高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)精講課件 第9單元第53講 空間角及其計(jì)算 湘教版 .ppt

第53講空間角及其計(jì)算 5 如圖 已知ab為平面 的一條斜線 b為斜足 ao o為垂足 bc為 內(nèi)的一條直線 abc 60 obc 45 則斜線ab和平面 所成的角為 45 解析 由斜線和平面所成的角的定義可知 abo為斜線ab和平面 所成的角 又因?yàn)閏os abo 所以 abo 45 例1如圖 直四棱柱abcd a1b1c1d1的底面abcd為平行四邊形 其中ab bd bc 1 2 e為dc的中點(diǎn) f是棱dd1上的動(dòng)點(diǎn) 1 求異面直線ad1與be所成角的正切值 2 當(dāng)df為何值時(shí) ef與bc1所成的角為90 題型一異面直線所成的角的求法 分析 依異面直線所成角的定義或推理尋找或平行移動(dòng)作出異面直線所成角對(duì)應(yīng)平面角 方法1 1 連接ec1 在直四棱柱abcd a1b1c1d1中 ad1 bc1 則 ebc1為異面直線ad1與be所成的角 又底面abcd 側(cè)面dcc1d1bd bce為cd的中點(diǎn) be 側(cè)面dcc1d1 be ec1 在rt bec1中 be ec1 所以tan ebc1 3 be cd 2 當(dāng)df 時(shí) ef與bc1所成的角為90 由 1 知 be 側(cè)面dcc1d1 be ef 又de ec cc1 aa1 2 當(dāng)df 時(shí) 因?yàn)?所以 def cc1e 所以 def cec1 90 所以 fec1 90 即fe ec1 又eb bc1 e 所以ef 平面bec1 所以ef bc1 即ef與bc1所成的角等于90 方法2 由bc2 bd2 dc2可知bd bc 分別以bd bc bb1分別為x軸 y軸 z軸建立空間直角坐標(biāo)系 如圖 則b 0 0 0 a 1 1 0 d 1 0 0 d1 1 0 2 c 0 1 0 c1 0 1 2 e 0 1 因?yàn)?0 1 2 0 所以cos 所以sin 所以tan 3 即ad1與be所成的角的正切值為3 2 設(shè)f 1 0 q 則 q 又 0 1 2 由 0 1 q 2 0 得q 即df 時(shí) ef bc1 所以sin 所以tan 3 即ad1與be所成的角的正切值為3 2 設(shè)f 1 0 q 則 q 又 0 1 2 由 0 1 q 2 0 得q 即df 時(shí) ef bc1 評(píng)析 異面直線所成角的求法有傳統(tǒng)的構(gòu)造法和空間向量法兩種 解題可依據(jù)問題情境恰當(dāng)選用 d 例2如圖 在矩形abcd中 ab 4 ad 2 e為cd的中點(diǎn) 將 ade沿ae折起 使平面ade 平面abce 得到幾何體d abce 1 求證 be 平面ade 并求ab與平面ade所成的角的大小 2 求bd與平面cde所成角的正弦值 題型二直線和平面所成的角 解析 1 在矩形abcd中 連接be 因?yàn)閍b 2ad e為cd的中點(diǎn) 所以ad de eab 45 從而 eba 45 故ae eb 過d作do ae于o 因?yàn)槠矫鎍de 平面abce 所以do 平面abce 所以do be 又ae do o 所以be 平面ade 可知ae為ab在平面ade上的射影 從而 bae為ab與平面ade所成的角 大小為45 2 由 1 可知 do 平面abce be ae 過o作of be 以o為原點(diǎn) oa of od分別為x軸 y軸 z軸建立空間直角坐標(biāo)系 則d 0 0 e 0 0 b 2 2 0 c 2 2 0 設(shè)平面cde的法向量n x y z 又 2 2 0 n 2x y z 0z xn x y 0y x 取x 1 得n 1 1 1 又 2 cos n 則bd與平面cde所成角的正弦值為 則 得 評(píng)析 本例的求解策略說明 若方便獲知直線在平面內(nèi)的射影 則可用傳統(tǒng)的構(gòu)造法求直線與平面所成的角 若找直線在平面內(nèi)的射影較難 則可用向量法求直線和平面所成的角 題型三二面角 評(píng)析 1 求二面角的平面角的直接作法是利用三垂線定理 在一個(gè)平面內(nèi)找一點(diǎn) 過此點(diǎn)作另一個(gè)平面的垂線 若題目中有兩個(gè)互相垂直的面 其中一個(gè)為二面角的面時(shí)可用面面垂直的性質(zhì)作垂線 2 平面與平面所成角的向量公式 設(shè)平面a與平面b的法向量分別為m和n 則二面角a l b與m n的夾角q相等或互補(bǔ) 1 角的計(jì)算與度量總要進(jìn)行轉(zhuǎn)化 這體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化的思想 主要將空間角轉(zhuǎn)化為平面角或兩向量的夾角 2 用向量的數(shù)量積來求解兩異面直線所成的角 簡(jiǎn)單 易掌握 其基本程序是選基底 表示兩直線方向向量 計(jì)算數(shù)量積 若能建立空間直角坐標(biāo)系 則更為方便 3 找直線和平面所成的角常用方法是過線上一點(diǎn)作面的垂線或找線上一點(diǎn)到面的垂線 或找 作 垂面 將其轉(zhuǎn)化為平面角 或用向量求解 或解直角三角形 二面角的求解方法一般有作垂面法 三垂線定理法 面積射影法 向量法等 特別是對(duì) 無 棱 圖中沒有棱 的二面角 應(yīng)先找出棱或借助平面法向量的夾角求解 4 若利用向量來解 各類角都可以轉(zhuǎn)化為向的夾角來運(yùn)算 1 求兩異面直線a b的夾角q 需求出它們的方向向量a