。它由荷蘭神學(xué)家科爾內(nèi)留斯詹森所創(chuàng)。詹森派既不屬于天主教，也不是新教。它偏激狂熱，蔑視意志自由，鼓吹神力不可反抗。信徒們?yōu)楸硎局艺\，要通過各種方式虐待和折磨自己。十分不幸，好端端的帕斯卡竟迷上了這乖怪離奇的教派。原因雖然是多方面的，但是他體弱多病無疑起了重要作用。限于當(dāng)時的醫(yī)學(xué)水平，醫(yī)生們開出的種種處方解除不了帕斯卡的病痛，他只好求助于神。宗教成了他擺脫疾病無情折磨的救命稻草。從23歲起。帕斯卡從數(shù)學(xué)研究的高峰一步步陷入詹森派的泥潭而不能自拔。這位數(shù)學(xué)史上罕見的天才，在他短促的生命歷程中，從此遭受著病魔和宗教狂的雙重折磨。 但是天才的火花并沒有熄滅。他還要為物理學(xué)作出貢獻。他對重力和密閉液體壓強的傳遞等進行一系列重要試驗，發(fā)現(xiàn)著名的關(guān)于液壓傳遞的帕斯卡定律。意大利物理學(xué)家托里拆利做了一個著名實驗，測定一個標(biāo)準(zhǔn)大氣壓的水銀柱高度為760毫米。帕斯卡進一步把它引申。他建議姐夫彼埃爾帶著氣壓計到家鄉(xiāng)附近多姆山上去測量大氣壓強。他認(rèn)為，由于高度升高，氣壓減小，水銀柱的高度應(yīng)該隨著下降。后來帕斯卡和妹妹杰克琳在返回巴黎的時候也做了同樣的實驗。 這時候父親已經(jīng)退休。不久帕斯卡和杰克琳來巴黎和他住在一起。有一次浪跡四方的笛卡兒來帕斯卡家訪問。笛卡兒當(dāng)時是譽滿全球的大學(xué)者；帕斯卡比他年輕近30歲，但是在科學(xué)界也已經(jīng)頭角嶄露，蜚聲遐邇。他們兩人從數(shù)學(xué)、物理、文學(xué)，一直討論到哲學(xué)。臨別的時候笛卡兒還真摯地給這位年輕朋友提出不少忠告。他勸帕斯卡學(xué)他的樣子，每天躺到上午11點鐘起床；對于時時給帕斯卡帶來煩惱的胃，笛卡兒建議他只喝肉湯，不要吃別的食物。可惜這些健身之道聽起來近乎怪誕，帕斯卡沒有重視。 在巴黎住的時間不長，全家又回到克萊蒙費朗。家鄉(xiāng)清幽的氣氛比豪華的巴黎更加吸引人。在家鄉(xiāng)，帕斯卡開始創(chuàng)作思緒錄。這是法國文學(xué)史上一部自我暴露和自我剖析的不可多得的杰作。從中我們可以清楚地看到帕斯卡矛盾的性格：他熱愛大自然，熱愛生活，可是他卻不自然地壓制著這些正當(dāng)?shù)挠?。為了做到這一點，他只能到怪誕的詹森教派的教義中去尋求支持。怪不得心理學(xué)家說，乖謬的教義和反常的生理現(xiàn)象是一對難舍難分的孿生兄弟。 在克萊蒙費朗住了兩年，全家又來到巴黎。第二年父親不幸病逝。杰克琳在帕斯卡支持下進了波特羅耶爾的修道院。不久，她作為女修道院的圣職志愿人，不斷來動員她哥哥也去波特羅耶爾，攪得帕斯卡心緒不寧，思想斗爭異常激烈。1654年11月23日，他獨自乘了一輛四駕馬車，在巴黎附近的鄉(xiāng)間道路上狂奔。在通過紐萊河上一座橋的時候，領(lǐng)頭的一匹馬突然越過欄桿，躍入河中。幸虧挽繩一下子被繃斷，馬車仍舊停留在馬路上。這一事件引起帕斯卡的強烈震動。他認(rèn)為能逃脫這場橫禍，無疑是神的意志警告他趕緊在世俗生活上懸崖勒馬。他決定皈依詹森教派，并且在貼胸處掛起用羊皮紙做的護身符，以使自己克服淫邪的誘惑，以及時刻記住上帝把他從地獄之門拯救出來的“偉大恩典”。從此他永遠擺脫世俗，虔誠地來到波特羅耶爾，過起清心寡欲的修道者生活。值得慶幸的是，在這以前，他對數(shù)學(xué)所作的最重要的貢獻已經(jīng)完成。他和費馬一起創(chuàng)立了概率論的數(shù)學(xué)理論。