怎樣把實(shí)際問題化成數(shù)學(xué)問題復(fù)習(xí).doc

3eud教育網(wǎng) 百萬教學(xué)資源，完全免費(fèi)，無須注冊，天天更新！本資料來源于七彩教育網(wǎng)全國初中（初二）數(shù)學(xué)競賽輔導(dǎo)第二十八講 怎樣把實(shí)際問題化成數(shù)學(xué)問題(一)數(shù)學(xué)從邏輯上講，是訓(xùn)練思維的工具通過學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)可以使人更加聰明，辦事更有條理，思維更加靈活而富于創(chuàng)造性另一方面，如果從應(yīng)用上講，數(shù)學(xué)也是一種應(yīng)用技術(shù)，應(yīng)用數(shù)學(xué)知識(shí)、原理和方法可以解決各種實(shí)際問題那么怎樣把一個(gè)實(shí)際問題化成數(shù)學(xué)問題來解決呢？這是一個(gè)比較復(fù)雜的過程，大體上可以通過以下步驟進(jìn)行：(1)了解實(shí)際問題中量的關(guān)系和圖形元素的關(guān)聯(lián)；(2)根據(jù)量或圖形間的關(guān)系，尋找相應(yīng)的數(shù)學(xué)模式；(3)考慮數(shù)學(xué)模式中的條件與結(jié)論的蘊(yùn)涵關(guān)系，提出數(shù)學(xué)問題；(4)應(yīng)用數(shù)學(xué)知識(shí)、原理，求出數(shù)學(xué)問題的解答；(5)由數(shù)學(xué)問題的解答，對實(shí)際問題作出解釋與討論；(6)推廣數(shù)學(xué)模式所能解決的更廣泛的實(shí)際問題但是由于實(shí)際問題千變?nèi)f化，特別復(fù)雜，所以當(dāng)把實(shí)際問題化成數(shù)學(xué)問題求解時(shí)，也有不同的思考方法下面提出幾點(diǎn)較為常見的方法，供讀者參考1抽象分析法例1 “七橋問題”在18世紀(jì)東普魯士的首府哥尼斯堡有一條河，叫作布勒格爾河，橫貫城區(qū)，在這條河上共架有七座橋(圖2-146)所謂“七橋問題”就是：一個(gè)人要一次走過這七座橋，但對每一座橋只許通過一次，問如何走才能成功？這個(gè)問題，引起當(dāng)時(shí)德國人的好奇，很多人都熱衷于解決它，但誰也沒有成功歐拉(Euler)是一位大數(shù)學(xué)家，由于千百人的失敗，使他猜想：這種走法可能根本不存在但是怎樣證明這種走法不可能呢？歐拉運(yùn)用抽象分析法，將之化成數(shù)學(xué)問題，于1736年證明了他的猜想，使“七橋問題”得到圓滿的解決那么歐拉是怎樣抽象成數(shù)學(xué)問題進(jìn)行思考的呢？使問題簡單化作為解決實(shí)際問題的第一步，要盡可能使問題簡單化為此要抓住問題的要點(diǎn)，做初步的抽象處理顯然島的大小和橋的長短與問題無關(guān)，因此可以不加考慮如果把島及陸地用點(diǎn)表示，橋用線表示，那么這個(gè)問題就成了一筆畫問題(圖2-147)在圖2-147中，由A到B有橋1；由B到D有橋2，橋3；由D到C有橋4，橋5；由C到A有橋7；由A到D有橋6，共七座橋這樣，就把實(shí)際問題數(shù)學(xué)化了，使問題的解決推進(jìn)了一步一般說來，在數(shù)學(xué)思考中，常把原問題不改變本質(zhì)地加以變形，使其簡單化，以利于找到解答例如，列方程解應(yīng)用問題就是這種思想的一種體現(xiàn)先把實(shí)際問題化成含有已知量和未知量的方程，然后再把方程作同解變形，化為最簡方程，較容易地求出方程的解，實(shí)際問題也就解決了尋找解決問題的方法問題簡化了，也不一定能得到解決，關(guān)鍵是如何抓住本質(zhì)加以分析，從中發(fā)現(xiàn)規(guī)律性為此，我們還是從更特殊的情況進(jìn)行觀察分析(1)假如只有三座橋(圖2-148)對于圖2-148(a)來說，無論從哪個(gè)端點(diǎn)起一筆畫出總是可能的但對圖2-148(b)來說，無論從哪個(gè)端點(diǎn)起，一筆畫完總是不可能的(2)假如有四座橋(圖2-149)對于圖2-149(a)，(b)來說，顯然可以一筆畫成但對圖2-149(c)來說，卻不能一筆畫成研究了這些簡單例子，對我們有什么啟發(fā)呢？