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高等數(shù)學(xué)考試試卷 一、填空題（每小題3分，共30分） 1. 函數(shù)的定義域?yàn)開(kāi)。2. 設(shè)，則 。3. 設(shè)，則= 。4. 設(shè)，則 。5. 。6. 函數(shù)的極小值為 ，極大值為 。7. 。8. 。9. 設(shè)，則_。10. 交換二次積分次序 _ 二、計(jì)算題（每小題5分，共50分）1. 設(shè)，求。2. 求。3. 求。4. 求曲線的平行于直線的切線方程。5. 求由方程 所確定的函數(shù)的導(dǎo)數(shù)。6. 求。7. 求。8. 求， 其中D由所圍成的區(qū)域。9. 設(shè) 求?？荚囌军c(diǎn)：_ 報(bào)考專(zhuān)業(yè)：_ 準(zhǔn)考證號(hào)：_ 姓名：_10.設(shè) ，求 。三、應(yīng)用題（每小題7分，共14分）1. 求拋物線 與直線 所圍平面圖形的面積。 2. 要作一個(gè)底面為長(zhǎng)方形的帶蓋的箱子，其體積為72立方厘米，其底邊成 1：2的關(guān)系，問(wèn)各邊的長(zhǎng)怎樣，才能使表面積為最??？ 四、證明題（共6分）證明不等式： ，。 高等數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)參考答案 一、填空題（每小題3分，共30分） 1. 2. 3. -14. 5. 6. 0, 7. 8. 9. 10. 二、計(jì)算題（每小題5分，共50分）1. 解： （3分） （5分）2. 解：原式 （3分） （5分）3. 解：原式 （3分） （4分） （5分）4. 解 ：設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為 （2分） 直線的斜率 （3分） （4分） 所求的切線方程為 （5分）5. 解：對(duì)方程兩邊同時(shí)求導(dǎo)得 （2分） 有 得 （4分） （5分）6. 解：原式 （3分） （5分）7. 解：原式 （2分） （4分） （5分）8. 解：原式 （2分） （3分） （4分） （5分）9. 解： （1分） （2分） （4分） = = （5分）10. 解： （3分） （5分）三、應(yīng)用題（每小題7分，共14分）1. 解：曲線交點(diǎn)為 和 （1分）所圍區(qū)域?yàn)?故面積為 （2分） （4分） （6分） （7分） 2. 解：設(shè)一條短的底邊為x, 則另一條底邊為2x, 又設(shè)箱子高為h, 則由 得 （1分） 表面積 () (3分) 令 得唯一駐點(diǎn) （5分）由 可知當(dāng) 時(shí)，表面積S最小，即底邊為3 cm, 6cm, 高為4cm時(shí)，表面積最小。 （7分） 四、證明題（共6分）證明 令，那么. (1分)要證 ，只需要證.根據(jù)計(jì)算知道， (2分) (3分)和. (4分) 因?yàn)楹筒煌瑫r(shí)等于1，得到，從而， (5分)結(jié)果有 . (6分)高等數(shù)學(xué)考點(diǎn)： 姓名： 考號(hào)： 專(zhuān)業(yè)： 一、 選擇題（每題有四個(gè)選項(xiàng)，只有一個(gè)正確，請(qǐng)選擇正確的答案；每題5分，共25分）1函數(shù)的定義域是()ABCD2設(shè)函數(shù)f (x)在處可導(dǎo)，則等式中的A表示() AB C D3下列函數(shù)中，當(dāng)x0時(shí)，極限 f (x)存在的是() A.B. C. D.4設(shè)f (1)=0, 且極限存在，則等于()ABCf (1)D05二次積分等于()ABCD二、填空題（每題5分，共25分）1設(shè)函數(shù)則= .2設(shè)函數(shù)則 .3設(shè)f (x)在積分區(qū)間上連續(xù)，且f ( x)為奇函數(shù)，則 .4 .5 .三、計(jì)算題（每題10分，共40分，沒(méi)有解題過(guò)程不得分）1 設(shè)函數(shù)，補(bǔ)充f (0),使f (x) 在點(diǎn)x=0處連續(xù).2 設(shè)3 求4 求由曲線所圍成的平面區(qū)域的面積.