這一成就使他在數(shù)學(xué)史上享有不朽的地位。皮埃爾費馬 和帕斯卡一起創(chuàng)立概率論的費馬是帕斯卡家的老朋友，兩人有極親密的友誼，常年保持著書信往來。 費馬的一生很平靜，沒有什么戲劇性的插曲。父親杜美尼克是位皮革商人，還是法國西南部小城蒙托邦附近小鎮(zhèn)皮厄蒙的行政長官。母親克拉拉德朗出身于議會律師的家庭。皮埃爾費馬于1601年8月17日誕生于皮厄蒙。他從小在家里接受教育。后來為了擔(dān)任公職的需要，來到法國南部城市圖盧茲繼續(xù)他的學(xué)業(yè)。他一生安分守己，不愛出頭露面。由于缺少一位像帕斯卡的姐姐吉爾帕蒂那樣的人來給后代講述他童年的奇跡，因此除了作為學(xué)生，沒有別的記載流傳下來。當(dāng)然，從他獲得的成就來判斷，他在少年時代一定是聰明絕頂并且具有驚人的直覺能力。他在數(shù)學(xué)特別是數(shù)論中出神人化的工作，不能從他的學(xué)校教育里去找原因。因為在費馬當(dāng)學(xué)生的時候，他最偉大的工作所屬的那些領(lǐng)域的大門還是完全緊閉著的。 1631年5月14日，費馬任圖盧茲地區(qū)咨詢委員。同年6月1日，他和母親的小表妹路易絲德朗小姐結(jié)婚。婚后生有一男二女。兒子后來成為科學(xué)遺囑的執(zhí)行人。兩個女兒先后進了修道院。1648年，他晉升為圖盧茲地方議會的王室律師。1665年1月12日在圖盧茲附近的小鎮(zhèn)卡德雷斯逝世，享年64歲。 這位誠實正直、一團和氣的學(xué)者，在數(shù)學(xué)史上有一則美麗動人的故事，就是他在從事律師工作之余所進行的數(shù)學(xué)研究。 作為純粹數(shù)學(xué)家，牛頓在發(fā)明微積分的時候達到了頂峰。這項偉大創(chuàng)造也獨立地為萊布尼茲所完成。但是，這樣說并不夸張：早在牛頓出世前整整13年，在萊布尼茲呱呱墜地前17年，費馬已經(jīng)形成和應(yīng)用了微積分的主要概念和方法。他在1637年的手稿求最大值和最小值的方法給出求函數(shù)最大最小值和求曲線的切線的方法，也就是微分學(xué)的方法。由于他和帕斯卡都求得過前幾個自然數(shù)m次冪的和，他也就解決了冪函數(shù)積分問題。他還把冪指數(shù)推廣到分?jǐn)?shù)和負(fù)數(shù)的情況，這就能計算雙曲線圍成的面積。這說明他掌握了積分的方法。可惜費馬在微積分和坐標(biāo)幾何方面的著述都是在他去世以后才由他兒子整理發(fā)表的，這不能不削弱他在當(dāng)時本可以發(fā)揮的巨大影響。 費馬和笛卡兒各自獨立地發(fā)明了坐標(biāo)幾何。盡管他們交換意見，他們研究坐標(biāo)幾何的目的和方法卻顯著不同。笛卡兒批評希臘的傳統(tǒng)，主張同它決裂。費馬著眼于繼承希臘人的思想。認(rèn)為自己的工作只是用代數(shù)形式來表達希臘幾何學(xué)家阿波羅尼奧斯關(guān)于圓錐曲線的研究。真正認(rèn)識到代數(shù)威力的是笛卡兒，可是他開始只著重于幾何作圖問題；費馬則強調(diào)軌跡的方程，現(xiàn)在看來這無疑更為恰當(dāng)。在對曲線進行分類的時候，費馬糾正笛卡兒的一個錯誤。他指出：對曲線分類應(yīng)該根據(jù)方程的次數(shù)而不是其他，如一次方程表示直線，二次方程代表圓錐曲線。笛卡兒和費馬在學(xué)術(shù)上的分歧導(dǎo)致雙方長期的激烈爭論。在爭論中，笛卡兒常常意氣用事，語言尖刻，甚至諷刺費馬是“我們的極大和極小大臣”?？墒俏覀冞@位大律師始終心平氣和，保持著應(yīng)有的禮貌。后來他倆的關(guān)系有所緩和。