高考數(shù)學大一輪復習第十章統(tǒng)計與統(tǒng)計案例10_2統(tǒng)計圖表用樣本估計總體課件文北師大版

10 2統(tǒng)計圖表 用樣本估計總體 基礎(chǔ)知識自主學習 課時作業(yè) 題型分類深度剖析 內(nèi)容索引 基礎(chǔ)知識自主學習 1 統(tǒng)計圖表 知識梳理 統(tǒng)計圖表是和數(shù)據(jù)的重要工具 常用的統(tǒng)計圖表有 等 2 數(shù)據(jù)的數(shù)字特征 1 眾數(shù) 中位數(shù) 平均數(shù)眾數(shù) 在一組數(shù)據(jù)中 出現(xiàn)次數(shù)的數(shù)據(jù)叫作這組數(shù)據(jù)的眾數(shù) 中位數(shù) 將一組數(shù)據(jù)按大小依次排列 把處在位置的一個數(shù)據(jù) 或最中間兩個數(shù)據(jù)的平均數(shù) 叫作這組數(shù)據(jù)的中位數(shù) 平均數(shù) 樣本數(shù)據(jù)的算術(shù)平均數(shù) 即 表達 分析 條形統(tǒng)計圖 扇形統(tǒng)計圖 折線統(tǒng)計圖 莖葉圖 最多 最中間 在頻率分布直方圖中 中位數(shù)左邊和右邊的直方圖的面積應(yīng)該 2 樣本方差 標準差標準差s 其中xn是樣本數(shù)據(jù)的第n項 n是 是 是刻畫數(shù)據(jù)的離散程度的特征數(shù) 樣本方差是標準差的 通常用樣本方差估計總體方差 當時 樣本方差很接近總體方差 相等 樣本容量 平均數(shù) 標準差 平方 樣本容量接近總體容量 3 用樣本估計總體 1 通常我們對總體作出的估計一般分成兩種 一種是用 另一種是用 2 在頻率分布直方圖中 縱軸表示 數(shù)據(jù)落在各小組內(nèi)的頻率用表示 各小長方形的面積總和等于 3 在頻率分布直方圖中 按照分組原則 再在左邊和右邊各加一個區(qū)間 從所加的左邊區(qū)間的開始 用線段依次連接各個矩形的頂端中點 直至右邊所加區(qū)間的中點 就可以得到一條折線 稱之為頻率折線圖 4 當樣本數(shù)據(jù)較少時 用莖葉圖表示數(shù)據(jù)的效果較好 它沒有信息的缺失 而且 方便表示與比較 樣本的頻率分布 估計總體的頻率分布 樣本的數(shù)字特征估計總體的數(shù)字特征 各小長方形的面積 1 中點 可以隨時記錄 1 頻率分布直方圖的特點 1 頻率分布直方圖中相鄰兩橫坐標之差表示組距 縱坐標表示 頻率 組距 2 頻率分布直方圖中各小長方形的面積之和為1 因為在頻率分布直方圖中組距是一個固定值 所以各小長方形高的比也就是頻率比 3 頻率分布表和頻率分布直方圖是一組數(shù)據(jù)頻率分布的兩種形式 前者準確 后者直觀 2 數(shù)據(jù)x1 x2 xn的方差為s2 數(shù)據(jù)x1 a x2 a xn a的方差也為s2 數(shù)據(jù)ax1 ax2 axn的方差為a2s2 判斷下列結(jié)論是否正確 請在括號中打 或 1 平均數(shù) 眾數(shù)與中位數(shù)從不同的角度描述了一組數(shù)據(jù)的集中趨勢 2 一組數(shù)據(jù)的眾數(shù)可以是一個或幾個 那么中位數(shù)也具有相同的結(jié)論 3 從頻率分布直方圖得不出原始的數(shù)據(jù)內(nèi)容 把數(shù)據(jù)表示成直方圖后 原有的具體數(shù)據(jù)信息就被抹掉了 4 莖葉圖一般左側(cè)的葉按從大到小的順序?qū)?右側(cè)的葉按從小到大的順序?qū)?