高考數(shù)學考點回歸總復習《第四十講 橢圓 》課件 新人教版.ppt

第四十講橢圓 回歸課本1 橢圓的定義 1 定義 平面內(nèi)兩定點為f1 f2 當動點p滿足條件點p到點f1 f2的距離之和等于常數(shù) 大于 f1f2 時 p點的軌跡為橢圓 f1 f2是橢圓的兩個焦點 2 定義的數(shù)學表達式為 pf1 pf2 2a 2a f1f2 3 注意 定義中 定值大于 f1f2 即2a 2c 是必要條件 當2a 2c時 動點軌跡是兩焦點的連線段 而當2a 2c時 動點軌跡不存在 2 橢圓的標準方程與幾何性質(zhì) 考點陪練1 已知兩定點a 1 0 b 1 0 點m滿足 ma mb 2 則點m的軌跡是 a 圓b 橢圓c 線段d 直線答案 c 答案 d 答案 a 答案 c 類型一橢圓的定義解題準備 1 橢圓是圓錐曲線中最重要的內(nèi)容之一 因而也是高考命題的熱點 而橢圓的定義與標準方程往往是主要的考查點 也是研究其它橢圓問題的基礎 2 橢圓的定義 平面內(nèi)與兩個定點f1 f2的距離的和為常數(shù) 大于 f1f2 的動點的軌跡 或集合 叫做橢圓 這兩個定點叫做橢圓的焦點 兩焦點間的距離叫做橢圓的焦距 用集合表示 橢圓上的點m滿足集合均為常數(shù)且2a 2c 3 涉及橢圓定義的問題時 一定要注意 2a 2c 這一個前提條件 因為當平面內(nèi)的動點與定點f1 f2的距離之和等于 f1f2 時 其動點軌跡就是線段f1f2 當平面內(nèi)的動點與定點f1 f2的距離之和小于 f1f2 時 其軌跡不存在 典例1 一動圓與已知圓o1 x 3 2 y2 1外切 與圓o2 x 3 2 y2 81內(nèi)切 試求動圓圓心的軌跡方程 解 兩定圓的圓心和半徑分別是o1 3 0 r1 1 o2 3 0 r2 9 設動圓圓心為m x y 半徑為r 則由題設條件 可知 mo1 1 r mo2 9 r mo1 mo2 10 由橢圓的定義知 m在以o1 o2為焦點的橢圓上 且a 5 c 3 b2 a2 c2 25 9 16 故動圓圓心的軌跡方程為 反思感悟 先根據(jù)定義判斷軌跡的類型 再用待定系數(shù)法求軌跡方程的方法叫定義法 用定義法求軌跡方程時 應首先充分挖掘圖形的幾何性質(zhì) 找出動點滿足的幾何條件 看其是否符合某種曲線的定義 如本例 根據(jù)平面幾何知識 列出內(nèi)切 外切的條件后 可發(fā)現(xiàn)利用動圓的半徑過渡 恰好符合橢圓的定義 從而用待定系數(shù)法求解 這里充分利用橢圓的定義是解題的關鍵 類型二求橢圓的標準方程解題準備 1 定義法 2 待定系數(shù)法 若已知焦點的位置可唯一確定標準方程 若焦點位置不確定 可采用分類討論來確定方程的形式 也可以直接設橢圓的方程為ax2 by2 1 其中a b為不相等的正常數(shù)或由已知條件設橢圓系來求解 以避免討論和繁瑣的計算 類型三橢圓的幾何性質(zhì)解題準備 1 對橢圓幾何性質(zhì)的考查一直是高考命題的一個熱點 尤其是對橢圓離心率的求解問題 更是考查的重點 2 對于焦點在x軸上 中心在原點的橢圓有以下性質(zhì) 范圍 a x a b y b 橢圓位于直線x a和y b所圍成的矩形框里 對稱性 橢圓關于x軸 y軸和原點都是對稱的 橢圓有四個頂點a1 a 0 a2 a 0 b1 0 b b2 0 b 線段a1a2和b1b2分別叫做橢圓的長軸和短軸 它們的長分別等于2a和2b 橢圓的離心率 反思感悟 求解與幾何性質(zhì)有關的問題時要結(jié)合圖形進行分析 即使不畫出圖形 思考時也要聯(lián)想到圖形 當涉及到頂點 焦點 長軸 短軸等橢圓的基本量時 要理清它們之間的關系 建立基本量之間的聯(lián)系 類型四直線與橢圓的位置關系解題準備 1 直線方程與橢圓方程聯(lián)立 消元后得到一元二次方程 然后通過判別式 來判斷直線和橢圓相交 相切或相離 2 消元后得到的一元二次方程的根是直線和橢圓交點的橫坐標或縱坐標 通常是寫成兩根之和與兩根之積的形式 這是進一步解題的基礎 典例4 已知橢圓c的中心在坐標原點 焦點在x軸上 橢圓c上的點到焦點距離的最大值為3 最小值為1 1 求橢圓c的標準方程 2 若直線l y kx m與橢圓c相交于a b兩點 a b不是左右頂點 且以ab為直徑的圓過橢圓c的右頂點 求證 直線l過定點 并求出該定點的坐標 分析 1 由a c 3 a c 1 可求a c 2 直線方程與橢圓方程聯(lián)立后得到交點a b的坐標關系 再根據(jù)以ab為直徑的圓過橢圓的右頂點可得到兩直線垂直 從而求得交點a b的坐標關系 聯(lián)立后可求k m的關系 反思感悟 1 直線方程與橢圓方程聯(lián)立 消元后得到一元二次方程 然后通過判別式 來判斷直線和橢圓相交 相切或相離的情況 2 消元后得到的一元二次方程的根是直線和橢圓交點的橫坐標或縱坐標 通常是寫成兩根之和與兩根之積的形式 這是進一步解題的基礎 錯源一定義理解不清致錯 典例1 已知a 4 0 b 2 2 是橢圓內(nèi)的一點 如圖所示 m是橢圓上的一動點 求 ma mb 的范圍 錯解 欲使 ma mb 最大或最小 考慮動點m在橢圓上的位置 再結(jié)合圖形 由于a是橢圓的右焦點 當m是左頂點時 ma 最大 當m是右頂點時 ma 最小 于是 ma mb 的最大值為最小值為 剖析 當 ma 最大時 ma mb 就一定最大嗎 顯然 不一定 正解 易知a 4 0 為橢圓的右焦點 設左焦點為f1 由a2 25知 mf1 ma 10 因此 ma mb 10 mb mf1 問題轉(zhuǎn)化為 求橢圓上一點到b f1兩點距離之差的最大值與最小值 連接b f1并延長交橢圓于兩點 其一使 mb mf1 最大 另一個使 mb mf1 最小 則 ma mb 的最大值為最小值為 錯源二忽視焦點位置致錯 答案 12或20 錯源三忽視變量的范圍致錯 剖析 0只能保證方程x2 6x 2k 0有解 而不能保證原方程組有解 因為原方程組中有隱含條件0 x 2 消去y后得到關于x的一元二次方程看不