費馬在1660年寫了一篇文章，在指出笛卡兒的幾何學(xué)中的一處錯誤的同時，誠懇地說，他是這樣佩服笛卡兒的天才，即使他有錯誤，他的工作甚至比別人沒有錯誤的工作更有價值?？上б呀?jīng)去世的笛卡兒不像費馬這樣寬宏大量。 費馬最偉大的工作是數(shù)論，或者用高斯樸實無華的名稱：算術(shù)。 在今天小學(xué)的教科書中，“算術(shù)”的內(nèi)容在希臘時代被分成不同的兩部分：算法和算術(shù)。前者一般是有關(guān)貿(mào)易和日常生活中應(yīng)用的計算；后者就是費馬和高斯意義上的算術(shù)，它研究數(shù)的性質(zhì)。費馬認(rèn)為算術(shù)被人們忽視了。他抱怨說，幾乎沒有什么人提出或者懂得算術(shù)問題。他相信，算術(shù)有它自己的特殊園地：整數(shù)論。他的辛勤勞動為算術(shù)奠定基礎(chǔ)，并且決定了算術(shù)在高斯以前100多年的發(fā)展方向。 人們關(guān)于貌似簡單的正整數(shù)研究雖然已有很長的歷史，但是對它們的認(rèn)識還很不夠。一些長期未解決的問題往往乍看不難，實際上卻極難解決。為了證明一個有關(guān)正整數(shù)的命題，數(shù)學(xué)家往往不得不先發(fā)掘代數(shù)和分析中許多微妙而深奧的定理，甚至建立全新的數(shù)學(xué)概念和普遍有效的數(shù)學(xué)方法。結(jié)果新興的龐大的分支和如林的數(shù)學(xué)定理掩蓋了它們發(fā)端的原始問題。這些導(dǎo)源于“樸素的”算術(shù)問題的新數(shù)學(xué)常常同物理世界有密切的聯(lián)系，并且可以應(yīng)用在數(shù)學(xué)的其他領(lǐng)域，特別是計算數(shù)學(xué)。說到數(shù)論對數(shù)學(xué)乃至科學(xué)技術(shù)，從而對整個人類社會巨大的積極作用，我們不能不提到數(shù)論研究的先驅(qū)費馬。 要了解費馬，最好從所謂“費馬數(shù)”說起。請看下面的數(shù)列： 3，5，17，257，65537，它們又可以表示為：3=21+1，5=22+1，17=24+1，257=28+1，65537=216+1， 這些數(shù)除了1和它本身以外，沒有別的整數(shù)可以整除它，所以是素數(shù)。于是費馬就猜測：所有形如的數(shù)，后人稱為費馬數(shù)，都是素數(shù)。不過，費馬坦率地承認(rèn)，自己不能證明這個命題。事實上，他后來也對這個命題的正確性發(fā)生了懷疑。在費馬去世67年以后，歐拉證明了n=5時=232+1=4294967297=6416700417不是素數(shù)。 幾乎整整過了200年，1796年3月30日，一位18歲的德國青年卡爾弗雷德里希高斯解決了一個同初等幾何有關(guān)的問題：用圓規(guī)直尺作出一個正十七邊形。這是2000多年來許多數(shù)學(xué)家竭力追求的目標(biāo)。他同時還證明了：當(dāng)多邊形的邊數(shù)或者是費馬素數(shù)，或者是不同的費馬素數(shù)的乘積，用圓規(guī)直尺作邊數(shù)為奇數(shù)的正多邊形才是可能的。這就是說，可以用尺規(guī)作出正三角形、正五邊形、正十七邊形、正二百五十七邊形、，或正35=15邊形、正317=51邊形，但是不能作出正七邊形、正九邊形等。這個成就使高斯異常振奮，以致放棄了他同樣喜愛的語言學(xué)，選擇數(shù)學(xué)作為自己獻身的事業(yè)。 