相同的數(shù)據(jù)可以只記一次 5 在頻率分布直方圖中 最高的小長方形底邊中點的橫坐標是眾數(shù) 6 在頻率分布直方圖中 眾數(shù)左邊和右邊的小長方形的面積和是相等的 考點自測 1 教材改編 若某校高一年級8個班參加合唱比賽的得分如莖葉圖所示 則這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)和平均數(shù)分別是 答案 解析 A 91 5和91 5B 91 5和92C 91和91 5D 92和92 這組數(shù)據(jù)由小到大排列為87 89 90 91 92 93 94 96 2 2015 陜西 某中學初中部共有110名教師 高中部共有150名教師 其性別比例如圖所示 則該校女教師的人數(shù)為 答案 解析 A 93B 123C 137D 167 由題干扇形統(tǒng)計圖可得該校女教師人數(shù)為110 70 150 1 60 137 故選C 3 一個容量為66的樣本 數(shù)據(jù)的分組及各組的頻數(shù)如下 11 5 15 5 2 15 5 19 5 4 19 5 23 5 9 23 5 27 5 18 27 5 31 5 11 31 5 35 5 12 35 5 39 5 7 39 5 43 5 3 根據(jù)樣本的頻率分布估計 數(shù)據(jù)落在 31 5 43 5 的概率約是 答案 解析 由已知 樣本容量為66 而落在 31 5 43 5 內(nèi)的樣本數(shù)為12 7 3 22 4 2016 江蘇 已知一組數(shù)據(jù)4 7 4 8 5 1 5 4 5 5 則該組數(shù)據(jù)的方差是 答案 解析 0 1 5 為了了解一片經(jīng)濟林的生長情況 隨機抽測了其中60株樹木的底部周長 單位 cm 所得數(shù)據(jù)均在區(qū)間 80 130 上 其頻率分布直方圖如圖所示 則在抽測的60株樹木中 有 株樹木的底部周長小于100cm 答案 解析 24 底部周長在 80 90 的頻率為0 015 10 0 15 底部周長在 90 100 的頻率為0 025 10 0 25 樣本容量為60 所以樹木的底部周長小于100cm的株數(shù)為 0 15 0 25 60 24 題型分類深度剖析 題型一頻率分布直方圖的繪制與應(yīng)用 例1 2016 北京 某市居民用水擬實行階梯水價 每人月用水量中不超過w立方米的部分按4元 立方米收費 超出w立方米的部分按10元 立方米收費 從該市隨機調(diào)查了10000位居民 獲得了他們某月的用水量數(shù)據(jù) 整理得到如下頻率分布直方圖 1 如果w為整數(shù) 那么根據(jù)此次調(diào)查 為使80 以上居民在該月的用水價格為4元 立方米 w至少定為多少 解答 如圖所示 用水量在 0 5 3 的頻率的和為 0 2 0 3 0 4 0 5 0 3 0 5 0 85 用水量小于等于3立方米的頻率為0 85 又w為整數(shù) 為使80 以上的居民在該月的用水價格為4元 立方米 w至少定為3 2 假設(shè)同組中的每個數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的右端點值代替 當w 3時 估計該市居民該月的人均水費 解答 當w 3時 該市居民該月的人均水費估計為 0 1 1 0 15 1 5 0 2 2 0 25 2 5 0 15 3 4 0 15 3 4 0 05 3 5 3 0 05 4 3 0 05 4 5 3 10 7 2 1 8 1 5 10 5 元 即該市居民該月的人均水費估計為10 5元 1 明確頻率分布直方圖的意義 即圖中的每一個小矩形的面積是數(shù)據(jù)落在該區(qū)間上的頻率 所有小矩形的面積和為1 2 對于統(tǒng)計圖表類題目 最重要的是認真觀察圖表 從中提煉有用的信息和數(shù)據(jù) 思維升華 跟蹤訓練1 2015 課標全國 某公司為了解用戶對其產(chǎn)品的滿意度 從A B兩地區(qū)分別隨機調(diào)查了40個用戶 