第4章 參數(shù)估計(jì).ppt

第4章參數(shù)估計(jì) 4 1參數(shù)估計(jì)的一般問(wèn)題 4 2一個(gè)總體參數(shù)的區(qū)間估計(jì) 4 3樣本容量的確定 4 1參數(shù)估計(jì)的一般問(wèn)題 一 估計(jì)量與估計(jì)值二 點(diǎn)估計(jì)與區(qū)間估計(jì)三 評(píng)價(jià)估計(jì)量的標(biāo)準(zhǔn) 一 估計(jì)量與估計(jì)值 estimator estimatedvalue 估計(jì)量與估計(jì)值概念 估計(jì)量 用于估計(jì)總體參數(shù)的隨機(jī)變量 即 用于估計(jì)總體參數(shù)的統(tǒng)計(jì)量的名稱 如樣本均值 樣本比例 樣本方差等2 估計(jì)值 估計(jì)參數(shù)時(shí)計(jì)算出來(lái)的統(tǒng)計(jì)量的具體數(shù)值 如通過(guò)某個(gè)特定的樣本求出該樣本的均值 x 80 則80就是相應(yīng)總體參數(shù) 的估計(jì)值 二 點(diǎn)估計(jì)與區(qū)間估計(jì) pointestimate intervalestimate 點(diǎn)估計(jì) 定義 用樣本統(tǒng)計(jì)量的某個(gè)取值直接作為總體參數(shù)的估計(jì)值 稱為參數(shù)的點(diǎn)估計(jì) 例如 用樣本均值直接作為總體均值的估計(jì)優(yōu)點(diǎn) 計(jì)算簡(jiǎn)單 快捷 缺點(diǎn) 由于沒(méi)有給出估計(jì)值接近總體參數(shù)程度的信息 所以該法估計(jì)的可靠性差 區(qū)間估計(jì) 定義 在點(diǎn)估計(jì)的基礎(chǔ)上 給出總體參數(shù)估計(jì)的一個(gè)區(qū)間范圍 稱作參數(shù)的區(qū)間估計(jì) 總體參數(shù)的估計(jì)區(qū)間通常是由樣本統(tǒng)計(jì)量加減抽樣誤差得到的 優(yōu)點(diǎn) 區(qū)間估計(jì)可以根據(jù)樣本統(tǒng)計(jì)量的抽樣分布 能夠?qū)颖窘y(tǒng)計(jì)量與總體參數(shù)的接近程度給出一個(gè)概率度量 區(qū)間估計(jì)的圖示 置信區(qū)間 在區(qū)間估計(jì)中 由樣本統(tǒng)計(jì)量所構(gòu)造的總體參數(shù)的估計(jì)區(qū)間稱為置信區(qū)間 其中區(qū)間的最小值叫做置信下限 最大值叫做置信下限 2 置信水平 是將構(gòu)造置信區(qū)間的步驟重復(fù)多次后 置信區(qū)間中包含總體參數(shù)真值的次數(shù)所占的比例 也稱為置信系數(shù)或置信度 置信水平通常用符號(hào) 1 表示 總體參數(shù)不包括在置信區(qū)間內(nèi)的概率 區(qū)間估計(jì)中的兩個(gè)基本概念 區(qū)間估計(jì) 數(shù)理統(tǒng)計(jì)中的概念 定義 設(shè)是總體的一個(gè)參數(shù) 是來(lái)自總體的一組樣本 是兩個(gè)統(tǒng)計(jì)量 且 對(duì)給定的常數(shù)及任意的參數(shù) 有則稱隨機(jī)區(qū)間是的置信度 置信水平 為的置信區(qū)間 區(qū)間估計(jì) 其中分別為置信下限和置信上限 影響置信區(qū)間寬度的因素 1 樣本容量 當(dāng)置信水平 1 固定時(shí) 置信區(qū)間的寬度隨樣本容量的增大而減小 2 置信水平 1 當(dāng)樣本容量給定時(shí) 置信區(qū)間的寬度隨著置信水平的增大而增大 對(duì)置信區(qū)間的理解有以下幾點(diǎn)要注意 1 如果用某種方法構(gòu)造的所有區(qū)間中有95 的區(qū)間包含總體參數(shù)的真實(shí)值 