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第四章隨機變量的數字特征 4 1數學期望 2 4 1數學期望 布萊士 帕斯卡 兩個賭徒甲 乙向他提出了一個問題 甲乙兩個人賭博 兩人獲勝的機率相等 約定誰先贏滿5局 誰就獲得100法郎 甲贏了4局 乙贏了3局 時間很晚了 他們都不想再賭下去了 那么 這個錢應該怎么分 甲的期望所得值就是0 0 25 100 0 75 75乙的期望所得值就是0 0 75 100 0 25 25 一 數學期望的由來 設X為甲獲得的法郎 Y為乙獲得的法郎 3 4 1數學期望 二 離散型隨機變量的數學期望 定義 設離散型隨機變量X的分布律為P X xk pk k 1 2 若級數絕對收斂 則稱級數為隨機變量X的數學期望 記為E X 即 4 4 1數學期望 關于定義的幾點說明 1 E X 是一個實數 而非變量 它是一種加權平均 與一般的算術平均值不同 它從本質上體現了隨機變量X取可能值的真正的平均值 也稱均值 2 級數的絕對收斂性保證了級數的和不隨級數各項次序的改變而改變 之所以這樣要求是因為數學期望是反映隨機變量X取可能值的平均值 它不應隨可能值的排列次序而改變 5 4 1數學期望 例1 設有10個同種電子元件 其中2個廢品 裝配儀器時 從這10個中任取1個 若是廢品 扔掉后重取1只 求在取到正品之前已取出的廢品數X的期望 解 X的分布律為 6 4 1數學期望 例2 某車站每天8 00 9 00 9 00 10 00都恰有一輛客車到站 但到站的時刻是隨機的 且兩者到站的時間相互獨立 其規(guī)律為一旅客8 20到車站 求他候車時間的數學期望 8 108 308 50到站時刻9 109 309 50概率 7 4 1數學期望 例3 8 4 1數學期望 三 連續(xù)型隨機變量的數學期望 9 4 1數學期望 例4 10 例5 設X的概率密度為求解 4 1數學期望 11 4 1數學期望 幾種重要分布的數學期望 12 4 1數學期望 四 隨機變量函數的數學期望 1 離散型隨機變量函數的數學期望 若Y g X 且 則有 13 4 1數學期望 例6設 X 202 0 40 30 3 P 則E X 2 0 4 0 0 3 2 0 3 0 2 E X2 2 2 0 4 02 0 3 22 0 3 2 8 E 3X2 5 3E X2 5 13 4 思考 14 4 1數學期望 2 連續(xù)型隨機變量函數的數學期望 若X是連續(xù)型r v 其密度為f x 則g X 的期望為 15 例7 4 1數學期望 16 4 1數學期望 1 設C是常數 則有 證明 2 設X是一個隨機變量 C是常數 則有 證明 例如 五 數學期望的性質 17 4 1數學期望 4 設X Y是相互獨立的隨機變量 則有 3 設X Y是兩個隨機變量 則有 一般地 E aX bY aE X bE Y 18 數學期望是一個實數 而非變量 它是一種加權平均 與一般的平均值不同 它從本質上體現了隨機變量X取可能值的真正的平均值 2 數學期望的性質 4 1數學期望 六 小結 19 4 2方差 20 4 2方差 現有兩批燈泡 第一批燈泡壽命為 一半約950小時 另一半約1050小時 平均壽命為1000小時 第二批燈泡壽命為一半約1300小時 另一半約700小時 平均壽命為1000小時 問題 哪批燈泡的質量更好 質量更穩(wěn)定 單從平均壽命這一指標無法判斷 進一步考察燈泡壽命X與均值1000小時的偏離程度 21 4 2方差 一 方差的定義 1 方差是一個特殊的函數g X X E X 2的期望 2 方差用來度量隨機變量與其數學期望 即均值 的偏離程度 22 4 2方差 離散型隨機變量的方差 連續(xù)型隨機變量的方差 二 方差的計算 1 利用定義計算 23 4 2方差 證明 2 利用公式計算 24 4 2方差 證明 三 方差的性質 1 設C是常數 則有 2 設X是一個隨機變量 C是常數 則有 證明 25 4 2方差 3 設X Y相互獨立 D X D Y 存在 則 證明 注 相互獨立時 乘積的期望等于期望的乘積 26 4 2方差 綜上 設X Y相互獨立 E X E Y D X D Y 存在 a b c是常數 則 注意 對任意的隨機變量X Y都有E aX bY aE X bE Y 27 例1 設隨機變量X具有0 1分布 其分布律為 解 4 2方差 28 4 2方差 例2 解 29 4 2方差 解 例3 30 4 2方差 解 例4 于是 31 4 2方差 解 例5