四、證明：當(dāng)0 1時(shí)，（10分） 高等數(shù)學(xué)2007-2008復(fù)習(xí)資料（一） (120分鐘)姓名_學(xué)號(hào)_ _ 班級(jí) 專(zhuān)業(yè)_ 成績(jī)_ _ 一 填空題 （共30分） 1比較大?。?。 2. 比較大?。?0。 3由定積分幾何意義 有 。 4 。 5. 。 6. 設(shè) 則 。 7. 設(shè) 是 的一個(gè)原函數(shù)， 則 。 8. 若 ，則 c= 。 9. 若 ，則 。 10.若 ，則 。二 解答題 （共56分） 11求極限 。 12設(shè) 求 。 13. 。 14。 15.。 16.。 17。 18設(shè) ，求在 上的最大值與最小值。三 應(yīng)用題 （8分） 19求由曲線 ，及 所圍成圖形的面積。四 證明題 （6分） 20試證：。 高等數(shù)學(xué)2007-2008復(fù)習(xí)資料（二） (120分鐘) 姓名_學(xué)號(hào)_ _ 班級(jí) 專(zhuān)業(yè)_ 成績(jī)_ _一 單項(xiàng)選擇題 （共30分） 1.已知 ， 則 （ ） A. B. 1 C.2 D.42.下列等式正確的是 （ ） A. B.C. D.3.設(shè)函數(shù) 則有 （ ） A.極小值 B. 極小值 C.極大值 D. 極大值4. （ ）A. B. C. D. 5. 下列積分值為負(fù)數(shù)的是 （ ） A. B. C. D. 6. 下列積分值為0的是 （ ） A. B. C. D. 7. 若的一個(gè)原函數(shù)是 ，則 （ ） A. B. C. D. 8. 下列廣義積分收斂的是（ ） A. B. C. D. 9計(jì)算 時(shí)為使被積函數(shù)有理化，可設(shè)x= ( ) A. 2tant B. C. 2sect D. 10. ( ) A. 0 B. C. 3 D. 二 解答題 （共56分） 11 12. 13.14. 設(shè) ，求k值。 15.16. 17.18. 求函數(shù) ，在 上的最大值與最小值。三 應(yīng)用題 （8分） 19計(jì)算由曲線 與 所圍成圖形的面積。四 證明題 （6分） 20證明： （）高等數(shù)學(xué)一答案: 1.或 2. 3. 4. 5.0 6. 7 8. 9.16 10. 11. 12. 13. 14. 15.1216. 17. 18.最大值 ，最小值。192 高等數(shù)學(xué)二答案：1.A 2.C 3.B 4.C 5.C 6.A 7.B 8.C 9.B 10.D 11. 12. 13. 14.k=e 15.2 16. 17. 18. 最小值 ，最大值。 1918 20. 提示：令 第一章函數(shù)、極限和連續(xù)1.1 函數(shù)一、 主要內(nèi)容 函數(shù)的概念 1. 函數(shù)的定義: y=f(x), xD定義域: D(f), 值域: Z(f).2.分段函數(shù): 3.隱函數(shù): F(x,y)= 04.反函數(shù): y=f(x) x=(y)=f-1(y) y=f-1 (x)定理:如果函數(shù): y=f(x), D(f)=X, Z(f)=Y 是嚴(yán)格單調(diào)增加(或減少)的； 則它必定存在反函數(shù)：y=f-1(x), D(f-1)=Y, Z(f-1)=X且也是嚴(yán)格單調(diào)增加(或減少)的。 函數(shù)的幾何特性1.函數(shù)的單調(diào)性: y=f(x),xD,x1、x2D 當(dāng)x1x2時(shí),若f(x1)f(x2),則稱(chēng)f(x)在D內(nèi)單調(diào)增加( )；若f(x1)f(x2),則稱(chēng)f(x)在D內(nèi)單調(diào)減少( )； 若f(x1)f(x2),則稱(chēng)f(x)在D內(nèi)嚴(yán)格單調(diào)增加( )；若f(x1)f(x2),則稱(chēng)f(x)在D內(nèi)嚴(yán)格單調(diào)減少( )。 2.函數(shù)的奇偶性：D(f)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng) 偶函數(shù)：f(-x)=f(x) 奇函數(shù)：f(-x)=-f(x) 3.