為此，數(shù)學(xué)家提出了網(wǎng)絡(luò)這一概念，以便利用新概念的特性，解決已經(jīng)提出的問題定義 網(wǎng)絡(luò)是由有限個(gè)點(diǎn)(稱作網(wǎng)絡(luò)的頂點(diǎn))和有限條線(稱作網(wǎng)絡(luò)的弧)所組成的圖形這些點(diǎn)和線滿足以下條件：(i)每條弧都以不同的兩個(gè)頂點(diǎn)作為端點(diǎn)；(ii)每個(gè)頂點(diǎn)至少是一條弧的端點(diǎn)；(iii)各弧彼此不相交這樣，所謂一筆畫問題，就是網(wǎng)絡(luò)中的同一條弧不許畫兩次，而把網(wǎng)絡(luò)全部勾畫出來的問題(3)研究網(wǎng)絡(luò)能一筆畫出的特點(diǎn)，尋找解決問題的方法我們假定一個(gè)網(wǎng)絡(luò)能一筆畫出來，那么這個(gè)網(wǎng)絡(luò)中顯然有一點(diǎn)為起點(diǎn)，另一點(diǎn)為終點(diǎn)，其他各點(diǎn)為通過點(diǎn)設(shè)某點(diǎn)為起點(diǎn)，如果以某點(diǎn)為頂點(diǎn)的弧不只一條，那么由某點(diǎn)沿一條弧畫出去，必沿另一條弧畫回來，因此，最初是畫出去，然后進(jìn)出若干次后，把集中在某點(diǎn)的弧全部通過完畢為止，最后一次必須是畫出去，所以在起點(diǎn)集中的弧必須是奇數(shù)條而終點(diǎn)的情況剛好與起點(diǎn)相反，先是畫進(jìn)，再畫出，進(jìn)出若干次，最后一次必是畫進(jìn)，因此終點(diǎn)也集中奇數(shù)條弧但起點(diǎn)與終點(diǎn)同為一點(diǎn)時(shí)，必是先出后進(jìn)，中間或許經(jīng)過若干次進(jìn)出，最終回到起點(diǎn)因此在該點(diǎn)集中的弧必是偶數(shù)條，而在中途通過的點(diǎn)所集中的弧顯然也必定是偶數(shù)條通過上面分析可知：一個(gè)網(wǎng)絡(luò)中的點(diǎn)可分為兩類，一類頂點(diǎn)集中了偶數(shù)條弧，另一類頂點(diǎn)集中了奇數(shù)條弧我們稱前者為偶點(diǎn)，后者為奇點(diǎn)例如，在圖2-149(b)中，A，B為奇點(diǎn)，C，D為偶點(diǎn)通過對圖2-148和圖2-149的考察，我們可以直觀地想到如下結(jié)論：(i)一個(gè)網(wǎng)絡(luò)若能一筆畫出來，其中偶點(diǎn)個(gè)數(shù)必須是0或2(ii)一個(gè)網(wǎng)絡(luò)中的奇點(diǎn)個(gè)數(shù)若是0或2，那么這個(gè)網(wǎng)絡(luò)一定能一筆畫出來歐拉證明了以上兩條猜想，得到了著名的歐拉定理：一個(gè)網(wǎng)絡(luò)能一筆畫的條件是當(dāng)且僅當(dāng)這個(gè)網(wǎng)絡(luò)的任意兩個(gè)頂點(diǎn)都有弧連接，并且奇數(shù)點(diǎn)的個(gè)數(shù)等于0或2(4)回到原問題利用歐拉定理，“七橋問題”很容易就解決了因?yàn)樵趫D2-147中，奇點(diǎn)個(gè)數(shù)是4，不滿足歐拉定理的條件，因此不可能按約定條件通過七座橋(5)推廣如果一個(gè)網(wǎng)絡(luò)的奇點(diǎn)個(gè)數(shù)不是0或2，則這個(gè)網(wǎng)絡(luò)不可能一筆畫成那么要多少筆才能畫成呢？