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工程流體力學(xué) 流體力學(xué)與熱力學(xué)教研室 第1章緒論 目錄 第2章流體靜力學(xué) 第3章流體動(dòng)力學(xué)原理 第4章管流損失和水力計(jì)算 第5章氣體的一維定常流動(dòng) 返回目錄 人類對(duì)流體力學(xué)的認(rèn)識(shí)最早從治水 灌溉 航行等方面開始 中國(guó)古代提水灌溉所用風(fēng)車 大禹治水 都江堰 李冰 302 235BC 發(fā)現(xiàn)了物體在流體中所受浮力的基本原理 阿基米德原理 Archimedes 285 212BC 歐美諸國(guó)歷史上有記載的最早從事流體力學(xué)現(xiàn)象研究的是古希臘學(xué)者阿基米德 LeonardodaVinci 1452 1519 系統(tǒng)地研究了物體的沉浮 孔口出流 物體的運(yùn)動(dòng)阻力以及管道 明渠中水流等問題 文藝復(fù)興時(shí)期 14世紀(jì)到16世紀(jì) 之后 流體力學(xué)得到長(zhǎng)足發(fā)展 Galileo 1564 1642 在流體靜力學(xué)中應(yīng)用了虛位移原理 并首先提出運(yùn)動(dòng)物體的阻力隨著介質(zhì)密度的增大和速度的提高而增大 提出了密閉流體能傳遞壓強(qiáng)的原理 帕斯卡原理 B Pascal 1623 1662 I Newton 1642 1727 建立了牛頓內(nèi)摩擦定律 為粘性流體力學(xué)初步奠定了理論基礎(chǔ) 并討論了波浪運(yùn)動(dòng)等問題 D Bernoulli 1700 1782 建立了流體位勢(shì)能 壓強(qiáng)使能和動(dòng)能之間的能量轉(zhuǎn)換關(guān)系 伯努利方程 從18世紀(jì)中葉工業(yè)革命開始 流體力學(xué)的研究逐漸沿著理論流體力學(xué)和應(yīng)用流體力學(xué)兩個(gè)方向發(fā)展 經(jīng)典流體力學(xué)的奠基人 渦輪機(jī)理論的奠基人 提出連續(xù)介質(zhì)模型建立連續(xù)性微分方程建立理想流體的運(yùn)動(dòng)微分方程提出研究流體運(yùn)動(dòng)的兩種方法提出速度勢(shì)概念 L Euler 1707 1783 J leR d Alembert 1717 1783 1744年提出了達(dá)朗貝爾佯謬 即在理想流體中運(yùn)動(dòng)的物理既沒有升力也沒有阻力 提出了新的流體動(dòng)力學(xué)微分方程 使流體動(dòng)力學(xué)的解析方法有了進(jìn)一步發(fā)展 J L Lagrange 1736 1813 C L M H Navier 1785 1836 G G Stokes 1819 1905 19世紀(jì)末開始 針對(duì)復(fù)雜的流體力學(xué)問題 理論分析和實(shí)驗(yàn)研究逐漸密切結(jié)合起來 1883年用實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證了粘性流體的兩種流動(dòng)狀態(tài) 層流和紊流的客觀存在 找到了實(shí)驗(yàn)研究粘性流體運(yùn)動(dòng)規(guī)律的相似準(zhǔn)則 雷諾數(shù) 以及判別層流和紊流的臨界雷諾數(shù) O Reynolds 1842 1912 L Prandtl 1875 1953 建立邊界層理論 解釋了阻力產(chǎn)生的機(jī)制針對(duì)紊流邊界層 提出混合長(zhǎng)度理論 儒科夫斯基H E 1847 1921 找到了翼型升力和繞翼型的環(huán)流之間的關(guān)系 建立了二維升力理論的數(shù)學(xué)基礎(chǔ) 為近代高效能飛機(jī)設(shè)計(jì)奠定了基礎(chǔ) 提出了分析帶旋渦尾流及其所產(chǎn)生的阻力的理論 卡門渦街提出了計(jì)算紊流粗糙管阻力系數(shù)的理論公式 