北師大版選修11 2.3　雙曲線 學案.doc

3雙_曲_線31雙曲線及其標準方程 雙曲線的定義2013年11月30日，中國海軍第16批護航編隊“鹽城”導彈護衛(wèi)艦，“洛陽”號導彈護衛(wèi)艦在亞丁灣東部海域商船集結點附近正式會合，共同護航，某時，“洛陽”艦哨兵監(jiān)聽到附近海域有快艇的馬達聲，與“洛陽”艦哨兵相距1 600 m的“鹽城”艦，3秒后也監(jiān)聽到了馬達聲(聲速340 m/s)，用a、b分別表示“洛陽”艦和“鹽城”艦所在的位置，點m表示快艇的位置問題1：快艇距我兩護衛(wèi)艦的距離之差是多少？提示：|mb|ma|34031 020(m)問題2：我兩護衛(wèi)艦為辨明快艇意圖，保持不動，持續(xù)監(jiān)測，發(fā)現(xiàn)快艇到我兩艦距離之差保持不變，快艇運動有何特點？提示：始終滿足|mb|ma|1 020.雙曲線的定義定義平面內到兩定點f1，f2的距離之差的絕對值等于常數(shù)(大于零且小于|f1f2|)的點的集合叫作雙曲線焦點定點f1，f2叫作雙曲線的焦點焦距兩個焦點之間的距離叫作雙曲線的焦距集合語言pm|2a,02a|f1f2|雙曲線的標準方程上述問題中，設|ab|1 6002c, |ma|mb|1 0202a.問題1：以ab所在直線為x軸，ab的垂直平分線為y軸建立平面直角坐標系，則點m的軌跡方程是什么？提示：(c2a2)x2a2y2a2(c2a2)問題2：若以ab所在直線為y軸，ab的垂直平分線為x軸，則點m的軌跡方程為什么？提示：(c2a2)y2a2x2a2(c2a2)雙曲線的標準方程焦點位置焦點在x軸上焦點在y軸上圖像標準方程1(a0，b0)1(a0，b0)焦點坐標f1(c,0)；f2(c,0)f1(0，c)；f2(0，c)a，b，c的關系c2a2b21雙曲線定義中2a(02ab不一定成立c2a2b2與橢圓中的a2b2c2不同 雙曲線的標準方程例1根據下列條件求雙曲線的標準方程(1)求以橢圓1的短軸的兩個端點為焦點，且過點a(4，5)的雙曲線的標準方程；(2)已知雙曲線通過m(1,1)，n(2,5)兩點，求雙曲線的標準方程思路點撥用待定系數(shù)法，根據雙曲線焦點的位置設方程，根據條件確定參數(shù)當已知雙曲線的兩個焦點和雙曲線上某一點，也可利用雙曲線的定義求解精解詳析(1)法一：(待定系數(shù)法)由題意知雙曲線的兩焦點f1(0，3)，f2(0,3)設雙曲線的標準方程為1(a0，b0)，將點a(4，5)代入雙曲線方程得1，又a2b29，解得a25，b24.雙曲線的標準方程為1.法二：(定義法)由題意知雙曲線的兩個焦點分別為f1(0，3)，f2(0,3)且a(4，5)在雙曲線上，則2a|af1|af2|2，a，b2c2a2954.即雙曲線的標準方程為1.(2)法一：若焦點在x軸上，設雙曲線的標準方程為1(a0，b0)因為m(1,1)，n(2,5)在雙曲線上，所以解得若焦點在y軸上，設雙曲線的標準方程為1(a0，b0)同理有解得(不合題意，舍去)所以所求雙曲線的標準方程為1.法二：設所求雙曲線的方程為mx2ny21(mn0)將點m(1,1)，n(2,5)代入上述方程，得解得所以所求雙曲線的標準方程為1.一點通求雙曲線標準方程的常用方法：(1)定義法：若由題設條件能夠判斷出動點的軌跡滿足雙曲線的定義，則可根據雙曲線的定義確定方程(2)用待定系數(shù)法，具體步驟如下：1已知橢圓c1的離心率為，焦點在x軸上且長軸長為10，若曲線c2上的點到橢圓c1的兩個焦點的差的絕對值等于4，則曲線c2的標準方程為()a.1b.1c.1 d.1解析：由題意知橢圓c1的兩個焦點為(3,0)，(3,0)設曲線c2的標準方程為1(a0，b0)，則有a2b29，且2a4.a24，b25，故選a.