課標版數學全程復習全套教學案：12 第十二編 概率與統(tǒng)計(共52頁).doc

第十二編 概率與統(tǒng)計12.1 隨機事件的概率基礎自測1.下列說法不正確的有 .某事件發(fā)生的頻率為P（A）=1.1不可能事件的概率為0，必然事件的概率為1小概率事件就是不可能發(fā)生的事件，大概率事件就是必然發(fā)生的事件某事件發(fā)生的概率是隨著試驗次數的變化而變化的答案 2.給出下列三個命題，其中正確命題有 個.有一大批產品，已知次品率為10%，從中任取100件，必有10件是次品；做7次拋硬幣的試驗，結果3次出現(xiàn)正面，因此正面出現(xiàn)的概率是；隨機事件發(fā)生的頻率就是這個隨機事件發(fā)生的概率.答案 03.已知某臺紡紗機在1小時內發(fā)生0次、1次、2次斷頭的概率分別是0.8，0.12，0.05，則這臺紡紗機在1 小時內斷頭不超過兩次的概率和斷頭超過兩次的概率分別為 ， .答案 0.97 0.034.甲、乙兩人下棋，兩人和棋的概率是,乙獲勝的概率是，則乙不輸的概率是 .答案 5.拋擲一粒骰子，觀察擲出的點數，設事件A為出現(xiàn)奇數點，事件B為出現(xiàn)2點，已知P（A）=，P（B）=，則出現(xiàn)奇數點或2點的概率之和為 .答案 例1 盒中僅有4只白球5只黑球，從中任意取出一只球.（1）“取出的球是黃球”是什么事件？它的概率是多少？（2）“取出的球是白球”是什么事件？它的概率是多少？（3）“取出的球是白球或黑球”是什么事件？它的概率是多少？解 （1）“取出的球是黃球”在題設條件下根本不可能發(fā)生，因此它是不可能事件，其概率為0.（2）“取出的球是白球”是隨機事件，它的概率是.（3）“取出的球是白球或黑球”在題設條件下必然要發(fā)生，因此它是必然事件，它的概率是1.例2 某射擊運動員在同一條件下進行練習，結果如下表所示： 射擊次數n102050100200500擊中10環(huán)次數m8194493178453擊中10環(huán)頻率（1）計算表中擊中10環(huán)的各個頻率；（2）這位射擊運動員射擊一次，擊中10環(huán)的概率為多少？解 （1）擊中10環(huán)的頻率依次為0.8，0.95，0.88，0.93，0.89，0.906.（2）這位射擊運動員射擊一次，擊中10環(huán)的概率約是0.9.例3 （14分）國家射擊隊的某隊員射擊一次，命中710環(huán)的概率如下表所示： 命中環(huán)數10環(huán)9環(huán)8環(huán)7環(huán)概率0.320.280.180.12求該射擊隊員射擊一次（1）射中9環(huán)或10環(huán)的概率；（2）至少命中8環(huán)的概率；（3）命中不足8環(huán)的概率.解 記事件“射擊一次，命中k環(huán)”為Ak（kN，k10），則事件Ak彼此互斥.2分（1）記“射擊一次，射中9環(huán)或10環(huán)”為事件A，那么當A9，A10之一發(fā)生時，事件A發(fā)生，由互斥事件的加法公式得P（A）=P（A9）+P（A10）=0.32+0.28=0.60.5分（2）設“射擊一次，至少命中8環(huán)”的事件為B，那么當A8，A9，A10之一發(fā)生時，事件B發(fā)生.由互斥事件概率的加法公式得P（B）=P（A8）+P（A9）+P（A10）=0.18+0.28+0.32=0.78.10分（3）由于事件“射擊一次，命中不足8環(huán)”是事件B：“射擊一次，至少命中8環(huán)”的對立事件：即表示事件“射擊一次，命中不足8環(huán)”，根據對立事件的概率公式得P（）=1-P（B）=1-0.78=0.22.14分1.在12件瓷器中，有10件一級品，2件二級品，從中任取3件. (1)“3件都是二級品”是什么事件？（2）“3件都是一級品”是什么事件？（3）“至少有一件是一級品”是什么事件？解 （1）因為12件瓷器中，只有2件二級品，取出3件都是二級品是不可能發(fā)生的，故是不可能事件.（2）“3件都是一級品”在題設條件下是可能發(fā)生也可能不發(fā)生的，故是隨機事件.（3）“至少有一件是一級品”是必然事件，因為12件瓷器中只有2件二級品，取三件必有一級品.2.某企業(yè)生產的乒乓球被08年北京奧委會指定為乒乓球比賽專用球.日前有關部門對某批產品進行了抽樣檢測，檢查結果如下表所示： 抽取球數n501002005001 0002 000優(yōu)等品數m45921944709541 902優(yōu)等品頻率（1）計算表中乒乓球優(yōu)等品的頻率；（2）從這批乒乓球產品中任取一個，質量檢查為優(yōu)等品的概率是多少？