2005年河北省初中數(shù)學(xué)創(chuàng)新與知識(shí)應(yīng)用競(jìng)賽預(yù)賽.pdf

圖9 因?yàn)? q 1 p 是整數(shù) 且p 1 q 1 則 2q 1 p 1 即2q 1 p 又2p 1 q 4q 3 q 是整數(shù) 即4 3 q 是整數(shù) 所以 q 1或q 3 又q 1 則q 3 同時(shí)p 2q 1 5 故 p q 8 14 如圖9 過(guò)點(diǎn)D 作DE AC 垂足為點(diǎn) E 在Rt AED中 AD2 AE2 ED2 在Rt CED中 CD2 CE2 ED2 于是 有 AD2 CD2 AE2 CE2 AE CE AE CE 故AD2 CD2 AC AE CE 過(guò)點(diǎn)D作DF BC 交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F 聯(lián) 結(jié)BD 在Rt AED和Rt BFD中 有 EAD FBD 又點(diǎn)D為ACB的中點(diǎn) 則AD BD 所以 Rt AED Rt BFD 于是 有 AE BF 因?yàn)?DCF是圓內(nèi)接四邊形的外角 所以 DCF BAD 已知點(diǎn)D為ACB的中點(diǎn) 有 ACD ABD BAD 又CD為公共邊 則 Rt CED Rt CFD 于是 CE CF 綜合式 得 AD2 CD2 AC AE CE AC BF CF 而B(niǎo)C BF CF 故 AD2 AC BC CD2 李果民 提供 2005年河北省初中數(shù)學(xué)創(chuàng)新 與知識(shí)應(yīng)用競(jìng)賽預(yù)賽 一 選擇題 每小題5分 共30分 1 已知實(shí)數(shù)a b c滿足a 2 2b 7 b 2 2c 1 c 2 6a 17 則a b c的 值等于 A 2 B 3 C 4 D 5 圖1 2 如 圖1 在 ABC中 AC BC ACB 90 AD平 分 BAC BE AD 交AC的延長(zhǎng)線于點(diǎn) F 且垂足為E 則結(jié) 論 AD BF CF CD AC CD AB BE CF BF 2BE 其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是 A 1 B 2 C 3 D 4 3 五個(gè)互不相等自然數(shù)的平均數(shù)是15 中位數(shù)是18 則這五個(gè)數(shù)中最大數(shù)的最大值 為 A 35 B 36 C 37 D 38 圖2 4 如圖2 已知圓錐的 母線長(zhǎng)OA 6 底面圓的 半徑為2 一小蟲(chóng)在圓錐底 面的點(diǎn)A處繞圓錐側(cè)面一 周又回到點(diǎn)A處 則小蟲(chóng) 所 走 的 最 短 距 離 為 A 12 B 4 C 6 2 D 6 3 5 在小于1 000的正整數(shù)中 能被5整除 332005年第9期 1994 2007 China Academic Journal Electronic Publishing House All rights reserved 或能被7整除 但是不能被35整除的數(shù)的個(gè) 數(shù)為 A 285 B 313 C 341 D 369 6 已知某商品漲價(jià)x成 1 成即10 后 銷量將減少 5 6 x成 若要獲得最大的營(yíng)業(yè) 額 則需漲價(jià) 成 A 1 B 2 C 3 D 4 二 填空題 每小題5分 共30分 7 一天 一群猴子去摘桃子 在分摘得的 桃子時(shí)發(fā)現(xiàn) 如果每只猴子分4個(gè) 那么 還 剩52個(gè) 如果每只猴子分6個(gè) 那么 有一只 猴子分到的桃子不夠6個(gè) 則這群猴子所摘 桃子的總數(shù)是個(gè) 8 一個(gè)等腰三角形的一條高等于腰長(zhǎng)的 一半 則這個(gè)等腰三角形的底角的度數(shù)是 9 如圖3 矩形內(nèi)放置八個(gè)半徑為1的 圓 其中相鄰兩圓都相切 并且左上角和右下 角的兩圓與矩形的兩邊都相切 其他的圓與 矩形的一邊相切 則該矩形的面積為 圖3圖4 10 如圖4 對(duì)于一個(gè)有四個(gè)側(cè)面的長(zhǎng)方 體型的建筑物 當(dāng)一個(gè)人站在一個(gè)適當(dāng)?shù)奈?