最短路徑問題總動(dòng)員(含答案).doc

最短路徑問題專題練習(xí) 1. 如圖，長(zhǎng)方體 ABCD-A1B1C1D1 中，AB=3，BC=2，BB1=1，一螞蟻從 A 點(diǎn)出發(fā)，沿長(zhǎng)方體表面爬到 C1 點(diǎn)處覓食，則螞蟻所行路程的最小值為 A. 14B. 32C. 25D. 26 2. 如圖是一個(gè)三級(jí)臺(tái)階，它的每一級(jí)的長(zhǎng)、寬和高分別是 50cm，30cm，10cm，A 和 B 是這個(gè)臺(tái)階的兩個(gè)相對(duì)的端點(diǎn)，A 點(diǎn)有一只壁虎，它想到 B 點(diǎn)去吃可口的食物，請(qǐng)你想一想，這只壁虎從 A 點(diǎn)出發(fā)，沿著臺(tái)階面爬到 B 點(diǎn)，至少需爬 A. 13cmB. 40cmC. 130cmD. 169cm 3. 如圖，6 個(gè)邊長(zhǎng)為 1 的小正方形及其部分對(duì)角線所構(gòu)成的圖形中，如果從 A 點(diǎn)到 B 點(diǎn)只能沿圖中的線段走，那么從 A 點(diǎn)到 B 點(diǎn)的最短距離的走法共有 A. 1 種B. 2 種C. 3 種D. 4 種 4. 如圖所示，圓柱的底面周長(zhǎng)為 6cm，AC 是底面圓的直徑，高 BC=6cm，點(diǎn) P 是母線 BC 上一點(diǎn)且 PC=23BC一只螞蟻從點(diǎn) A 出發(fā)沿著圓柱體的表面爬行到點(diǎn) P 的最短距離是 A. 4+6cmB. 5cmC. 35cmD. 7cm 5. 如圖，是一個(gè)三級(jí)臺(tái)階，它的每一級(jí)的長(zhǎng)、寬、高分別為 20dm，3dm，2dm，A 和 B 是這個(gè)臺(tái)階兩個(gè)相對(duì)的端點(diǎn)，A 點(diǎn)有一只螞蟻，想到 B 點(diǎn)去吃可口的食物，則螞蟻沿著臺(tái)階面爬到 B 點(diǎn)的最短路程是 dmA. 203B. 252C. 20D. 25 6. 如圖，已知 AB=3，BC=5，AF=6，要在長(zhǎng)方體上系一根繩子連接 AG，繩子與 DE 交于點(diǎn) P，當(dāng)所用繩子最短時(shí)，繩子 AG 的長(zhǎng)為 A. 10B. 34C. 8D. 254 7. 已知螞蟻從長(zhǎng)、寬都是 3，高是 8 的長(zhǎng)方形紙箱的 A 點(diǎn)沿紙箱爬到 B 點(diǎn)，那么它所行的最短路線的長(zhǎng)是 A. 8B. 10C. 12D. 16 8. 如圖所示，一圓柱高 8cm，底面半徑長(zhǎng) 2cm，一只螞蟻從點(diǎn) A 爬到點(diǎn) B 處吃食，要爬行的最短路程（ 取 3）是 A. 12cmB. 10cmC. 14cmD. 無法確定 9. 如圖圓柱底面半徑為 2 cm，高為 9 cm，點(diǎn) A，B 分別是圓柱兩底面圓周上的點(diǎn)，且 A，B 在同一母線上，用一棉線從 A 頂著圓柱側(cè)面繞 3 圈到 B，則棉線最短為 A. 9 cmB. 15 cmC. 18 cmD. 27 cm 10. 如圖，點(diǎn) A 為正方體左側(cè)面的中心，點(diǎn) B 是正方體的一個(gè)頂點(diǎn)，正方體的棱長(zhǎng)為 2，一螞蟻從點(diǎn) A 沿其表面爬到點(diǎn) B 的最短路程是 A. 3B. 2+2C. 10D. 4 11. 如圖所示是一棱長(zhǎng)為 3 的正方體，把它分成 333 個(gè)小正方體，每個(gè)小正方體的邊長(zhǎng)都是 1 .如果一只螞蟻從點(diǎn) A 爬到點(diǎn) B ，那么 A，B 間的最短距離 d 滿足 A. 4d5B. 5d6C. 6d4 或 d7 12. 