（結果保留到小數點后三位）解 （1）依據公式p=，可以計算出表中乒乓球優(yōu)等品的頻率依次是0.900，0.920，0.970，0.940，0.954，0.951.（2）由（1）知，抽取的球數n不同，計算得到的頻率值雖然不同，但隨著抽取球數的增多，卻都在常數0.950的附近擺動，所以抽取一個乒乓球檢測時，質量檢查為優(yōu)等品的概率為0.950.3.玻璃球盒中裝有各色球12只，其中5紅、4黑、2白、1綠，從中取1球，求：（1）紅或黑的概率；（2）紅或黑或白的概率.解 方法一 記事件A1：從12只球中任取1球得紅球；A2：從12只球中任取1球得黑球；A3：從12只球中任取1球得白球；A4：從12只球中任取1球得綠球，則P（A1）=，P（A2）=，P（A3）=，P（A4）=.根據題意，A1、A2、A3、A4彼此互斥，由互斥事件概率加法公式得（1）取出紅球或黑球的概率為P（A1+A2）=P（A1）+P（A2）=+=.（2）取出紅或黑或白球的概率為P（A1+A2+A3）=P（A1）+P（A2）+P（A3）=+=.方法二 （1）取出紅球或黑球的對立事件為取出白球或綠球，即A1+A2的對立事件為A3+A4，取出紅球或黑球的概率為P（A1+A2）=1-P（A3+A4）=1-P（A3）-P（A4）=1-=.（2）A1+A2+A3的對立事件為A4.P（A1+A2+A3）=1-P（A4）=1-=.一、填空題1.在一個袋子中裝有分別標注數字1，2，3，4，5的五個小球，這些小球除標注的數字外完全相同.現(xiàn)從中隨機取出2個小球，則取出的小球標注的數字之和為3或6的概率是 .答案 2.某入伍新兵的打靶練習中，連續(xù)射擊2次，則事件“至少有1次中靶”的互斥事件是 （寫出一個即可）.答案 2次都不中靶3.甲:A1、A2是互斥事件；乙：A1、A2是對立事件，那么甲是乙的 條件.答案 必要不充分4.將一顆質地均勻的骰子（它是一種各面上分別標有點數1，2，3，4，5，6的正方體玩具）先后拋擲3次，至少出現(xiàn)一次6點向上的概率是 .答案 5.一個口袋內裝有一些大小和形狀都相同的白球、黑球和紅球，從中摸出一個球，摸出紅球的概率是0.3，摸出白球的概率是0.5，則摸出黑球的概率是 . 答案 0.26.在第3、6、16路公共汽車的一個?？空荆俣ㄟ@個車站只能?？恳惠v公共汽車），有一位乘客需在5分鐘之內乘上公共汽車趕到廠里，他可乘3路或6路公共汽車到廠里，已知3路車、6路車在5分鐘之內到此車站的概率分別為0.20和0.60，則該乘客在5分鐘內能乘上所需要的車的概率為 .答案 0.807.中國乒乓球隊甲、乙兩名隊員參加奧運會乒乓球女子單打比賽，甲奪得冠軍的概率為，乙奪得冠軍的概率為，那么中國隊奪得女子乒乓球單打冠軍的概率為 .答案 8.甲、乙兩人下棋，甲獲勝的概率是40%，甲不輸的概率是90%，則甲、乙二人下成和棋的概率為 .答案 50%二、解答題9.某射手在一次射擊訓練中，射中10環(huán)、9環(huán)、8環(huán)、7環(huán)的概率分別為0.21、0.23、0.25、0.28，計算這個射手在一次射擊中：（1）射中10環(huán)或9環(huán)的概率；（2）不夠7環(huán)的概率.解 （1）設“射中10環(huán)”為事件A，“射中9環(huán)”為事件B，由于A，B互斥，則P（A+B）=P（A）+P（B）=0.21+0.23=0.44.（2）設“少于7環(huán)”為事件C，則P（C）=1-P（）=1-（0.21+0.23+0.25+0.28）=0.03.10.某醫(yī)院一天派出醫(yī)生下鄉(xiāng)醫(yī)療，派出醫(yī)生人數及其概率如下： 醫(yī)生人數012345人及以上概率0.10.160.30.20.20.04求：（1）派出醫(yī)生至多2人的概率；（2）派出醫(yī)生至少2人的概率.解 記事件A：“不派出醫(yī)生”，事件B：“派出1名醫(yī)生”，事件C：“派出2名醫(yī)生”，事件D：“派出3名醫(yī)生”，事件E：“派出4名醫(yī)生”，事件F：“派出不少于5名醫(yī)生”.事件A，B，C，D，E，F(xiàn)彼此互斥，且P（A）=0.1，P（B）=0.16，P（C）=0.3，P（D）=0.2，P（E）=0.2，P（F）=0.04.（1）“派出醫(yī)生至多2人”的概率為P（A+B+C）=P（A）+P（B）+P（C）=0.1+0.16+0.3=0.56.