北師大版選修21 第二章 1.2　橢圓的簡(jiǎn)單性質(zhì)(一) 學(xué)案.doc

1.2橢圓的簡(jiǎn)單性質(zhì)(一)學(xué)習(xí)目標(biāo)1.依據(jù)橢圓的方程研究橢圓的簡(jiǎn)單性質(zhì)，并正確地畫(huà)出它的圖形.2.依據(jù)幾何條件求出橢圓方程，并利用橢圓方程研究它的性質(zhì)、圖形知識(shí)點(diǎn)一橢圓的范圍、對(duì)稱性和頂點(diǎn)思考在畫(huà)橢圓圖形時(shí)，怎樣才能畫(huà)的更準(zhǔn)確些？答案在畫(huà)橢圓時(shí)，可先畫(huà)一個(gè)矩形，矩形的頂點(diǎn)為(a，b)，(a，b)，(a，b)，(a，b)梳理橢圓的簡(jiǎn)單性質(zhì)焦點(diǎn)在x軸上焦點(diǎn)在y軸上標(biāo)準(zhǔn)方程1(ab0)1(ab0)圖形焦點(diǎn)坐標(biāo)(c,0)(0，c)對(duì)稱性以x軸，y軸為對(duì)稱軸的軸對(duì)稱圖形，以原點(diǎn)為對(duì)稱中心的中心對(duì)稱圖形頂點(diǎn)坐標(biāo)a1(a,0)，a2(a,0)，b1(0，b)，b2(0，b)a1(0，a)，a2(0，a)，b1(b,0)，b2(b,0)范圍|x|a，|y|b|x|b，|y|a長(zhǎng)軸、短軸長(zhǎng)軸a1a2的長(zhǎng)為2a，短軸b1b2的長(zhǎng)為2b知識(shí)點(diǎn)二橢圓的離心率橢圓的焦距與長(zhǎng)軸長(zhǎng)度的比稱為橢圓的離心率，即e，因?yàn)閍c，故橢圓離心率e的取值范圍為(0,1)，當(dāng)e趨近于1時(shí)，橢圓越扁，當(dāng)e趨近于0時(shí)，橢圓越圓1橢圓1(ab0)的長(zhǎng)軸長(zhǎng)是a.()2橢圓的離心率e越大，橢圓就越圓()3若橢圓的對(duì)稱軸為坐標(biāo)軸，長(zhǎng)軸長(zhǎng)與短軸長(zhǎng)分別為10,8，則橢圓的方程為1.()4設(shè)f為橢圓1(ab0)的一個(gè)焦點(diǎn)，m為其上任一點(diǎn)，則|mf|的最大值為ac(c為橢圓的半焦距)()類型一橢圓的簡(jiǎn)單性質(zhì)例1求橢圓m2x24m2y21(m0)的長(zhǎng)軸長(zhǎng)、短軸長(zhǎng)、焦點(diǎn)坐標(biāo)、頂點(diǎn)坐標(biāo)和離心率考點(diǎn)橢圓的簡(jiǎn)單性質(zhì)題點(diǎn)橢圓的頂點(diǎn)、焦點(diǎn)、長(zhǎng)短軸、對(duì)稱性解由已知得1(m0)，因?yàn)?m24m2，所以，所以橢圓的焦點(diǎn)在x軸上，并且長(zhǎng)半軸長(zhǎng)a，短半軸長(zhǎng)b，半焦距c，所以橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)2a，短軸長(zhǎng)2b，焦點(diǎn)坐標(biāo)為，頂點(diǎn)坐標(biāo)為，離心率e.反思與感悟從橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程出發(fā)，分清其焦點(diǎn)位置，然后再寫(xiě)出相應(yīng)的性質(zhì)跟蹤訓(xùn)練1已知橢圓c1：1，設(shè)橢圓c2與橢圓c1的長(zhǎng)軸長(zhǎng)、短軸長(zhǎng)分別相等，且橢圓c2的焦點(diǎn)在y軸上(1)求橢圓c1的長(zhǎng)半軸長(zhǎng)、短半軸長(zhǎng)、焦點(diǎn)坐標(biāo)及離心率；(2)寫(xiě)出橢圓c2的方程，并研究其性質(zhì)考點(diǎn)橢圓的簡(jiǎn)單性質(zhì)題點(diǎn)橢圓的頂點(diǎn)、焦點(diǎn)、長(zhǎng)短軸、對(duì)稱性解(1)由橢圓c1：1，可得其長(zhǎng)半軸長(zhǎng)為10，短半軸長(zhǎng)為8，焦點(diǎn)坐標(biāo)為(6,0)，(6,0)，離心率e.