數(shù)學(xué)物理方法題目.pdf

數(shù)學(xué)物理方法習(xí)題數(shù)學(xué)物理方法習(xí)題 一 一 復(fù)變函數(shù)部分習(xí)題復(fù)變函數(shù)部分習(xí)題 第一章第一章習(xí)題習(xí)題 1 證明函數(shù) Ref zz 在z平面上處處不可導(dǎo) 2 試證 2 f zz 僅在原點(diǎn)有導(dǎo)數(shù) 3 設(shè) 3333 22 z0 z 0 0 xyi xy f zxy 證明 zf在原點(diǎn)滿(mǎn)足 C R 條件 但不可微 4 若復(fù)變函數(shù) zf在區(qū)域D上解析 并滿(mǎn)足下列條件之一 證明其 在區(qū)域D上必為常數(shù) 1 zf在區(qū)域D上為實(shí)函數(shù) 2 zf在區(qū)域D上解析 3 Rezf在區(qū)域D上是常數(shù) 5 證明 2 xy不能成為z的一個(gè)解析函數(shù)得實(shí)部 6 若zxiy 試證 1 sinsin coshcos sinhzxyixy 2 coscos coshsin sinhzxyixy 3 2 22 sinsinsinhzxy 4 2 22 coscossinhzxy 7 試證若函數(shù) f z和 z 在 0 z解析 00 0f zz 0 0z 則 0 0 0 lim z zz f zfz z 復(fù)變函數(shù)的洛必達(dá)法則 8 求證 0 sin lim1 z z z 第二章第二章習(xí)題習(xí)題 1 9 利用積分估值 證明 a 22 i i xiydz 積分路徑是聯(lián)結(jié)i 到i的右半圓周 b 證明 2 2 1 2 i i dz z 積分路徑是直線段 10 不用計(jì)算 證明下列積分之值均為零 其中c均為圓心在原點(diǎn) 半徑為1的單位圓周 a cos c dz z b 2 56 z c e dz zz 11 計(jì)算 a 2 21 2 1 c zz dzcz z b 2 2 21 2 1 c zz dzcz z 12 求積分 1 z c e dzcz z 從而證明 cos 0 cos sined 13 由積分 2 c dz z 之值 證明 0 12cos 0 54cos d c為圓心在原點(diǎn) 半 徑為1的單位圓周 14 設(shè) 2 6 4 z F z z 證明積分 c F z dz a 當(dāng)c是圓周 22 1xy 時(shí) 等于0 b 當(dāng)c是圓周 2 2 21xy 時(shí) 等于4 i c 當(dāng)c是圓周 2 2 21xy 時(shí) 等于2 i 第三章第三章習(xí)題習(xí)題 15 求下列級(jí)數(shù)的收斂半徑 并對(duì) c 討論級(jí)數(shù)在收斂圓周上的斂散情 況 a 1 1 n n n z n b 1 nn n n z c 0 kn n n z 0k 為常數(shù) 16 試求下列級(jí)數(shù)的收斂半徑 2 a 0 n n z b 0 n n n n z n c 0 0 0 n nn n z ab aib 17 將下列函數(shù)按z的冪展開(kāi) 并指明收斂范圍 a 0 z z e dz b 2 cos z 18 將下列函數(shù)按1z 的冪展開(kāi) 并指出收斂范圍 a cosz b 2 z z c 2 25 z zz 19 將下列函數(shù)在指定的環(huán)域內(nèi)展成羅朗級(jí)數(shù) a 2 1 1 z zz 01 1zz b 2 2 25 12 21 zz z zz 20 將下列函數(shù)在指定點(diǎn)的無(wú)心鄰域內(nèi)展成羅朗級(jí)數(shù) 并指出成立范 圍 a 2 2 1 1 zi z n n n azi b 1 2 1 1 1 z zez 1 n n n az 21 把 1 1 f z z 展成下列級(jí)數(shù) 1 在1z 上展成z的羅朗級(jí)數(shù) 3 在12z 上展成 1z 的羅朗級(jí)數(shù) 第四章第四章習(xí)題習(xí)題 22 確定下列各函數(shù)的孤立奇點(diǎn) 并指出它們是什么樣的類(lèi)型 對(duì)于 極點(diǎn) 要指出它們的階 對(duì)于無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)也要加以討論 1 2 2 1 1 z z z 2 1 cos zi 3 1 sincoszz 23 求 1 1 z z e f z e 在孤立奇點(diǎn)處的留數(shù) 3 24 求下列函數(shù)在指定點(diǎn)處的留數(shù) 1 2 11 z zz 在1 z 2 2 4 1 z e z 在0 z 25 求下列函數(shù)在其奇點(diǎn) 包括無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn) 處的留數(shù) m是自然數(shù) 1 