（2）“派出醫(yī)生至少2人”的概率為P（C+D+E+F）=P（C）+P（D）+P（E）+P（F）=0.3+0.2+0.2+0.04=0.74.或1-P（A+B）=1-0.1-0.16=0.74.11.拋擲一個均勻的正方體玩具（各面分別標有數字1、2、3、4、5、6），事件A表示“朝上一面的數是奇數”，事件B表示“朝上一面的數不超過3”，求P（A+B）.解 方法一 因為A+B的意義是事件A發(fā)生或事件B發(fā)生，所以一次試驗中只要出現(xiàn)1、2、3、5四個可能結果之一時，A+B就發(fā)生，而一次試驗的所有可能結果為6個，所以P（A+B）=.方法二 記事件C為“朝上一面的數為2”，則A+B=A+C，且A與C互斥.又因為P（C）=，P（A）=，所以P（A+B）=P（A+C）=P（A）+P（C）=+=.方法三 記事件D為“朝上一面的數為4或6”，則事件D發(fā)生時，事件A和事件B都不發(fā)生，即事件A+B不發(fā)生.又事件A+B發(fā)生即事件A發(fā)生或事件B發(fā)生時，事件D不發(fā)生，所以事件A+B與事件D為對立事件.因為P（D）=，所以P（A+B）=1-P（D）=1-=.12.袋中有12個小球，分別為紅球、黑球、黃球、綠球，從中任取一球，得到紅球的概率為，得到黑球或黃球的概率是，得到黃球或綠球的概率是，試求得到黑球、黃球、綠球的概率各是多少？解 分別記得到紅球、黑球、黃球、綠球為事件A、B、C、D.由于A、B、C、D為互斥事件，根據已知得到解得.得到黑球、黃球、綠球的概率各是，.12.2 古典概型基礎自測1.從甲、乙、丙三人中任選兩名代表，甲被選中的概率為 .答案 2.擲一枚骰子，觀察擲出的點數，則擲出奇數點的概率為 .答案 3.袋中有2個白球，2個黑球，從中任意摸出2個，則至少摸出1個黑球的概率是 .答案 4.一袋中裝有大小相同，編號為1，2，3，4，5，6，7，8的八個球，從中有放回地每次取一個球，共取2次，則取得兩個球的編號之和不小于15的概率為 .答案 5.擲一枚均勻的硬幣兩次，事件M：“一次正面朝上，一次反面朝上” ；事件N：“至少一次正面朝上” .則P(M)= ,P(N)= .答案 例1 有兩顆正四面體的玩具，其四個面上分別標有數字1，2，3，4，下面做投擲這兩顆正四面體玩具的試驗：用（x，y）表示結果，其中x表示第1顆正四面體玩具出現(xiàn)的點數，y表示第2顆正四面體玩具出現(xiàn)的點數.試寫出：（1）試驗的基本事件；（2）事件“出現(xiàn)點數之和大于3”；（3）事件“出現(xiàn)點數相等”.解 （1）這個試驗的基本事件為：（1，1），（1，2），（1，3），（1，4），（2，1），（2，2），（2，3），（2，4），（3，1），（3，2），（3，3），（3，4），（4，1），（4，2），（4，3），（4，4）.（2）事件“出現(xiàn)點數之和大于3”包含以下13個基本事件：（1，3），（1，4），（2，2），（2，3），（2，4），（3，1），（3，2），（3，3），（3，4），（4，1），（4，2），（4，3），（4，4）.（3）事件“出現(xiàn)點數相等”包含以下4個基本事件：（1，1），（2，2），（3，3），（4，4）.例2 甲、乙兩人參加法律知識競答，共有10道不同的題目，其中選擇題6道，判斷題4道，甲、乙兩人依次各抽一題.（1）甲抽到選擇題、乙抽到判斷題的概率是多少？（2）甲、乙兩人中至少有一人抽到選擇題的概率是多少？解 甲、乙兩人從10道題中不放回地各抽一道題，先抽的有10種抽法，后抽的有9種抽法，故所有可能的抽法是109=90種，即基本事件總數是90.（1）記“甲抽到選擇題，乙抽到判斷題”為事件A，下面求事件A包含的基本事件數：甲抽選擇題有6種抽法，乙抽判斷題有4種抽法，所以事件A的基本事件數為64=24.P（A）=.（2）先考慮問題的對立面：“甲、乙兩人中至少有一人抽到選擇題”的對立事件是“甲、乙兩人都未抽到選擇題”，即都抽到判斷題.記“甲、乙兩人都抽到判斷題”為事件B，“至少一人抽到選擇題”為事件C，則B含基本事件數為43=12.由古典概型概率公式，得P（B）=,由對立事件的性質可得P（C）=1-P（B）=1-=.例3 （14分）同時拋擲兩枚骰子.（1）求“點數之和為6”的概率；（2）求“至少有一個5點或6點”的概率.