剛體的轉(zhuǎn)動慣量專題（doc X頁）.doc

剛體力學(xué)剛體的轉(zhuǎn)動慣量專題1.剛體的轉(zhuǎn)動慣量的三要素 剛體對某軸的轉(zhuǎn)動慣量，是描述剛體在繞該軸的轉(zhuǎn)動過程中轉(zhuǎn)動慣性的物理量. 有轉(zhuǎn)動慣量的定義式可看出，剛體的轉(zhuǎn)動慣量是與下列三個因素有關(guān)的. （1）與剛體的質(zhì)量有關(guān). 例如半徑相同的兩個圓柱體，而它們的質(zhì)量不同，顯然，對于相應(yīng)的轉(zhuǎn)軸，質(zhì)量大的轉(zhuǎn)動慣量也較大. （2）在質(zhì)量一定的情況下，與質(zhì)量的分布有關(guān). 例如，質(zhì)量相同、半徑也相同的圓盤與圓環(huán)，二者的質(zhì)量分布不同，圓環(huán)的質(zhì)量集中分布在邊緣，而圓盤的質(zhì)量分布在整個圓面上，所以，圓環(huán)的轉(zhuǎn)動慣量較大.（3）還與給定轉(zhuǎn)軸的位置有關(guān)，即同一剛體對于不同的轉(zhuǎn)軸，其轉(zhuǎn)動慣量的大小也是不等的. 例如，同一細(xì)長桿，對通過其質(zhì)心且垂直于桿的轉(zhuǎn)軸和通過其一端且垂直于桿的轉(zhuǎn)軸，二者的轉(zhuǎn)動慣量不相同，且后者較大. 這是由于轉(zhuǎn)軸的位置不同，從而也就影響了轉(zhuǎn)動慣量的大小. 剛體的轉(zhuǎn)動慣量的三要素：剛體的總質(zhì)量、剛體的質(zhì)量分布情況、轉(zhuǎn)軸的位置. 2.轉(zhuǎn)動慣量的普遍公式（1）轉(zhuǎn)動慣量的定義式 可知，對于形狀規(guī)則、質(zhì)量均勻分布的連續(xù)剛體，其對特殊軸的轉(zhuǎn)動慣量的計算可借助于定積分. 這是，可設(shè)想將剛體分成許多小線元、面元、體元.于是一般說來，這是個三重的體積分，但對于有一定對稱性的物體，積分的重數(shù)可以減少，甚至不需要積分.（2）剛體對某軸的轉(zhuǎn)動慣量剛體對軸的轉(zhuǎn)動慣量 剛體對軸的轉(zhuǎn)動慣量 剛體對軸的轉(zhuǎn)動慣量 仿照剛體對某軸的轉(zhuǎn)動慣量來定義剛體對于某點的轉(zhuǎn)動慣量：剛體中各質(zhì)點的質(zhì)量各自與其至某（參考）點的距離的平方的乘積，所得總和稱為剛體對該點的轉(zhuǎn)動慣量.（3）剛體對某點的轉(zhuǎn)動慣量剛體對坐標(biāo)原點的轉(zhuǎn)動慣量可表示為 由式、，得 即，質(zhì)點系（剛體）對于坐標(biāo)原點的轉(zhuǎn)動慣量（或極轉(zhuǎn)動慣量），等于它對于三個坐標(biāo)軸的轉(zhuǎn)動慣量之和的一半.3.剛體的平行軸定理（許泰乃爾定理） 即，剛體對于任何一軸的轉(zhuǎn)動慣量，等于剛體對于通過它的質(zhì)心并與該軸平行的轉(zhuǎn)動慣量，加上剛體的質(zhì)量與兩軸間距離平方的乘積.注意：平行軸定理與剛體對質(zhì)心軸的轉(zhuǎn)動慣量緊密聯(lián)系在一起，應(yīng)用此定理的參考點是剛體對質(zhì)心軸的轉(zhuǎn)動慣量. 根據(jù)平行軸定理，可得到如下關(guān)系： （1）剛體繞通過質(zhì)心的軸的轉(zhuǎn)動慣量小于繞另一平行軸的轉(zhuǎn)動慣量，二者之差為. （2）設(shè)有兩條平行軸與均不通過質(zhì)心. 如果比靠近，則剛體繞軸的轉(zhuǎn)動慣量小于繞軸的轉(zhuǎn)動慣量（如圖7.52(a)所示）.圖7.52 平行軸定理的應(yīng)用 (a) 在不同圓上；(b)同一圓上 （3）如果有一簇與質(zhì)心的距離相等的平行軸，那么，剛體繞這些軸的轉(zhuǎn)動慣量均相等（如圖7.52(b)所示）.4.