1 sin m z z m是自然數(shù) 2 2 1 z e z 3 3 1 sin z e z 26 求下列函數(shù)在其孤立奇點(diǎn) 包括無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn) 處的留數(shù) 1 1 2 z z e 2 1 m zz 27 計(jì)算下列積分 1 1 sin z dz zz 2 1 1 1 nn z dz abab n zazb 29 求下列各積分的值 1 2 22 0 14 x dx xx 2 22 cos 1 9 x dx xx 3 44 0 sin 0 0 xmx dxma xa 30 從 iz c e dz z 出發(fā) 其中c為如圖所示之圍線 4 方向沿逆時(shí)針?lè)较?證明 00 cossin 2 xx dxdx xx 二 二 數(shù)學(xué)物理方程數(shù)學(xué)物理方程及特殊函數(shù)及特殊函數(shù)部分習(xí)題部分習(xí)題 第五章第五章習(xí)題習(xí)題 31 弦在阻尼介質(zhì)中振動(dòng) 單位長(zhǎng)度的弦所受阻力 t FRu 比例常 數(shù)R叫做阻力系數(shù) 試推導(dǎo)弦在這阻尼介質(zhì)中的振動(dòng)方程 32 長(zhǎng)為l柔軟均質(zhì)輕繩 一端 0 x 固定在以勻速 轉(zhuǎn)動(dòng)的豎直 軸上 由于慣性離心力的作用 這繩的平衡位置應(yīng)是水平線 試 推導(dǎo)此繩相對(duì)于水平線的橫振動(dòng)方程 33 長(zhǎng)為l的均勻桿 兩端由恒定熱流進(jìn)入 其強(qiáng)度為 0 q 試寫(xiě)出這 個(gè)熱傳導(dǎo)問(wèn)題的邊界條件 34 半徑為R而表面燻黑的金屬長(zhǎng)圓柱 受到陽(yáng)光照射 陽(yáng)光方向垂 直于柱軸 熱流強(qiáng)度為M 設(shè)圓柱外界的溫度為 0 u 試寫(xiě)出這個(gè) 圓柱的熱傳導(dǎo)問(wèn)題的邊界條件 第六章第六章習(xí)題習(xí)題 35 長(zhǎng)為l的弦 兩端固定 弦中張力為T(mén) 在距一端為 0 x的一點(diǎn)以 力 0 F把弦拉開(kāi) 然后突然撤除這力 求解此弦的振動(dòng) 36 研究長(zhǎng)為l 一端固定 另一端自由 初始位移為hx而初始速度 為零的弦的自由振動(dòng)情況 37 求解細(xì)桿的熱傳導(dǎo)問(wèn)題 桿長(zhǎng)為l 兩端溫度保持為零度 初始 溫度分布為 20t bx lx u l 5 38 求解細(xì)桿的熱傳導(dǎo)問(wèn)題 桿長(zhǎng)為l 初始溫度為均勻的 0 u 兩端 溫度分別保持為 1 u和 2 u 39 長(zhǎng)為l的柱形管 一端封閉 另一端開(kāi)放 管外空氣中含有某種 氣體 其濃度為 0 u 向管內(nèi)擴(kuò)散 求該氣體在管內(nèi)的濃度 u x t 40 均勻的薄板占據(jù)區(qū)域0 xa 0y 42 半徑為a 表面燻黑了的均勻長(zhǎng)圓柱 在溫度為零度的空氣中受 著陽(yáng)光的照射 陽(yáng)光垂直于柱軸 熱流強(qiáng)度為q 試求圓柱內(nèi)的 穩(wěn)定溫度分布 43 用傅立葉變換求解定解問(wèn)題 22 22 0 0 0 0 y y uu xy xy uxx ux 第七章第七章習(xí)題習(xí)題 44 試用平面極坐標(biāo)系把二維波動(dòng)方程分離變數(shù) 45 試用平面極坐標(biāo)系把二維輸運(yùn)方程分離變數(shù) 46 求證 11 2 llll P xPxxP xPx 1l 47 利用上題和 11 1 21 0 lll lPxlxP xlPx 1l 求證 11 21 lll lP xPxPx 1l 6 48 在 1 1 區(qū)間上將 2 x用勒讓德多項(xiàng)式展開(kāi) 49 驗(yàn)證 3 31 23 55 xP xP x 50 證明 1 0 21 1 0 0 2 1 2 2 1 21 0 1 2 2 1 l k k l P x dxlkk k lkk kk 51 求解 2 2 0 0 0 cos 0 r ar ura uu 有限值 53 用一層不導(dǎo)電的物質(zhì)把半徑為a的導(dǎo)體球殼分隔為兩個(gè)半球殼 使各半球分別充電到電勢(shì)為 1 v和 2 v 試計(jì)算球殼內(nèi)外的電勢(shì)分布 54 半徑為a 表面燻黑的均勻球 在溫度為 0 0的空氣中 受著陽(yáng)光 的照射 陽(yáng)光的熱流強(qiáng)度為 0 q 求解小球里的穩(wěn)定溫度分布 55 計(jì)算下列積分 1 3 0 x Jx dx 2 3 Jx dx 56 半徑為R而高為H的圓柱體下底面和側(cè)面保持零度 上底面溫度 分布為 2 f 求柱體內(nèi)各點(diǎn)的穩(wěn)恒溫度 穩(wěn)定溫度分布 57