(2)橢圓c2：1.性質(zhì)如下：范圍：8x8，10y10；對(duì)稱性：關(guān)于x軸、y軸、原點(diǎn)對(duì)稱；頂點(diǎn)：長(zhǎng)軸端點(diǎn)(0,10)，(0，10)，短軸端點(diǎn)(8,0)，(8,0)；焦點(diǎn)：(0,6)，(0，6)；離心率：e.類型二由簡(jiǎn)單性質(zhì)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程例2(1)橢圓以兩坐標(biāo)軸為對(duì)稱軸，并且過(guò)點(diǎn)(0,13)，(10，0)，則焦點(diǎn)坐標(biāo)為()a(13,0) b(0，10)c(0，13) d(0，)考點(diǎn)橢圓的簡(jiǎn)單性質(zhì)題點(diǎn)橢圓的頂點(diǎn)、焦點(diǎn)、長(zhǎng)短軸、對(duì)稱性答案d解析由題意知，橢圓的焦點(diǎn)在y軸上，且a13，b10，則c，故選d.(2)已知橢圓中心在原點(diǎn)，一個(gè)焦點(diǎn)為f(2，0)，且長(zhǎng)軸長(zhǎng)是短軸長(zhǎng)的2倍，則該橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是_考點(diǎn)橢圓的簡(jiǎn)單性質(zhì)題點(diǎn)橢圓的頂點(diǎn)、焦點(diǎn)、長(zhǎng)短軸、對(duì)稱性答案1解析由已知，得焦點(diǎn)在x軸上，且所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為1.反思與感悟此類問(wèn)題應(yīng)由所給的簡(jiǎn)單性質(zhì)充分找出a，b，c所應(yīng)滿足的關(guān)系式，進(jìn)而求出a，b，在求解時(shí)，需注意橢圓的焦點(diǎn)位置跟蹤訓(xùn)練2根據(jù)下列條件，求中心在原點(diǎn)，對(duì)稱軸在坐標(biāo)軸上的橢圓方程：(1)長(zhǎng)軸長(zhǎng)是短軸長(zhǎng)的2倍，且過(guò)點(diǎn)(2，6)；(2)焦點(diǎn)在x軸上，一個(gè)焦點(diǎn)與短軸的兩端點(diǎn)連線互相垂直，且半焦距為6.考點(diǎn)由橢圓的簡(jiǎn)單性質(zhì)求方程題點(diǎn)由橢圓的幾何特征求方程解(1)當(dāng)焦點(diǎn)在x軸上時(shí)，設(shè)橢圓方程為1(ab0)依題意，有解得橢圓方程為1.同樣地可求出當(dāng)焦點(diǎn)在y軸上時(shí)，橢圓方程為1.故所求的橢圓方程為1或1.(2)依題意，有bc6，a2b2c272，所求的橢圓方程為1.類型三求橢圓的離心率例3設(shè)橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為f1，f2，過(guò)f1作橢圓長(zhǎng)軸的垂線交橢圓于點(diǎn)p，若f1pf2為等腰直角三角形，求橢圓的離心率考點(diǎn)橢圓的離心率問(wèn)題題點(diǎn)求a，b，c的齊次關(guān)系式得離心率解設(shè)橢圓方程為1(ab0)f1(c,0)，p(c，yp)，代入橢圓方程得1，y，|pf1|f1f2|，即2c，又b2a2c2，2c，e22e10，又0e1，e1.反思與感悟求解橢圓的離心率，其實(shí)質(zhì)就是構(gòu)建a，b，c之間的關(guān)系式，再結(jié)合b2a2c2，從而得到a，c之間的關(guān)系式，進(jìn)而確定其離心率跟蹤訓(xùn)練3設(shè)橢圓c：1(ab0)的左、右焦點(diǎn)分別為f1，f2，p是c上的點(diǎn)，pf2f1f2，pf1f230，則c的離心率為()a.b.c.d.