沖刺60天2012年高考文科數(shù)學(xué)解題策略 專(zhuān)題八 第四節(jié) 運(yùn)用等價(jià)轉(zhuǎn)換思想解題的策略.doc

等價(jià)轉(zhuǎn)換是四大數(shù)學(xué)思想之一，在研究和解決中較難數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí)，采用等價(jià)轉(zhuǎn)換思想，將復(fù)雜的問(wèn)題等價(jià)轉(zhuǎn)換為簡(jiǎn)單的問(wèn)題，將難解的問(wèn)題通過(guò)等價(jià)轉(zhuǎn)換為容易求解的問(wèn)題，將未解決的問(wèn)題等價(jià)轉(zhuǎn)換為已解決的問(wèn)題.近幾年來(lái)高考試題要求學(xué)生要有較強(qiáng)的等價(jià)轉(zhuǎn)換意識(shí)，等價(jià)轉(zhuǎn)換思想的應(yīng)用在近幾年來(lái)高考試題中處處可見(jiàn)，是解高考試題常用的數(shù)學(xué)思想，難度值一般控制在.考試要求： （1）了解等價(jià)轉(zhuǎn)換的數(shù)學(xué)思想和遵循的基本原則；（2）了解等價(jià)轉(zhuǎn)換思想在解題中的作用；（3）掌握等價(jià)轉(zhuǎn)換的主要途徑、方法；（4）掌握幾種常見(jiàn)的等價(jià)轉(zhuǎn)換思路，靈活運(yùn)用等價(jià)轉(zhuǎn)換思想解決數(shù)學(xué)難題. 題型一 利用數(shù)學(xué)定義、公式構(gòu)造數(shù)學(xué)模型進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)換 例1.（1）求的值;（2）求函數(shù)的最大值. 點(diǎn)撥: （1）利用所求式與余弦定理類(lèi)似，再結(jié)合正弦定理的推論求值；（2）將函數(shù)最值問(wèn)題轉(zhuǎn)換為向量數(shù)量積問(wèn)題，由數(shù)量積的不等式性質(zhì)，求出最大值. 解：（1）注意到所求式與余弦定理類(lèi)似，由原式=.（2）構(gòu)造向量則，由知，當(dāng)且僅當(dāng)與共線(xiàn)且方向相同時(shí)，即時(shí)等號(hào)取得. 變式與引申1：已知，且，求證：. 題型二 函數(shù)、方程及不等式解題中的等價(jià)轉(zhuǎn)換例2.（1）若、是正數(shù)，且滿(mǎn)足，求的取值范圍.(2)已知奇函數(shù)的定義域?yàn)閷?shí)數(shù)集，且在上是增函數(shù)，當(dāng)時(shí)，是否存在這樣的實(shí)數(shù)，使對(duì)所有的均成立？若存在，求出所有適合條件的實(shí)數(shù)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.點(diǎn)撥:(1)將一個(gè)等式轉(zhuǎn)換為不等式，是求變量取值范圍的重要的方法，通常利用函數(shù)的單調(diào)性解答此類(lèi)問(wèn)題，或者利用基本不等式解答這類(lèi)問(wèn)題.(2)本題是一道抽象函數(shù)單調(diào)性、奇偶性的綜合運(yùn)用的問(wèn)題，由函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性得出關(guān)于和的不等式，既然需求的取值，不防把此問(wèn)題轉(zhuǎn)換為關(guān)于的函數(shù)和不等式的問(wèn)題. 解：(1)方法一（看成函數(shù)的值域），而， ，即或，又，即，當(dāng)且僅當(dāng)，時(shí)等號(hào)取得.方法二（看成不等式的解集）為正數(shù)，又，即，解得或（舍去），（2）由是上的奇函數(shù)可得，再利用的單調(diào)性，則可把原不等式轉(zhuǎn)換成為關(guān)于的三角不等式，是上的奇函數(shù)，又在上是增函數(shù)，故是上為增函數(shù).是上的增函數(shù)，即令，.于是問(wèn)題轉(zhuǎn)換為對(duì)一切的，不等式恒成立，即恒成立.又 存在實(shí)數(shù)滿(mǎn)足題設(shè)的條件，. 易錯(cuò)點(diǎn)：(1)不能將等式轉(zhuǎn)換為函數(shù)或者不等式進(jìn)行研究；（2）由已知不等式，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性找不到和的不等式；錯(cuò)誤理解自變量只為，不能把問(wèn)題轉(zhuǎn)換為和的函數(shù)或不等式問(wèn)題；不能想到用復(fù)合函數(shù)的觀(guān)點(diǎn)來(lái)研究的取值，并且容易把問(wèn)題看成是關(guān)于的不等式問(wèn)題，從而用根的分布來(lái)解決此問(wèn)題，較為繁瑣，容易出錯(cuò).