置時(shí) 就可以看到這個(gè)建筑物的一個(gè)面或兩 個(gè)面 其中區(qū)域 中的任一位置可以看到這 個(gè)建筑物的一個(gè)面 區(qū)域 中的任一位置可 以看到這個(gè)建筑物的兩個(gè)面 對(duì)于一個(gè)有六 個(gè)側(cè)面 平面圖為正六邊形的建筑物 當(dāng)一個(gè) 人站在一個(gè)適當(dāng)?shù)奈恢脮r(shí) 最多可以看到這 個(gè)建筑物的個(gè)面 11 一個(gè)盒子里裝有紅 黃 白三種顏色 的球 若白球至多是黃球的 1 2 且至少是紅球 的 1 3 黃球與白球合起來(lái)不多于55個(gè) 則盒 子中至多有紅球個(gè) 圖5 12 如圖5 O 是正 ABC的邊 AC的中點(diǎn) 也是 正 A1B1C1的邊 A1C1的中點(diǎn) 則 AA1 BB1 三 解答題 每小題20分 共60分 13 某次有10支球隊(duì)參加的足球比賽 實(shí)行主客場(chǎng)雙循環(huán)賽制 即任何兩隊(duì)分別在 主場(chǎng)和客場(chǎng)各比賽一場(chǎng) 勝一場(chǎng)得3分 平一 場(chǎng)得1分 負(fù)一場(chǎng)得0分 1 試問(wèn)這次比賽共進(jìn)行了多少場(chǎng) 2 若每場(chǎng)比賽都取得最高分 則這次比 賽各隊(duì)積分之和是多少 若每場(chǎng)比賽都取得 最低分 則這次比賽各隊(duì)積分之和是多少 3 若比賽結(jié)束后按積分的高低排出名 次 在積分榜上位次相鄰的兩支球隊(duì)積分差 距最多可達(dá)幾分 14 有一種產(chǎn)品的質(zhì)量可分成6種不同 的檔次 若工時(shí)不變 每天可生產(chǎn)最低檔次的 產(chǎn)品40件 如果每提高一個(gè)檔次 每件利潤(rùn) 可增加1元 但每天要少生產(chǎn)2件產(chǎn)品 1 若最低檔次的產(chǎn)品每件利潤(rùn)16元 時(shí) 生產(chǎn)哪一種檔次的產(chǎn)品的利潤(rùn)最大 2 若最低檔次的產(chǎn)品每件利潤(rùn)22元 時(shí) 生產(chǎn)哪一種檔次的產(chǎn)品的利潤(rùn)最大 3 由于市場(chǎng)價(jià)格浮動(dòng) 生產(chǎn)最低檔次的 產(chǎn)品每件利潤(rùn)可以從8元到24元不等 那 么 生產(chǎn)哪種檔次的產(chǎn)品所得利潤(rùn)最大 15 如圖6 在Rt ABC中 C 90 AC 4 BC 3 其中 O1 O2 On為 n n 2 個(gè)相等的圓 O1與 O2相外切 O2與 O3相外切 On 1與 On 相外切 O1 O2 On都與AB相切 且 O1與AC相切 On與BC相切 求這 些等圓的半徑r 用n表示 43中 等 數(shù) 學(xué) 1994 2007 China Academic Journal Electronic Publishing House All rights reserved 圖6 參 考 答 案 一 1 B 三式相加并配方得 a 3 2 b 1 2 c 1 2 0 2 D 由 ACD BCF AD平分 BAC及AD BE 得 正確 3 C 設(shè)這五個(gè)數(shù)中其余的四個(gè)數(shù)分別為a b c d 且a b 18 c0 b 0 則當(dāng)x 1 60 2 1 120 1時(shí) 營(yíng)業(yè)額最大 二 7 160或164 設(shè)有x只猴子 則它們摘的桃子是4x 52個(gè) 由題意有0 4x 52 6 x 1 6 解得x 27或28 所以 4x 52 160或164 8 75 或30 或15 有三種情況 如圖8 圖8 9 18 9 3 如圖9 聯(lián)結(jié)兩兩相鄰三個(gè)圓的圓心 由圓的性 質(zhì)可知 O1O2O3是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形 可求 得三角形的高為3 利用圓和圓以及直線和圓相 切 可求出矩形相鄰兩邊的長(zhǎng)分別為9 