考點(diǎn)橢圓的離心率問(wèn)題題點(diǎn)求a，b，c得離心率答案d解析由題意可設(shè)|pf2|m(m0)，結(jié)合條件可知|pf1|2m，|f1f2|m，故離心率e.1橢圓9x2y236的短軸長(zhǎng)為()a2b4c6d12考點(diǎn)橢圓的簡(jiǎn)單性質(zhì)題點(diǎn)橢圓的頂點(diǎn)、焦點(diǎn)、長(zhǎng)短軸、對(duì)稱性答案b解析原方程可化為1，所以b24，b2，從而短軸長(zhǎng)為2b4.2若橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)與短軸的一個(gè)端點(diǎn)構(gòu)成一個(gè)正三角形，則該橢圓的離心率為()a.b.c.d.考點(diǎn)橢圓的離心率問(wèn)題題點(diǎn)求a，b，c得離心率答案a解析不妨設(shè)橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為f1，f2，b為橢圓的上頂點(diǎn)依題意可知，bf1f2是正三角形在rtobf2中，|of2|c，|bf2|a，of2b60，ecos 60，即橢圓的離心率e，故選a.3已知中心在原點(diǎn)的橢圓c的右焦點(diǎn)為f(1,0)，離心率等于，則c的方程是()a.1b.1c.1d.y21考點(diǎn)由橢圓的簡(jiǎn)單性質(zhì)求方程題點(diǎn)由橢圓的性質(zhì)求方程答案c解析依題意知，所求橢圓的焦點(diǎn)位于x軸上，且c1，e，即a2，b2a2c23，因此橢圓的方程是1.4已知橢圓的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)在坐標(biāo)軸上，兩頂點(diǎn)分別是(4,0)，(0,2)，則此橢圓的方程是_考點(diǎn)由橢圓的簡(jiǎn)單性質(zhì)求方程題點(diǎn)由橢圓的性質(zhì)求方程答案1解析由已知，得a4，b2，且橢圓的焦點(diǎn)在x軸上，所以橢圓的方程是1.5求橢圓25x216y2400的長(zhǎng)軸長(zhǎng)、短軸長(zhǎng)、離心率、焦點(diǎn)坐標(biāo)和頂點(diǎn)坐標(biāo)考點(diǎn)由橢圓方程研究簡(jiǎn)單性質(zhì)題點(diǎn)由橢圓的方程求頂點(diǎn)、焦點(diǎn)、長(zhǎng)短軸、離心率解將橢圓方程變形為1，得a5，b4，所以c3，故橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)和短軸長(zhǎng)分別為2a10,2b8，離心率e，焦點(diǎn)坐標(biāo)為(0，3)，(0,3)，頂點(diǎn)坐標(biāo)為(0，5)，(0,5)，(4,0)，(4,0)求橢圓離心率及范圍的兩種方法(1)直接法：若已知a，c可直接利用e求解若已知a，b或b，c可借助于a2b2c2求出c或a，再代入公式e求解(2)方程法：若a，c的值不可求，則可根據(jù)條件建立a，b，c的關(guān)系式，借助于a2b2c2，轉(zhuǎn)化為關(guān)于a，c的齊次方程或不等式，再將方程或不等式兩邊同除以a的最高次冪，得到關(guān)于e的方程或不等式，即可求得e的值或范圍一、選擇題1已知橢圓的方程為2x23y2m(m0)，則此橢圓的離心率為()a.b.c.d.