剛體的垂直軸定理（正交軸定理、薄片定理）設(shè)想剛體為平面薄片，即厚度可以略去不計，因而剛體為平面圖形. 即，平面圖形對于圖形內(nèi)的兩條正交軸的轉(zhuǎn)動慣量之和，等于這個圖形對過二軸交點且垂直于圖形平面的那條轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動慣量.注意：正交軸定理對于有限厚度的板不成立.5.轉(zhuǎn)動慣量的疊加原理實際上，有些物體是由幾種形狀不同的剛體的組合. 它對于某軸的轉(zhuǎn)動慣量，可視為各部分對于同一轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動慣量之和，因而， 即，由幾個部分組成的剛體對某軸的轉(zhuǎn)動慣量，等于各部分對同軸的轉(zhuǎn)動慣量之和. 此即轉(zhuǎn)動慣量的疊加原理.疊加原理是根據(jù)加法的組合定則，把屬于各部分的項分別相加，然后求和而得. 同理，設(shè)有一物體挖去若干部分，則剩余部分的轉(zhuǎn)動慣量，等于原物體的轉(zhuǎn)動慣量，減去挖去部分的轉(zhuǎn)動慣量.例題1 在質(zhì)量為，半徑為的勻質(zhì)圓盤上挖出半徑為的兩個圓孔，圓孔中心在半徑的中點，求剩余部分對過大圓盤中心且與盤面垂直的軸線的轉(zhuǎn)動慣量.圖7.53 轉(zhuǎn)動慣量的疊加原理的應(yīng)用解 大圓盤對過圓盤中心且與盤面垂直的軸線（以下簡稱軸）的轉(zhuǎn)動慣量 為 . 由于對稱放置，兩個小圓盤對軸的轉(zhuǎn)動慣量相等，設(shè)為，圓盤質(zhì)量的面密度，根據(jù)平行軸定理，有設(shè)挖去兩個小圓盤后，剩余部分對軸的轉(zhuǎn)動慣量為6.轉(zhuǎn)動慣量的標(biāo)度變換法 轉(zhuǎn)動慣量的標(biāo)度變換法是計算轉(zhuǎn)動慣量的一種簡便的方法. 由于在幾何上具有相似性的均勻物體，它們對相應(yīng)轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動慣量的表達(dá)式也具有相似性，在根據(jù)轉(zhuǎn)動慣量的平行軸定理、疊加原理等，確定彼此關(guān)系，比較系數(shù)，從而獲得物體對該軸的轉(zhuǎn)動慣量. 故這種方法可以不用積分即能求得某些特殊形狀的物體的轉(zhuǎn)動慣量. 例題2 求均勻立方體繞通過面心的中心軸的轉(zhuǎn)動慣量.圖7.54 標(biāo)度變換法用于計算立方體對通過面心的中心軸的轉(zhuǎn)動慣量 解 令立方體的總質(zhì)量為，邊長為，設(shè)均勻立方體繞通過面心的中心軸的轉(zhuǎn)動慣量為其中，系數(shù)是無量綱的量. 因為一切立方體在幾何上都是相似的，它們應(yīng)該具有同樣的. 中心軸到棱邊的距離為根據(jù)平行軸定理，立方體繞棱邊的轉(zhuǎn)動慣量為現(xiàn)將立方體等分為8個小立方體，每個小立方體的質(zhì)量為，邊長為，繞棱邊的轉(zhuǎn)動慣量為8個立方體繞棱邊的轉(zhuǎn)動慣量之和應(yīng)等于大立方體繞中心軸的轉(zhuǎn)動慣量，即比較系數(shù)，得于是，求得所以，下面介紹利用定積分法計算質(zhì)量均勻分布、圖形具有對稱性的剛體對于一些特殊的轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動慣量. 勻質(zhì)細(xì)桿 例題3 質(zhì)量為、長為的勻質(zhì)細(xì)桿，繞其質(zhì)心且垂直于桿的軸旋轉(zhuǎn)，桿的轉(zhuǎn)動慣量是多少？ 解 設(shè)桿的線密度為，則. 