變式與引申2：已知函數(shù)（I）求證：方程有實(shí)根；（II）在0，1上是單調(diào)遞減的，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；（III）當(dāng)?shù)慕饧癁榭占笏袧M(mǎn)足條件的實(shí)數(shù)a的值. 題型三 引入相關(guān)參數(shù)進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)換 例3.設(shè)，且，求的范圍. 點(diǎn)撥:本題的解法有多種，數(shù)形結(jié)合，三角換元都是比較容易想到的方法，我們也可以引入相關(guān)參數(shù)進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)換 解：由得，設(shè)，則，代入已知等式得：，即，其對(duì)稱(chēng)軸為，由，則得，所以的范圍是. 易錯(cuò)點(diǎn)：忽視參數(shù)的取值范圍，將解得范圍擴(kuò)大； 變式與引申3：設(shè)兩個(gè)向量和其中為實(shí)數(shù).若則的取值范圍是 ( )A. B. C. D. 題型四 正向與反向思考中的等價(jià)轉(zhuǎn)換 例4 .試求常數(shù)的范圍，使曲線(xiàn)的所有弦都不能被直線(xiàn)垂直平分.點(diǎn)撥：在解答問(wèn)題時(shí)，正難則反是轉(zhuǎn)換的一種有效手段，問(wèn)題的反面是存在一條弦能被直線(xiàn)垂直平分，解出問(wèn)題反面的范圍，則原問(wèn)題就出來(lái)了 . 解：假設(shè)拋物線(xiàn)上兩點(diǎn)關(guān)于直線(xiàn)對(duì)稱(chēng)，顯然，于是有，因?yàn)榇嬖谑股鲜胶愠闪?，即因?yàn)楹愠闪?，所以，所以，即?dāng)時(shí)，拋物線(xiàn)上存在兩點(diǎn)關(guān)于直線(xiàn)對(duì)稱(chēng)，所以當(dāng)時(shí)，曲線(xiàn)的所有弦都不能被直線(xiàn)垂直平分.易錯(cuò)點(diǎn):不能從問(wèn)題的反面作為切入點(diǎn)，對(duì)于垂直平分認(rèn)識(shí)不夠深刻，找不出關(guān)于的方程和不等式.變式與引申4：已知三個(gè)方程： 中至少有一個(gè)方程沒(méi)有實(shí)數(shù)解，試求實(shí)數(shù)的取值范圍 本節(jié)主要考查：（1）等價(jià)轉(zhuǎn)換思想在解題中的應(yīng)用，幾種常見(jiàn)的等價(jià)轉(zhuǎn)換思路；（2）數(shù)形結(jié)合思想、方程思想、等價(jià)轉(zhuǎn)換思想以及邏輯推理能力、運(yùn)算求解能力等基本數(shù)學(xué)能力. 點(diǎn)評(píng)：等價(jià)轉(zhuǎn)換是把未知解的問(wèn)題轉(zhuǎn)換到在已有知識(shí)范圍內(nèi)可解的問(wèn)題的一種重要的思想方法，通過(guò)不斷的轉(zhuǎn)換，把不熟悉、不規(guī)范、復(fù)雜的問(wèn)題轉(zhuǎn)換為熟悉、規(guī)范甚至模式法、簡(jiǎn)單的問(wèn)題，不斷培養(yǎng)和訓(xùn)練自覺(jué)的轉(zhuǎn)換意識(shí)，將有利于強(qiáng)化解決數(shù)學(xué)問(wèn)題中的應(yīng)變能力，提高思維能力和技能、技巧，等價(jià)轉(zhuǎn)換要求轉(zhuǎn)換過(guò)程中前因后果是充分必要的，才保證轉(zhuǎn)換后的結(jié)果仍為原問(wèn)題的結(jié)果，等價(jià)轉(zhuǎn)換思想方法的特點(diǎn)是具有靈活性和多樣性，在應(yīng)用等價(jià)轉(zhuǎn)換的思想方法去解決數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí)，沒(méi)有一個(gè)統(tǒng)一的模式去進(jìn)行，它可以在數(shù)與數(shù)、形與形、數(shù)與形之間進(jìn)行轉(zhuǎn)換；它可以在宏觀(guān)上進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)換，如在分析和解決實(shí)際問(wèn)題的過(guò)程中，普通語(yǔ)言向數(shù)學(xué)語(yǔ)言的翻譯；它可以在符號(hào)系統(tǒng)內(nèi)部實(shí)施轉(zhuǎn)換，即所說(shuō)的恒等變形，消去法、換元法、數(shù)形結(jié)合法、求值求范圍問(wèn)題等等，都體現(xiàn)等價(jià)轉(zhuǎn)換思想，更是經(jīng)常在函