根據(jù)用戶對產(chǎn)品的滿意度評分 得到A地區(qū)用戶滿意度評分的頻率分布直方圖和B地區(qū)用戶滿意度評分的頻數(shù)分布表 A地區(qū)用戶滿意度評分的頻率分布直方圖 圖 B地區(qū)用戶滿意度評分的頻數(shù)分布表 B地區(qū)用戶滿意度評分的頻率分布直方圖 圖 1 在圖 中作出B地區(qū)用戶滿意度評分的頻率分布直方圖 并通過直方圖比較兩地區(qū)滿意度評分的平均數(shù)及分散程度 不要求計算出具體值 給出結(jié)論即可 解答 如圖所示 通過兩地區(qū)用戶滿意度評分的頻率分布直方圖可以看出 B地區(qū)用戶滿意度評分的平均數(shù)高于A地區(qū)用戶滿意度評分的平均數(shù) B地區(qū)用戶滿意度評分比較集中 而A地區(qū)用戶滿意度評分比較分散 2 根據(jù)用戶滿意度評分 將用戶的滿意度分為三個等級 估計哪個地區(qū)用戶的滿意度等級為不滿意的概率大 說明理由 A地區(qū)用戶的滿意度等級為不滿意的概率大 記CA表示事件 A地區(qū)用戶的滿意度等級為不滿意 CB表示事件 B地區(qū)用戶的滿意度等級為不滿意 由直方圖得P CA 的估計值為 0 01 0 02 0 03 10 0 6 P CB 的估計值為 0 005 0 02 10 0 25 所以A地區(qū)用戶的滿意度等級為不滿意的概率大 解答 題型二莖葉圖的應(yīng)用 例2 1 2015 山東 為比較甲 乙兩地某月14時的氣溫情況 隨機選取該月中的5天 將這5天中14時的氣溫數(shù)據(jù) 單位 制成如圖所示的莖葉圖 考慮以下結(jié)論 甲地該月14時的平均氣溫低于乙地該月14時的平均氣溫 甲地該月14時的平均氣溫高于乙地該月14時的平均氣溫 甲地該月14時的氣溫的標準差小于乙地該月14時的氣溫的標準差 甲地該月14時的氣溫的標準差大于乙地該月14時的氣溫的標準差 其中根據(jù)莖葉圖能得到的統(tǒng)計結(jié)論的編號為A B C D 答案 解析 甲地5天的氣溫為26 28 29 31 31 乙地5天的氣溫為28 29 30 31 32 2 以下莖葉圖記錄了甲 乙兩組各五名學生在一次英語聽力測試中的成績 單位 分 已知甲組數(shù)據(jù)的中位數(shù)為15 乙組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為16 8 則x y的值分別為A 2 5B 5 5C 5 8D 8 8 答案 解析 引申探究1 本例 2 中條件不變 試比較甲 乙兩組哪組成績較好 解答 由原題可知x 5 而乙組平均數(shù)為16 8 所以甲組成績較好 2 在本例 2 條件下 求乙組數(shù)據(jù)的中位數(shù) 眾數(shù) 解答 由莖葉圖知 乙組中五名學生的成績?yōu)? 15 18 18 24 故中位數(shù)為18 眾數(shù)為18 求乙組數(shù)據(jù)的方差 解答 莖葉圖的優(yōu)缺點由莖葉圖可以清晰地看到數(shù)據(jù)的分布情況 這一點同頻率分布直方圖類似 它優(yōu)于頻率分布直方圖的第一點是從莖葉圖中能看到原始數(shù)據(jù) 沒有任何信息損失 第二點是莖葉圖便于記錄和表示 其缺點是當樣本容量較大時 作圖較煩瑣 思維升華 跟蹤訓練2 1 某學校隨機抽取20個班 調(diào)查各班中有網(wǎng)上購物經(jīng)歷的人數(shù) 所得數(shù)據(jù)的莖葉圖如圖所示 以組距為5將數(shù)據(jù)分組成 0 5 5 10 30 35 35 40 時 所作的頻率分布直方圖是 由于頻率分布直方圖的組距為5 排除C D 又 0 5 5 10 兩組各一人 排除B 應(yīng)選A 答案 解析 2 將某選手的9個得分去掉1個最高分 去掉1個最低分 7個剩余分數(shù)的平均分為91 