魯科版選修34 第1章 第3節(jié) 單擺 學(xué)案.doc

第3節(jié)單_擺 1單擺是一個理想化模型，在偏角很小的情況下，單擺做簡諧運動。單擺的回復(fù)力由重力沿圓弧切向的分力提供。2單擺的周期公式為：t2 ，此式僅在擺角小于5時成立，單擺的周期由擺長l和重力加速度g共同決定，與擺球質(zhì)量無關(guān)。3由t2 得g，根據(jù)此式可求出某地的重力加速度。單擺的運動自讀教材抓基礎(chǔ)1定義把一根細(xì)線上端固定，下端拴一個小球，線的質(zhì)量和球的大小可以忽略不計，這種裝置叫做單擺。2單擺的回復(fù)力(1)回復(fù)力的來源：擺球的重力沿圓弧切線方向的分力。(2)回復(fù)力的特點：在偏角很小時，單擺的回復(fù)力與它偏離平衡位置的位移成正比，方向總指向平衡位置。3運動規(guī)律單擺在偏角很小時做簡諧運動，其振動圖像遵循正弦函數(shù)規(guī)律。跟隨名師解疑難1單擺是一種理想模型，實際擺可視為單擺的要求是什么？(1)細(xì)線形變要求：細(xì)線的伸縮可以忽略。(2)細(xì)線與小球質(zhì)量要求：細(xì)線質(zhì)量與小球質(zhì)量相比可以忽略。(3)小球密度要求：小球的密度較大。(4)線長度要求：球的直徑與線的長度相比可以忽略。(5)受力要求：與小球受到的重力及線的拉力相比，空氣對它的阻力可以忽略。(6)擺角要求：單擺在擺動過程中要求擺角小于5。2單擺做簡諧運動的條件判斷單擺是否做簡諧運動，可分析擺球的受力情況，看回復(fù)力是否符合fkx的特點，如圖131所示。圖131(1)在任意位置p，有向線段為此時的位移x，重力g沿圓弧切線方向的分力g1gsin 提供擺球以o點為中心做往復(fù)運動的回復(fù)力。(2)在擺角很小時，sin ，g1gsin x，g1方向與擺球位移方向相反，所以有回復(fù)力f回g1。令k，則f回kx。因此，在擺角不超過5時，單擺做簡諧運動。3單擺的運動特點(1)擺球以懸掛點(o點)為圓心在豎直平面內(nèi)做變速圓周運動。(2)擺球以最低點(o點)為平衡位置做簡諧運動。特別提醒(1)單擺振動的回復(fù)力為擺球重力沿圓弧切線方向的分力，回復(fù)力不是擺球所受的合外力，當(dāng)然向心力也不是擺球所受的合外力(最高、最低點除外)。(2)擺球經(jīng)過平衡位置時，回復(fù)力為零，沿圓弧切線方向的加速度為零，但合外力和向心加速度都不等于零。學(xué)后自檢(小試身手)關(guān)于單擺，下列說法中正確的是()a擺球受到的回復(fù)力方向總是指向平衡位置b擺球受到的回復(fù)力是它的合力c擺球經(jīng)過平衡位置時，所受的合力為零d擺角很小時，擺球受的合力的大小跟擺球?qū)ζ胶馕恢玫奈灰拼笮〕烧冉馕觯哼xa單擺的回復(fù)力不是它的合力，而是重力沿圓弧切線方向的分力；當(dāng)擺球運動到平衡位置時，回復(fù)力為零，但合力不為零，因為小球還有向心力，方向指向懸點(即指向圓心)；另外擺球所受的合力與位移大小不成正比，回復(fù)力才成正比。單擺的周期自讀教材抓基礎(chǔ)1實驗探究單擺的周期(1)探究方法：用控制變量法分別研究可能會影響單擺周期的因素：擺球的質(zhì)量、擺長和振幅、重力加速度。(2)實驗結(jié)論單擺周期與擺球質(zhì)量無關(guān)。單擺周期與振幅無關(guān)。單擺的擺長越長，周期越大；擺長越短，周期越小。2周期公式(1)公式：t2。(2)單擺的等時性：單擺的周期與振幅無關(guān)。跟隨名師解疑難1如何確定“單擺模型”中的擺長？(1)圖132(a)中，甲、乙在垂直紙面方向擺起來效果是相同的，所以甲擺的擺長為lsin ，這就是等效擺長，其周期t2 。圖(b)中，乙在垂直紙面方向擺動時，與甲擺等效；乙在紙面內(nèi)小角度擺動時，與丙擺等效。圖132(2)如圖(c)所示，小球在光滑的半徑較大的圓周上做小幅度(很小)的圓周運動時，可等效為單擺，小球在a、b間做簡諧運動，周期t2 。(3)圓錐擺如圖133所示，用細(xì)線懸吊小球，使小球在水平面內(nèi)做勻速圓周運動，即細(xì)線所掃過的面為圓錐面，通常我們稱為圓錐擺，實質(zhì)上圓錐擺中的小球不是振動，而是勻速圓周運動，周期t2 。