數(shù)、方程、不等式之間進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)換，可以說(shuō)，等價(jià)轉(zhuǎn)換是將恒等變形在代數(shù)式方面的形變上升到保持命題的真假不變，由于其多樣性和靈活性，要合理地設(shè)計(jì)好轉(zhuǎn)換的途徑和方法，避免死搬硬套題型，在數(shù)學(xué)操作中實(shí)施等價(jià)轉(zhuǎn)換時(shí)，要遵循熟悉化、簡(jiǎn)單化、直觀(guān)化、標(biāo)準(zhǔn)化的原則，即把遇到的問(wèn)題，通過(guò)轉(zhuǎn)換變成比較熟悉的問(wèn)題來(lái)處理；或者將較為繁瑣、復(fù)雜的問(wèn)題，變成比較簡(jiǎn)單的問(wèn)題，比如從超越式到代數(shù)式、從無(wú)理式到有理式、從分式到整式等；或者比較難以解決、比較抽象的問(wèn)題，轉(zhuǎn)換為比較直觀(guān)的問(wèn)題，以便精確把握問(wèn)題的求解過(guò)程，比如數(shù)形結(jié)合法；或者正面難，則從反面進(jìn)行轉(zhuǎn)換，即反證法，按照這些原則進(jìn)行數(shù)學(xué)操作，轉(zhuǎn)換過(guò)程省時(shí)省力，有如順?biāo)浦?，?jīng)常滲透等價(jià)轉(zhuǎn)換思想，可以提高解題的水平和能力.習(xí)題8-41.函數(shù)在內(nèi)有極小值，則的取值范圍是( ).A. B. C. D.2.（2011山東文科6） 若函數(shù) (0)在區(qū)間上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減，則= A. B. C. 2 D.33. 某化工廠(chǎng)打算投入一條新的生產(chǎn)線(xiàn)，但需要經(jīng)環(huán)保部門(mén)審批同意方可投入生產(chǎn)，已知該廠(chǎng)連續(xù)生產(chǎn)個(gè)月的累計(jì)產(chǎn)量為噸，但如果月產(chǎn)量超過(guò)96噸，將會(huì)給環(huán)境造成危害.（1）請(qǐng)你代表環(huán)保部門(mén)給廠(chǎng)擬定最長(zhǎng)的生產(chǎn)周期；（2）若該廠(chǎng)在環(huán)保部門(mén)的規(guī)定下生產(chǎn)，但需要每月交納萬(wàn)元的環(huán)保稅，已知每噸產(chǎn)品售價(jià)萬(wàn)元，第個(gè)月的工人工資為萬(wàn)元，若每月都贏(yíng)利，求出的范圍.4.設(shè)是雙曲線(xiàn)上的兩點(diǎn)，點(diǎn)是線(xiàn)段的中點(diǎn).（1）求直線(xiàn)的方程；（2）如果線(xiàn)段的垂直平分線(xiàn)與雙曲線(xiàn)相交于、兩點(diǎn)，那么、四點(diǎn)是否共圓？5. 已知函數(shù)（1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）當(dāng)時(shí)，不等式恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（3）若關(guān)于的方程在區(qū)間上恰好有兩個(gè)相異的實(shí)根，求實(shí)數(shù)的取值范圍.第四節(jié) 運(yùn)用等價(jià)轉(zhuǎn)換思想解題的策略變式與引申1:（1）方法一：要證成立，成立方法二：設(shè)，其中，因?yàn)?，則直線(xiàn)的斜率，直線(xiàn)的斜率，因?yàn)樵诘谌笙薜慕瞧椒志€(xiàn)上，所以必與軸正半軸相交，且有，所以，即.FEDCBA方法三：在和中，作交于，因?yàn)榕c相似，所以.變式與引申2：.解：（I）要證的實(shí)根，也就是證明方程有非負(fù)實(shí)數(shù)根。而有正根， 有實(shí)根；（II）由題設(shè)知對(duì)任意的恒成立，時(shí)顯然成立；（3）由題設(shè)知，當(dāng)恒成立當(dāng)上遞增，于是，解之得：當(dāng)與題意矛盾。綜上所述：方法二（分離參數(shù)法），時(shí)顯然成立；對(duì)任意的由（II）知變式與引申3：選A解：由可得，設(shè),代入方程組可得 ；消去化簡(jiǎn)得， 即,再令,代入上式得,可得；解不等式得,因而解得,故選A.變式與引申4：解：三個(gè)方程中至少有一個(gè)方程沒(méi)有實(shí)數(shù)解的否定是三個(gè)方程都有實(shí)數(shù)解當(dāng)時(shí)，三個(gè)方程中至少有一個(gè)方程沒(méi)有實(shí)數(shù)解習(xí)題8-41.B. 提示：轉(zhuǎn)化為在內(nèi)與軸有兩交點(diǎn)，只需且.2.【答案】B（2）若