如圖所示，圓柱形玻璃杯的高為 12cm ，底面周長(zhǎng)為 18cm ，在杯內(nèi)離杯底 4cm 的點(diǎn) C 處有一滴蜂蜜，此時(shí)一只螞蟻正好在杯外壁離杯上沿 4cm 與蜂蜜相對(duì)的點(diǎn) A 處，則螞蟻到達(dá)蜂蜜的最短距離為 A. 15cmB. 10cmC. 20cmD. 18cm 13. 如圖，點(diǎn) A 的正方體左側(cè)面的中心，點(diǎn) B 是正方體的一個(gè)頂點(diǎn)，正方體的棱長(zhǎng)為 2，一螞蟻從點(diǎn) A 沿其表面爬到點(diǎn) B 的最短路程是 A. 3B. 2+2C. 10D. 4 14. 我國古代有這樣一道數(shù)學(xué)問題：“枯木一根直立地上，高二丈周三尺，有葛藤自根纏繞而上，五周而達(dá)其頂，問葛藤之長(zhǎng)幾何?”，題意是如圖所示，把枯木看作一個(gè)圓柱體，因一丈是十尺，則該圓柱的高為 20 尺，底面周長(zhǎng)為 3 尺，有葛藤自點(diǎn) A 處纏繞而上，繞五周后其末端恰好到達(dá)點(diǎn) B 處QQ群450116225則問題中葛藤的最短長(zhǎng)度是 尺 15. 如圖，已知圓柱體底面的半徑為 2，高為 2，AB，CD 分別是兩底面的直徑若一只小蟲從 A 點(diǎn)出發(fā)，沿圓柱側(cè)面爬行到 C 點(diǎn)，則小蟲爬行的最短路線長(zhǎng)度是 （結(jié)果保留根號(hào)） 16. 如圖，圓柱形容器高 18cm ，底面周長(zhǎng)為 24cm ， 在杯內(nèi)壁離杯底 4cm 的點(diǎn) B 處有一滴蜂蜜，此時(shí)一只螞蟻正好在杯外壁，離杯上沿 2cm 與蜂蜜相對(duì)的點(diǎn) A 處，則螞蟻從外壁 A 處到達(dá)內(nèi)壁 B 處的最短距離為 cm . 17. 如圖所示的正方體木塊的棱長(zhǎng)為 6cm ，沿其相鄰三個(gè)面的對(duì)角線（圖中虛線）剪掉一角，得到如圖的幾何體，一只螞蟻沿著圖中的幾何體表面從頂點(diǎn) A 爬行到頂點(diǎn) B 的最短距離為 cm .QQ群450116225 18. 如圖，長(zhǎng)方體的底面邊長(zhǎng)分別為 1cm 和 3cm，高為 6cm如果用一根細(xì)線從點(diǎn) A 開始經(jīng)過 4 個(gè)側(cè)面纏繞一圈到達(dá)點(diǎn) B，那么所用細(xì)線最短需要 cm 19. 如圖，長(zhǎng)方體的長(zhǎng)為 15cm，寬為 10cm，高為 20cm，點(diǎn) B 距離 C 點(diǎn) 5cm，一只螞蟻如果要沿著長(zhǎng)方體的表面從點(diǎn) A 爬到點(diǎn) B，螞蟻爬行的最短距離是 cm 20. 我國古代有這樣一道數(shù)學(xué)問題：“枯木一根直立在地上，高二丈，周三尺，有葛藤自根纏繞而上，五周而到其頂，問葛藤之長(zhǎng)幾何?”題意是：如圖，把枯木看做一個(gè)圓柱體，因一丈是十尺，則該圓柱的高是 20 尺，底面周長(zhǎng)為 3 尺，有葛藤自點(diǎn) A 處纏繞而上，繞五周后其末端恰好到達(dá)點(diǎn) B 處，則問題中的葛藤的最短的長(zhǎng)度是 尺 21. 如圖，長(zhǎng)方體的底面邊長(zhǎng)分別為 2cm 和 4cm ，高為 5cm ，若一只螞蟻從 P 點(diǎn)開始經(jīng)過 4 個(gè)側(cè)面爬行一圈到達(dá) Q 點(diǎn)，則螞蟻爬行的最短路徑長(zhǎng)為 cm . 22. 一只螞蟻從長(zhǎng)、寬都是 3，高是 8 的長(zhǎng)方體紙箱的 A 點(diǎn)沿紙箱爬到 B 點(diǎn)，那么它爬行的最短路線的長(zhǎng)是 23. 如圖所示是一段三級(jí)臺(tái)階，它的每一級(jí)的長(zhǎng)、寬和高分別為 20dm，3dm，2dm，A 和 B 是這段臺(tái)階兩個(gè)相對(duì)的端點(diǎn). A 點(diǎn)有一只螞蟻，想到 B 點(diǎn)去吃可口的食物，設(shè)螞蟻沿著臺(tái)階面爬到 B 點(diǎn)的最短路程為 x ，則以 x 為邊長(zhǎng)的正方形的面積為 dm2 .QQ群450116225 24. 