高考數(shù)學(xué)考點(diǎn)回歸總復(fù)習(xí)《第四十講 橢圓 》課件 新人教版.ppt

第四十講橢圓 回歸課本1 橢圓的定義 1 定義 平面內(nèi)兩定點(diǎn)為f1 f2 當(dāng)動(dòng)點(diǎn)p滿足條件點(diǎn)p到點(diǎn)f1 f2的距離之和等于常數(shù) 大于 f1f2 時(shí) p點(diǎn)的軌跡為橢圓 f1 f2是橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn) 2 定義的數(shù)學(xué)表達(dá)式為 pf1 pf2 2a 2a f1f2 3 注意 定義中 定值大于 f1f2 即2a 2c 是必要條件 當(dāng)2a 2c時(shí) 動(dòng)點(diǎn)軌跡是兩焦點(diǎn)的連線段 而當(dāng)2a 2c時(shí) 動(dòng)點(diǎn)軌跡不存在 2 橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程與幾何性質(zhì) 考點(diǎn)陪練1 已知兩定點(diǎn)a 1 0 b 1 0 點(diǎn)m滿足 ma mb 2 則點(diǎn)m的軌跡是 a 圓b 橢圓c 線段d 直線答案 c 答案 d 答案 a 答案 c 類型一橢圓的定義解題準(zhǔn)備 1 橢圓是圓錐曲線中最重要的內(nèi)容之一 因而也是高考命題的熱點(diǎn) 而橢圓的定義與標(biāo)準(zhǔn)方程往往是主要的考查點(diǎn) 也是研究其它橢圓問題的基礎(chǔ) 2 橢圓的定義 平面內(nèi)與兩個(gè)定點(diǎn)f1 f2的距離的和為常數(shù) 大于 f1f2 的動(dòng)點(diǎn)的軌跡 或集合 叫做橢圓 這兩個(gè)定點(diǎn)叫做橢圓的焦點(diǎn) 兩焦點(diǎn)間的距離叫做橢圓的焦距 用集合表示 橢圓上的點(diǎn)m滿足集合均為常數(shù)且2a 2c 3 涉及橢圓定義的問題時(shí) 一定要注意 2a 2c 這一個(gè)前提條件 因?yàn)楫?dāng)平面內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)與定點(diǎn)f1 f2的距離之和等于 f1f2 時(shí) 其動(dòng)點(diǎn)軌跡就是線段f1f2 當(dāng)平面內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)與定點(diǎn)f1 f2的距離之和小于 f1f2 時(shí) 其軌跡不存在 典例1 一動(dòng)圓與已知圓o1 x 3 2 y2 1外切 與圓o2 x 3 2 y2 81內(nèi)切 試求動(dòng)圓圓心的軌跡方程 解 兩定圓的圓心和半徑分別是o1 3 0 r1 1 o2 3 0 r2 9 設(shè)動(dòng)圓圓心為m x y 半徑為r 則由題設(shè)條件 可知 mo1 1 r mo2 9 r mo1 mo2 10 由橢圓的定義知 m在以o1 o2為焦點(diǎn)的橢圓上 且a 5 c 3 b2 a2 c2 25 9 16 故動(dòng)圓圓心的軌跡方程為 反思感悟 先根據(jù)定義判斷軌跡的類型 再用待定系數(shù)法求軌跡方程的方法叫定義法 用定義法求軌跡方程時(shí) 應(yīng)首先充分挖掘圖形的幾何性質(zhì) 找出動(dòng)點(diǎn)滿足的幾何條件 看其是否符合某種曲線的定義 如本例 根據(jù)平面幾何知識(shí) 列出內(nèi)切 外切的條件后 可發(fā)現(xiàn)利用動(dòng)圓的半徑過渡 恰好符合橢圓的定義 從而用待定系數(shù)法求解 這里充分利用橢圓的定義是解題的關(guān)鍵 類型二求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程解題準(zhǔn)備 1 定義法 2 待定系數(shù)法 若已知焦點(diǎn)的位置可唯一確定標(biāo)準(zhǔn)方程 若焦點(diǎn)位置不確定 可采用分類討論來確定方程的形式 也可以直接設(shè)橢圓的方程為ax2 by2 1 其中a