T vonKarman 1881 1963 主要從事物理學(xué)的基礎(chǔ)理論中難度最大的兩個(gè)方面 即愛因斯坦廣義相對(duì)論引力論和流體力學(xué)中的湍流理論的研究與教學(xué)并取得出色成果 在動(dòng)力 制導(dǎo) 氣動(dòng)力 結(jié)構(gòu) 材料 計(jì)算機(jī) 質(zhì)量控制和科技管理等領(lǐng)域具有豐富知識(shí) 為中國(guó)火箭導(dǎo)彈和航天事業(yè)的創(chuàng)建與發(fā)展作出了杰出的貢獻(xiàn) 周培源 1902 1993 錢學(xué)森 1911 流體的特征 流體只能承受壓力 不能承受拉力 在即使是很小剪切力的作用下也將流動(dòng) 變形 不止 直到剪切力消失為止 只有在運(yùn)動(dòng)狀體下才能承受剪切力的作用 沒有固定的形狀 液體的形狀取決于盛裝它的容器 氣體則完全充滿容器 流體具有可壓縮性 液體可壓縮性小 水受壓從1個(gè)大氣壓增加至100個(gè)大氣壓時(shí) 體積僅減小0 5 氣體可壓縮性大 流體具有明顯的流動(dòng)性 固體 液體 氣體的區(qū)別 5 流體力學(xué)的研究方法 理論分析 實(shí)驗(yàn)研究和數(shù)值計(jì)算相結(jié)合 三個(gè)方面是互相補(bǔ)充和驗(yàn)證 但又不能互相取代的關(guān)系 卡門渦街 實(shí)驗(yàn)研究 PIV 數(shù)值計(jì)算 6 流體力學(xué)在工程中的應(yīng)用 航空航天 水利 采礦通風(fēng) 交通土建 石油化工 機(jī)械冶金 環(huán)境 氣象 生物 1 問題的提出 從微觀上看 由于構(gòu)成流體的無數(shù)分子之間存在間隙 流體不連續(xù) 從宏觀上看 流體力學(xué)并不研究流體的微觀分子運(yùn)動(dòng) 而只研究流體的宏觀機(jī)械運(yùn)動(dòng) 當(dāng)所討論問題的特征尺寸遠(yuǎn)大于流體的分子平均自由程時(shí) 可將流體視為在時(shí)間和空間連續(xù)分布的函數(shù) 2 流體質(zhì)點(diǎn) 是研究流體的機(jī)械運(yùn)動(dòng)中所取的最小流體微元是體積無限小而又包含大量分子的流體微團(tuán)從宏觀看 和流動(dòng)所涉及的物體的特征長(zhǎng)度相比 該微團(tuán)的尺度充分小 在數(shù)學(xué)上可以作為一個(gè)點(diǎn)來處理從微觀看 和分子的平均自由行程相比 該微團(tuán)的尺度又充分的大 包含有足夠多的分子 使得這些分子的共同物理屬性的統(tǒng)計(jì)平均值有意義 3 連續(xù)介質(zhì)模型 不必去研究流體的微觀分子運(yùn)動(dòng) 而只研究描述流體運(yùn)動(dòng)的宏觀物理屬性 如密度 壓強(qiáng) 速度 溫度 粘度 熱力學(xué)能等 不考慮分子間存在的間隙 而把流體視為由無數(shù)連續(xù)分布的流體微團(tuán)組成的連續(xù)介質(zhì) 按照連續(xù)介質(zhì)模型 流體的密度 壓強(qiáng) 速度 溫度等物理量一般在時(shí)間和空間上都是連續(xù)分布 是空間坐標(biāo)和時(shí)間的單值連續(xù)可微函數(shù) 這樣可以用解析函數(shù)的諸多數(shù)學(xué)工具去研究流體的平衡和運(yùn)動(dòng)規(guī)律 為流體力學(xué)的研究提供了很大的方便 例外情況 超聲速氣流中出現(xiàn)激波在空氣非常稀薄的高空中運(yùn)動(dòng)的飛行器 解析函數(shù)不適用 分子的平均自由行程和飛行器的特征尺寸相比擬 均質(zhì)流體 式中 m為流體的質(zhì)量 V為流體的體積 非均質(zhì)流體 式中 V為在空間某點(diǎn)取的流體體積 流體的質(zhì)量為 m 4 水的密度 1000kg m30 水銀的密度 13600kg m30 空氣的密度 1 29kg m3 常用流體的密度值 3 流體的壓縮性 流體在一定溫度下 