答案：a2已知雙曲線經過點p(3,2)和點q(6，7)，求該雙曲線的標準方程解：設所求雙曲線的標準方程為mx2ny21(mn0，b0)，所以所以所求的雙曲線的標準方程為1.曲線類型的判定例2已知曲線c：1(t0，t1)(1)求t為何值時，曲線c分別為橢圓、雙曲線；(2)求證：不論t為何值，曲線c有相同的焦點思路點撥方程ax2by21表示的軌跡是由參數(shù)a，b的值及符號確定，因此要確定軌跡，需對a，b進行討論精解詳析(1)當|t|1時，t20，t210，且t2t21，曲線c為橢圓；當|t|0，t211時，曲線c是橢圓，且t2t21，因此c2a2b2t2(t21)1，焦點為f1(1,0)，f2(1,0)當|t|0，b0，且ab；表示雙曲線的充要條件為ab0，若a0，則方程表示焦點在y軸上的雙曲線；若b0，則方程表示焦點在x軸上的雙曲線即雙曲線的焦點位置是由x2，y2的系數(shù)的正負決定的4已知兩定點f1(5,0)，f2(5,0)，動點p滿足|pf1|pf2|2a，則當a3和a5時，p點的軌跡是()a雙曲線和一條直線 b雙曲線和一條射線c雙曲線的一支和一條射線 d雙曲線的一支和一條直線解析：由題意，|f1f2|10，當a3時，|pf1|pf2|2a610，此式中沒有加絕對值，此時點p的軌跡是雙曲線的一支；當a5時，|pf1|pf2|10|f1f2|，點p的軌跡為以f2為端點沿x軸向右的一條射線答案：c5若方程1表示雙曲線，則實數(shù)m滿足()am1且m3 bm 1cm或m d3m1解析：因為方程1表示雙曲線，而m210恒成立，所以m230，解得m或m，故選c.答案：c雙曲線的定義及應用例3若f1，f2是雙曲線1的兩個焦點，p是雙曲線上的點，且|pf1|pf2|32，試求f1pf2的面積思路點撥欲求f1pf2的面積，可考慮用|pf1|pf2|sinf1pf2求解，只要求出f1pf2的正弦值即可而f1pf2的三邊中，|pf1|pf2|6，|f1f2|10，故可考慮用余弦定理求解精解詳析由雙曲線方程1，可知a3，b4，c5.由雙曲線的定義，得|pf1|pf2|2a6，將此式兩邊平方，得|pf1|2|pf2|22|pf1|pf2|36，|pf1|2|pf2|2362|pf1|pf2|36232100.如圖所示，在f1pf2中，由余弦定理，得cosf1pf20，f1pf290，sf1pf2|pf1|pf2|3216.一點通雙曲線的定義是解決與雙曲線有關的問題的主要依據，在應用時，一是注意條件|pf1|pf2|2a(02a|f1f2|)的使用，二是注意與三角形知識相結合，經常利用正弦、余弦定理，同時要注意整體代換思想的應用6已知f1，f2為雙曲線c：x2y21的左右焦點，點p在c上，f1pf260，則|pf1|pf2|()a2b4c6d8解析：不妨設點p在雙曲線的右支上，所以|pf1|pf2|2a2，|f1f2|2c2，又因為f1pf260，所以在f1pf2中利用余弦定理可知：|f1f2|2(|pf1|pf2|)2|pf1|pf2|，所以|pf1|pf2|4，故選b.