選擇如圖所示的坐標(biāo)軸，桿的質(zhì)心位于原點，取一個長度為、與質(zhì)心的距離為的微元，則圖7.55 勻質(zhì)細(xì)桿對質(zhì)心軸的轉(zhuǎn)動慣量根據(jù)平行軸定理，桿對通過其一端且垂直于桿的軸的轉(zhuǎn)動慣量為當(dāng)然用定積分也可得相同的結(jié)果. 勻質(zhì)正方形薄板例題4 求質(zhì)量為、邊長為的勻質(zhì)正方形薄板對其邊為軸的轉(zhuǎn)動慣量. 解 勻質(zhì)薄板可視為細(xì)長條的組合. 根據(jù)疊加原理可得對一邊的轉(zhuǎn)動慣量.圖7.56 勻質(zhì)正方形薄板對一邊為軸的轉(zhuǎn)動慣量同理，可得或利用定積分，其中，為面密度.對軸的轉(zhuǎn)動慣量對質(zhì)心軸的轉(zhuǎn)動慣量對以對角線為軸的轉(zhuǎn)動慣量當(dāng)然，對軸的轉(zhuǎn)動慣量也可用二重積分計算得到. 勻質(zhì)矩形薄板例題5 求質(zhì)量為、長和寬分別為和的勻質(zhì)矩形薄板對其邊為軸的轉(zhuǎn)動慣量. 解 方法同上，不難得到圖7.57 勻質(zhì)矩形薄板對一邊為軸的轉(zhuǎn)動慣量由垂直軸定理，可以進(jìn)一步求得矩形薄板對通過頂點且垂直于板平面的軸的轉(zhuǎn)動慣量（如圖7.57）為當(dāng)然，對軸的轉(zhuǎn)動慣量也可用二重積分計算得到.矩形薄板對通過質(zhì)心且垂直于板平面的軸的轉(zhuǎn)動慣量為圖7.58 勻質(zhì)矩形薄板對過中心且垂直于板面的軸的轉(zhuǎn)動慣量另解：從量綱上考慮，所求的轉(zhuǎn)動慣量可表示為其中，為待定系數(shù).將和轉(zhuǎn)置后，但不會因為和轉(zhuǎn)置而發(fā)生變化，比較系數(shù)，有則利用勻質(zhì)矩形板可等分為兩個小勻質(zhì)矩形板的特點，如圖7.54所示，有比較系數(shù)，有得，因而，勻質(zhì)長方體例題6 求質(zhì)量為、長、寬和高分別為、和的勻質(zhì)長方體對其棱邊為軸的轉(zhuǎn)動慣量.圖7.59 勻質(zhì)長方體對其棱邊為軸的轉(zhuǎn)動慣量解 由疊加原理，不難得到以棱邊為軸的轉(zhuǎn)動慣量同理可得，以棱邊為軸的轉(zhuǎn)動慣量以棱邊為軸的轉(zhuǎn)動慣量當(dāng)然，對軸的轉(zhuǎn)動慣量也可用三重積分計算得到.對軸的轉(zhuǎn)動慣量也可用三重積分計算得到.對軸的轉(zhuǎn)動慣量也可用三重積分計算得到.根據(jù)平行軸定理，對通過長方體面心為軸的轉(zhuǎn)動慣量如果將上述長方體換成邊長為的立方體，則繞其棱邊的轉(zhuǎn)動慣量均相等，且對通過正方體面心為軸的轉(zhuǎn)動慣量余此類推.對于特殊剛體，線（線段）面（矩形） 體（長方體）勻質(zhì)細(xì)圓環(huán)例題7 求質(zhì)量為、半徑為的勻質(zhì)細(xì)圓環(huán)對通過中心并與環(huán)面垂直的軸的轉(zhuǎn)動慣量.圖7.60 勻質(zhì)細(xì)圓環(huán)對通過中心并與環(huán)面垂直的軸的轉(zhuǎn)動慣量解 細(xì)圓環(huán)的質(zhì)量可以認(rèn)為全部分布在半徑為的圓周上，即在距離中心小于或大于的各處，質(zhì)量均為零，所以轉(zhuǎn)動慣量為或又由垂直軸定理，可以得到其對直徑為轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動慣量為再利用平行軸定理，可得細(xì)圓環(huán)對其任意切線為轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動慣量為.