如圖，長(zhǎng)方體的底面邊長(zhǎng)分別為 1cm 和 3cm，高為 6cm如果用一根細(xì)線從點(diǎn) A 開始經(jīng)過 4 個(gè)側(cè)面纏繞一圈到達(dá)點(diǎn) B，那么所用細(xì)線最短需要 cm；如果從點(diǎn) A 開始經(jīng)過 4 個(gè)側(cè)面纏繞 n 圈到達(dá)點(diǎn) B，那么所用細(xì)線最短需要 cm 25. 在一個(gè)長(zhǎng)為 2 米，寬為 1 米的矩形草地上，如圖堆放著一根長(zhǎng)方體的木塊，它的棱長(zhǎng)和場(chǎng)地寬 AD 平行且大于 AD，木塊的正視圖是邊長(zhǎng)為 0.2 米的正方形，一只螞蟻從點(diǎn) A 處，到達(dá) C 處需要走的最短路程是 米（精確到 0.01 米） 26. 如圖為一圓柱體工藝品，其底面周長(zhǎng)為 60cm，高為 25cm，從點(diǎn) A 出發(fā)繞該工藝品側(cè)面一周鑲嵌一根裝飾線到點(diǎn) B，則該裝飾線最短長(zhǎng)為 cm 27. 如圖，一個(gè)沒有上蓋的圓柱盒高為 8cm，底面圓的周長(zhǎng)為 24cm，點(diǎn) A 距離下底面 3cm，一只位于圓柱盒外表面點(diǎn) A 處的螞蟻想爬到盒內(nèi)表面對(duì)側(cè)中點(diǎn) B 處吃東西，則螞蟻需爬行的最短路程的長(zhǎng)為 cm 28. 圖 1 所示的正方體木塊棱長(zhǎng)為 6cm，沿其相鄰三個(gè)面的對(duì)角線（圖中虛線）剪掉一角，得到如圖 2 的幾何體，一只螞蟻沿著圖 2 的幾何體表面從頂點(diǎn) A 爬行到頂點(diǎn) B 的最短距離為 cm 29. 一只螞蟻沿棱長(zhǎng)為 2 的正方體表面從頂點(diǎn) A 爬到頂點(diǎn) B，則它走過的最短路程為 30. 如圖，圓錐的主視圖是等邊三角形，圓錐的底面半徑為 2cm，假若點(diǎn) B 有一螞蟻只能沿圓錐的表面爬行，它要想吃到母線 AC 的中點(diǎn) P 處的食物，那么它爬行的最短路程是 cm 31. 如圖，圓錐的母線長(zhǎng)是 3，底面半徑是 1，A 是底面圓周上一點(diǎn)，從 A 點(diǎn)出發(fā)繞側(cè)面一周，再回到 A 點(diǎn)的最短的路線長(zhǎng)是 QQ群450116225 32. 如圖，一個(gè)正方體木柜放在墻角處（與墻面和地面均沒有縫隙），有一只螞蟻從柜角 A 處沿著木柜表面爬到柜角 C1 處（1）請(qǐng)你在正方體木柜的表面展開圖中畫出螞蟻能夠最快達(dá)到目的地的可能路徑；（2）當(dāng)正方體木柜的棱長(zhǎng)為 4 時(shí)，求螞蟻爬過的最短路徑的長(zhǎng) 33. 葛藤是一種植物，它自己腰桿不硬，為了爭(zhēng)奪雨露陽光，常常繞著樹干盤旋而上，它還有一個(gè)絕招，就是它繞樹盤升的路線，總是沿最短路線螺旋前進(jìn)的（1）如果樹的周長(zhǎng)為 3m，繞一圈升高 4m，則它爬行路程是多少?（2）如果樹的周長(zhǎng)為 8m，繞一圈爬行 10m，則爬行一圈升高多少 m?如果爬行 10 圈到達(dá)樹頂，則樹干多高? 34. 如圖所示，長(zhǎng)方體的長(zhǎng)為 15cm，寬為 10cm，高為 20cm，點(diǎn) B 與點(diǎn) C 之間相距 5cm，一只螞蟻如果要沿著長(zhǎng)方體的表面從點(diǎn) A 爬到點(diǎn) B，需要爬行的最短距離是多少? 35. 