壓強(qiáng)增高 體積縮小 體積壓縮率 在一定溫度下單位壓強(qiáng)增量引起的體積變化率 單位Pa 1 為了保證壓縮率為正 故加上負(fù)號(hào) 可見 對(duì)于同樣的壓強(qiáng)增量 值大的流體體積變化率大 容易壓縮 值小的流體體積變化率小 不容易壓縮 式中 p為壓強(qiáng)增量 V為體積的變化量 體積彈性模量 為壓縮率的倒數(shù) 單位為Pa 可見 K值大的流體壓縮性小 K值小的流體壓縮性大 4 流體的膨脹性 溫度升高 體積膨脹 體脹系數(shù) 在一定壓強(qiáng)下單位溫升引起的體積變化率 單位1 k或1 C 式中 T為溫度的增量 通常情況下 水和其它液體可視為不可壓縮流體 而將氣體視為密度可變的可壓縮流體特例 水下爆炸 水擊 熱水采暖需考慮水的壓縮性和膨脹性 當(dāng)氣體流速比聲速小很多時(shí) 也可視為不可壓縮流體 流體的壓縮性和膨脹性 5 流體的粘性 牛頓粘性應(yīng)力公式 牛頓發(fā)現(xiàn) 并且F與流體的種類有關(guān) 即 式中 為流體的動(dòng)力粘度 與流體的種類 溫度 壓強(qiáng)有關(guān) 在一定的溫度壓強(qiáng)下為常數(shù) 單位Pa S U h為速度梯度 表示在速度的垂直方向上單位長(zhǎng)度的速度增量 單位S 1 A為兩平板的接觸面積 切向應(yīng)力是指流層間單位面積上的內(nèi)摩擦力 即 當(dāng)流動(dòng)為二維非線性速度分布時(shí) 牛頓粘性應(yīng)力公式可表示為 各流層間的切向應(yīng)力和速度梯度成正比 流體流動(dòng)的速度梯度與流體微團(tuán)的角變形速度的關(guān)系為 牛頓粘性應(yīng)力公式用流體微團(tuán)的角變形速度可表示為 各流層間的切向應(yīng)力和流體微團(tuán)的角變形速度成正比 在流體力學(xué)中還常遇到動(dòng)力粘度與密度的比值 即運(yùn)動(dòng)粘度 單位為m2 s 流體粘性的形成因素 通常情況下形成流體粘性的因素有兩個(gè)方面 一是流體分子間的引力在流體微團(tuán)相對(duì)運(yùn)動(dòng)時(shí)形成的粘性 二是流體分子的熱運(yùn)動(dòng)在不同流速流層間的動(dòng)量交換所形成的粘性 當(dāng)溫度升高時(shí) 氣體的粘性增大 液體的粘性減小 對(duì)于氣體 形成粘性的主要因素是分子的熱運(yùn)動(dòng) 對(duì)于液體 形成粘性的主要因素是分子間的引力 例題1 如圖所示 轉(zhuǎn)軸直徑d 0 36m 軸承長(zhǎng)度l 1m 軸與軸承之間的間隙 0 2mm 其中充滿動(dòng)力粘度 0 72Pa s的油 如果軸的轉(zhuǎn)速n 200r min 求克服油的粘性阻力所消耗的功率 解 油層與軸承接觸面上的速度為零 與接觸面上的速度等于軸面上的線速度 軸表面上的切向力為 克服摩擦所消耗的功率為 例題2 如圖所示 上下兩平行圓盤的直徑為d 兩盤之間的間隙為 間隙中流體的動(dòng)力粘度為 若下盤不動(dòng) 上盤以角速度 旋轉(zhuǎn) 不記空氣的摩擦力 求所需力矩M的表達(dá)式 解 假設(shè)兩盤之間流體的速度為直線分布 上盤半徑r處的切向應(yīng)力為 所需力矩為 6 理想流體 沒有粘性的流體 即 0 理想流體是假想的流體模型 客觀上并不存在 實(shí)際流體都是有粘性的 可以把實(shí)際流體看成理想流體的情況 實(shí)際流體的粘性顯現(xiàn)不出來 如靜止的流體 等速直線運(yùn)動(dòng)的流體等粘性不起主導(dǎo)作用 采用理想流體假設(shè)可以大大簡(jiǎn)化理論分析過程 7 牛頓流體和非牛頓流體 牛頓流體 切向應(yīng)力和流體的速度梯度成正比的流體 即滿足牛頓粘性應(yīng)力公式的流體 非牛頓流體 不滿足牛頓粘性應(yīng)力公式的流體 其一般表示式為 式中 為流體的表觀粘度 k為常數(shù) n為指數(shù) A 理想流體 如水和空氣B 理想塑性體 如牙膏C 擬塑性體 如粘土漿和紙漿D 