圖7.61 勻質(zhì)細(xì)圓環(huán)對任意切線為軸的轉(zhuǎn)動慣量其中，為細(xì)圓環(huán)的線密度，則細(xì)圓環(huán)對切線的轉(zhuǎn)動慣量 勻質(zhì)中空薄圓盤例題8 求質(zhì)量為、內(nèi)半徑為、外半徑為的勻質(zhì)中空薄圓盤對通過中心并與盤面垂直的軸的轉(zhuǎn)動慣量.圖7.62 勻質(zhì)中空薄圓盤對通過中心并與盤面垂直的軸的轉(zhuǎn)動慣量解 勻質(zhì)中空薄圓盤可視為無限多個同心的細(xì)圓環(huán)的組合，所以，根據(jù)疊加原理可以得到該中空薄圓盤對通過中心且垂直于盤面的轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動慣量. 中空薄圓盤的質(zhì)量為其中，為中空薄圓盤的面密度，則中空薄圓盤對通過中心且垂直于盤面的轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動慣量當(dāng)然，中空薄圓盤對通過中心且垂直于盤面的轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動慣量也可用二重積分計算得到.勻質(zhì)薄圓盤例題9 求質(zhì)量為、半徑為的勻質(zhì)薄圓盤對通過中心并與環(huán)面垂直的軸的轉(zhuǎn)動慣量.圖7.63 勻質(zhì)薄圓盤對通過中心并與環(huán)面垂直的軸的轉(zhuǎn)動慣量解 勻質(zhì)薄圓盤可視為無限多個同心的細(xì)圓環(huán)的組合，所以，根據(jù)疊加原理可以得到該厚圓環(huán)對通過中心且垂直于環(huán)面的轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動慣量. 薄圓盤的質(zhì)量為其中，為薄圓盤的面密度，則薄圓盤對通過中心且垂直于盤面的轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動慣量當(dāng)然，薄圓盤對通過中心且垂直于盤面的轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動慣量也可用二重積分計算得到.可見，薄圓盤是中空圓盤的特例. 同樣，根據(jù)垂直軸定理，得其對直徑為轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動慣量為再利用平行軸定理，可得其對切線為轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動慣量為勻質(zhì)薄壁圓筒例題10 求質(zhì)量為、半徑為的勻質(zhì)薄壁圓筒對中心軸線的轉(zhuǎn)動慣量.解 勻質(zhì)薄壁圓筒可視為半徑相同，圓心在同一條直線上且各個環(huán)面均垂直于該直線的一系列細(xì)圓環(huán)的組合. 根據(jù)疊加原理，由圓環(huán)對該直線的轉(zhuǎn)動慣量較易求出此圓筒對該直線為轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動慣量圖7.64 勻質(zhì)薄壁圓筒對中心軸線的轉(zhuǎn)動慣量當(dāng)然，也可定積分法求解.勻質(zhì)中空圓柱體例題11 求質(zhì)量為、內(nèi)半徑為、外半徑為的勻質(zhì)中空圓柱體對中心軸線的轉(zhuǎn)動慣量.圖7.65 勻質(zhì)中空圓柱體對中心軸線的轉(zhuǎn)動慣量解 勻質(zhì)中空圓柱體可視圓心在同一條直線上且環(huán)面均垂直于該直線的一系列中空圓盤的組合. 根據(jù)疊加原理，由中空圓盤對該直線的轉(zhuǎn)動慣量較易求出此中空圓柱體對該直線為轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動慣量當(dāng)然，也可定積分法求解.