圖，圖為同一長(zhǎng)方體房間的示意圖，圖為該長(zhǎng)方體的表面展開圖（1）已知蜘蛛在頂點(diǎn) A 處；蒼蠅在頂點(diǎn) B 處時(shí)，試在圖中畫出蜘蛛為捉住蒼蠅，沿墻面爬行的最近路線；蒼蠅在頂點(diǎn) C 處時(shí)，圖中畫出了蜘蛛捉住蒼蠅的兩條路線，往天花板 ABCD 爬行的最近路線 AGC 和往墻面 BBCC 爬行的最近路線 AHC，試通過計(jì)算判斷哪條路線更近；（2）在圖中，半徑為 10dm 的 M 與 DC 相切，圓心 M 到邊 CC 的距離為 15dm，蜘蛛 P 在線段 AB 上，蒼蠅 Q 在 M 的圓周上，線段 PQ 為蜘蛛爬行路線若 PQ 與 M 相切，試求 PQ 的長(zhǎng)度的范圍QQ群450116225 36. 如圖，直四棱柱側(cè)棱長(zhǎng)為 4cm，底面是長(zhǎng)為 5cm，寬為 3cm 的長(zhǎng)方形一只螞蟻從頂點(diǎn) A 出發(fā)沿棱柱的表面爬到頂點(diǎn) B求：（1）螞蟻經(jīng)過的最短路程；（2）螞蟻沿著棱爬行（不能重復(fù)爬行同一條棱）的最長(zhǎng)路程 37. 如圖，觀察圖形解答下面的問題：（1）此圖形的名稱為 （2）請(qǐng)你與同伴一起做一個(gè)這樣的物體，并把它沿 AS 剪開，鋪在桌面上，則它的側(cè)面展開圖是一個(gè) （3）如果點(diǎn) C 是 SA 的中點(diǎn)，在 A 處有一只蝸牛，在 C 處恰好有蝸牛想吃的食品，但它又不能直接沿 AC 爬到 C 處，只能沿此立體圖形的表面爬行你能在側(cè)面展開圖中畫出蝸牛爬行的最短路線嗎?（4）SA 的長(zhǎng)為 10，側(cè)面展開圖的圓心角為 90，請(qǐng)你求出蝸牛爬行的最短路程 38. 如圖，一只蟲子從圓柱上點(diǎn) A 處繞圓柱爬一圈到點(diǎn) B 處，圓柱的高為 6cm，圓柱底面圓的周長(zhǎng)為 8cm，求蟲子爬行的最短路程 39. 如圖，一個(gè)長(zhǎng)方體形的木柜放在墻角處（與墻面和地面均沒有縫隙），有一只螞蟻從柜角 A 處沿著木柜表面爬到柜角 C1 處.（1）請(qǐng)你畫出螞蟻能夠最快到達(dá)目的地的可能路徑；（2）當(dāng) AB=4，BC=4，CC1=5 時(shí)，求螞蟻爬過的最短路徑的長(zhǎng)； 40. 如圖一個(gè)長(zhǎng)方體形的木柜放在墻角處（與墻面和地面均沒有縫隙），有一只螞蟻從柜角A處沿著木柜表面爬到柜角 C1 處當(dāng) AB4，BC4，CC15 時(shí)，求螞蟻爬過的最短路徑的長(zhǎng) 41. 一只螞蟻從長(zhǎng)、寬都是 30cm，高是 80cm 的長(zhǎng)方體紙箱的 A 點(diǎn)沿紙箱爬到 B 點(diǎn)，如圖，求它爬行的最短路線的長(zhǎng) 42. 如圖所示是一段樓梯，已知 AC=5m，CD=7m ，樓梯寬 BD=5m .一只螞蟻要從 A 點(diǎn)爬到 B 點(diǎn)，求螞蟻爬行的最短路程.QQ群450116225 43. 如圖，一個(gè)長(zhǎng)方體木柜放在墻角處（與墻面和地面均沒有縫隙），有一只螞蟻從柜角A處沿著木柜表面爬到柜角 C1 處（1）請(qǐng)你畫出螞蟻能夠最快到達(dá)目的地的可能路徑（2）當(dāng) AB=4，BC=4，CC1=5 時(shí)，求螞蟻爬過的最短路徑的長(zhǎng)（3）求點(diǎn) B1 到最短路徑的距離 44. 已知圓錐的底面半徑為 r=20cm，高 h=2015cm，現(xiàn)在有一只螞蟻從底邊上一點(diǎn) A 出發(fā)在側(cè)面上爬行一周又回到 A 點(diǎn)，求螞蟻爬行的最短距離 45. 如圖 1，是一個(gè)長(zhǎng)方體盒子，長(zhǎng) AB=4，寬 BC=2，高 CG=1（1）一只螞蟻從盒子下底面的點(diǎn) A 沿盒子表面爬到點(diǎn) G，求它所行走的最短路線的長(zhǎng)（2）這個(gè)長(zhǎng)方體盒子內(nèi)能容下的最長(zhǎng)木棒的長(zhǎng)度為多少? 46. 