解 同時拋擲兩枚骰子，可能的結果如下表：共有36個不同的結果.7分（1）點數之和為6的共有5個結果，所以點數之和為6的概率P=.10分（2）方法一 從表中可以得其中至少有一個5點或6點的結果有20個，所以至少有一個5點或6點的概率P=.14分方法二 至少有一個5點或6點的對立事件是既沒有5點又沒有6點，如上表既沒有5點又沒有6點的結果共有16個，則既沒有5點又沒有6點的概率P=，所以至少有一個5點或6點的概率為1-=.14分1.某口袋內裝有大小相同的5只球，其中3只白球，2只黑球，從中一次摸出2只球.（1）共有多少個基本事件？（2）摸出的2只球都是白球的概率是多少？解 （1）分別記白球為1，2，3號，黑球為4，5號，從中摸出2只球，有如下基本事件（摸到1，2號球用（1，2）表示）：(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(2,3),(2,4),(2,5)，(3,4),(3,5),(4,5).因此，共有10個基本事件.（2）如下圖所示，上述10個基本事件的可能性相同，且只有3個基本事件是摸到2只白球（記為事件A），即（1，2），（1，3），（2，3），故P（A）=. 故共有10個基本事件，摸出2只球都是白球的概率為.2.（2008山東文，18）現(xiàn)有8名奧運會志愿者，其中志愿者A1、A2、A3通曉日語，B1、B2、B3通曉俄語，C1、C2通曉韓語，從中選出通曉日語、俄語和韓語的志愿者各1名，組成一個小組.（1）求A1被選中的概率；（2）求B1和C1不全被選中的概率.解 （1）從8人中選出日語、俄語和韓語志愿者各1名，其一切可能的結果組成的基本事件空間=(A1,B1,C1),(A1,B1,C2),(A1,B2,C1),(A1,B2,C2),(A1,B3,C1),(A1,B3,C2),(A2,B1,C1),(A2,B1,C2),(A2,B2,C1),(A2,B2,C2),(A2,B3,C1),(A2,B3,C2),(A3,B1,C1),(A3,B1,C2),(A3,B2,C1),(A3,B2,C2),(A3,B3,C1),(A3,B3,C2)由18個基本事件組成.由于每一個基本事件被抽取的機會均等，因此這些基本事件的發(fā)生是等可能的.用M表示“A1恰被選中”這一事件，則M=(A1,B1,C1),(A1,B1,C2),(A1,B2,C1),(A1,B2,C2),(A1,B3,C1),(A1,B3,C2)事件M由6個基本事件組成，因而P（M）=.（2）用N表示“B1、C1不全被選中”這一事件，則其對立事件表示“B1、C1全被選中”這一事件，由于=（A1,B1,C1）,(A2,B1,C1),(A3,B1,C1)，事件有3個基本事件組成，所以P（）=，由對立事件的概率公式得P（N）=1-P（）=1-=.3.袋中有6個球，其中4個白球，2個紅球，從袋中任意取出兩球，求下列事件的概率:（1）A:取出的兩球都是白球；（2）B：取出的兩球1個是白球，另1個是紅球.解 設4個白球的編號為1，2，3，4，2個紅球的編號為5，6.從袋中的6個小球中任取兩個的方法為（1，2），（1，3），（1，4），（1，5），（1，6），（2，3），（2，4），（2，5），（2，6），（3，4），（3，5），（3，6），（4，5），（4，6），（5，6）共15個.（1）從袋中的6個球中任取兩個，所取的兩球全是白球的總數，即是從4個白球中任取兩個的方法總數，共有6個，即為（1，2），（1，3），（1，4），（2，3），（2，4），（3，4）.取出的兩個球全是白球的概率為P（A）=.（2）從袋中的6個球中任取兩個，其中1個為紅球，而另1個為白球，其取法包括（1，5），（1，6），（2，5），（2，6），（3，5），（3，6），（4，5），（4，6）共8個.取出的兩個球1個是白球，另1個是紅球的概率P（B）=. 一、填空題1.盒中有1個黑球和9個白球，它們除顏色不同外，其他方面沒有什么差別.現(xiàn)由10人依次摸出1個球.設第1個人摸出的1個球是黑球的概率為P1，第10個人摸出黑球的概率是P10，則P10 P1（填“”“”或“=” ）.答案 =2. 采用簡單隨機抽樣從含有n個個體的總體中抽取一個容量為3的樣本，若個體a前2次未被抽到，第3次被抽到的概率等于個體a未被抽到的概率的倍，則個體a被抽到的概率為 .答案 3.有一個奇數列1，3，5，7，9，現(xiàn)在進行如下分組，第一組有1個數為1，第二組有2個數為3、5，第三組有3個數為7、9、11，依此類推，則從第十組中隨機抽取一個數恰為3的倍數的概率為 .答案 4.從數字1，2，3中任取兩個不同數字組成兩位數，該數大于23的概率為 .答案 5.設集合A=1，2，B=1，2，3，分別從集合A和B中隨機取一個數a和b，確定平面上的一個點P（a，b），記“點P（a,b）落在直線x+y=n上”為事件Cn（2n5，nN），若事件Cn的概率最大，則n的所有可能值為 .