矩陣在有限元中的應用.doc

矩陣在有限元中的應用有限元的概念早在幾個世紀前就已產生并得到了應用，例如用多邊形（有限個直線單元）逼近圓來求得圓的周長，但作為一種方法而被提出，則是最近的事。有限元法最初被稱為矩陣近似方法，應用于航空器的結構強度計算，并由于其方便性、實用性和有效性而引起從事力學研究的科學家的濃厚興趣。經(jīng)過短短數(shù)十年的努力，隨著計算機技術的快速發(fā)展和普及，有限元方法迅速從結構工程強度分析計算擴展到幾乎所有的科學技術領域，成為一種豐富多彩、應用廣泛并且實用高效的數(shù)值分析方法。有限元法可以稱為有限單元法或有限元素法，基本思想是將物體（即連續(xù)求解域）離散成有限個且按一定方式相互連接在一起的單元組合，來模擬和逼近原來的物體，從而將一個連續(xù)的無限自由度問題簡化為離散的有限自由度問題求解的數(shù)值分析法。將有限元分析法應用到工程技術中，可成為工程設計和分析的可靠工具，將它應用到科學研究中，可成為探究物質客觀規(guī)律的重要手段。嚴格來說，有限元分析必須包含三個方面：（1）有限元方法的基本數(shù)學力學原理；（2）基于原理形成的實用軟件；（3）使用時的計算機硬件。有限元方法與其他求解邊值問題近似方法的根本區(qū)別在于它的近似性僅限于相對小的子域中。20世紀60年代初首次提出結構力學計算有限元概念的克拉夫（Clough）教授形象地將其描繪為：“有限元法=Rayleigh Ritz法+分片函數(shù)”，即有限元法是Rayleigh Ritz法的一種局部化情況。不同于求解（往往是困難的）滿足整個定義域邊界條件的允許函數(shù)的Rayleigh Ritz法，有限元法將函數(shù)定義在簡單幾何形狀（如二維問題中的三角形或任意四邊形）的單元域上（分片函數(shù)），且不考慮整個定義域的復雜邊界條件，這是有限元法優(yōu)于其他近似方法的原因之一?；诠δ芡晟频挠邢拊治鲕浖透咝阅艿挠嬎銠C軟件對設計的結構進行詳細的力學分析，以獲得盡可能真實的結構受力信息，在設計階段對可能出現(xiàn)的各種問題進行安全評判和設計參數(shù)修改是有限元分析的主要作用。有限元分析首先要針對具有任意復雜幾何形狀變形體，完整獲取在復雜外力作用下它內部的準確力學信息，即求取該變形體的三類力學信息（位移、應變、應力）。有限元分析的主要功能是在準確進行力學分析的基礎上，設計者可以對設計對象進行剛度、強度等方面的評判，然后對不合理的設計參數(shù)進行修改，以得到較為優(yōu)化的設計方案；然后再次對修改過的方案進行有限元分析，以進行最后的力學評判和校核，以確定最后的設計方案。有限元分析的主要過程一般有六步：第一步：問題及求解域定義：根據(jù)實際問題近似確定求解域的物理性質和幾何區(qū)域。 第二步：求解域離散化：將求解域近似為具有不同有限大小和形狀且彼此相連的有限個單元組成的離散域，習慣上稱為有限元網(wǎng)絡劃分。顯然單元越?。ňW(wǎng)格越細）則離散域的近似程度越好，計算結果也越精確，但計算量及誤差都將增大，因此求解域的離散化是有限元法的核心技術之一。 第三步：確定狀態(tài)變量及控制方法：一個具體的物理問題通?？梢杂靡唤M包含問題狀態(tài)變量邊界條件的微分方程式表示，為適合有限元求解，通常將微分方程化為等價的泛函形式。 第四步：單元推導：對單元構造一個適合的近似解，即推導有限單元的列式，其中包括選擇合理的單元坐標系，建立單元試函數(shù)，以某種方法給出單元各狀態(tài)變量的離散關系，從而形成單元矩陣。為保證問題求解的收斂性，單元推導有許多原則要遵循。 對工程應用而言，重要的是應注意每一種單元的解題性能與約束。例如，單元形狀應以規(guī)則為好，畸形時不僅精度低，而且有缺秩的危險，將導致無法求解。 第五步：總裝求解：將單元總裝形成離散域的總矩陣方程（聯(lián)合方程組），反映對近似求解域的離散域的要求，即單元函數(shù)的連續(xù)性要滿足一定的連續(xù)條件?？傃b是在相鄰單元結點進行，狀態(tài)變量及其導數(shù)（可能的話）連續(xù)性建立在結點處。 第六步：聯(lián)立方程組求解和結果解釋：有限元法最終導致聯(lián)立方程組。聯(lián)立方程組的求解可用直接法、迭代法和隨機法。求解結果是單元結點處狀態(tài)變量的近似值。對于計算結果的質量，將通過與設計準則提供的允許值比較來評價并確定是否需要重復計算。簡言之，有限元分析可分成三個階段，前處理、處理和后處理。前處理是建立有限元模型，完成單元網(wǎng)格劃分;后處理則是采集處理分析結果，使用戶能簡便提取信息，了解計算結果。有限元分析的最大特點就是標準化和規(guī)范化，這種特點使得大規(guī)模分析和計算成為可能，當采用了現(xiàn)代化的計算機以及所編制的軟件作為實現(xiàn)平臺時，則復雜工程問題的大規(guī)模分析就變?yōu)楝F(xiàn)實。實現(xiàn)有限元分析的載體是單元，這就需要我們構建各種各樣的具有代表性的單元，有了這些單元就可以按照設計的要求構建出各種各樣的發(fā)雜結構。因此，有限元分析就是對這些單元的分