圖1、圖2為同一長(zhǎng)方體房間的示意圖，圖 3為該長(zhǎng)方體的表面展開圖（1）蜘蛛在頂點(diǎn) A 處蒼蠅在頂點(diǎn) B 處時(shí)，試在圖1中畫出蜘蛛為捉住蒼蠅，沿墻面爬行的最近路線蒼蠅在頂點(diǎn) C 處時(shí)，圖2中畫出了蜘蛛捉住蒼蠅的兩條路線，往天花板 ABCD 爬行的最近路線 AGC 和往墻面 BBCC 爬行的最近路線 AHC，試通過計(jì)算判斷哪條路線更近（2）在圖中，半徑為 10dm 的 M 與 DC 相切，圓心 M 到邊 CC 的距離為 15dm，蜘蛛 P 在線段 AB 上，蒼蠅 Q 在 M 的圓周上，線段 PQ 為蜘蛛爬行路線，若 PQ 與 M 相切，試求 PQ 長(zhǎng)度的范圍 47. 如圖，長(zhǎng)方體 ABCD-ABCD 中，AB=BB=2，AD=3，一只螞蟻從 A 點(diǎn)出發(fā)，沿長(zhǎng)方體表面爬到 C 點(diǎn)，求螞蟻怎樣走最短，最短路程是多少? 48. 如圖，平行四邊形 ABCD 中，AB=2，AD=1，ADC=60，將平行四邊形 ABCD 沿過點(diǎn) A 的直線 l 折疊，使點(diǎn) D 落到 AB 邊上的點(diǎn) D 處，折痕交 CD 邊于點(diǎn) E（1）求證：四邊形 BCED 是菱形；（2）若點(diǎn) P 時(shí)直線 l 上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，請(qǐng)計(jì)算 PD+PB 的最小值 49. 實(shí)踐操作在矩形 ABCD 中，AB=8，AD=6，現(xiàn)將紙片折疊，點(diǎn) D 的對(duì)應(yīng)點(diǎn)記為點(diǎn) P，折痕為 EF（點(diǎn) E，F(xiàn) 是折痕與矩形的邊的交點(diǎn)），再將紙片還原QQ群450116225（1）初步思考若點(diǎn) P 落在矩形 ABCD 的邊 AB 上（如圖）當(dāng)點(diǎn) P 與點(diǎn) A 重合時(shí)，DEF= ，當(dāng)點(diǎn) E 與點(diǎn) A 重合時(shí)，DEF= ；當(dāng)點(diǎn) E 在 AB 上，點(diǎn) F 在 DC 上時(shí)（如圖），求證：四邊形 DEPF 為菱形，并直接寫出當(dāng) AP=7 時(shí)菱形 EPFD 的邊長(zhǎng)（2）深入探究若點(diǎn) P 落在矩形 ABCD 的內(nèi)部（如圖），且點(diǎn) E，F(xiàn) 分別在 AD，DC 邊上，請(qǐng)直接寫出 AP 的最小值（3）拓展延伸若點(diǎn) F 與點(diǎn) C 重合，點(diǎn) E 在 AD 上，射線 BA 與射線 FP 交于點(diǎn) M（如圖）在各種不同的折疊位置中，是否存在某一種情況，使得線段 AM 與線段 DE 的長(zhǎng)度相等?若存在，請(qǐng)直接寫出線段 AE 的長(zhǎng)度；若不存在，請(qǐng)說明理由答案1. B2. C【解析】將臺(tái)階面展開，連接 AB，如圖，線段 AB 即為壁虎所爬的最短路線因?yàn)?BC=303+103=120cm，AC=50cm，在 RtABC 中，根據(jù)勾股定理，得 AB2=AC2+BC2=16900，所以 AB=130cm所以壁虎至少爬行 130cm3. C【解析】4. B5. D6. A【解析】AG=AC2+CG2=82+62=10 . 7. B8. B9. B10. C11. B12. A13. C【解析】將正方體的左側(cè)面與前面展開，構(gòu)成一個(gè)長(zhǎng)方形，用勾股定理求出距離即可如圖，AB=1+22+12=1014. 2515. 22【解析】將圓柱的側(cè)面沿 AD 剪開并鋪平得長(zhǎng)方形 AADD，連接 AC，如圖線段 AC 就是小蟲爬行的最短路線根據(jù)題意得 AB=2212=2在 RtABC 中，由勾股定理，得， AC2=AB2+BC2=22+22=8所以 AC=8=2216. 