圖1332公式中重力加速度g的變化與等效(1)若單擺系統(tǒng)只處在重力場中且處于靜止?fàn)顟B(tài)，g由單擺所處的空間位置決定，即g，式中r為物體到地心的距離，m為地球的質(zhì)量，g隨所在位置的高度的變化而變化。另外，在不同星球上m和r也是變化的，所以g也不同，g9.8 m/s2只是在地球表面附近時的取值。 (2)等效重力加速度：若單擺系統(tǒng)處在非平衡狀態(tài)(如加速、減速、完全失重狀態(tài))，則一般情況下，g值等于擺球相對靜止在自己的平衡位置時，擺線所受的張力與擺球質(zhì)量的比值。如圖134所示，球靜止在o時，ftmgsin ，等效加速度ggsin 。圖134學(xué)后自檢(小試身手)將秒擺(周期為2 s)的周期變?yōu)? s，下列措施可行的是()a將擺球的質(zhì)量減半b將振幅減半c將擺長減半 d將擺長減為原來的解析：選d由單擺的周期公式t2可以看出，要使周期減半，擺長應(yīng)為原來的，擺球的質(zhì)量和振幅變化，并不影響單擺的周期，故只有d正確。利用單擺測定重力加速度1.實驗原理由t2得g，即只要測出單擺的擺長l和周期t，就可以求出當(dāng)?shù)氐闹亓铀俣取?實驗步驟(1)做單擺讓線的一端穿過小球的小孔，然后打一個比小孔大一些的結(jié)。把線的上端用鐵夾固定在鐵架臺上并把鐵架臺放在實驗桌邊，使鐵夾伸到桌面以外，讓擺球自由下垂，在單擺平衡位置處作上標(biāo)記。(2)測擺長用毫米刻度尺量出懸線長l，精確到毫米；用游標(biāo)卡尺測量出擺球的直徑d，精確到毫米；則ll，即為單擺的擺長。(3)測周期將單擺從平衡位置拉開一個角度，且滿足擺角小于5，然后釋放擺球，當(dāng)單擺擺動穩(wěn)定后，過平衡位置時用秒表開始計時，測量3050次全振動的時間。計算出平均擺動一次的時間，即為單擺的振動周期t。(4)變擺長將單擺的擺長變短(或變長)，重復(fù)實驗三次，測出相應(yīng)的擺長l和周期t。3數(shù)據(jù)處理(1)平均值法：每改變一次擺長，將相應(yīng)的l和t，代入公式g中求出g值，最后求出g的平均值。實驗次數(shù)擺長l/m周期t/s加速度g/ms2g平均值1g23(2)圖像法：由t2得t2l作出t2l圖像，即以t2為縱軸，以l為橫軸，其斜率k，由圖像的斜率即可求出重力加速度g。圖1354注意事項(1)選材擺線應(yīng)選擇細(xì)、輕且不易伸長的線(長度為1 m左右)；小球應(yīng)選用密度較大的金屬球， 直徑應(yīng)較小(最好不超過2 cm)。(2)操作單擺懸線的上端應(yīng)當(dāng)固定牢固，不可隨意卷在鐵架臺的橫桿上，以免振動時擺長改變；注意振動時控制擺線偏離豎直方向的角度不超過5；擺球擺動時，要使之保持在同一個豎直平面內(nèi)，不要形成圓錐擺。(3)周期的測量用停表測出單擺做n(3050)次全振動所用的時間t，則周期t。測量時應(yīng)以擺球通過最低位置時開始計時、計數(shù)，并且開始計時時數(shù)“零”，以后擺球每從同一方向通過最低位置時計數(shù)一次。學(xué)后自檢(小試身手)在用單擺測定重力加速度的實驗中，下列說法正確的是()a如果有大小相同的鐵球和木球可供選擇，則選用木球作為擺球較好b單擺的偏角不要太大(小于5)c為了便于改變擺線的長度，可將擺線的一端繞在鐵架上端的水平圓桿上d先測量好擺線的長度再系上小球做實驗解析：選b擺球應(yīng)選用密度較大、直徑較小的金屬球，選項a錯；擺線偏離豎直方向的角度越大，利用周期公式計算出的重力加速度的誤差就越大，選項b對；將擺線的一端繞在鐵架上端的水平圓桿上，擺動時擺長會改變，對擺長和周期的測量都有影響，選項c錯；測擺長時，應(yīng)當(dāng)先系上小球再測量擺線的長度，選項d錯。對單擺模型的考查典題例析1一個單擺的長為l，在其懸點o的正下方0.19l處有一釘子p(如圖136所示)，現(xiàn)將擺球向左拉開到a，使擺線偏角5，放手后使其擺動，求出單擺的振動周期。圖136思路點撥(1)擺球在左邊和右邊的擺長是否相同？提示：不同。左邊：擺長為l。右邊：擺長為0.81l。(2)如何確定單擺的周期？提示：單擺的周期為左右兩個不同單擺的半周期的和。