考點(diǎn)由橢圓方程研究簡(jiǎn)單性質(zhì)題點(diǎn)由橢圓的方程求頂點(diǎn)、焦點(diǎn)、長(zhǎng)短軸、離心率答案b解析由2x23y2m(m0)，得1，c2，e2，e.2與橢圓9x24y236有相同焦點(diǎn)，且短軸長(zhǎng)為2的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是()a.1bx21c.y21d.1考點(diǎn)由橢圓的簡(jiǎn)單性質(zhì)求方程題點(diǎn)由橢圓的性質(zhì)求方程答案b解析由已知c，b1，a2b2c26，且焦點(diǎn)在y軸上，橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為x21.3橢圓4x249y2196的長(zhǎng)軸長(zhǎng)、短軸長(zhǎng)、離心率依次是()a7,2，b14,4，c7,2，d14,4，考點(diǎn)由橢圓方程研究簡(jiǎn)單性質(zhì)題點(diǎn)由橢圓的方程求頂點(diǎn)、焦點(diǎn)、長(zhǎng)短軸、離心率答案b解析先將橢圓方程化為標(biāo)準(zhǔn)形式為1，其中b2，a7，c3.4焦點(diǎn)在x軸上，長(zhǎng)、短半軸長(zhǎng)之和為10，焦距為4，則橢圓的方程為()a.1b.1c.1d.1考點(diǎn)由橢圓的簡(jiǎn)單性質(zhì)求方程題點(diǎn)由橢圓的特征求方程答案a解析依題意得c2，ab10，又a2b2c2，所以解得a6，b4.5若焦點(diǎn)在x軸上的橢圓1的離心率為，則m等于()a.b.c.d.考點(diǎn)由橢圓方程研究簡(jiǎn)單性質(zhì)題點(diǎn)由橢圓的特征求方程答案b解析a22，b2m，e，m.6橢圓(m1)x2my21的長(zhǎng)軸長(zhǎng)是()a.b.c.d考點(diǎn)由橢圓方程研究簡(jiǎn)單性質(zhì)題點(diǎn)由橢圓的方程求頂點(diǎn)、焦點(diǎn)、長(zhǎng)短軸、離心率答案c解析橢圓方程可化簡(jiǎn)為1，由題意，知m0，b0)的左、右焦點(diǎn)，p為直線x上一點(diǎn)，f2pf1是底角為30的等腰三角形，則橢圓e的離心率為()a.b.c.d.考點(diǎn)橢圓的離心率問(wèn)題題點(diǎn)求a，b，c得離心率答案c解析設(shè)直線x與x軸交于點(diǎn)m，則pf2m60，在rtpf2m中，|pf2|f1f2|2c，|f2m|c，故cos60，解得，故離心率e.二、填空題8a為y軸上一點(diǎn)，f1，f2是橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，af1f2為正三角形，且af1的中點(diǎn)b恰好在橢圓上，則此橢圓的離心率為_(kāi)考點(diǎn)橢圓的離心率問(wèn)題題點(diǎn)求a，b，c得離心率答案1解析如圖，連接bf2.因?yàn)閍f1f2為正三角形，且b為線段af1的中點(diǎn)，所以f2bbf1.又因?yàn)閎f2f130，|f1f2|2c，所以|bf1|c，|bf2|c，由橢圓定義得|bf1|bf2|2a，即cc2a，所以1，所以橢圓的離心率e1.9若橢圓1的焦點(diǎn)在x軸上，過(guò)點(diǎn)作圓x2y21的切線，切點(diǎn)分別為a，b，直線ab恰好經(jīng)過(guò)橢圓的右焦點(diǎn)和上頂點(diǎn)，則橢圓的方程是_考點(diǎn)由橢圓的簡(jiǎn)單性質(zhì)求方程題點(diǎn)由橢圓的特征求方程答案1解析x1是圓x2y21的一條切線，橢圓的右焦點(diǎn)為(1,0)，即c1.設(shè)p，則kop，opab，kab2，則直線ab的方程為y2(x1)，它與y軸的交點(diǎn)為(0,2)b2，a2b2c25，故橢圓的方程為1.10已知橢圓c的上、下頂點(diǎn)分別為b1，b2，左、右焦點(diǎn)分別為f1，f2，若四邊形b1f1b2f2是正方形，則此橢圓的離心率e_.考點(diǎn)橢圓的離心率問(wèn)題題點(diǎn)求a，b，c得離心率答案解析因?yàn)樗倪呅蝏1f1b2f2是正方形，所以bc，所以a2b2c22c2，所以e.11在abc中，tana，b.