現(xiàn)場作的9個分數(shù)的莖葉圖后來有1個數(shù)據(jù)模糊 無法辨認 在圖中以x表示 則7個剩余分數(shù)的方差為 答案 解析 題型三用樣本的數(shù)字特征估計總體的數(shù)字特征 例3 1 抽樣統(tǒng)計甲 乙兩位射擊運動員的5次訓練成績 單位 環(huán) 結(jié)果如下 答案 解析 則成績較為穩(wěn)定 方差較小 的那位運動員成績的方差為 2 2 甲 乙二人參加某體育項目訓練 近期的五次測試成績得分情況如圖 分別求出兩人得分的平均數(shù)與方差 解答 由圖像可得甲 乙兩人五次測試的成績分別為 甲 10分 13分 12分 14分 16分 乙 13分 14分 12分 12分 14分 根據(jù)圖和上面算得的結(jié)果 對兩人的訓練成績作出評價 解答 從折線圖看 甲的成績基本呈上升狀態(tài) 而乙的成績上下波動 可知甲的成績在不斷提高 而乙的成績則無明顯提高 平均數(shù)與方差都是重要的數(shù)字特征 是對總體的一種簡明的描述 它們所反映的情況有著重要的實際意義 平均數(shù) 中位數(shù) 眾數(shù)描述其集中趨勢 方差和標準差描述其波動大小 思維升華 跟蹤訓練3 2016 全國乙卷 某公司計劃購買1臺機器 該種機器使用三年后即被淘汰 機器有一易損零件 在購進機器時 可以額外購買這種零件作為備件 每個200元 在機器使用期間 如果備件不足再購買 則每個500元 現(xiàn)需決策在購買機器時應(yīng)同時購買幾個易損零件 為此搜集并整理了100臺這種機器在三年使用期內(nèi)更換的易損零件數(shù) 得以下柱狀圖 記x表示1臺機器在三年使用期內(nèi)需更換的易損零件數(shù) y表示1臺機器在購買易損零件上所需的費用 單位 元 n表示購機的同時購買的易損零件數(shù) 1 若n 19 求y與x的函數(shù)解析式 解答 當x 19時 y 3800 當x 19時 y 3800 500 x 19 500 x 5700 所以y與x的函數(shù)解析式為 2 若要求 需更換的易損零件數(shù)不大于n 的頻率不小于0 5 求n的最小值 解答 由柱狀圖知 需更換的零件數(shù)不大于18的頻率為0 46 不大于19的頻率為0 7 故n的最小值為19 3 假設(shè)這100臺機器在購機的同時每臺都購買19個易損零件 或每臺都購買20個易損零件 分別計算這100臺機器在購買易損零件上所需費用的平均數(shù) 以此作為決策依據(jù) 購買1臺機器的同時應(yīng)購買19個還是20個易損零件 解答 若每臺機器在購機的同時都購買19個易損零件 則這100臺機器中有70臺在購買易損零件上的費用為3800元 20臺的費用為4300元 10臺的費用為4800元 因此這100臺機器在購買易損零件上所需費用的平均數(shù)為 若每臺機器在購機同時都購買20個易損零件 則這100臺機器中有90臺在購買易損零件上的費用為4000元 10臺的費用為4500元 因此這100臺機器在購買易損零件上所需費用的平均數(shù)為 比較兩個平均數(shù)可知 購買1臺機器的同時應(yīng)購買19個易損零件 頻率分布直方圖是高考考查的熱點 考查頻率很高 題型有選擇題 填空題 也有解答題 難度為低中檔 用樣本頻率分布來估計總體分布的重點是頻率分布表和頻率分布直方圖的繪制及用樣本頻率分布估計總體分布 難點是頻率分布表和頻率分布直方圖的理解及應(yīng)用 在計數(shù)和計算時一定要準確 在繪制小矩形時 寬窄要一致 通過頻率分布表和頻率分布直方圖可以對總體作出估計 頻率分布直方圖的縱坐標為頻率 組距 每一個小長方形的面積表示樣本個體落在該區(qū)間內(nèi)的頻率 條形圖的縱坐標為頻數(shù)或頻率 把直方圖視為條形圖是常見的錯誤 高考中頻率分布直方圖的應(yīng)用 高頻小考點9 考點分析 典例 12分 