脹流型流體 如面糊 為了研究流場(chǎng)中流體平衡和運(yùn)動(dòng)的規(guī)律 必須分析作用在流體上的力 作用在流體上的力按其性質(zhì) 作用方式 的不同 可分為 表面力 流體分離體以外的物體作用在分離體上的力質(zhì)量力 某種力場(chǎng)作用在全部質(zhì)點(diǎn)上的力 1 表面力 作用在分離體表面上的表面應(yīng)力為 法向應(yīng)力和切向應(yīng)力分別為 pn與n的方位不一致 其大小和點(diǎn)的坐標(biāo) 時(shí)間以及作用面的方位有關(guān) 即 pn f x y z n t 2 質(zhì)量力 常見的質(zhì)量力有 單位質(zhì)量力 某種力場(chǎng)作用在單位質(zhì)量流體上的質(zhì)量力 注意 慣性力是根據(jù)達(dá)朗貝爾原理虛加在做加速運(yùn)動(dòng)物理上的力 重力慣性力 對(duì)于如圖所示豎直向下做加速運(yùn)動(dòng)的容器 單位質(zhì)量力三個(gè)坐標(biāo)軸方向的質(zhì)量力分布為 返回目錄 研究流體平衡的條件及壓強(qiáng)分布規(guī)律研究流體與固體間的相互作用及其工程應(yīng)用 靜止或平衡狀態(tài) 相對(duì)靜止或相對(duì)平衡平衡狀態(tài) 流體相對(duì)于地球沒有運(yùn)動(dòng) 流體相對(duì)于非慣性坐標(biāo)系沒有運(yùn)動(dòng) 流體靜力學(xué)研究的是流體平衡的規(guī)律 在研究流體平衡時(shí) 通常將地球選作慣性坐標(biāo)系 1 流體靜壓強(qiáng) 當(dāng)流體處于靜止或相對(duì)靜止?fàn)顟B(tài)時(shí) 作用在流體上的力只有法向應(yīng)力 沒有切向應(yīng)力 此時(shí)的法向應(yīng)力就是演作用面內(nèi)法線方向的靜壓強(qiáng) 用符號(hào)p表示 單位為Pa 2 流體靜壓強(qiáng)的特性 特性一 流體靜壓強(qiáng)的方向沿作用面的內(nèi)法線方向 特性二 靜止流體中任一點(diǎn)流體靜壓強(qiáng)的大小與作用面在空間的方位無關(guān) 是點(diǎn)的坐標(biāo)的連續(xù)可微函數(shù) 如圖所示 在靜止流體中的點(diǎn)A取一微元四面體 與坐標(biāo)軸相重合的邊長(zhǎng)分別為 x y z 三角形 BCD的面積設(shè)為S 各微小平面中心點(diǎn)上的壓強(qiáng)分別為px py pz 單位質(zhì)量力在三個(gè)坐標(biāo)軸方向上的投影分別為fx fy fz 由于流體靜止 則作用在四面體上的力平衡 即 以x坐標(biāo)軸方向?yàn)槔?作用在四面體上的力在x方向上的平衡方程為 因?yàn)?故上式簡(jiǎn)化為 讓四面體無限縮小到點(diǎn)A 上式第二項(xiàng)為無窮小 可以略去 故得 同理 即 可見 在靜止流體中任一點(diǎn)上任意方向的壓強(qiáng)相等 是空間坐標(biāo)的連續(xù)函數(shù) 即 1 流體平衡微分方程式 在靜止流體中取一邊長(zhǎng)分別為 x y z的微小立方體 中心點(diǎn)為a x y z 該點(diǎn)的密度為 靜壓強(qiáng)為p 作用在立方體上的力在x方向的平衡方程為 以微小立方體的質(zhì)量 x y z除以上式 得a點(diǎn)在x方向的平衡方程 寫成矢量形式 上式即為流體平衡微分方程 又稱為歐拉平衡微分方程 該式的物理意義為 在靜止流體內(nèi)的任一點(diǎn)上 作用在單位質(zhì)量流體上的質(zhì)量力與靜壓強(qiáng)的合力相平衡 該方程對(duì)不可壓縮流體和可壓縮流體的靜止和相對(duì)靜止?fàn)顟B(tài)都適用 是流體力學(xué)的基本方程 2 壓強(qiáng)差公式和等壓面 等壓面 將流體平衡微分方程的兩端分別乘以dx dy dz 然后相加 得 即 在流場(chǎng)中壓強(qiáng)相等的點(diǎn)組成的面 dp 0 p