其中，為體密度.勻質(zhì)實心圓柱體例題12 求質(zhì)量為、半徑為的勻質(zhì)實心圓柱體對中心軸線的轉(zhuǎn)動慣量.圖7.66 勻質(zhì)實心圓柱體對中心軸線的轉(zhuǎn)動慣量解 勻質(zhì)實心圓柱體可視圓心在同一條直線上且圓面均垂直于該直線的一系列薄圓盤的組合. 根據(jù)疊加原理，由薄圓盤對該直線的轉(zhuǎn)動慣量較易求出此圓柱體對該直線為轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動慣量當(dāng)然，也可定積分法求解.其中，為體密度.當(dāng)然，實心圓柱體對中心軸線的轉(zhuǎn)動慣量可用三重積分計算得到.可見，厚圓筒是實心圓柱體的特例. 同樣，根據(jù)垂直軸定理，得其對直徑為轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動慣量為勻質(zhì)實心圓柱體例題12 求質(zhì)量為、半徑為的勻質(zhì)實心圓柱體對中心直徑為軸的轉(zhuǎn)動慣量.圖7.67 勻質(zhì)實心圓柱體對中心直徑的轉(zhuǎn)動慣量解 設(shè)勻質(zhì)實心圓柱體由與、圍成.其中，為體密度.繞軸的轉(zhuǎn)動慣量為同理可得，繞軸的轉(zhuǎn)動慣量為勻質(zhì)實心圓柱體例題13 求質(zhì)量為、半徑為的勻質(zhì)實心圓柱體對端面直徑為軸的轉(zhuǎn)動慣量.圖7.68 勻質(zhì)實心圓柱體對端面直徑的轉(zhuǎn)動慣量解 設(shè)勻質(zhì)實心圓柱體由與、圍成.其中，為體密度.繞軸的轉(zhuǎn)動慣量為同理可得，繞軸的轉(zhuǎn)動慣量為當(dāng)然，利用平行軸定理也可得到相同的結(jié)果.圓環(huán)細(xì)圓環(huán)中空薄圓盤薄圓盤薄圓筒中空圓柱體實心圓柱體勻質(zhì)球殼例題14 求質(zhì)量為、半徑為的勻質(zhì)球殼對球心的轉(zhuǎn)動慣量、對任意直徑和切線的轉(zhuǎn)動慣量.圖7.69 勻質(zhì)球殼對球心、對任意直徑和切線為軸的轉(zhuǎn)動慣量 解 因為在距離球心大于或小于處，質(zhì)量均為零，而質(zhì)量均勻分布于球殼上. .解法一：根據(jù)剛體對坐標(biāo)原點的轉(zhuǎn)動慣量的定義式，有或當(dāng)然，極轉(zhuǎn)動慣量也可用二重積分計算得到.根據(jù)關(guān)系式對于勻質(zhì)球殼，球心為坐標(biāo)原點. 根據(jù)對稱性，可知則即為球殼對任意直徑的轉(zhuǎn)動慣量.解法二：當(dāng)然，、和也可利用二重積分計算得到.解法三：球殼可視為一系列薄圓環(huán)的組合.其中，表示薄圓環(huán)的半徑，為薄圓環(huán)的元質(zhì)量，為薄圓環(huán)的面元.而根據(jù)平行軸定理，可得球殼對任意切線為軸的轉(zhuǎn)動慣量若將該球殼切除一半，求剩余部分（球冠）對任一直徑的轉(zhuǎn)動慣量.根據(jù)剛體對坐標(biāo)原點的轉(zhuǎn)動慣量的定義式，有或當(dāng)然，極轉(zhuǎn)動慣量也可用二重積分計算得到.顯然，、和可利用二重積分計算得到.將該球殼部分切除，若剩余部分（球冠）的高度為直徑的1/4，求其對任一直徑的轉(zhuǎn)動慣量.此時在球坐標(biāo)系中的極角.極轉(zhuǎn)動慣量可用二重積分計算得到.、和可利用二重積分計算得到.這里已利用積分將該球殼部分切除，若剩余部分為原來的1/8，求其對任一直徑的轉(zhuǎn)動慣量.極轉(zhuǎn)動慣量可用二重積分計算得到.、和可利用二重積分計算得到.