答案：b7在abc中，|bc|2且sin csin bsin a，求點a的軌跡方程解：以bc所在的直線為x軸，線段bc的垂直平分線為y軸，建立直角坐標系，則b(1,0)，c(1,0)設a(x，y)，由sin csin bsin a及正弦定理可得|ab|ac|bc|10，b0)2a1,2c2，a，c1，b2c2a2，雙曲線方程為4x21.|ab|ac|10，x，點a的軌跡方程是4x21.1用定義法求雙曲線的標準方程時，要注意是一支還是兩支2用待定系數(shù)法求雙曲線的標準方程的關鍵是判斷焦點所在的位置 1雙曲線1上的點p到一個焦點的距離為11，則它到另一個焦點的距離為()a1或21b14或36c2 d21解析：設雙曲線的左右焦點分別為f1，f2，不妨設|pf1|11，根據雙曲線的定義知|pf1|pf2|2a10，所以|pf2|1或|pf2|21，而1ca752，故舍去|pf2|1，所以點p到另一個焦點的距離為21，故選d.答案：d2與橢圓y21共焦點且過點q(2,1)的雙曲線方程是()a.y21 b.y21c.1 dx21解析：c2413，共同焦點坐標為(，0)，設雙曲線方程為1(a0，b0)，則由解得雙曲線方程為y21.答案：a3k2是方程1表示雙曲線的()a充分不必要條件 b必要不充分條件c充要條件 d既不充分又不必要條件解析：k2方程1表示雙曲線，而方程1表示雙曲線(4k)(k2)0k4/ k0，b0)3雙曲線的中心、虛軸的一個端點和實軸的一個端點構成一個直角三角形，這個直角三角形的三邊滿足關系式c2a2b2. 雙曲線的簡單性質例1求雙曲線4x2y24的頂點坐標、焦點坐標、實半軸長、虛半軸長、離心率和漸近線方程思路點撥先將雙曲線的形式化為標準方程，再研究其性質精解詳析將雙曲線方程4x2y24化為標準方程x21，a1，b2，c.因此頂點為a1(1,0)，a2(1,0)；焦點為f1(，0)，f2(，0)；實半軸長是a1，虛半軸長是b2；離心率e；漸近線方程為yx2x.一點通由雙曲線的標準方程，求雙曲線的有關性質的步驟是：先將雙曲線方程化為標準形式1，再確定a，b的值(注意它們的分母分別為a2，b2，而不是a，b)，進而求出c，再對照雙曲線的幾何性質得到相應的答案1(福建高考)雙曲線x2y21的頂點到其漸近線的距離等于()a.b.c1 d.解析：雙曲線x2y21的漸近線為xy0，頂點坐標為(1,0)，故頂點到漸近線的距離為，故選b.答案：b2求雙曲線16x29y2144的實半軸長、虛半軸長、焦點坐標、離心率和漸近線方程解：把方程化為1，a4，b3，c5.實半軸長a4，虛半軸長b3，焦點坐標(0，5)，(0,5)；離心率e，漸近線方程為yx.利用雙曲線的性質求雙曲線方程例2求適合下列條件的雙曲線的標準方程(1)實軸長為16，離心率為；(2)雙曲線c的右焦點為(2,0)，右頂點為(，0)思路點撥由雙曲線的幾何性質，列出關于a，b，c的方程，求出a，b，c的值精解詳析(1)設雙曲線的標準方程為1或1(a0，b0)由題意知2a16，c2a2b2，解得c10，a8，b6，所以雙曲線的標準方程為1或1.(2)設雙曲線方程為：1(a0，b0)由已知得a，c2，b2c2a21.雙曲線的標準方程為：y21.一點通根據雙曲線的性質求雙曲線的標準方程時，一般采用待定系數(shù)法首先要根據題目中給出的條件，確定焦點所在的位置，然后設出標準方程的形式，找出a，b，c的關系，列出方程求值，從而得到雙曲線的標準方程3已知雙曲線與橢圓1有共同的焦點，且它的離心率為，則該雙曲線的方程為()ax2y250 bx2y224cx2y250 dx2y224解析：因為雙曲線與橢圓1有共同的焦點，所以雙曲線的焦點在y軸上，分別為(0，4)和(0,4)，因為雙曲線的離心率為，所以，所以a2，b2，所以雙曲線的方程為y2x224，即x2y224.