函數(shù)的周期性： 周期函數(shù)：f(x+T)=f(x), x(-，+) 周期：T最小的正數(shù) 4.函數(shù)的有界性： |f(x)|M , x(a,b) 基本初等函數(shù)1.常數(shù)函數(shù)： y=c ， (c為常數(shù))2.冪函數(shù)： y=xn , (n為實(shí)數(shù))3.指數(shù)函數(shù)： y=ax , (a0、a1)4.對(duì)數(shù)函數(shù)： y=loga x ,(a0、a1)5.三角函數(shù)： y=sin x , y=con x y=tan x , y=cot x y=sec x , y=csc x 6.反三角函數(shù)：y=arcsin x, y=arccon x y=arctan x, y=arccot x 復(fù)合函數(shù)和初等函數(shù)1.復(fù)合函數(shù)： y=f(u) , u=(x)y=f(x) , xX2.初等函數(shù): 由基本初等函數(shù)經(jīng)過(guò)有限次的四則運(yùn)算（加、減、乘、除）和復(fù)合所構(gòu)成的，并且能用一個(gè)數(shù)學(xué)式子表示的函數(shù)。二、 例題分析例1. 求下列函數(shù)的定義域： 解:對(duì)于有: 0 解得: 1 對(duì)于有: 0 2 的定義域: 解: 由得： ，解得: 由 得： 0 ， 2 的定義域: 例2.設(shè)f(x)的定義域?yàn)椋?1，1）則f(x+1) 的定義域?yàn)?A.(-2,0), B.(-1,1), C.(0,2), D.0,2 解：-1x+11 -2x0即f(x+1) 的定義域?yàn)? x(-2,0)應(yīng)選A.例3.下列f(x)與g(x)是相同函數(shù)的為A. , B. ， C. ，D. ， 解：A. ，B. ， 應(yīng)選BC. ，D. ，例4.求，的反函數(shù)及其定義域。解：，在(-3,+)內(nèi)，函數(shù)是嚴(yán)格單調(diào)的反函數(shù)： 例5.設(shè)則其反函數(shù) 。解： 在內(nèi)是嚴(yán)格單調(diào)增加的 又 取 即： （應(yīng)填）例6.設(shè)函數(shù)和是定義在同一區(qū)間上的兩個(gè)偶函數(shù)，則為 函數(shù)。解：設(shè) = 是偶函數(shù) （應(yīng)填“偶”）例7. 判斷的奇偶性。解: 為奇函數(shù) 例8.設(shè) ，則的周期為 。解法一: 設(shè)的周期為T(mén), = 而 ， 解法二： (應(yīng)填)例9. 指出函數(shù)那是由些簡(jiǎn) 單函數(shù)復(fù)合而成的？解：令 ， 則 ， 則 ， 則 是由：，復(fù)合而成的。例10. 已知,則等于 A. , B. , C. , D. 解: 或 （應(yīng)選A）例11. 已知求的表達(dá)式。解:解得 1.2 極 限一、 主要內(nèi)容極限的概念1. 數(shù)列的極限: 稱(chēng)數(shù)列以常數(shù)A為極限;或稱(chēng)數(shù)列收斂于A.定理: 若的極限存在必定有界.2.函數(shù)的極限： 當(dāng)時(shí)，的極限： 當(dāng)時(shí)，的極限： 左極限： 右極限：函數(shù)極限存的充要條件：定理：無(wú)窮大量和無(wú)窮小量1 無(wú)窮大量： 稱(chēng)在該變化過(guò)程中為無(wú)窮大量。 X再某個(gè)變化過(guò)程是指： 2 無(wú)窮小量： 稱(chēng)在該變化過(guò)程中為無(wú)窮小量。3 無(wú)窮大量與無(wú)窮小量的關(guān)系： 定理：4 無(wú)窮小量的比較： 若,則稱(chēng)是比較高階的無(wú)窮小量； 若 （c為常數(shù)），則稱(chēng)與同階的無(wú)窮小量； 若，則稱(chēng)與是等價(jià)的無(wú)窮小量，記作：； 若,則稱(chēng)是比較低階的無(wú)窮小量。