級數(shù)的收斂求和與展開.ppt

習(xí)題課 級數(shù)的收斂 求和與展開 機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束 三 冪級數(shù)和函數(shù)的求法 五 函數(shù)的冪級數(shù)和付式級數(shù)展開法 一 數(shù)項級數(shù)的審斂法 二 冪級數(shù)收斂域的求法 第十一章 四 求數(shù)項級數(shù)的和 在收斂域內(nèi)進(jìn)行 基本問題 判別斂散 求收斂域 求和函數(shù) 級數(shù)展開 為傅立葉級數(shù) 為傅氏系數(shù) 時 時為數(shù)項級數(shù) 時為冪級數(shù) 機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束 一 數(shù)項級數(shù)的審斂法 1 利用部分和數(shù)列的極限判別級數(shù)的斂散性 2 正項級數(shù)審斂法 機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束 3 任意項級數(shù)審斂法 絕對收斂 條件收斂 判別交錯級數(shù)收斂的Leibniz判別法 例1 若級數(shù) 均收斂 且 證明級數(shù) 收斂 證 則由題設(shè) 收斂 收斂 收斂 練習(xí)題 P2571 2 3 4 5 機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束 解答提示 P257題2 判別下列級數(shù)的斂散性 提示 1 據(jù)比較判別法 原級數(shù)發(fā)散 因調(diào)和級數(shù)發(fā)散 機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束 利用比值判別法 可知原級數(shù)發(fā)散 用比值法 可判斷級數(shù) 因n充分大時 原級數(shù)發(fā)散 用比值判別法可知 時收斂 時 利用p級數(shù)可知 時收斂 時發(fā)散 再由比較法可知原級數(shù)收斂 時發(fā)散 發(fā)散 收斂 機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束 P257題3 設(shè)正項級數(shù) 和 也收斂 提示 因 存在N 0 又因 利用收斂級數(shù)的性質(zhì)及比較判斂法易知結(jié)論正確 都收斂 證明級數(shù) 當(dāng)n N時 機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束 P257題4 設(shè)級數(shù) 收斂 且 是否也收斂 說明理由 但對任意項級數(shù)卻不一定收斂 問級數(shù) 提示 對正項級數(shù) 由比較判別法可知 級數(shù) 收斂 收斂 級數(shù) 發(fā)散 例如 取 機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束 P257題5 討論下列級數(shù)的絕對收斂性與條件收斂性 提示 1 P 1時 絕對收斂 0 p 1時 條件收斂 p 0時 發(fā)散 2 因各項取絕對值后所得強(qiáng)級數(shù) 原級數(shù)絕對收斂 故 機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束 因 單調(diào)遞減 且 但 所以原級數(shù)僅條件收斂 由Leibniz判別法知級數(shù)收斂 機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束 因 所以原級數(shù)絕對收斂 機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束 二 求冪級數(shù)收斂域的方法 標(biāo)準(zhǔn)形式冪級數(shù) 先求收斂半徑R 再討論 非標(biāo)準(zhǔn)形式冪級數(shù) 通過換元轉(zhuǎn)化為標(biāo)準(zhǔn)形式 直接用比值法或根值法 處的斂散性 P257題7 求下列級數(shù)的斂散區(qū)間 練習(xí) 機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束 解 當(dāng) 因此級數(shù)在端點發(fā)散 時 時原級數(shù)收斂 故收斂區(qū)間為 機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束 解 因 故收斂區(qū)間為 級數(shù)收斂 一般項 不趨于0 級數(shù)發(fā)散 機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束 例2 解 分別考慮偶次冪與奇次冪組成的級數(shù) 極限不存在 原級數(shù) 其收斂半徑 注意 機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束 求部分和式極限 三 冪級數(shù)和函數(shù)的求法 求和 映射變換法 逐項求導(dǎo)或求積分 對和式積分或求導(dǎo) 初等變換法 分解 套用公式 在收斂區(qū)間內(nèi) 機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束 練習(xí) 解 1 顯然x 0時上式也正確 故和函數(shù)為 而在 x 0 P258題8 求下列冪級數(shù)的和函數(shù) 級數(shù)發(fā)散 機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束 4 機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束 顯然x 0時 和為0 根據(jù)和函數(shù)的連續(xù)性 有 x 1時 級數(shù)也收斂 即得 機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束 例1 求冪級數(shù) 法1易求出級數(shù)的收斂域為 機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束 例2求極限 其中 解 令 作冪級數(shù) 設(shè)其和為 易知其收斂半徑為1 則 機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束 例1 上頁下頁返回結(jié)束 四 求數(shù)項級數(shù)的和 1 利用級數(shù)和的定義求和 2 阿貝爾法 構(gòu)造冪級數(shù)法 例2 解 上頁下頁返回結(jié)束 則 從而 解 原式 的和 P258題9 2 求級數(shù) 機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束 3 利用函數(shù)的展開式 五 函數(shù)的冪級數(shù)和付式級數(shù)展開法 直接展開法 間接展開法 練習(xí) 1 將函數(shù) 展開成x的冪級數(shù) 利用已知展式的函數(shù)及冪級數(shù)性質(zhì) 利用泰勒公式 解 機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束 1 函數(shù)的冪級數(shù)展開法 2 設(shè) 將f x 展開成 x的冪級數(shù) 的和 解 于是 并求級數(shù) 機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束 機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束 P2576 2 7 3 8 2 9 1 10 1 作業(yè) 機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束 求 的和函數(shù) 解 去分子常積分 逐項求導(dǎo)得 再逐項求導(dǎo) 得 分部積分 得 練習(xí)1 上頁下頁返回結(jié)束 的和函數(shù) 解 練習(xí)2求 上頁下頁返回結(jié)束 練習(xí)3 解 上頁下頁返回結(jié)束 P2589 練習(xí)4 設(shè) 是