這就成為多筆畫的問題了多筆畫的研究發(fā)展了網(wǎng)絡(luò)理論的研究與應(yīng)用，后來發(fā)展成現(xiàn)代數(shù)學(xué)的一個(gè)分支圖論歸納上述分析方法，可以大致看出利用抽象分析法解決實(shí)際問題的思維過程：(1)把實(shí)際問題簡單化，抽象成數(shù)學(xué)問題(2)解決問題是靠發(fā)現(xiàn)事物間由簡單到復(fù)雜、由特殊到一般的內(nèi)在聯(lián)系(3)發(fā)現(xiàn)的思路是以具體實(shí)例作為經(jīng)驗(yàn)觀察，由簡到繁地考察構(gòu)成實(shí)例間的基本事實(shí)和關(guān)系；再由諸特例作出一般的歸納猜想，并加以理論證明(4)應(yīng)用論證后的法則，解決各種難題，實(shí)際上是化難為易(5)把法則加以推廣，以解決更多的實(shí)際問題，并擴(kuò)展數(shù)學(xué)的理論和應(yīng)用2數(shù)據(jù)處理法有些實(shí)際問題需要收集問題中的若干對應(yīng)數(shù)據(jù)，從數(shù)據(jù)中觀察相關(guān)變量的依存關(guān)系或?qū)?yīng)關(guān)系，可以得到大致體現(xiàn)實(shí)際問題有關(guān)變量變化規(guī)律的數(shù)學(xué)模型，從而解答實(shí)際問題下面舉一個(gè)實(shí)例，說明這種方法的應(yīng)用例2 怎樣由樹的斷面直徑來推斷樹的高度解 第一步：設(shè)計(jì)變量根據(jù)這個(gè)問題，我們可以設(shè)預(yù)測的某種樹的高度為y，離地面1.5米處的直徑為x厘米第二步：收集x，y的對應(yīng)數(shù)據(jù)，為此我們測量12棵樹的x，y的對應(yīng)值，列表如表281第三步：由對應(yīng)數(shù)據(jù)求出y對x的函數(shù)關(guān)系式常用的方法是作圖法把直徑x看作自變量，高度y看作因變量每一對(x，y)看作一個(gè)點(diǎn)，畫在坐標(biāo)紙上(圖2-150)，作成散點(diǎn)圖從散點(diǎn)圖可以直觀地看出兩個(gè)變量之間的大致關(guān)系我們從圖2-150可看出，y隨x的增大而增大，并且這些點(diǎn)的分布近似一條直線這時(shí)，我們在圖上畫出盡可能接近這些點(diǎn)的一條直線，自然，有些點(diǎn)正好在直線上，有的點(diǎn)卻有所偏離，不在直線上，這說明有些誤差，但如果重復(fù)測量幾次，誤差不會(huì)太大因此，我們所畫出的直線近似地表示著x和y之間的線性關(guān)系，所以這條直線的函數(shù)表達(dá)式一次函數(shù)式就可作為樹的高度y和直徑x間的關(guān)系式了下面我們就來求出這個(gè)一次函數(shù)式設(shè)這條直線的一次函數(shù)式為：y=axb為了求出常數(shù)a，b，在直線上取兩點(diǎn)，取點(diǎn)的原則是：為使直線位置穩(wěn)定，取直線上距離較遠(yuǎn)的兩點(diǎn)；為便于計(jì)算，取坐標(biāo)數(shù)據(jù)整齊些的兩點(diǎn)為此，我們?nèi)↑c(diǎn)(4，8.6)和(40，26)，將此兩點(diǎn)的坐標(biāo)代入y=axb，得方程組所以 y=0.48x+6.68第四步：利用上述函數(shù)關(guān)系式，根據(jù)直徑x的數(shù)值，預(yù)報(bào)樹高y的數(shù)值例如，當(dāng)x=15厘米時(shí)，樹高y等于多少米？