所謂“費馬小定理”，是費馬在數(shù)論中另一種類型的發(fā)現(xiàn)，它是1640年10月18日費馬給好朋友倍西的信中傳出去的。這個定理說，如果n是任意整數(shù)，P是素數(shù)，那么np一n就可以被P整除。舉例來說，取P=3，n=5，535等于120，可以被3整除。 數(shù)論上有的定理被認(rèn)為是“重要的”，而有的定理好不容易才證明出來，卻被認(rèn)為是“無關(guān)緊要”的。這是為什么?要說明其中的道理并不容易。首先一個標(biāo)準(zhǔn)，當(dāng)然不是絕對的，是它可以應(yīng)用于數(shù)學(xué)的其他分支；其次是它對數(shù)論或別的數(shù)學(xué)研究有啟發(fā)作用；第三，它本身在某些方面具有普遍性。費馬小定理適合所有這些要求；它對許多數(shù)學(xué)分支，包括群論在內(nèi)，是一個不可缺少的結(jié)論。它啟發(fā)了許多重要的數(shù)學(xué)研究，甚至是某些研究的直接起因。由于它是對任意的整數(shù)和素數(shù)來說的，所以有很大的普遍性。顯然，這樣普遍的定理，要發(fā)現(xiàn)它是極不容易，也是非常罕見的。 缺少研究整數(shù)經(jīng)驗的人，對等式27=25+2可能沒有什么感受，但是稍有經(jīng)驗的人就會想到，27=3 3，25=52。因此，方程 y3=x2+2有一個整數(shù)解：x=5，y=3。假如讀者想檢驗一下自己是不是有出眾的智力，不妨試試能不能證明：x=5，y=3，是這個方程惟一的整數(shù)解。專家們認(rèn)為，要解決這個看起來似乎是兒戲般的問題，在智力上的要求比領(lǐng)悟相對論還要高! 方程y3=x2+2是一個不定方程，因為未知數(shù)有兩個，而方程只有一個。如果不限制方程的解必須為整數(shù)，解這類方程沒有任何困難。任意給出x一個值，y就是x2+2的立方根，所以方程的解有無限多個。丟番圖首先提出求這種不定方程的整數(shù)解或有理數(shù)解。于是問題就不同于以前而變得非常困難了。費馬說他證明了上述方程只有惟一的整數(shù)解，可是沒有公布他的證明。他去世后不久，人們找到了他的證明?？茖W(xué)史研究證實，在1994年以前除了惟一的一個例外，凡是被費馬肯定過的命題，都被正確地證明了。那僅有的例外就是赫赫有名的“費馬大定理”。 標(biāo)志著希臘代數(shù)最高峰的丟番圖的算術(shù)，在1621年有了它的拉丁文譯本。費馬在工作之余讀的就是這個版本。他有個習(xí)慣，在看書的時候把思考的結(jié)論簡要地旁注在書的空白處。這些空白當(dāng)然不適宜于寫出證明的全過程。后來，他的兒子在1670年出版了著名的頁端筆記。在算術(shù)第二冊上第8個問題，也就是由畢達哥拉斯定理引出的求方程 x2+y2=z2的有理數(shù)解的旁邊，人們看到費馬用拉丁文寫了如下的一段注解： “相反，不可能把一個立方數(shù)分為兩個立方數(shù)的和，一個數(shù)的四次冪不能分為兩個四次冪的和；一般說來，高于二次的任何次冪，不能分為兩個同次冪的和。我想出了這個論斷的一個真正奇妙的證明，只是這里的空白太狹小，不容我把它寫下來?！?這就是費馬大約在1637年左右發(fā)現(xiàn)的、引起歷史上大大小小的數(shù)學(xué)家注目的費馬大定理。用數(shù)學(xué)記號表示就是：正整數(shù)n大于2時，方程 xn+yn=zn沒有正整數(shù)解，當(dāng)然也就沒有有理數(shù)解。 人們沒有見到費馬那個絕妙的證明，只是見到他對n=4時證明的大意。后來歐拉作出了n=3和n=4的證明；以后只要對素數(shù)n來證明了。