解析：釋放后擺球到達(dá)右邊最高點b處，由機械能守恒可知b和a等高，則擺球始終做簡諧運動。擺球做簡諧運動的擺長有所變化，它的周期為兩個不同單擺的半周期的和。小球在左邊的周期為t12小球在右邊的周期為t22 則整個單擺的周期為t 1.9。答案：1.9探規(guī)尋律求單擺周期的方法(1)明確單擺的運動過程，看是否符合簡諧運動的條件。(2)在運用t2時，要注意l和g是否發(fā)生變化，如果發(fā)生變化，則分別求出不同l和g時的運動時間。跟蹤演練如圖137所示，boc為一光滑圓弧形軌道，其半徑為r，且r遠(yuǎn)大于弧boc的弧長。若同時從圓心o和軌道b點分別無初速度釋放一小球p和q，則()圖137aq球先到達(dá)o點bp球先到達(dá)o點cp、q同時到達(dá)o點d無法比較解析：選bp做自由落體運動，由rgt得t1；q做簡諧運動，t2t2，所以t1v2)在豎直平面內(nèi)做小角度擺動，它們的頻率與振幅分別為f1、f2和a1、a2，則()af1f2，a1a2 bf1a2 df1f2，a1a2解析：選c單擺的頻率由擺長決定，擺長相等，頻率相等，所以a、b錯誤；由機械能守恒，小球在平衡位置的速度越大，其振幅越大，所以c正確，d錯誤。4在用單擺測定重力加速度時，某同學(xué)用同一套實驗裝置，用同樣的步驟進(jìn)行實驗，但所測得的重力加速度總是偏大，其原因可能是()a測定周期時，振動次數(shù)少數(shù)了一次b測定周期時，振動次數(shù)多數(shù)了一次c擺球的質(zhì)量過大d計算擺長時，只考慮懸線的長度，沒有加上小球的半徑解析：選b由計算g的公式g可知，如果振動次數(shù)多數(shù)了一次，即t偏小，就會使g偏大，選項a錯，b對；擺球的質(zhì)量過大，不影響單擺的周期與擺長，所以不影響測得的重力加速度，選項c錯；當(dāng)l偏小時，求得的g偏小，選項d錯。5如圖1所示為兩個單擺的振動圖像，從圖像中可以知道它們的()圖1a擺球質(zhì)量相等 b振幅相等c擺長相等 d擺球同時改變速度方向解析：選c由圖像可知，兩單擺的周期相等，則擺長相等，無法確定質(zhì)量關(guān)系，故a錯，c對。由題圖可知振幅不同，且兩個擺球不能同時到達(dá)最大位移處，即速度方向不能同時改變，故b、d錯。6如圖2所示，三根細(xì)線于o點處打結(jié)，a、b端固定在同一水平面上相距為l的兩點上，使aob成直角三角形，bao30，已知線oc長是l，下端c點系著一個小球。下面說法中正確的是()圖2a讓小球在紙面內(nèi)擺動，周期為t2b讓小球在垂直紙面方向擺動，其周期為t2 c讓小球在紙面內(nèi)擺動，周期為t2 d讓小球在垂直紙面內(nèi)擺動，周期為t2解析：選a讓小球在紙面內(nèi)擺動，在擺角很小時，單擺以o點為懸點，擺長為l，周期為t2。讓小球在垂直紙面內(nèi)擺動，則擺球以oc的延長線與ab交點為中心擺，擺長為lcos 30ll，周期t為t2 ，選項a正確。二、非選擇題(共2小題，共20分)7(8分)(福建高考)某實驗小組在利用單擺測定當(dāng)?shù)刂亓铀俣鹊膶嶒炛校?(1)用游標(biāo)卡尺測定擺球的直徑，測量結(jié)果如圖3所示，則該擺球的直徑為_cm。圖3(2)小組成員在實驗過程中有如下說法，其中正確的是_。(填選項前的字母)a把單擺從平衡位置拉開30的擺角，并在釋放擺球的同時開始計時b測量擺球通過最低點100次的時間t，則單擺周期c用懸線的長度加擺球的直徑作為擺長，代入單擺周期公式計算得到的重力加速度值偏大d選擇密度較小的擺球，測得的重力加速度值誤差較小解析：(1)主尺讀數(shù)加游標(biāo)尺讀數(shù)的總和等于最后讀數(shù)，0.9 cm7 mm0.97 cm，不需要估讀。(2)單擺符合簡諧運動的條件是最大偏角不超過5，并從平衡位置計時，故a錯誤；若第一次過平衡位置計為“0”則周期t，若第一次過平衡位置計為“1”，則周期t，b錯誤；由t2得g，其中l(wèi)為擺長，即懸線長加擺球半徑，若為懸線長加擺球直徑，由公式知g偏大，故c正確；為了能將擺球視為質(zhì)點和減少空氣阻力引起的相對誤差，應(yīng)選密度較大體積較小的擺球，故d錯誤。答案：(1)0.97(2