答案 3和46.若以連續(xù)擲兩次骰子分別得到的點數m、n作為點P的橫、縱坐標，則點P在直線x+y=5下方的概率是 .答案 7.（2008江蘇，2）一個骰子連續(xù)投2次，點數和為4的概率為 .答案 8.（2008上海文，8）在平面直角坐標系中，從五個點：A（0，0）、B（2，0）、C（1，1）、D（0，2）、E（2，2）中任取三個，這三點能構成三角形的概率是 （結果用分數表示）.答案 二、解答題9.5張獎券中有2張是中獎的，首先由甲然后由乙各抽一張，求：（1）甲中獎的概率P（A）；（2）甲、乙都中獎的概率；（3）只有乙中獎的概率；（4）乙中獎的概率.解 （1）甲有5種抽法，即基本事件總數為5.中獎的抽法只有2種，即事件“甲中獎”包含的基本事件數為2，故甲中獎的概率為P1=.（2）甲、乙各抽一張的事件中，甲有五種抽法，則乙有4種抽法，故所有可能的抽法共54=20種，甲、乙都中獎的事件中包含的基本事件只有2種，故P2=.（3）由（2）知，甲、乙各抽一張獎券，共有20種抽法，只有乙中獎的事件包含“甲未中”和“乙中”兩種情況，故共有32=6種基本事件，P3=.（4）由（1）可知，總的基本事件數為5，中獎的基本事件數為2，故P4=.10. 箱中有a個正品，b個次品，從箱中隨機連續(xù)抽取3次，在以下兩種抽樣方式下：（1）每次抽樣后不放回；（2）每次抽樣后放回.求取出的3個全是正品的概率.解 （1）若不放回抽樣3次看作有順序，則從a+b個產品中不放回抽樣3次共有A種方法，從a個正品中不放回抽樣3次共有A種方法，可以抽出3個正品的概率P=.若不放回抽樣3次看作無順序，則從a+b個產品中不放回抽樣3次共有C種方法，從a個正品中不放回抽樣3次共有C種方法，可以取出3個正品的概率P=.兩種方法結果一致.（2）從a+b個產品中有放回的抽取3次，每次都有a+b種方法，所以共有（a+b）3種不同的方法，而3個全是正品的 抽法共有a3種，所以3個全是正品的概率P=.11.袋中裝有黑球和白球共7個，從中任取兩個球都是白球的概率為.現(xiàn)有甲、乙兩人從袋中輪流摸球，甲先取，乙后取，然后甲再取取后不放回，直到兩人中有1人取到白球時即終止.每個球在每一次被取出的機會是等可能的.（1）求袋中原有白球的個數；（2）求取球2次終止的概率；（3）求甲取到白球的概率.解 （1）設袋中有n個白球，從袋中任取2個球是白球的結果數是.從袋中任取2個球的所有可能的結果數為=21.由題意知=，n（n-1）=6，解得n=3(舍去n=-2).故袋中原有3個白球.（2）記“取球2次終止”為事件A，則P（A）=.（3）記“甲取到白球”的事件為B，“第i次取到白球”為Ai，i=1，2，3，4，5，因為甲先取，所以甲只有可能在第1次，第3次和第5次取球.所以P（B）=P（A1+A3+A5）.因此A1，A3，A5兩兩互斥，P（B）=P（A1）+P（A3）+P（A5）=+=+=.12.（2008海南、寧夏文，19）為了了解中華人民共和國道路交通安全法在學生中的普及情況,調查部門對某校6名學生進行問卷調查,6人得分情況如下:5,6,7,8,9,10.把這6名學生的得分看成一個總體.(1)求該總體的平均數;(2)用簡單隨機抽樣方法從這6名學生中抽取2名,他們的得分組成一個樣本.求該樣本平均數與總體平均數之差的絕對值不超過0.5的概率.解 (1)總體平均數為(5+6+7+8+9+10)=7.5.(2)設A表示事件“樣本平均數與總體平均數之差的絕對值不超過0.5”.從總體中抽取2個個體全部可能的基本結果有：（5，6），（5，7），（5，8），（5，9），（5，10），（6，7），（6，8），（6，9），（6，10），（7，8），（7，9），（7，10），（8，9），（8，10），（9，10），共15個基本結果.事件A包括的基本結果有：（5，9），（5，10），（6，8），（6，9），（6，10），（7，8），（7，9），共有7個基本結果.所以所求的概率為P（A）=.12.3 幾何概型基礎自測1.質點在數軸上的區(qū)間0，2上運動，假定質點出現(xiàn)在該區(qū)間各點處的概率相等，那么質點落在區(qū)間0，1上的概率為 .答案 2.某人向圓內投鏢，如果他每次都投入圓內，那么他投中正方形區(qū)域的概率為 .答案 3.某路公共汽車每5分鐘發(fā)車一次，某乘客到乘車點的時刻是隨機的，則他候車時間不超過3分鐘的概率是 .答案 4.設D是半徑為R的圓周上的一定點，在圓周上隨機取一點C，連接CD得一弦，若A表示“所得弦的長大于圓內接等邊三角形的邊長”，則P（A）= .