勻質(zhì)實心球體例題15 求質(zhì)量為、半徑為的勻質(zhì)實心球體對球心的轉(zhuǎn)動慣量、對任意直徑的轉(zhuǎn)動慣量.圖7.70 勻質(zhì)球體對球心、對任意直徑和切線為軸的轉(zhuǎn)動慣量解 解法一：球體可視為球殼的組合，其中，為體密度.根據(jù)剛體對坐標(biāo)原點的轉(zhuǎn)動慣量的定義式，有當(dāng)然，極轉(zhuǎn)動慣量也可利用三重積分計算得到.根據(jù)關(guān)系式對于勻質(zhì)球體，球心為坐標(biāo)原點. 根據(jù)對稱性，可知則即為球體對任意直徑的轉(zhuǎn)動慣量.當(dāng)然，、和也可利用三重積分計算得到.解法二：球體可視為球殼的組合，根據(jù)疊加原理，也可較易求得其對直徑的轉(zhuǎn)動慣量為解法三：球體可視為一系列薄圓盤的組合.其中，表示薄圓盤的半徑，為薄圓盤的元質(zhì)量，為薄圓環(huán)的體元，為薄圓盤到質(zhì)心軸的距離，為薄圓環(huán)的厚度.根據(jù)平行軸定理，可得球體對任意切線為軸的轉(zhuǎn)動慣量若將該球體切除一半，求剩余部分對任一直徑的轉(zhuǎn)動慣量.根據(jù)剛體轉(zhuǎn)動慣量的疊加原理，有當(dāng)然，極轉(zhuǎn)動慣量也可用三重積分計算得到.顯然，、和也可利用三重積分計算得到.將該球殼部分切除，若剩余部分的高度為直徑的1/4，求其對任一直徑的轉(zhuǎn)動慣量.此時在球坐標(biāo)系中的極角.極轉(zhuǎn)動慣量可用三重積分計算得到.、和可利用三重積分計算得到.將該球體部分切除，若剩余部分為原來的1/8，求其對任一直徑的轉(zhuǎn)動慣量.極轉(zhuǎn)動慣量可用三重積分計算得到.、和可利用三重積分計算得到.勻質(zhì)中空球體例題16 求質(zhì)量為、內(nèi)半徑為、外半徑為的勻質(zhì)中空球體對球心的轉(zhuǎn)動慣量、對任意直徑的轉(zhuǎn)動慣量.圖7.71 勻質(zhì)中空球體對球心、對任意直徑和切線為軸的轉(zhuǎn)動慣量解 中空球體可視為球殼的組合，其中，為體密度.根據(jù)剛體對坐標(biāo)原點的轉(zhuǎn)動慣量的定義式，有當(dāng)然，極轉(zhuǎn)動慣量也可利用三重積分計算得到.根據(jù)關(guān)系式對于勻質(zhì)球體，球心為坐標(biāo)原點. 根據(jù)對稱性，可知則即為球殼對任意直徑的轉(zhuǎn)動慣量.當(dāng)然，、和也可利用三重積分計算得到.另解：中空球體可視為球殼的組合，根據(jù)疊加原理，也可較易求得其對直徑的轉(zhuǎn)動慣量為薄球殼中空球體實心球體練習(xí)：1 求質(zhì)量為、邊長為的勻質(zhì)等邊三角形對過頂點且垂直于板面的軸的轉(zhuǎn)動慣量.圖7.72 等邊三角形對過頂點且垂直于板面為軸的轉(zhuǎn)動慣量 解 對軸的轉(zhuǎn)動慣量，對軸的轉(zhuǎn)動慣量，錯誤的做法：正確的做法：根據(jù)垂直軸定理，有若直接計算對經(jīng)過頂點且垂直于三角形平面的軸的轉(zhuǎn)動慣量，取窄條后，則窄條上各點到軸的距離并非處處相等，故此法不可行！2 求質(zhì)量為、底面為邊長的等邊三角形、高的勻質(zhì)正三棱柱對以其高為軸的轉(zhuǎn)動慣量. 解 正三棱柱可視為由無限多個正三角形的組合，根據(jù)第1題的結(jié)論，利用轉(zhuǎn)動慣量的疊加原理，有3 求質(zhì)量為、邊長為且一個頂角為勻質(zhì)棱形對過頂點且垂直于板面的軸的轉(zhuǎn)動慣量.圖7.73 一個頂角為的棱形對過頂點且垂直于板面為軸的轉(zhuǎn)動慣量 解 根據(jù)第1題結(jié)論，利用轉(zhuǎn)動慣量的疊加原理，有4求質(zhì)量為、底面為邊長且一個頂角為勻質(zhì)棱形、高的勻質(zhì)正四棱柱對以其高為軸的轉(zhuǎn)動慣量.