2017. 32+3618. 1019. 25【解析】只要把長(zhǎng)方體的右側(cè)表面剪開與前面這個(gè)側(cè)面所在的平面形成一個(gè)長(zhǎng)方形，如圖 1： 長(zhǎng)方體的寬為 10，高為 20，點(diǎn) B 離點(diǎn) C 的距離是 5， BD=CD+BC=10+5=15，AD=20，在直角三角形 ABD 中，根據(jù)勾股定理得： AB=BD2+AD2=152+202=25；只要把長(zhǎng)方體的右側(cè)表面剪開與上面這個(gè)側(cè)面所在的平面形成一個(gè)長(zhǎng)方形，如圖 2： 長(zhǎng)方體的寬為 10，高為 20，點(diǎn) B 離點(diǎn) C 的距離是 5， BD=CD+BC=20+5=25，AD=10，在直角三角形 ABD 中，根據(jù)勾股定理得： AB=BD2+AD2=102+252=529；只要把長(zhǎng)方體的上表面剪開與后面這個(gè)側(cè)面所在的平面形成一個(gè)長(zhǎng)方形，如圖 3： 長(zhǎng)方體的寬為 10，高為 20，點(diǎn) B 離點(diǎn) C 的距離是 5， AC=CD+AD=20+10=30，在直角三角形 ABC 中，根據(jù)勾股定理得： AB=AC2+BC2=302+52=537； 255295200， 路線 AGC1 更近（2） 如圖中，連接 MP， PQ 為 M 的切線，點(diǎn) Q 為切點(diǎn)， MQPQ 在 RtPQM 中，有 PQ2=PM2-QM2=PM2-100，當(dāng) MPAB 時(shí)，MP 最短，PQ 取得最小值，此時(shí) MP=30+20=50， PQ=PM2-QM2=502-102=206dm當(dāng)點(diǎn) P 與點(diǎn) A 重合時(shí)，MP 最長(zhǎng)，PQ 取得最大值，如圖，過點(diǎn) M 作 MNAB，垂足為 N， 由題意可得 PN=25，MN=50， 在 RtPMN 中，PM2=AN2+MN2=252+502 在 RtPQM 中，PQ=PM2-QM2=252+502-102=55dm綜上所示，PQ 長(zhǎng)度的取值范圍是 206dmPQ55dm36. （1） 若螞蟻沿側(cè)面爬行，則經(jīng)過的路程為 5+32+42=80cm；若螞蟻沿側(cè)面和底面爬行，則經(jīng)過的路程為 4+32+52=74cm 或 4+52+33=90cm所以螞蟻經(jīng)過的最短路程是 74cm（2） 螞蟻爬過的棱長(zhǎng)依次為 5cm，4cm，5cm，4cm，3cm，4cm，5cm 時(shí)，其路程為最長(zhǎng)，最長(zhǎng)路程是 30cm37. （1） 圓錐（2） 扇形（3） 把此立體圖形的側(cè)面展開，如圖所示， AC 為蝸牛爬行的最短路線（4） 在 RtASC 中，由勾股定理，得 AC2=102+52=125，所以 AC=125=55故蝸牛爬行的最短路程為 5538. 如圖，是圓柱的展開圖，連接 AB由題意可知蟲子爬行的最短路徑為 AB . 此時(shí) AB=62+82=10cm答：蟲子爬行的最短路程為 10cm39. （1） 如圖，木柜的表面展開圖是兩個(gè)矩形 ABC1D1 和 ACC1A1 .故螞蟻能夠最快到達(dá)目的地的可能路徑為圖中的 AC1 和 AC1 .（2） 螞蟻沿著木柜表面經(jīng)線段 A1B1 到 C1 ，爬過的最短路徑的長(zhǎng)是 l1=42+4+52=97 .螞蟻沿著木柜表面經(jīng)線段 BB1 到 C1 ，爬過的最短路徑的長(zhǎng)是 l2=4+42+52=89 .因?yàn)?l1l2 ，所以螞蟻爬過的最短路徑的長(zhǎng)為 89 .40. 