2 3 所以 矩形的面積為18 9 3 圖9圖10 10 三 如圖10 其中區(qū)域 中的任一位置可以看到這 個(gè)建筑物的一個(gè)面 區(qū)域 中的任一位置可以看到 這個(gè)建筑物的兩個(gè)面 區(qū)域 中的任一位置可以看 到這個(gè)建筑物的三個(gè)面 11 54 設(shè)有白球x個(gè) 黃球y個(gè) 紅球z個(gè) 依題意列 方程組得 x 1 2 y x 1 3 z y x 55 由式 得y 2x 由式 得3x 55 即x 55 3 則整數(shù)x 18 532005年第9期 1994 2007 China Academic Journal Electronic Publishing House All rights reserved 由式 得z 3x 即z 54 故盒中至多有54個(gè)紅球 12 1 3 圖11 如圖11 分別聯(lián)結(jié) OB OB1 則OB OB1分 別為 ABC的邊AC和 A1B1C1的 邊A1C1 上的高 所以 OA OB 1 3 OA1 OB1 1 3 又 AOA1 90 A1OB BOB1 90 A1OB 所以 AOA1 BOB1 故 AA1 BB1 OA OB 1 3 三 13 1 采用列表或用公式計(jì)算可知 這次比 賽共進(jìn)行了90場(chǎng) 2 一場(chǎng)比賽的最高分為3分 若每場(chǎng)比賽都取 得最高分 則這次比賽各隊(duì)積分之和是3 90 270 分 一場(chǎng)比賽的最低分為2分 若每場(chǎng)比賽都取得 最低分 則這次比賽各隊(duì)積分之和是2 90 180 分 3 設(shè)第k名與第k 1名球隊(duì)的積分差最大 由于每?jī)申?duì)比賽一場(chǎng)得分之和最多為3分 最少為2 分 所以 前k名的球隊(duì)彼此比賽 得分最多為 3 2 k k 1 2 3k k 1 分 前k名的球隊(duì)與后面的10 k支球隊(duì)比賽得分 最多為 3 2 k 10 k 6 k 10 k 分 因此 前k名的球隊(duì)得分總和最多為3k 19 k 分 于是 第k名的球隊(duì)得分最多為3 19 k 分 對(duì)于后10 k名的球隊(duì) 他們互相比賽得分之 和最少為 2 2 10 k 9 k 2 2 10 k 9 k 分 與前k名的球隊(duì)比賽得分和為0 因此 第k 1名球隊(duì)得分最少為 2 10 k 9 k 10 k 2 9 k 分 故當(dāng)k 1時(shí) 積分差達(dá)到最大值 兩隊(duì)相差分 值3 19 k 2 9 k 38分 14 1 設(shè)生產(chǎn)第x檔產(chǎn)品時(shí) 所獲利潤(rùn)最大 顯 然1 x 6 且x為自然數(shù) 設(shè)每天所獲利潤(rùn)為y 元 則 y 40 2 x 1 16 x 1 2x2 12x 630 2 x 3 2 648 故當(dāng)x 3時(shí) y最大 因此 生產(chǎn)第三檔次的產(chǎn)品獲利最大 2 與 1 類似得 y 40 2 x 1 22 x 1 2x2 882 而1 x 6 且x為自然數(shù) 故當(dāng)x 1時(shí) y最大 因此 生產(chǎn)第一檔次的產(chǎn)品獲利最大 3 設(shè)生產(chǎn)最低檔次的產(chǎn)品每件利潤(rùn)為a元 且 8 a 24 則 y 40 2 x 1 a x 1 42 2x a 1 x 2x 22 a 2 2 a2 40a 400 2 通過(guò)分析 討論 可得如下結(jié)論 x 6 22 a 2 1 精確到個(gè)位的值 8 a 10 10 a 20 20 a 24 15 如圖12 聯(lián)結(jié)AO1并延長(zhǎng)交BC于點(diǎn)D 聯(lián) 結(jié)BOn并延長(zhǎng)分別交AD AC于點(diǎn)O E 過(guò)點(diǎn)O1 On 分別作AB的垂線 F G分別是垂足 圖12 因 O1 On是與AB相切的等圓 且O1F AB OnG AB 所以 O1F OnG r 又 O1與AB AC都相切 則有 O1AF DAC 故AC AB CD DB 因AC 4 BC 3 則AB 5 故CD 4 3