答案 5.如圖所示，在直角坐標系內，射線OT落在30角的終邊上，任作一條射線OA，則射線OA落在yOT內的概率為 .答案 例1 有一段長為10米的木棍，現(xiàn)要截成兩段，每段不小于3米的概率有多大？解 記“剪得兩段都不小于3米”為事件A，從木棍的兩端各度量出3米，這樣中間就有10-3-3=4（米）.在中間的4米長的木棍處剪都能滿足條件，所以P（A）=0.4.例2 街道旁邊有一游戲：在鋪滿邊長為9 cm的正方形塑料板的寬廣地面上，擲一枚半徑為1 cm的小圓板，規(guī)則如下：每擲一次交5角錢，若小圓板壓在正方形的邊，可重擲一次；若擲在正方形內，須再交5角錢可玩一次；若擲在或壓在塑料板的頂點上，可獲1元錢.試問：（1）小圓板壓在塑料板的邊上的概率是多少？（2）小圓板壓在塑料板頂點上的概率是多少？解 （1）考慮圓心位置在中心相同且邊長分別為7 cm和9 cm的正方形圍成的區(qū)域內，所以概率為=.（2）考慮小圓板的圓心在以塑料板頂點為圓心的圓內，因正方形有四個頂點，所以概率為.例3 （14分）在1升高產小麥種子中混入一粒帶麥銹病的種子，從中隨機取出10毫升，含有麥銹病種子的概率是多少？從中隨機取出30毫升，含有麥銹病種子的概率是多少？解 1升=1 000毫升，1分記事件A：“取出10毫升種子含有這粒帶麥銹病的種子”.3分則P（A）=0.01，即取出10毫升種子含有這粒帶麥銹病的種子的概率為0.01.7分記事件B：“取30毫升種子含有帶麥銹病的種子”.9分則P（B）=0.03，即取30毫升種子含有帶麥銹病的種子的概率為0.03.14分例4 在RtABC中，A=30，過直角頂點C作射線CM交線段AB于M，求使|AM|AC|的概率.解 設事件D“作射線CM，使|AM|AC|”.在AB上取點C使|AC|=|AC|，因為ACC是等腰三角形，所以ACC=75,=90-75=15，=90，所以，P（D）=.例5 甲、乙兩人約定在6時到7時之間在某處會面，并約定先到者應等候另一人一刻鐘，過時即可離去.求兩人能會面的概率.解 以x軸和y軸分別表示甲、乙兩人到達約定地點的時間，則兩人能夠會面的充要條件是|x-y|15.在如圖所示平面直角坐標系下，（x,y）的所有可能結果是邊長為60的正方形區(qū)域，而事件A“兩人能夠會面”的可能結果由圖中的陰影部分表示.由幾何概型的概率公式得：P（A）=.所以，兩人能會面的概率是.1.如圖所示，A、B兩盞路燈之間長度是30米，由于光線較暗，想在其間再隨意安裝兩盞路燈C、D，問A與C，B與D之間的距離都不小于10米的概率是多少？解 記E：“A與C，B與D之間的距離都不小于10米”，把AB三等分，由于中間長度為30=10（米），P（E）=.2.（2008江蘇，6）在平面直角坐標系xOy中，設D是橫坐標與縱坐標的絕對值均不大于2的點構成的區(qū)域，E是到原點的距離不大于1的點構成的區(qū)域，向D中隨機投一點，則落入E中的概率為 .答案 3.如圖所示，有一杯2升的水，其中含有1個細菌，用一個小杯從這杯水中取出0.1升水，求小杯水中含有這個細菌的概率.解 記“小杯水中含有這個細菌”為事件A，則事件A的概率只與取出的水的體積有關，符合幾何概型的條件.=0.1升，=2升，由幾何概型求概率的公式，得P（A）=0.05.4.在圓心角為90的扇形AOB中，以圓心O為起點作射線OC，求使得AOC和BOC都不小于30的概率.解 如圖所示，把圓弧 三等分，則AOF=BOE=30，記A為“在扇形AOB內作一射線OC，使AOC和BOC都不小于30”，要使AOC和BOC都不小于30，則OC就落在EOF內，P（A）=.5.將長為l的棒隨機折成3段，求3段構成三角形的概率.解 設A=“3段構成三角形”，x,y分別表示其中兩段的長度，則第3段的長度為l-x-y.則試驗的全部結果可構成集合=（x，y）|0xl,0yl,0x+yl,要使3段構成三角形，當且僅當任意兩段之和大于第3段，即x+yl-x-yx+y,x+l-x-yyy,y+l-x-yxx.故所求結果構成集合A=.由圖可知，所求概率為P（A）=.一、填空題1.在區(qū)間（15，25內的所有實數中隨機取一個實數a,則這個實數滿足17a20的概率是 .答案 2.在長為10厘米的線段AB上任取一點G，用AG為半徑作圓，則圓的面積介于36平方厘米到64平方厘米的概率是 .答案 3.當你到一個紅綠燈路口時，紅燈的時間為30秒，黃燈的時間為5秒，綠燈的時間為45秒，那么你看到黃燈的概率是 .答案 4.