顯然，此時(shí)y=0.48156.68=13.88(厘米)這就是說，當(dāng)樹的直徑為15厘米時(shí)，樹高為13.88米上面是用兩對實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)(兩個(gè)點(diǎn))求出的直線方程利用實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)的信息較少，因此準(zhǔn)確性較差下面利用平均值法改進(jìn)一下，作法是：在直線的上、下取兩組靠近直線的點(diǎn)，如(4，8.6)，(9.3，10.7)，(14.3，13.5)為一組；(32，22.4)，(40，26)，(42，28)為一組，用每組x，y的平均值(9.2，10.93)和(38，25.47)作為兩點(diǎn)，再按上面的方法求出直線方程y=0.50x6.28，以此作為實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)，y對x間的函數(shù)關(guān)系就比較準(zhǔn)確些說明 上面的方法，是數(shù)學(xué)在解決實(shí)際問題時(shí)的一種應(yīng)用，經(jīng)常用在處理實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)中，當(dāng)實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)為有序數(shù)對(x，y)時(shí)，相應(yīng)地在直角坐標(biāo)系中描出點(diǎn)(x，y)的散點(diǎn)圖如果散點(diǎn)圖近于一條直線，要找出變量x，y間的函數(shù)關(guān)系時(shí)，就可用這種方法然而由實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)作出的散點(diǎn)圖不一定近于直線，而近于一條曲線時(shí)，也可找到x，y間的函數(shù)關(guān)系式，不過需要更多的數(shù)學(xué)知識(shí)，我們在此就不介紹了3運(yùn)籌優(yōu)化法有些實(shí)際問題，可以根據(jù)問題的要求，首先籌劃一些可行的處理方案，然后比較這些方案的優(yōu)劣，選擇其中一種或幾種方案加以優(yōu)化組合，并用數(shù)學(xué)方法加以處理，以便得到最佳的解決方案下面舉一個(gè)實(shí)例說明這種方法的應(yīng)用例3 要做20個(gè)矩形鋼框，每個(gè)由2.2米和1.5米的鋼材各兩根組成，已知原鋼材長4.6米，應(yīng)如何下料，使用的原鋼材最省？分析與解 要做成20個(gè)矩形的鋼框，就需要2.2米和1.5米的鋼材各40根一種簡單的想法是：在每一根原料上截取2.2米和1.5米的鋼材各一根，這樣每根原鋼材剩下0.9米的料頭，要做20個(gè)鋼框，就要用原鋼材40根，而剩下的料頭總數(shù)為0.940=36米顯然，上述想法，浪費(fèi)材料，不太合理因此，我們可以考慮合理套裁，就可以節(jié)省原料下面有三種下料方案可供采用為了省料而得到20個(gè)鋼框，需要混合使用各種下料方案設(shè)用第種方案下料的原材料根數(shù)為x1；用第種方案下料的原材料根數(shù)為x2；用第種方案下料的原材料根數(shù)為x3所謂原材料最省，也就是使所剩下的料頭總和最少為此根據(jù)表282的方案，可以列出以下的數(shù)學(xué)模型y=0.1x1+0.2x20.9x3，解之得其中0x340把x1，x2代入y得可以看出，x3越大，y的值也越大，所以x3的取值應(yīng)盡量小當(dāng)x3=0時(shí)，可取x1=14，x2=20當(dāng)x3=1時(shí)，x1=13，x2=20，都是用原材料34根，料頭的總數(shù)為y=344.6-(2.2+1.5)40=8.4(米)所以，原材料最省的下料方案是：按方案下料13(或14)根，用方案下料20根，用方案下料1(或0)根，這樣只需34根原材料就可做出20個(gè)鋼框練習(xí)二十八1下列圖形是否可以一筆畫出？2圖2-154是33的方格型道路網(wǎng)，如果每個(gè)小方格的邊長為1千米，那么由A點(diǎn)出發(fā)走完全部路段，最后又回到A