答案：d4(1)已知雙曲線的焦點在y軸，實軸長與虛軸長之比為23，且經過p(，2)，求雙曲線方程；(2)求焦點在x軸上，離心率為，且經過點m(3，2)的雙曲線方程解：(1)設雙曲線方程為1(a0，b0)依題意可得故所求雙曲線方程為y2x21.(2)設所求雙曲線方程為1(a0，b0)e，e21，.1，解得所求的雙曲線方程為1.求雙曲線的離心率例3已知以雙曲線c的兩個焦點及虛軸的兩個端點為頂點的四邊形中，有一個內角為60，求雙曲線c的離心率思路點撥確定四邊形中為60的內角，通過解三角形得a，b，c的關系，進而求出離心率精解詳析設雙曲線方程為1(a0，b0)，如圖所示，由于在雙曲線中cb，故在rtof1b2中，只能是of1b230，所以tan 30，cb，所以ab，離心率e.一點通雙曲線1(a0，b0)中有三類特殊點：焦點(c,0)、頂點(a,0)、虛軸的兩個端點(0，b)求雙曲線的離心率的關鍵是找出雙曲線中a，c的關系在用幾何圖形給出的問題中，要善于利用幾何圖形的性質分析解決5若雙曲線x2ky21的離心率是2，則實數(shù)k的值是()a3 b.c3 d解析：雙曲線x2ky21可化為1，故離心率e2，解得k.答案：d6雙曲線1(a0，b0)的兩個焦點為f1，f2，若p為其上一點，且|pf1|2|pf2|，則雙曲線離心率的取值范圍為()a(1,3) b(1,3c(3，) d3，)解析：由雙曲線的定義知，|pf1|pf2|2a.又|pf1|2|pf2|，|pf2|2a，|pf1|4a.|pf1|pf2|f1f2|(當p為雙曲線右頂點時取等號)，6a2c.3.又e1，10，b0)的兩個焦點分別為f1，f2，以f1f2為邊作等邊mf1f2.若雙曲線恰好平分三角形的另兩邊，則雙曲線的離心率為_解析：如圖，點n為mf2的中點，且在雙曲線上，利用雙曲線的定義即可求解|f1n|c，|nf2|c.又|nf1|nf2|2a，即cc2a.e1.答案：11由已知雙曲線的方程求雙曲線的性質時，注意首先應將方程化為標準形式，再計算，并要特別注意焦點所在的位置，防止將焦點坐標和漸近線方程寫錯2注意雙曲線性質間的聯(lián)系，尤其是雙曲線的漸近線斜率與離心率之間的聯(lián)系，并注意數(shù)形結合，從直觀入手3橢圓、雙曲線的標準方程都可寫成ax2by21的形式，當a0，b0且ab時表示橢圓，當ab0時表示雙曲線 1設雙曲線1(a0，b0)的虛軸長為2，焦距為2，則雙曲線的漸近線方程為()ayxby2xcyx dyx解析：由題意知，2b2,2c2，則b1，c，a；雙曲線的漸近線方程為yx.答案：c2雙曲線mx2y21的虛軸長是實軸長的2倍，則m等于()ab4c4d.解析：雙曲線標準方程為：y21，a21，b2.由題意b24a2，4，m.答案：a3雙曲線的實軸長與虛軸長之和等于其焦距的倍，且一個頂點的坐標為(0,2)，則雙曲線的標準方程為()a.1 b.1c.1 d.1解析：由方程組得a2，b2.雙曲線的焦點在y軸上，雙曲線的標準方程為1.答案：b4雙曲線1(a0，b0)的左，右焦點分別為f1，f2，過f1作傾斜角為30的直線交雙曲線右支于m點，若mf2垂直于x軸，則雙曲線的離心率為()a. b.c. d.解析：由題意，得|f1f2|2c，|mf2|c，|mf1|c.由雙曲線定義得|mf1|mf2|c2a，所以e.