若橢圓e以ab為長(zhǎng)軸，且過(guò)點(diǎn)c，則橢圓e的離心率是_考點(diǎn)橢圓的離心率問(wèn)題題點(diǎn)求a，b，c得離心率答案解析由tan a，得sin a，cosa.又b，sin b，cosb，則sin csin(ab)sin acosbcosasinb.由正弦定理，得|bc|ca|ab|sin asinbsinc12.不妨取|bc|1，|ca|，|ab|2.以ab所在直線為x軸，ab中點(diǎn)o為原點(diǎn)建立直角坐標(biāo)系(c在x軸上方)，d是c在ab上的射影可求得|ad|，|od|，|cd|，點(diǎn)c.設(shè)橢圓e的方程為1(ab0)，則a22，且1，解得b2，c2a2b22，e2，又0e1，e.三、解答題12已知橢圓x2(m3)y2m(m0)，其焦距與長(zhǎng)軸長(zhǎng)的比值是，求m的值及橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)、短軸長(zhǎng)及頂點(diǎn)坐標(biāo)考點(diǎn)由橢圓方程研究簡(jiǎn)單性質(zhì)題點(diǎn)由橢圓方程求頂點(diǎn)、焦點(diǎn)、長(zhǎng)短軸、離心率解橢圓方程可化為1.因?yàn)閙0，所以m0，所以m，所以a2m，b2，所以c.由，得，解得m1，所以a1，b，則橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為x21，所以橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為2，短軸長(zhǎng)為1，四個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為(1,0)，(1,0)，.13已知橢圓1(ab0)的兩個(gè)焦點(diǎn)分別為f1，f2，斜率為k的直線l過(guò)左焦點(diǎn)f1且與橢圓的交點(diǎn)為a，b，與y軸的交點(diǎn)為c，且b為線段cf1的中點(diǎn)，若|k|，求橢圓離心率e的取值范圍考點(diǎn)由橢圓方程研究簡(jiǎn)單性質(zhì)題點(diǎn)由橢圓的特征求參數(shù)解依題意得f1(c,0)，直線l：yk(xc)，則c(0，kc)因?yàn)辄c(diǎn)b為線段cf1的中點(diǎn)，所以b.因?yàn)辄c(diǎn)b在橢圓上，所以1，即1.所以1，所以k2.由|k|，得k2，即，所以2e417e280.解得e28.因?yàn)?e1，所以e21，即e1，即e的取值范圍是.四、探究與拓展14已知c是橢圓1(ab0)的半焦距，則的取值范圍是()a(1) b(，)c(1，) d(1，考點(diǎn)由橢圓方程研究簡(jiǎn)單性質(zhì)題點(diǎn)由橢圓的特征求參數(shù)答案d解析橢圓的中心、一個(gè)短軸的頂點(diǎn)、一個(gè)焦點(diǎn)構(gòu)成一個(gè)直角三角形，兩直角邊長(zhǎng)分別為b，c，斜邊為a，由直角三角形的兩直角邊之和大于斜邊得bca，1，又22(當(dāng)且僅當(dāng)bc時(shí)，取等號(hào))，1，故選d.15設(shè)f1，f2分別是橢圓e：1(ab0)的左、右焦點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)f1的直線交橢圓e于a，b兩點(diǎn)，|af1|3|f1b|.(1)若|ab|4，abf2的周長(zhǎng)為16，求|af2|；(2)若cosaf2b，求橢圓e的離心率考點(diǎn)橢圓離心率問(wèn)題題點(diǎn)求a，b，c得離心率解(1)由|af1|3|f1b|，|ab|4，得|af1|3，|f1b|1.因?yàn)閍bf2的周長(zhǎng)為16，所以由橢圓定義可得4a16，|