解 該正四棱柱可視為由無限多個棱形的組合，根據(jù)第3題的結(jié)論，利用轉(zhuǎn)動慣量的疊加原理，有5求質(zhì)量為、邊長為勻質(zhì)正六邊形對過頂點且垂直于板面的軸的轉(zhuǎn)動慣量.圖7.74 正六邊形對過頂點且垂直于板面為軸的轉(zhuǎn)動慣量解 根據(jù)第1題結(jié)論，利用轉(zhuǎn)動慣量的疊加原理，有其中，.6 求質(zhì)量為、底面為邊長的正六邊形、高的勻質(zhì)正六棱柱對以其高為軸的轉(zhuǎn)動慣量.解 該正六棱柱可視為由無限多個正六邊形的組合，根據(jù)第5題的結(jié)論，利用轉(zhuǎn)動慣量的疊加原理，有表7.2 一些簡單幾何圖形的轉(zhuǎn)動慣量剛體轉(zhuǎn)軸的位置轉(zhuǎn)動慣量細(xì)桿通過中心且垂直于桿通過桿端且垂直于桿細(xì)圓環(huán)通過中心且與環(huán)面垂直沿直徑沿切線中空圓盤通過中心且與環(huán)面垂直沿直徑薄圓盤通過中心且與盤面垂直沿直徑沿切線薄壁中空圓筒通過中心軸沿直徑中空圓柱體通過中心軸沿直徑中實圓柱體通過中心軸沿直徑沿中心直徑沿端面直徑球殼沿直徑沿切線中空球體沿直徑球體沿直徑沿切線第七章習(xí)題選講7.1.4 半徑為0.1 m的圓盤在鉛直平面內(nèi)轉(zhuǎn)動，在圓盤平面內(nèi)建立坐標(biāo)系，原點在軸上，和軸沿水平和鉛直向上的方向. 邊緣上一點當(dāng)時恰好在軸上，該點的角坐標(biāo)滿足 (的單位為rad，的單位為s). （1）時，（2）自開始轉(zhuǎn)45時，（3）轉(zhuǎn)過90時，點的速度和加速度在和軸上的投影. 解： （1）當(dāng)時，（2）當(dāng)時，由，得當(dāng)時，由，得7.1.7飛機沿水平方向飛行，螺旋槳尖端所在半徑為150 cm，發(fā)動機轉(zhuǎn)速. 槳尖相對于飛機的線速率等于多少？若飛機以250 km/h的速率飛行，計算槳尖相對地面速度的大小，并定性說明槳尖的軌跡.解：槳尖相對飛機的速度：槳尖相對地面的速度：，飛機相對地面的速度與螺旋槳相對飛機的速度總是垂直的，所以，顯然，槳尖相對地面的運動軌跡為螺旋線.7.2.2 在下面兩種情況下求直圓錐體的總質(zhì)量和質(zhì)心位置. 圓錐體為勻質(zhì)；密度為的函數(shù)：，為正常數(shù).解：建立圖示坐標(biāo)軸,據(jù)對稱性分析，質(zhì)心必在軸上，在坐標(biāo)處取一厚為的質(zhì)元.根據(jù)相似三角形，有，即 ，則 圓錐體為勻質(zhì)，即為常數(shù)，總質(zhì)量：質(zhì)心： 總質(zhì)量：質(zhì)心： 7.3.3 在質(zhì)量為，半徑為的勻質(zhì)圓盤上挖出半徑為的兩個圓孔，圓孔中心在半徑的中點，求剩余部分對過大圓盤中心且與盤面垂直的軸線的轉(zhuǎn)動慣量.解：大圓盤對過圓盤中心且與盤面垂直的軸線（以下簡稱軸）的轉(zhuǎn)動慣量 為 . 由于對稱放置，兩個小圓盤對軸的轉(zhuǎn)動慣量相等，設(shè)為，圓盤質(zhì)量的面密度，根據(jù)平行軸定理，有設(shè)挖去兩個小圓盤后，剩余部分對軸的轉(zhuǎn)動慣量為7.4.2 質(zhì)量為2.97 kg，長為1.0 m的勻質(zhì)等截面細(xì)桿可繞水平光滑的軸線轉(zhuǎn)動，最初桿靜止于鉛直方向. 一彈片質(zhì)量為10 g，以水平速度200 m/s射出并嵌入桿的下端，和桿一起運動，求桿的最大擺角. 解：將子彈、桿構(gòu)成的物體系作為研究對象，整個過程可分為兩個階段研究：第一階段，子彈與桿發(fā)生完全非彈性碰撞，獲得共同的角速度，此過程時間極短，可認(rèn)為