由5 的區(qū)間不包含總體參數(shù)的真值 那么用該方法構(gòu)造的區(qū)間稱為置信水平為95 的置信區(qū)間 2 總體參數(shù)的真值是固定的 未知的 而用樣本構(gòu)造的區(qū)間則是不固定的 3 在實(shí)際問(wèn)題中 進(jìn)行估計(jì)時(shí)往往只抽取一個(gè)樣本 此時(shí)所構(gòu)造的是與該樣本相聯(lián)系的一定置信水平下的置信區(qū)間 注意一類表述 如果以95 的置信水平得到某班學(xué)生考試成績(jī)的置信區(qū)間為 60 80 問(wèn) 能否說(shuō)全班學(xué)生平均考試成績(jī)的真值以95 的概率落在 60 80 或者說(shuō) 60 80 這個(gè)區(qū)間以95 的概率包含全班學(xué)生平均考試成績(jī)的真值 錯(cuò)誤的原因 這個(gè)概率不是用來(lái)描述某個(gè)特定的區(qū)間包含總體參數(shù)真值的可能性 而是針對(duì)隨機(jī)區(qū)間而言的 評(píng)價(jià)估計(jì)量的標(biāo)準(zhǔn) 一 無(wú)偏性 unbiasedness 無(wú)偏性 估計(jì)量抽樣分布的數(shù)學(xué)期望等于被估計(jì)的總體參數(shù) 設(shè)總體參數(shù)為 所選擇的估計(jì)量為 如果滿足 則稱為的無(wú)偏估計(jì)量 二 有效性 efficiency 有效性 對(duì)同一總體參數(shù)的兩個(gè)無(wú)偏點(diǎn)估計(jì)量 有更小標(biāo)準(zhǔn)差的估計(jì)量更有效 設(shè)有兩個(gè)無(wú)偏估計(jì)量和 如果有則稱比更有效 三 一致性 consistency 一致性 隨著樣本容量的增大 估計(jì)量的值越來(lái)越接近被估計(jì)的總體參數(shù) 即 4 2一個(gè)總體參數(shù)的區(qū)間估計(jì) 一 總體均值的區(qū)間估計(jì)二 總體比例的區(qū)間估計(jì)三 總體方差的區(qū)間估計(jì) 一個(gè)總體參數(shù)的區(qū)間估計(jì) 總體均值的區(qū)間估計(jì) 1 大樣本 假定條件 總體方差 已知那么我們使用的統(tǒng)計(jì)量為正態(tài)分布z統(tǒng)計(jì)量 則在此條件下推導(dǎo)出的總體均值 在置信水平1 下的置信區(qū)間為 假定條件 總體方差 未知 則在此條件下推導(dǎo)出的總體均值 在置信水平1 下的置信區(qū)間為 那么我們使用的統(tǒng)計(jì)量為正態(tài)分布z統(tǒng)計(jì)量 2 小樣本 假定條件 總體服從正態(tài)分布 且方差 已知 則在此條件下推導(dǎo)出的總體均值 在置信水平1 下的置信區(qū)間為 那么我們使用的統(tǒng)計(jì)量為正態(tài)分布z統(tǒng)計(jì)量 假定條件 總體服從正態(tài)分布 且方差 未知 則在此條件下推導(dǎo)出的總體均值 在置信水平1 下的置信區(qū)間為 那么我們使用的統(tǒng)計(jì)量為服從t分布的t統(tǒng)計(jì)量 例題 例1 一家食品生產(chǎn)企業(yè)以生產(chǎn)袋裝食品為主 為對(duì)產(chǎn)量質(zhì)量進(jìn)行監(jiān)測(cè) 企業(yè)質(zhì)檢部門經(jīng)常要進(jìn)行抽檢 以分析每袋重量是否符合要求 現(xiàn)從某天生產(chǎn)的一批食品中隨機(jī)抽取了25袋 測(cè)得每袋重量如下表所示 已知產(chǎn)品重量的分布服從正態(tài)分布 且總體標(biāo)準(zhǔn)差為10g 試估計(jì)該批產(chǎn)品平均重量在95 置信水平下的置信區(qū)間 解 已知 N 102 n 25 1 95 z 2 1 96 