b為不相等的正常數(shù)或由已知條件設(shè)橢圓系來求解 以避免討論和繁瑣的計(jì)算 類型三橢圓的幾何性質(zhì)解題準(zhǔn)備 1 對橢圓幾何性質(zhì)的考查一直是高考命題的一個(gè)熱點(diǎn) 尤其是對橢圓離心率的求解問題 更是考查的重點(diǎn) 2 對于焦點(diǎn)在x軸上 中心在原點(diǎn)的橢圓有以下性質(zhì) 范圍 a x a b y b 橢圓位于直線x a和y b所圍成的矩形框里 對稱性 橢圓關(guān)于x軸 y軸和原點(diǎn)都是對稱的 橢圓有四個(gè)頂點(diǎn)a1 a 0 a2 a 0 b1 0 b b2 0 b 線段a1a2和b1b2分別叫做橢圓的長軸和短軸 它們的長分別等于2a和2b 橢圓的離心率 反思感悟 求解與幾何性質(zhì)有關(guān)的問題時(shí)要結(jié)合圖形進(jìn)行分析 即使不畫出圖形 思考時(shí)也要聯(lián)想到圖形 當(dāng)涉及到頂點(diǎn) 焦點(diǎn) 長軸 短軸等橢圓的基本量時(shí) 要理清它們之間的關(guān)系 建立基本量之間的聯(lián)系 類型四直線與橢圓的位置關(guān)系解題準(zhǔn)備 1 直線方程與橢圓方程聯(lián)立 消元后得到一元二次方程 然后通過判別式 來判斷直線和橢圓相交 相切或相離 2 消元后得到的一元二次方程的根是直線和橢圓交點(diǎn)的橫坐標(biāo)或縱坐標(biāo) 通常是寫成兩根之和與兩根之積的形式 這是進(jìn)一步解題的基礎(chǔ) 典例4 已知橢圓c的中心在坐標(biāo)原點(diǎn) 焦點(diǎn)在x軸上 橢圓c上的點(diǎn)到焦點(diǎn)距離的最大值為3 最小值為1 1 求橢圓c的標(biāo)準(zhǔn)方程 2 若直線l y kx m與橢圓c相交于a b兩點(diǎn) a b不是左右頂點(diǎn) 且以ab為直徑的圓過橢圓c的右頂點(diǎn) 求證 直線l過定點(diǎn) 并求出該定點(diǎn)的坐標(biāo) 分析 1 由a c 3 a c 1 可求a c 2 直線方程與橢圓方程聯(lián)立后得到交點(diǎn)a b的坐標(biāo)關(guān)系 再根據(jù)以ab為直徑的圓過橢圓的右頂點(diǎn)可得到兩直線垂直 從而求得交點(diǎn)a b的坐標(biāo)關(guān)系 聯(lián)立后可求k m的關(guān)系 反思感悟 1 直線方程與橢圓方程聯(lián)立 消元后得到一元二次方程 然后通過判別式 來判斷直線和橢圓相交 相切或相離的情況 2 消元后得到的一元二次方程的根是直線和橢圓交點(diǎn)的橫坐標(biāo)或縱坐標(biāo) 通常是寫成兩根之和與兩根之積的形式 這是進(jìn)一步解題的基礎(chǔ) 錯(cuò)源一定義理解不清致錯(cuò) 典例1 已知a 4 0 b 2 2 是橢圓內(nèi)的一點(diǎn) 如圖所示 m是橢圓上的一動(dòng)點(diǎn) 求 ma mb 的范圍 錯(cuò)解 欲使 ma mb 最大或最小 考慮動(dòng)點(diǎn)m在橢圓上的位置 再結(jié)合圖形 由于a是橢圓的右焦點(diǎn) 當(dāng)m是左頂點(diǎn)時(shí) ma 最大 當(dāng)m是右頂點(diǎn)時(shí) ma 最小 于是 ma mb 的最大值為最小值為 剖析 當(dāng) ma 最大時(shí) ma mb 就一定最大嗎 顯然 不一定 正解 易知a 4 0 為橢圓的右焦點(diǎn) 設(shè)左焦點(diǎn)為f1 由a2 25知 mf1 ma 10 因此 ma mb 10 mb mf1 問題轉(zhuǎn)化為 求橢圓上一點(diǎn)到b f1兩點(diǎn)距離之差的最大值與最小值 連接b f1并延長交橢圓于兩點(diǎn) 其一使 mb mf1 最大 另一個(gè)使 mb mf1 最小 則 ma mb 的最大值為最小值為 錯(cuò)源二忽視焦點(diǎn)位置致錯(cuò) 答案 12或20 錯(cuò)源三忽視變量的范圍致錯(cuò) 剖析 0只能保證方程x2 6x 2k 0有解 而不能保證原方程組有解 因?yàn)樵匠探M中有隱含條件0 x 2 消去y后得到關(guān)于x的一元二次方程看不