如圖為一半徑為2的扇形（其中扇形中心角為90），在其內部隨機地撒一粒黃豆，則它落在陰影部分的概率為 .答案 1-5.在面積為S的ABC的邊AB上任取一點P，則PBC的面積大于的概率是 .答案 6.已知正方體ABCDA1B1C1D1內有一個內切球O,則在正方體ABCDA1B1C1D1內任取點M，點M在球O內的概率是 .答案 7.已知下圖所示的矩形，其長為12，寬為5.在矩形內隨機地撒1 000顆黃豆，數得落在陰影部分的黃豆數為550顆，則可以估計出陰影部分的面積約為 . 答案 338.在區(qū)間（0，1）中隨機地取兩個數，則事件“兩數之和小于”的概率為 .答案 二、解答題9.射箭比賽的箭靶涂有5個彩色的分環(huán)，從外向內白色、黑色、藍色、紅色，靶心為金色，金色靶心叫“黃心”，奧運會的比賽靶面直徑是122 cm，靶心直徑12.2 cm,運動員在70米外射箭，假設都能中靶，且射中靶面內任一點是等可能的，求射中“黃心”的概率.解 記“射中黃心”為事件A，由于中靶點隨機的落在面積為1222 cm2的大圓內，而當中靶點在面積為12.22 cm2的黃心時，事件A發(fā)生，于是事件A發(fā)生的概率P（A）=0.01,所以射中“黃心”的概率為0.01.10.假設你家訂了一份報紙，送報人可能在早上630至730之間把報紙送到你家，你父親離開家去工作的時間在早上700至800之間，問你父親在離開家前能得到報紙（稱為事件A）的概率是多少？解 設事件A“父親離開家前能得到報紙”.在平面直角坐標系內，以x和y分別表示報紙送到和父親離開家的時間，則父親能得到報紙的充要條件是xy,而（x,y)的所有可能結果是邊長為1的正方形，而能得到報紙的所有可能結果由圖中陰影部分表示，這是一個幾何概型問題，=12-=， =1，所以P（A）=.11.已知等腰RtABC中，C=90.（1）在線段BC上任取一點M，求使CAM30的概率；（2）在CAB內任作射線AM，求使CAM30的概率.解 （1）設CM=x，則0xa.（不妨設BC=a）.若CAM30,則0xa,故CAM30的概率為P（A）=.（2）設CAM=，則045.若CAM30,則030,故CAM30的概率為P（B）=.12.設關于x的一元二次方程x2+2ax+b2=0.（1）若a是從0，1，2，3四個數中任取的一個數，b是從0，1，2三個數中任取的一個數，求上述方程有實根的概率.（2）若a是從區(qū)間0，3任取的一個數，b是從區(qū)間0，2任取的一個數，求上述方程有實根的概率.解 設事件A為“方程x2+2ax+b2=0有實根”.當a0,b0時，方程x2+2ax+b2=0有實根的充要條件為ab.（1）基本事件共有12個：（0，0），（0，1），（0，2），（1，0），（1，1），（1，2），（2，0），（2，1），（2，2），（3，0），（3，1），（3，2）.其中第一個數表示a的取值，第二個數表示b的取值.事件A中包含9個基本事件，事件A發(fā)生的概率為P（A）=.（2）試驗的全部結果所構成的區(qū)域為(a,b)|0a3,0b2.構成事件A的區(qū)域為(a,b)|0a3,0b2,ab.所以所求的概率為P(A)=.12.4 隨機變量及其概率分布基礎自測1.袋中有大小相同的5只鋼球，分別標有1，2，3，4，5五個號碼，任意抽取2個球，設2個球號碼之和為X，則X的所有可能取值個數為 .答案 72.下列表中不能成為隨機變量X的概率分布的是 .X-101P0.30.40.4X123P0.40.7-0.1X-101P0.30.40.3X123P0.30.40.4答案 3.已知隨機變量X的分布列為P（X=i）=（i=1，2，3），則P（X=2）= .答案 4.一批產品共50件，其中5件次品，45件合格品，從這批產品中任意抽兩件，其中出現(xiàn)次品的概率是 .答案 5.若X的概率分布為 ，則常數c= .答案 例1 一袋中裝有編號為1，2，3，4，5，6的6個大小相同的球，現(xiàn)從中隨機取出3個球，以X表示取出的最大號碼.（1）求X的概率分布；（2）求X4的概率.解 （1）X的可能取值為3，4，5，6，從而有：P（X=3）=，P（X=4）=，P（X=5）=，P（X=6）=.故X的概率分布為X3456P（2）P（X4）=P（X=5）+P（X=6）=.例2 （14分）某校高三年級某班的數學課外活動小組中有6名男生，4名女生，從中選出4人參加數學競賽考試，用X表示其中的男生人數，求X的概率分布. 