答案：b5雙曲線1的離心率為e，e(1,2)，則k的取值范圍是_解析：由題意知k0，且a2，c，12，解得12k0，b0)e，2即a2b2.又過點p(3，)有：1，由得：a2b24，雙曲線方程為1.若雙曲線的焦點在y軸上，設雙曲線方程為1(a0，b0)同理有：a2b2，1，由得a2b24(不合題意，舍去)綜上所述，雙曲線的標準方程為1.(2)由橢圓方程1，知長半軸a13，短半軸b12，半焦距c1，所以焦點是f1(，0)，f2(，0)因此雙曲線的焦點也為(，0)和(，0)，設雙曲線方程為1(a0，b0)由題設條件及雙曲線的性質，有解得即雙曲線方程為y21.8已知雙曲線的中心在原點，焦點f1，f2在坐標軸上，離心率為，且過點p(4，)(1)求雙曲線方程；(2)若點m(3，m)在雙曲線上，求證：0；(3)在(2)的條件下，求f1mf2的面積解：(1)e，可設雙曲線方程為x2y2(0)過點(4，)，1610，即6.雙曲線方程為x2y26.(2)證明：法一：由(1)可知，雙曲線中ab，c2，f1(2，0)，f2(2，0)，kmf1，kmf2，kmf1kmf2.點(3，m)在雙曲線上，9m26，m23，故kmf1kmf21，mf1mf2，0.法二：(32，m)，(23，m)，(32)(32)m23m2.m點在雙曲線上，9m26，即m230，0.(3)f1mf2的底|f1f2|4，f1mf2的高h|m|，sf1mf26.對應學生用書p33一、圓錐曲線的定義1橢圓：平面內到兩定點f1，f2距離之和等于常數(shù)(大于|f1f2|)的點的集合2拋物線：平面內與一個定點f和一條定直線l(l不過f)的距離相等的點的集合3雙曲線：平面內到兩定點f1、f2的距離之差的絕對值等于常數(shù)(大于零小于|f1f2|)的點的集合圓錐曲線的定義是相對應標準方程和幾何性質的“源”，對于圓錐曲線的有關問題，要有運用圓錐曲線定義解題的意識，“回歸定義”是一種重要的解題策略二、圓錐曲線的標準方程與簡單性質1圓錐曲線的標準方程：橢圓、雙曲線有兩種形式的標準方程，拋物線有四種形式的標準方程根據曲線方程的形式來確定焦點的位置，根據焦點的位置選擇恰當?shù)姆匠绦问?圓錐曲線的簡單幾何性質：(1)圓錐曲線的范圍往往作為解題的隱含條件(2)橢圓、雙曲線有兩條對稱軸和一個對稱中心，拋物線只有一條對稱軸(3)橢圓有四個頂點，雙曲線有兩個頂點，拋物線有一個頂點(4)雙曲線焦點位置不同，漸近線方程也不同(5)圓錐曲線中基本量a，b，c，e，p的幾何意義及相互轉化是解題的重要依據三、軌跡方程的問題求軌跡方程的幾種常用方法：(1)直接法：建立適當?shù)淖鴺讼?，設動點為(x，y)，根據幾何條件直接尋求x，y之間的關系式(2)代入法：利用所求曲線上的動點與某一已知曲線上的動點的關系，把所求動點轉換為已知動點具體地說，就是用所求動點的坐標x，y來表示已知動點的坐標并代入已知動點滿足的曲線的方程，由此即可求得所求動點坐標x，y之間的關系式(3)定義法：如果所給動點的幾何條件正好符合圓、橢圓、雙曲線、拋物線等某一曲線的定義，則可直接利用這一已知曲線的方程寫出動點的軌跡方程(4)參數(shù)法：選擇一個(或幾個)與動點變化密切相關的量作為參數(shù)，用參數(shù)表示動點的坐標(x，y)，即得動點軌跡的參數(shù)方程，消去參數(shù)，可得動點軌跡的普通方程四、直線與圓錐曲線位置關系1直線與圓錐曲線位置關系問題是高考熱點，涉及直線與圓錐曲線中的弦長、焦點弦、中點弦、取值范圍、最值、定點、