如圖所示，木柜的部分表面展開圖示兩個(gè)矩形 ABC1D1 或矩形 ACC1A1螞蟻能夠最快到達(dá)目的地的可能路徑是如圖的 AC1 或 AC1若爬過的路徑的長(zhǎng)是 AC1，則 AC1=4+52+42=97 ；若爬過的路徑的長(zhǎng)是 AC1，則 AC1=4+42+52=89 . AC1AC1， 最短路徑的長(zhǎng)是 AC1=8941. 螞蟻實(shí)際上是在長(zhǎng)方體的半個(gè)側(cè)面內(nèi)爬行，如果將這半個(gè)側(cè)面展開（如圖所示），得到矩形 ACBD .根據(jù)“兩點(diǎn)之間，線段最短”，所求的最短路程就是半個(gè)側(cè)面展開圖矩形對(duì)角線 AB 之長(zhǎng)在 RtABC 中， AC= 底面邊長(zhǎng) 2=60cm， AB=AC2+BC2=602+802=100cm答：最短路程約為 100cm42. 如圖 AB=AD2+BD2=13m ；如圖、如圖 AB=102+72=149m . 螞蟻爬行的最短路程為 149m .43. （1） 木柜的部分表面展開圖如圖：螞蟻能夠最快到達(dá)目的地的可能路徑有 AC1 和 AC1（2） 螞蟻沿著木柜表面經(jīng)線段 A1B1 到 C1，爬過的路徑長(zhǎng)為 l1=42+4+52=97螞蟻沿著木柜表面經(jīng)線段 BB1 到 C1，爬過的路徑長(zhǎng)為 l2=4+42+52=89 l1l2， 最短路徑為 89（3） 過點(diǎn) B1 作 B1EAC1 于點(diǎn) E，連接 AB1，則 B1E=B1C1AA1AC1=4589=208989 點(diǎn) B1 到最短路徑的長(zhǎng)為 20898944. 設(shè)扇形的圓心角為 n，圓錐的頂點(diǎn)為 E， r=20cm，h=2015cm 由勾股定理可得母線 l=r2+h2=80cm，而圓錐側(cè)面展開后的扇形的弧長(zhǎng)為 220=n80180， n=90即 EAA 是等腰直角三角形， 由勾股定理得：AA=AE2+AE2=802cm答：螞蟻爬行的最短距離為 802cm45. （1） 螞蟻從點(diǎn) A 爬到點(diǎn) G 有三種可能，展開成平面圖形如圖 2 所示，由勾股定理計(jì)算出 AG2 的值分別為 37，25，29，比較后得 AG2 最小為 25，即最短路線的長(zhǎng)是 5（2） 如圖 3， AG2=AC2+CG2=AB2+BC2+CG2=42+22+12=21. AG=21，即能容下的最長(zhǎng)木棒的長(zhǎng)度為 2146. （1） 如圖所示線段 AB 為最近路線.將長(zhǎng)方體展開，使得長(zhǎng)方形 ABBA 和長(zhǎng)方形 ABCD 在同一平面內(nèi)，如圖. 在 RtABC 中，B=90，AB=40，BC=60， AC=402+602=5200=2013將長(zhǎng)方體展開，使得長(zhǎng)方形 ABBA 和長(zhǎng)方形 BCCB 在同一平面內(nèi)，如圖.在 RtACC 中，C90，AC70，CC30， AC70230258001058 . 52005800， 往天花板 ABCD 爬行的最近路線 AGC 更近.（2） 過點(diǎn) M 作 MHAB 于 H，連接 MQ，MP，MA，MB . 半徑為 10 的 M 與 DC 相切，圓心 M 到邊 CC 的距離為 15，BC=60， MH=60-10=50，HB=15，AH=40-15=25 .根據(jù)勾股定理可得 AM=AH2+MH2=252+502=3125， MB=BH2+MH2=152+502=2725， 50MP3125 M 與 PQ 相切于點(diǎn) Q ， MQPQ，MQP=90 . PQ=MP2-MQ2=MP2-100當(dāng) MP=50 時(shí)，PQ=2400=206；當(dāng) MP=3125 時(shí)，PQ=3025=55 PQ 長(zhǎng)度的范圍是 206dmPQ55dm47. 