解 依題意隨機變量X服從超幾何分布，所以P（X=k）=（k=0，1，2，3，4）.4分P（X=0）=,P(X=1)= =,P(X=2)= =,P(X=3)= =,P(X=4)= =,9分X的概率分布為X01234P 14分例3設離散型隨機變量X的概率分布為X01234P0.20.10.10.3m求：（1）2X+1的概率分布；（2）|X-1|的概率分布.解 由概率分布的性質知：0.2+0.1+0.1+0.3+m=1，m=0.3.首先列表為：X012342X+113579|X-1|10123從而由上表得兩個概率分布為：（1）2X+1的概率分布：2X+113579P0.20.10.10.30.3（2）|X-1|的概率分布：|X-1|0123P0.10.30.30.31.袋中有3個白球，3個紅球和5個黑球.從中抽取3個球，若取得1個白球得1分，取得1個紅球扣1分，取得1個黑球得0分.求所得分數的概率分布.解 得分的取值為-3，-2，-1，0，1，2，3.=-3時表示取得3個球均為紅球， P（=-3）=；=-2時表示取得2個紅球和1個黑球，P（=-2）=；=-1時表示取得2個紅球和1個白球，或1個紅球和2個黑球，P（=-1）=；=0時表示取得3個黑球或1紅、1黑、1白，P（=0）=；=1時表示取得1個白球和2個黑球或2個白球和1個紅球，P（=1）=；=2時表示取得2個白球和1個黑球，P（=2）=；=3時表示取得3個白球，P（=3）=；所求概率分布為：-3-2-10123P2.袋中有4個紅球，3個黑球，從袋中隨機地抽取4個球，設取到一個紅球得2分，取到一個黑球得1分.（1）求得分X的概率分布；（2）求得分大于6的概率.解 得分X的所有可能值為：5，6，7，8.（1）P（X=5）=,P（X=6）=,P（X=7）=,P（X=8）=.X的概率分布為X5678P（2）得分大于6的概率為：P（X=7）+P（X=8）=+=.3.已知隨機變量的概率分布為-2-10123P分別求出隨機變量1=，2=的概率分布.解 由于1=對于不同的有不同的取值y=x，即y1=x1=-1，y2=x2=-，y3=x3=0，y4=x4=，y5=x5=1，y6=x6=.所以1的概率分布為：-1-01P=對于的不同取值-2，2及-1，1，分別取相同的值4與1，即取4這個值的概率應是取-2與2值的概率與合并的結果，取1這個值的概率為取-1與1的概率與合并的結果，故的概率分布為：0149P一、填空題1.袋中有大小相同的紅球6個、白球5個，從袋中每次任意取出1個球，直到取出的球是白球時為止，所需要的取球次數為隨機變量，則的可能值為 .答案 1，2，72.已知某離散型隨機變量的概率分布如下： 123nPk3 k5 k(2n-1)k則常數k的值為 .答案 3.設是一個離散型隨機變量，其概率分布為 -101P1-2qq2則q的值為 .答案 1-4.在15個村莊中有7個村莊交通不方便，現(xiàn)從中任意選10個村莊，用X表示這10個村莊中交通不方便的村莊數，則P（X=4）= .（用式子表示）答案 5.一只袋內裝有m個白球，n-m個黑球，連續(xù)不放回地從袋中取球，直到取出黑球為止，設此時取出了個白球，若概率為時，= .答案 26.如果B，則使P（=k）取最大值的k值為 .答案 3或47.若某一射手射擊所得環(huán)數X的概率分布如下： X45678910P0.020.040.060.090.280.290.22則此射手“射擊一次命中環(huán)數X7”的概率是 .答案 0.888.設隨機變量X的概率分布為： X123nPk2k4k2n-1k則k = .答案 二、解答題9.設離散型隨機變量的分布列P（=）=ak，k=1，2，3，4，5.（1）求常數a的值；（2）求P（）；（3）求P（）.解 （1）由分布列的性質，得a1+a2+a3+a4+a5=1，解得a=.(2)由（1），得P（=）=k,k=1,2,3,4,5.方法一 P（）=P（=）+P（=）+P（=1）=+=.方法二 P（）=1-P（）=1-P(=)+P（=）=1-（）=.(3)，=，P（）=P（=）+P（=）+P（=）=+=.10.從裝有6個白球、4個黑球和2個黃球的箱中隨機地取出兩個球，規(guī)定每取出一個黑球贏2元，而每取出一個白球輸1元，取出黃球無輸贏，以X表示贏得的錢數，則隨機變量X可以取哪些值？求X的概率分布.解 從箱中取兩個球的情形有以下六種：2白，1白1黃，1白1黑，2黃，1黑1黃，2黑.當取到2白時，結果輸2元，則X=-2；當取到1白1黃時，輸1元，記隨機變量X=-1；當取到1白1黑時，隨機變量X=1；當取到2黃時，X=0；當取到1黑1黃時，X=2；當取到2黑時，X=4.則X的可能取值為-2，-1，0，1，2，4.P（X=-2）=，P（X=-1）=，P（X=0）=，P（X=1）=，P（