2016 四川 我國是世界上嚴重缺水的國家 某市為了制定合理的節(jié)水方案 對居民用水情況進行了調(diào)查 通過抽樣 獲得了某年100位居民每人的月均用水量 單位 噸 將數(shù)據(jù)按照 0 0 5 0 5 1 4 4 5 分成9組 制成了如圖所示的頻率分布直方圖 1 求直方圖中a的值 規(guī)范解答 解由頻率分布直方圖可知 月均用水量在 0 0 5 的頻率為0 08 0 5 0 04 同理 在 0 5 1 1 5 2 2 2 5 3 3 5 3 5 4 4 4 5 等組的頻率分別為0 08 0 21 0 25 0 06 0 04 0 02 3分 由1 0 04 0 08 0 21 0 25 0 06 0 04 0 02 0 5 a 0 5 a 解得a 0 30 5分 2 設(shè)該市有30萬居民 估計全市居民中月均用水量不低于3噸的人數(shù) 說明理由 規(guī)范解答 解由 1 知 100位居民月均用水量不低于3噸的頻率為0 06 0 04 0 02 0 12 由以上樣本的頻率分布 可以估計30萬居民中月均用水量不低于3噸的人數(shù)為300000 0 12 36000 8分 3 估計居民月均用水量的中位數(shù) 規(guī)范解答 解設(shè)中位數(shù)為x噸 因為前5組的頻率之和為0 04 0 08 0 15 0 21 0 25 0 73 0 5 而前4組的頻率之和為0 04 0 08 0 15 0 21 0 48 0 5 所以2 x 2 5 由0 50 x 2 0 5 0 48 解得x 2 04 故可估計居民月均用水量的中位數(shù)為2 04噸 12分 課時作業(yè) 1 2017 鐵嶺月考 在某次測量中得到的A樣本數(shù)據(jù)如下 42 43 46 52 42 50 若B樣本數(shù)據(jù)恰好是A樣本數(shù)據(jù)每個都減5后所得數(shù)據(jù) 則A B兩樣本的下列數(shù)字特征對應(yīng)相同的是A 平均數(shù)B 標準差C 眾數(shù)D 中位數(shù) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 解析 由B樣本數(shù)據(jù)恰好是A樣本數(shù)據(jù)每個都減5后所得數(shù)據(jù) 可得平均數(shù) 眾數(shù) 中位數(shù)分別是原來結(jié)果減去5 即與A樣本不相同 標準差不變 故選B 2 2016 山東 某高校調(diào)查了200名學生每周的自習時間 單位 小時 制成了如圖所示的頻率分布直方圖 其中自習時間的范圍是 17 5 30 樣本數(shù)據(jù)分組為 17 5 20 20 22 5 22 5 25 25 27 5 27 5 30 根據(jù)直方圖 這200名學生中每周的自習時間不少于22 5小時的人數(shù)是 答案 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 A 56B 60C 120D 140 設(shè)所求人數(shù)為N 則N 2 5 0 16 0 08 0 04 200 140 故選D 3 2017 北京西城區(qū)質(zhì)檢 右圖是某公司10個銷售店某月銷售某產(chǎn)品數(shù)量 單位 臺 的莖葉圖 則數(shù)據(jù)落在區(qū)間 22 30 內(nèi)的頻率為 答案 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 A 0 2B 0 4C 0 5D 0 6 10個數(shù)據(jù)落在區(qū)間 22 30 內(nèi)的數(shù)據(jù)有22 22 27 29 共4個 4 2016 西安模擬 某公司10位員工的月工資 單位 元 為x1 x2 x10 