1823年勒讓德證明了n=5的情形；1849年庫默爾引入全新的理想數(shù)概念，證明當(dāng)n=37、n=59、n=67時費馬大定理成立。根據(jù)他的理論，n100時費馬大定理成立。到20世紀(jì)80年代，利用電子計算機證明n125 000時結(jié)論成立。當(dāng)然n取上述所有整數(shù)的整數(shù)倍也都成立。但是這無限多的情形，還不是大于2的一切整數(shù)。300多年來不計其數(shù)的優(yōu)秀數(shù)學(xué)家，付出了艱巨的勞動，還是沒有找到問題的答案。20世紀(jì)有“神童”之稱、創(chuàng)立“控制論”的卓越數(shù)學(xué)家維納，在試圖證明費馬大定理的時候感嘆：“每次我所假設(shè)的論證都像愚人金一樣，很快就令人失望了”。鼎鼎大名的數(shù)學(xué)家勒貝格曾經(jīng)發(fā)表過對費馬大定理的證明。起初許多人以為這個大難題果真被這位分析大師解決了。但是后來有人指出他的證明中有錯誤。這真有點令人掃興。勒貝格盯著自己有錯的證明喃喃地說道：“我想我可以消除這個錯誤?！笨上罱K并沒有成功。無數(shù)大數(shù)學(xué)家花了大量心血也都沒有找到正確的證明。這使不少數(shù)學(xué)家懷疑費馬發(fā)現(xiàn)的絕妙證明是不是搞錯了。包括高斯在內(nèi)，不少數(shù)學(xué)家都認(rèn)為一定是費馬搞錯了。 但是，也有許多人認(rèn)為，我們不能像寓言中的狐貍那樣，因為自己吃不著葡萄，就說葡萄是酸的。作為一位“業(yè)余的”數(shù)學(xué)家，費馬只滿足于自己享受研究的樂趣，并不介意把自己的思想完整地寫出來公開發(fā)表。他大多數(shù)研究成果是通過和友人通信而聞名于世的。他只寫過為數(shù)不多的幾篇論著，有的還是在他去世以后由后人整理發(fā)表的。因此，根據(jù)他一貫的為人和非凡的才能，我們沒有理由懷疑他曾經(jīng)得到過一個絕妙的證明。 這樁歷史懸案的真相究竟如何，讀者可以作出自己的判斷。但是，令人高興的是：英國數(shù)學(xué)家安德魯維爾斯經(jīng)過九年頑強拼搏，終于在1994年證明了費馬大定理。他證明費馬大定理的論文模曲線和費馬大定理于1994年10月14日送交普林斯頓的數(shù)學(xué)年刊。一周前，他和他的學(xué)生泰勒的合作論文海克代數(shù)的環(huán)論性質(zhì)已經(jīng)寄去審查，這是證明上述定理不可缺少的工具。1995年5月數(shù)學(xué)年刊一同發(fā)表了這兩篇論文，從而宣布困擾數(shù)學(xué)界350多年的費馬大定理已被一舉攻克。維爾斯的證明運用了20世紀(jì)代數(shù)幾何與代數(shù)數(shù)論一系列研究成果，顯示了現(xiàn)代數(shù)學(xué)整體的巨大力量。涓涓細流 誰會想到一瀉千里的大江發(fā)端于高山上的涓涓細流?帕斯卡和費馬也沒有料到，賭徒之間毫不引人注目的爭論，居然會發(fā)展出一種非常有用的數(shù)學(xué)理論。這種理論已經(jīng)幾乎深入到人類生活的各個方面；它在近代物理學(xué)上的應(yīng)用，迫使人們重新考慮對物理世界的認(rèn)識。 概率論最早是由貴族們在賭博中發(fā)生的問題引起的。有一天，性喜賭博的德梅雷爵士向帕斯卡請教幾個在賭博中經(jīng)常遇到的問題。比如說，同時擲兩顆骰子出現(xiàn)兩個都是6點的機會是不是超過124？ 數(shù)學(xué)家以前沒有處理過這類問題。這類現(xiàn)象從個別來看是無規(guī)則的。