如圖1所示：由題意得：AD=3，DC=2+2=4，在 RtADC 中，由勾股定理得 AC=AD2+DC2=32+42=5，如圖2所示：由題意得：AC=5，CC=2，在 RtACC 中，由勾股定理得：AC=AC2+CC2=52+22=29， 295 第一種方法螞蟻爬行的路程最短，最短路程是 548. （1） 將平行四邊形 ABCD 沿過點(diǎn) A 的直線 l 折疊，使點(diǎn) D 落到 AB 邊上的點(diǎn) D 處， DEA=DAE，DAE=DAE，AD=AD=1 . DEAD， DEA=EAD . DAE=EAD=DEA=DEA . AD=DE=AD=ED=1 . 四邊形 DADE 是菱形. AB=2，AD=1， CE=BD=ED=CB=1 . 四邊形 DADE 是菱形.（2） 四邊形 DADE 是菱形， D 與 D 關(guān)于 AE 對(duì)稱，連接 BD 交 AE 于 P，則 BD 的長(zhǎng)即為 PD+PB 的最小值，過點(diǎn) D 作 DGBA 于 G . CDAB， DAG=CDA=60， AD=1， AG=12，DG=32 . BG=52 . BD=DG2+BG2=7 . PD+PB 的最小值為 749. （1） 90；45 翻折的性質(zhì)， DF=FP，DFE=PFE， 四邊形 ABCD 是矩形， DCAB， DFE=FEP， FEP=EFP， PF=EP， DF=EP， DFEP， 四邊形 DEPF 是平行四邊形， DF=FP， 平行四邊形 DFPE 是菱形，當(dāng) AP=7 時(shí)，菱形邊長(zhǎng)為 8514，（2） AP=2（3） 存在，AE=65最短路徑問題專題練習(xí)1. 如圖，長(zhǎng)方體 ABCD-A1B1C1D1 中，AB=3，BC=2，BB1=1，一螞蟻從 A 點(diǎn)出發(fā)，沿長(zhǎng)方體表面爬到 C1 點(diǎn)處覓食，則螞蟻所行路程的最小值為 A. 14B. 32C. 25D. 26 2. 如圖是一個(gè)三級(jí)臺(tái)階，它的每一級(jí)的長(zhǎng)、寬和高分別是 50cm，30cm，10cm，A 和 B 是這個(gè)臺(tái)階的兩個(gè)相對(duì)的端點(diǎn)，A 點(diǎn)有一只壁虎，它想到 B 點(diǎn)去吃可口的食物，請(qǐng)你想一想，這只壁虎從 A 點(diǎn)出發(fā)，沿著臺(tái)階面爬到 B 點(diǎn)，至少需爬 A. 13cmB. 40cmC. 130cmD. 169cm 3. 如圖，6 個(gè)邊長(zhǎng)為 1 的小正方形及其部分對(duì)角線所構(gòu)成的圖形中，如果從 A 點(diǎn)到 B 點(diǎn)只能沿圖中的線段走，那么從 A 點(diǎn)到 B 點(diǎn)的最短距離的走法共有 A. 1 種B. 2 種C. 3 種D. 4 種 4. 如圖所示，圓柱的底面周長(zhǎng)為 6cm，AC 是底面圓的直徑，高 BC=6cm，點(diǎn) P 是母線 BC 上一點(diǎn)且 PC=23BC一只螞蟻從點(diǎn) A 出發(fā)沿著圓柱體的表面爬行到點(diǎn) P 的最短距離是 A. 4+6cmB. 5cmC. 35cmD. 7cm正方形專題練習(xí)1、小明在學(xué)習(xí)了正方形之后，給同桌小文出了一道題，從下列四個(gè)條件： AB=BC； ABC=90； AC=BD； ACBD 中選出兩個(gè)作為補(bǔ)充條件，使平行四邊形 ABCD 為正方形（如圖）現(xiàn)有下列四種選法，你認(rèn)為其中錯(cuò)誤的是 A. B. C. D. 2、，大正方形中有 2 個(gè)小正方形，如果它們的面積分別是 S1，S2，那么 S1，S2 的大小關(guān)系是 A. S1S2B. S1=S2C. S1S2D. S1，S2 的大小關(guān)系不確定 3、如圖，在正方形 ABCD 和正方形 DEFG 中，點(diǎn) G 在 CD 上