定理：若： 則：兩面夾定理1 數(shù)列極限存在的判定準(zhǔn)則： 設(shè)： （n=1、2、3） 且： 則： 2 函數(shù)極限存在的判定準(zhǔn)則： 設(shè)：對(duì)于點(diǎn)x0的某個(gè)鄰域內(nèi)的一切點(diǎn) （點(diǎn)x0除外）有： 且： 則：極限的運(yùn)算規(guī)則 若： 則： 推論： 兩個(gè)重要極限 1 或 2 二、 例題分析例1 求數(shù)列的極限。解： 例2計(jì)算 解： 誤解：=0例3 下列極限存在的是 A. B. C. D. 解：A. B. 不存在C. 應(yīng)選CD. 不存在例4.當(dāng)時(shí)，與是等價(jià)無(wú)窮小量， 則 。解： (應(yīng)填2)例5.計(jì)算 (n=1,2,3,)解: (n=2,3,) 又: 由兩面夾定理可得: 例6.計(jì)算下列極限 解: 解: 解法一: 共軛法 解法二： 變量替換法 設(shè)： 當(dāng)時(shí)， 解法一：共軛法 解法二：變量替換法 設(shè)： 當(dāng)時(shí)， 解法一： 解法二： 解：設(shè)： 當(dāng)時(shí)， 結(jié)論： 解法一： 又 解法二：解法三：應(yīng)用羅必塔法則 解法一： 解法二： 設(shè)當(dāng)時(shí)，解法三： 例7.當(dāng)時(shí)，若與為等價(jià)無(wú)窮小量，則必有 。解： （應(yīng)填）結(jié)論：例8.若，則 。解： （應(yīng)填）例9.已知，求的值。解： 由 當(dāng)時(shí)，原式成立。例10.證明：當(dāng)時(shí)，與是等價(jià)無(wú)窮小量。證：只要證明 成立，即可。 設(shè)： 當(dāng)時(shí)，結(jié)論：1.3 連續(xù)一、 主要內(nèi)容 函數(shù)的連續(xù)性1. 函數(shù)在處連續(xù)：在的鄰域內(nèi)有定義， 1o 2o 左連續(xù)： 右連續(xù)：2. 函數(shù)在處連續(xù)的必要條件： 定理：在處連續(xù)在處極限存在 3. 函數(shù)在處連續(xù)的充要條件： 定理：4. 函數(shù)在上連續(xù)： 在上每一點(diǎn)都連續(xù)。 在端點(diǎn)和連續(xù)是指： 左端點(diǎn)右連續(xù)； 右端點(diǎn)左連續(xù)。 a+ 0 b- x5. 函數(shù)的間斷點(diǎn)：若在處不連續(xù)，則為的間斷點(diǎn)。間斷點(diǎn)有三種情況： 1o在處無(wú)定義； 2o不存在； 3o在處有定義，且存在， 但。 兩類(lèi)間斷點(diǎn)的判斷： 1o第一類(lèi)間斷點(diǎn)：特點(diǎn)：和都存在。可去間斷點(diǎn)：存在，但，或在處無(wú)定義。 2o第二類(lèi)間斷點(diǎn)：特點(diǎn)：和至少有一個(gè)為， 或振蕩不存在。無(wú)窮間斷點(diǎn)：和至少有一個(gè)為函數(shù)在處連續(xù)的性質(zhì)1. 連續(xù)函數(shù)的四則運(yùn)算： 設(shè)， 1o 2o 3o 2. 復(fù)合函數(shù)的連續(xù)性： 則：3. 反函數(shù)的連續(xù)性： 函數(shù)在上連續(xù)的性質(zhì) 1.最大值與最小值定理：在上連續(xù)在上一定存在最大值與最小值。 y y +M M f(x) f(x) 0 a b x m -M 0 a b x2. 有界定理： 在上連續(xù)在上一定有界。 3.介值定理： 在上連續(xù)在內(nèi)至少存在一點(diǎn) ，使得：， 其中： y y M f(x) C f(x) 0 a b x m 0 a 1 2 b x 推論： 在上連續(xù)，且與異號(hào) 在內(nèi)至少存在一點(diǎn)，使得：。 4.初等函數(shù)的連續(xù)性： 初等函數(shù)在其定域區(qū)間內(nèi)都是連續(xù)的。三、 例題分析例1. 分段函數(shù)，在處是否連續(xù)？解： 由函數(shù)連續(xù)的充要條件定理可知:在 處連續(xù)。例2設(shè)函數(shù)，試確定常數(shù)k的值，使在定義域內(nèi)連續(xù)。解：的定義域?yàn)椋?當(dāng)時(shí)， 是初等函數(shù)，在有定義不論k為何值，在內(nèi)都是連續(xù)的。 當(dāng)時(shí)， 是初等函數(shù)，在有定義不論k為何值， 在內(nèi)都