同時擲兩顆骰子，誰能預(yù)料它們出現(xiàn)的點數(shù)呢?這種不確定性給研究帶來困難。不過這些不規(guī)則現(xiàn)象在數(shù)學(xué)上稱為“隨機現(xiàn)象”通過大量實驗和觀察，就其整體來看，卻有一種嚴(yán)格的非偶然的規(guī)律性。一顆骰子擲下去，出現(xiàn)的點數(shù)固然無法事先確定。但是如果投擲次數(shù)大量增加，那么出現(xiàn)某一個點數(shù)比如說3點的機會就非常接近于16。同樣，一個充滿氣體的密閉容器，雖然容器內(nèi)每一個氣體分子的速度和方向是雜亂的，因而就個別分子來說，它對器壁所產(chǎn)生的壓力是不確定的，它忽兒撞在這里，忽兒撞在那里；忽兒撞得重，忽兒撞得輕；但是這些氣體分子的總體對器壁的壓力卻有其規(guī)律性：它們總的壓力基本上是一個確定的值。概率論就是從數(shù)量上來研究這種規(guī)律性。 帕斯卡巧妙地解決了梅雷爵士的問題，并且在1654年7月29日致費馬的信中談到它們的解答。從此，他和費馬就這一類問題開始一系列通信，為概率論的數(shù)學(xué)理論奠定了基礎(chǔ)。 概率論的應(yīng)用決不僅僅是限于在賭博上。正如荷蘭科學(xué)家惠更斯(16291695)在關(guān)于骰子游戲或賭博的計算一書中指出： “在任何場合， 我認(rèn)為， 如果讀者仔細考察一下研究對象就會發(fā)現(xiàn)，你所處理的不僅是賭博。這里實際上包含著很有趣很深刻的理論基礎(chǔ)。” 的確是這樣。概率論深入到各個領(lǐng)域，連日常生活中最簡單的問題，比如稱一個物體的重量，也離不開它。雖然物體的重量是確定的客觀存在，可是它真實的數(shù)值你卻稱不出來。我們到商店去買500克糖，實際得到的并不是真正的500克，而只是它的近似值。即使用最精密的天平也無法稱出絲毫不差的500克。當(dāng)我們用某一種儀器對它進行多次測量的時候，任意兩次的測量結(jié)果往往是不相同的。但是根據(jù)概率統(tǒng)計的理論，由各次測量結(jié)果可以推算，真實的重量落在某一個數(shù)值范圍內(nèi)的可能性有多大。在量子物理學(xué)中，同樣離不開概率理論，我們說不出某個電子在原子中的確切位置， 但是可以計算這個電子出現(xiàn)在某一區(qū)域里的機會有多少。隨著科學(xué)技術(shù)的發(fā)展，概率論在保險、統(tǒng)計、誤差理論、生物學(xué)、天文學(xué)、近代物理學(xué)以至整個工農(nóng)業(yè)生產(chǎn)中得到日益廣泛的應(yīng)用，成為數(shù)學(xué)幾個最主要的分支之一。智者千慮必有一失 “智者千慮必有一失”，就連最聰明的人也有糊涂的時候。帕斯卡創(chuàng)立概率的數(shù)學(xué)理論，可是卻把它應(yīng)用于完全錯誤的方面。 一個人在采取某個行動以前，通常要權(quán)衡一下利弊，想想它是不是值得。從數(shù)學(xué)上說，就是要估計一下“期望”成果和代價的差額乘以成功的可能性。帕斯卡在他的名著思緒錄里，利用這個數(shù)學(xué)理論來為自己選擇的生活道路辯解。他說，通過當(dāng)修道士來爭取得到永生的可能性固然極小，但是可能贏得的成果永恒的幸福的價值卻有無限大。無限大乘上一個很小的數(shù)(即成功的可能性)仍是無限大。于是帕斯卡得出結(jié)論：這才是一個人真正值得遵循的道路!可悲的是，這位偉大的數(shù)學(xué)家不知道，企圖通過刻苦修行來求得永生，不是機會大小的問題，而是根本不可能。對不可能事件計算“期望”，它的結(jié)果當(dāng)