其平均數(shù)和方差分別為和s2 若從下月起每位員工的月工資增加100元 則這10位員工下月工資的平均數(shù)和方差分別為 答案 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 A a1 a2B a2 a1C a1 a2D a1 a2的大小與m的值有關(guān) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 5 如圖是某青年歌手大獎賽上七位評委為甲 乙兩名選手打出的分數(shù)的莖葉圖 其中m為數(shù)字0 9中的一個 去掉一個最高分和一個最低分后 甲 乙兩名選手得分的平均數(shù)分別為a1 a2 則一定有 去掉一個最高分和一個最低分后 甲選手葉上的數(shù)字之和是20 乙選手葉上的數(shù)字之和是25 故a2 a1 故選B 答案 解析 6 2016 北京朝陽區(qū)期末 在一段時間內(nèi)有2000輛車通過高速公路上的某處 現(xiàn)隨機抽取其中的200輛進行車速統(tǒng)計 統(tǒng)計結(jié)果如下面的頻率分布直方圖所示 若該處高速公路規(guī)定正常行駛速度為90km h 120km h 試估計2000輛車中 在這段時間內(nèi)以正常速度通過該處的汽車約有 答案 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 A 30輛B 300輛C 170輛D 1700輛 以正常速度通過該處的汽車頻率為1 0 01 0 005 10 0 85 所以以正常速度通過該處的汽車約有0 85 2000 1700 輛 7 樣本中共有五個個體 其值分別為a 0 1 2 3 若該樣本的平均數(shù)為1 則樣本方差為 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 解析 2 由題意可知樣本的平均數(shù)為1 解得a 1 所以樣本的方差為 8 從某小學隨機抽取100名學生 將他們的身高 單位 厘米 數(shù)據(jù)繪制成頻率分布直方圖 如圖 由圖中數(shù)據(jù)可知a 若要從身高在 120 130 130 140 140 150 三組內(nèi)的學生中 用分層抽樣的方法選取18人參加一項活動 則從身高在 140 150 內(nèi)的學生中選取的人數(shù)應(yīng)為 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 0 030 答案 解析 3 小矩形的面積等于頻率 除 120 130 外的頻率和為0 700 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 身高在 120 130 130 140 140 150 內(nèi)的學生分別為30人 20人 10人 在 140 150 中選取的學生應(yīng)為3人 9 若樣本數(shù)據(jù)x1 x2 x10的標準差為8 則數(shù)據(jù)2x1 1 2x2 1 2x10 1的標準差為 答案 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 16 若x1 x2 xn的標準差為s 則ax1 b ax2 b axn b的標準差為as 由題意s 8 則上述標準差為2 8 16 10 某學校隨機抽取部分新生調(diào)查其上學所需時間 單位 分鐘 并將所得數(shù)據(jù)繪制成頻率分布直方圖 如圖 其中 上學所需時間的范圍是 0 100 樣本數(shù)據(jù)分組為 0 20 20 40 40 60 60 80 80 100 則 答案 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 圖中的x 0 01