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變步長的龍格 庫塔方法 公式 7 4 6變步長的龍格 庫塔法在微分方程的數(shù)值解中 選擇適當(dāng)?shù)牟介L是非常重要的 單從每一步看 步長越小 截?cái)嗾`差就越小 但隨著步長的縮小 在一定的求解區(qū)間內(nèi)所要完成的步數(shù)就增加了 這樣會引起計(jì)算量的增大 并且會引起舍入誤差的大量積累與傳播 因此微分方程數(shù)值解法也有選擇步長的問題 以經(jīng)典的四階龍格 庫塔法 7 20 為例 從節(jié)點(diǎn)xi出發(fā) 先以h為步長求出一個近似值 記為 由于局部截?cái)嗾`差為 故有 當(dāng)h值不大時 式中的系數(shù)c可近似地看作為常數(shù) 然后將步長折半 即以為步長 從節(jié)點(diǎn)xi出發(fā) 跨兩步到節(jié)點(diǎn)xi 1 再求得一個近似值 每跨一步的截?cái)嗾`差是 因此有 這樣 由此可得 這表明以作為的近似值 其誤差可用步長折半前后兩次計(jì)算結(jié)果的偏差 來判斷所選步長是否適當(dāng) 當(dāng)要求的數(shù)值精度為 時 1 如果 反復(fù)將步長折半進(jìn)行計(jì)算 直至 為止 并以上一次步長的計(jì)算結(jié)果作為 這種通過步長加倍或折半來處理步長的方法稱為變步長法 表面上看 為了選擇步長 每一步都要反復(fù)判斷 增加了計(jì)算工作量 但在方程的解y x 變化劇烈的情況下 總的計(jì)算工作量得到減少 結(jié)果還是合算的 其中 i i 1 m i i 2 m 和 ij i 2 m j 1 i 1 均為待定系數(shù) 確定這些系數(shù)的步驟與前面相似 2Runge KuttaMethod 高階Runge KuttaMethod Gill公式 4階經(jīng)典龍格 庫塔公式的一種改進(jìn) 2Runge KuttaMethod 最常用為四級4階經(jīng)典龍格 庫塔法 ClassicalRunge KuttaMethod 2Runge KuttaMethod 由于龍格 庫塔法的導(dǎo)出基于泰勒展開 故精度主要受解函數(shù)的光滑性影響 對于光滑性不太好的解 最好采用低階算法而將步長h取小 2Runge KuttaMethod 變步長的Runge KuttaMethod Q 由局部截?cái)嗾`差可以看出 步長h越小 局部截?cái)嗾`差越小 但步長減小 在一定求解范圍 區(qū)間 內(nèi)要完成的步數(shù)就增加了 步數(shù)增加會引起計(jì)算量增大 導(dǎo)致舍入誤差積累 因此要選取適當(dāng)?shù)牟介L 選擇步長時要考慮兩個問題

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