定值等問題2這類問題往往綜合性強，注重與一元二次方程中的判別式以及根與系數(shù)的關系相結合，與函數(shù)的單調性、不等式、平面向量等知識綜合，解決方法主要是通過解方程組，轉化為一元方程，與中點弦有關的問題也可用“點差法”，解決問題的過程中，要注意“整體代換”思想的應用(時間90分鐘，滿分120分)一、選擇題(本大題共10小題，每小題5分，共50分在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的)1拋物線y28x的焦點坐標是()a(2,0)b(2,0)c(4,0) d(4,0)解析：拋物線焦點位于x軸負半軸上，為(2,0)答案：b2若橢圓1的焦點在y軸上，則m的取值范圍是()a(，1) b(0,1)c(0，) d(，)解析：由題意得3m0,2m10且2m13m，解得0m1.答案：b3設f1，f2分別是雙曲線x21的左、右焦點，若點p在雙曲線上，且0，則|pf1|()a. b2c. d2解析：設點p(x，y)，由0，得點p滿足在以f1f2為直徑的圓上，即x2y210.又2po(2x，2y)，|2.答案：b4直線l：x2y20過橢圓的左焦點f1和一個頂點b，該橢圓的離心率為()a. b. c. d.解析：直線l與x軸交于(2,0)，與y軸交于(0,1)由題意知c2，b1，a，e.答案：d5以雙曲線1的右頂點為焦點的拋物線的標準方程為()ay216x by216xcy28x dy28x解析：因為雙曲線1的右頂點為(4,0)，即拋物線的焦點坐標為(4,0)，所以拋物線的標準方程為y216x.答案：a6一動圓p與圓o：x2y21外切，而與圓c：x2y26x80內切，那么動圓的圓心p的軌跡是()a雙曲線的一支 b橢圓c拋物線 d圓解析：圓c的方程即(x3)2y21，圓c與圓o相離，設動圓p的半徑為r.圓p與圓o外切而與圓c內切，r1，且|po|r1，|pc|r1，又|oc|3，|po|pc|2b0)，則a3，c，b2，所以橢圓c的方程為1.答案：112已知雙曲線的左、右焦點分別為f1，f2，在左支上過f1的弦ab的長為5，若2a8，那么abf2的周長是_解析：由雙曲線的定義|af2|af1|2a，|bf2|bf1|2a，|af2|bf2|ab|4a，abf2的周長為4a2|ab|26.答案：2613(江西高考)拋物線x22py(p0)的焦點為f，其準線與雙曲線1相交于a，b兩點，若abf為等邊三角形，則p_.解：由于x22py(p0)的準線為y，由解得準線與雙曲線1的交點為a，b，|ab|2 ，由abf為等邊三角形，得|ab|p，解得p6.答案：614以下是關于圓錐曲線的命題：設a，b為兩個定點，k為非零常數(shù)，|pa|pb|k，則動點p的軌跡為雙曲線；過定圓c上一定點a作圓的動點弦ab，o為坐標原點，若op(oaob)，則動點p的軌跡為橢圓；方程2x25x20的兩根可分別作為橢圓和雙曲線的離心率；雙曲線1與橢圓y21有相同的焦點其中，真命題的序號為_(寫出所有真命題的序號)解析：對于，其中的常數(shù)k與a，b間的距離大小關系不定，所以動點p的軌跡未必是雙曲線；對于，動點p為ab的中點，其軌跡為以ac為直徑的圓；對于，顯然成立答案：三、解答題(本大題共4小題，共50分解答應寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟)15(本小題滿分12分)已知拋物線y22px(p0)的準線過雙曲線1的左焦點f1，