不定積分整章教案.doc

20NO.微積分教案 第五章 不定積分5.1 不定積分的概念與性質(zhì)一、原函數(shù)與不定積分的概念1定義 設(shè)是定義在區(qū)間上的函數(shù)，如果存在函數(shù)，對于,都有 或 ,則稱函數(shù)為函數(shù)在區(qū)間上的一個原函數(shù).例如，是的原函數(shù),因為 .又因為, ,所以和都是2的原函數(shù).2問題1：一個函數(shù)若有原函數(shù)，原函數(shù)是否唯一？（不唯一，無數(shù)多個）問題2：同一函數(shù)的無數(shù)多個原函數(shù)之間是什么關(guān)系？如果，為函數(shù)在區(qū)間上的任意兩個原函數(shù), , ,于是有 .所以 ,或 .回答：任意兩個原函數(shù)相差一個常數(shù)。3不定積分 函數(shù)的所有原函數(shù)稱為的不定積分，記作:.其中“”稱為積分號，稱為被積函數(shù)，稱為被積表達式，稱為積分變量.由前面的討論可知： 如果是的一個原函數(shù),那么 . 例1 求.解 由于，所以是的一個原函數(shù)，因此 . 例2 求.解 當(dāng)時,我們知道，亦有 ,即是的一個原函數(shù)，因此 ;當(dāng)時，我們所要求的不定積分為 .因為，因此 性質(zhì)：1） 或 ; 2） 或.4可積函數(shù)類： 如果函數(shù)在某一區(qū)間上連續(xù)，則在這區(qū)間上函數(shù)可積二、基本積分公式 (1) ,（是常數(shù)）; (2) ; (3) ; (4) ; (5) ; (6) ; (7) ; (8) ; (9) ; (10) ; （11）; （12）; （13）; （14）; （15）.三、不定積分的性質(zhì) 性質(zhì)1 （1）事實上，. 推廣：有限個函數(shù)的和的情況也有這一性質(zhì).性質(zhì)2 （為常數(shù)，）. 例3 求. 解 . 例4 . 解 . 例5 求. 解 = . 例6 求 解 . 例7 已知曲線在其上點的切線斜率，且曲線經(jīng)過點, ，求此曲線方程 解 設(shè)曲線方程為，由假設(shè)，圖5.1-1故 = 即 ，為常數(shù)， 曲線經(jīng)過點（2，），以此點坐標(biāo)代入方程，得 ，解得 .因此所求方程為. 例8 已知某產(chǎn)品的邊際收入函數(shù)為(為銷售量),求總收入函數(shù).解 . 當(dāng)時,從而,于是 5.2 換元積分法一、第一類換元法1引例求 解 ，令2，得 ,代回原變量，得 .一般的我們有如下結(jié)論：2定理 設(shè)是的連續(xù)函數(shù)，且 ，設(shè)有連續(xù)的導(dǎo)數(shù)，則 = 證明 只需證明 即可，又由，故例1求. 解 令 ，則 ，故 .例2 求解 = 因為 ， 設(shè) x，則 ， 因此， =. 練習(xí)： 熟練以后，可直接寫出結(jié)果:例3 求. 解 =.例4求）. 解 .例5求.解 由于,所以 .例6 求. 解 =.例7 求 與 . 解 =. .例8 求. 解 .又 =.所以上述不定積分又可表示為 . 練習(xí)： 例9 求. 解 利用積化和差公式 ,得 ,所以 .二、第二類換元法 定理 設(shè)函數(shù)嚴(yán)格單調(diào)、可導(dǎo)且，設(shè)具有原函數(shù).則，其中是的反函數(shù). 證 設(shè) ，只需證 而 .去根號 例1 求. 解 作變量代換 ( 以消去根式)，于是 ，,從而 .例2求 ().解 積分難點在于被積函數(shù)中的根號，為去掉根號，令 ， , 則 , ,回代變量，由，得 , 故有 . 例3 求解 利用三角公式 來化去根式， 設(shè) 解 設(shè)，令， 利用公式 有 ，于是有 ，注意： 兩邊取導(dǎo)數(shù)得 所以 ,其中 .例5 求 解 為化去根式，令，則， .將 回代得 .例6 求 . 解 . 例7 求 . 解 . 5.3 分部積分法 ， 移項得, . 對這個等式兩邊求不定積分， 得. （1） 簡便起見,公式（1）常寫成下面的形式： . （2） 例1求.解 這個積分用換元積分法不易求得結(jié)果。現(xiàn)在試用分部積分法來求它。設(shè)，,則，利用分部積分公式（2）得.注意：恰當(dāng)選取和，一般要考慮下面兩點： （1）要容易求得；（2）要比容易積出. 例2.求.解 設(shè)，,則，,于是. 例3.求.解 設(shè)， , 則，,利用公式（2）得 . .熟練以后，不必寫出、，只要在心里想著就可以了. 例4.求.解 . 例5.求.解 . 例6.求.解 注意到 與所求積分是同一類型的，需再用一次分部積分， . . 例7.求.解 , . 例8.求（其中為正整數(shù)）.解 當(dāng)n1時, 于是 由此作遞推公式，并由, 即得.5.4 幾種特殊類型的函數(shù)的積分一、有理函數(shù)的積分1 有理函數(shù) , （1）其中、分別是關(guān)于的次和次的實系數(shù)多項式.當(dāng)時，稱為有理真分式; 時,稱為有理假分式.對于有理假分式,的次數(shù)大于的次數(shù)，應(yīng)用多項式的除法， , （2）即有理假分式總能化為多項式與有理真分式之和.多項式的積分容易求得,故只需討論有理真分式的積分.2將有理真分式寫成簡單真分式的和 設(shè) , . 如果 .，其中、.、.是正整數(shù)，各二次多項式無實根，則可唯一地分解成下面形式的部分分式之和 . .+. . . （3）其中：,.,.,.,.,.,.,都是實常數(shù).3求簡單真分式的積分：最終歸結(jié)為求下面四類部分分式的積分：（1） , （2） （.）, （3） , （4） （.）.其中為常數(shù)，且二次式無實根.所以，有關(guān)有理函數(shù)積分問題得以全部解決.例1.求 .解 設(shè) ，有 由于此式為恒等式，故兩端同次冪的系數(shù)應(yīng)相等.即 ， 解得 ，故 ，從而 . 例2.求.解 分子多項式的次數(shù)高于分母多項式的次數(shù)，由 ，有 ，于是 。 例3. 求.解 設(shè),解得 ,有 ,于是 .分別求上式等號右端的每一個不定積分:.由遞推公式有.有 .于是 .二、三角函數(shù)的積分1定義：由及經(jīng)過有限次四則運算所構(gòu)成的函數(shù),記做.2計算： 有多種方法,其中有一種是萬能的 設(shè) ， 則有 ， ， ，有 =. 換元稱為萬能換元.例1 求. 解 令，則， . 例2 求. 解 令，則，,. .注：盡管“萬能公式”在求三角函數(shù)有理式的積分時是萬能的，但有時不是最好的例3 求. 解 令得 .例4