根據(jù)樣本數(shù)據(jù)計(jì)算得 總體均值 在1 置信水平下的置信區(qū)間為 該食品平均重量的置信區(qū)間為101 44g 109 28g 例2 一家保險(xiǎn)公司收集到由36投保個(gè)人組成的隨機(jī)樣本 得到每個(gè)投保人的年齡 周歲 數(shù)據(jù)如下表 試建立投保人年齡90 的置信區(qū)間 解 已知n 36 1 90 z 2 1 645 根據(jù)樣本數(shù)據(jù)計(jì)算得 總體均值 在1 置信水平下的置信區(qū)間為 投保人平均年齡的置信區(qū)間為37 37歲 41 63歲 例3 已知某種燈泡的壽命服從正態(tài)分布 現(xiàn)從一批燈泡中隨機(jī)抽取16只 測(cè)得其使用壽命 小時(shí) 如下 建立該批燈泡平均使用壽命95 的置信區(qū)間 解 已知 N 2 n 16 1 95 t 2 2 131根據(jù)樣本數(shù)據(jù)計(jì)算得 總體均值 在1 置信水平下的置信區(qū)間為 該種燈泡平均使用壽命的置信區(qū)間為1476 8小時(shí) 1503 2小時(shí) 總體比例的區(qū)間估計(jì) 假定條件大樣本 即滿足 則在此條件下我們推導(dǎo)出的總體比例 在置信水平1 下的置信區(qū)間為 那么我們使用的統(tǒng)計(jì)量為正態(tài)分布z統(tǒng)計(jì)量 例題 例 某城市想要估計(jì)下崗職工中女性所占的比率 隨機(jī)地抽取了100名下崗職工 其中65人為女性職工 試以95 的置信水平估計(jì)該城市下崗職工中女性比率的置信區(qū)間 解 已知n 100 p 65 1 95 z 2 1 96 該城市下崗職工中女性比率的置信區(qū)間為55 65 74 35 總體比例 在置信水平1 下的置信區(qū)間為 總體方差的區(qū)間估計(jì) 假設(shè)條件總體服從正態(tài)分布我們使用的是與分布相關(guān)的統(tǒng)計(jì)量 則在此條件下得到總體方差在置信水平1 下的置信區(qū)間為 圖示 2 21 2 總體方差1 的置信區(qū)間 自由度為n 1的 2分布 例題 例 一家食品生產(chǎn)企業(yè)以生產(chǎn)袋裝食品為主 現(xiàn)從某天生產(chǎn)的一批食品中隨機(jī)抽取了25袋 測(cè)得每袋重量如下表所示 已知產(chǎn)品重量的分布服從正態(tài)分布 以95 的置信水平建立該種食品重量標(biāo)準(zhǔn)差的置信區(qū)間 解 已知n 25 1 95 根據(jù)樣本數(shù)據(jù)計(jì)算得s2 93 21 2置信度為95 的置信區(qū)間為 該企業(yè)生產(chǎn)的食品總體重量標(biāo)準(zhǔn)差的的置信區(qū)間為7 54g 13 43g 4 3樣本容量的確定 一 估計(jì)總體均值時(shí)樣本容量的確定二 估計(jì)總體比例時(shí)樣本容量的確定 總體均值的置信區(qū)間是由樣本均值和邊際誤差兩部分組成 令代表希望達(dá)到的邊際誤差 即由此可以推導(dǎo)出確定樣本容量的公式如下 一 估計(jì)總體均值時(shí)樣本容量的確定 由上式可以看出 樣本容量與置信水平成正比 在其他條件不變的情況下 置信水平越大 所需的樣本容量也就越大 樣本容量與總體方差成正比 總體的差異越大 所要求的樣本容量也越大 樣本容量與邊際誤差成反比 即可以接受的邊際誤差的平方越大 所需的樣本容量就越小 例 擁有工商管理學(xué)士學(xué)位的大學(xué)畢業(yè)生年薪的標(biāo)準(zhǔn)差大約為2000元 假定想要估計(jì)年薪95 的置信區(qū)間 希望允許誤差為400元 應(yīng)抽取多大的樣本容量 解 已知 2000 E 400 1 95 z 2 1 96應(yīng)抽取的樣本容量為 即應(yīng)抽取97人作為樣本 令E代表所希