x y z const 壓強(qiáng)差公式 表明流體靜壓強(qiáng)的增量取決于單位質(zhì)量力和坐標(biāo)增量 等壓面的微分方程 表明在靜止的流體中作用于任一點(diǎn)的質(zhì)量力垂直于經(jīng)過該點(diǎn)的等壓面 寫成矢量形式 1 流體靜力學(xué)基本方程式 在重力場(chǎng)中 單位質(zhì)量力只有重力 即 代入壓力差公式得 積分得 方程兩邊同除以 g 得 如圖所示 上式可寫成 流體靜力學(xué)基本方程式 適用于重力作用下靜止的不可壓縮流體 2 流體靜力學(xué)基本方程式的物理意義 z 單位重量流體的位置勢(shì)能p g 單位重量流體的壓強(qiáng)勢(shì)能z p g 單位重量流體的總勢(shì)能 方程的物理意義是 在重力作用下 靜止的不可壓縮流體中單位重量流體的總勢(shì)能保持不變 如圖所示 玻璃管上端抽真空 對(duì)于a點(diǎn)和b點(diǎn) 流體力學(xué)基本方程式為 即a點(diǎn)與真空的壓強(qiáng)差對(duì)單位重量流體做的功變成了單位重量流體的位置勢(shì)能 計(jì)示靜水頭線 3 流體靜力學(xué)基本方程式的幾何意義 水頭 單位重量流體的勢(shì)能具有長(zhǎng)度的單位 可以用液柱高度來表示 z 位置水頭p g 壓強(qiáng)水頭z p g 靜水頭 靜水頭線 積分常數(shù)根據(jù)自由表面上的邊界條件確定 4 重力作用下靜止液體內(nèi)的靜壓力分布 在重力場(chǎng)中 單位質(zhì)量力只有重力 即 代入壓力差公式積分得 所以任意坐標(biāo)z處的壓強(qiáng)為 在重力作用下靜止有自由表面的不可壓縮流體中 靜壓強(qiáng)由兩部分組成 自由表面上的壓強(qiáng)p0淹沒深度為h 密度為 的流體柱產(chǎn)生的壓強(qiáng) gh 帕斯卡原理 自由液面上的壓強(qiáng)將以同樣的大小傳遞到液體內(nèi)部的任意點(diǎn)上 5 絕對(duì)壓強(qiáng) 計(jì)示壓強(qiáng) 真空和真空度 絕對(duì)壓強(qiáng) 以完全真空為基準(zhǔn)計(jì)量的壓強(qiáng) 如p pa gh中的p 計(jì)示壓強(qiáng) 相對(duì)壓強(qiáng) 以當(dāng)?shù)卮髿鈮簭?qiáng)為基準(zhǔn)計(jì)量的壓強(qiáng) 如pe p pa gh中的pe 真空 當(dāng)流體的絕對(duì)壓強(qiáng)低于大氣壓強(qiáng)時(shí) 該區(qū)域處于真空 計(jì)示壓強(qiáng)為負(fù)值時(shí) 負(fù)計(jì)示壓強(qiáng)用真空度表示 即 pv pe pa p 真空度 6 液柱式測(cè)壓計(jì) 測(cè)壓管是一種最簡(jiǎn)單的液柱式測(cè)壓計(jì) 為了減少毛細(xì)現(xiàn)象所造成的誤差 采用一根內(nèi)徑為10mm左右的直玻璃管 測(cè)量時(shí) 將測(cè)壓管的下端與裝有液體的容器連接 上端開口與大氣相通 測(cè)壓管 U形管測(cè)壓計(jì) 這種測(cè)壓計(jì)是一個(gè)裝在刻度板上兩端開口的U形玻璃管 測(cè)量時(shí) 管的一端與被測(cè)容器相接 另一端與大氣相通 U形管內(nèi)裝有密度 2大于被測(cè)流體密度 1的液體工作介質(zhì) 如酒精 水 四氯化碳和水銀等 一定要注意 工作介質(zhì)不能與被測(cè)流體相互摻混 由于1和2點(diǎn)在同一流體的等壓面上 故 故有 其中 被測(cè)液體的壓強(qiáng)高于大氣壓強(qiáng) 被測(cè)液體的壓強(qiáng)低于大氣壓強(qiáng) U形管壓差計(jì) 由于1 2兩點(diǎn)在同一等壓面上 故有 A B兩點(diǎn)的壓強(qiáng)差為 若被測(cè)流體為氣體 由于氣體的密度很小 1gh可以忽略不計(jì) 傾斜式微壓計(jì) 用于測(cè)量氣體的壓強(qiáng) 測(cè)量精度較高 可測(cè)較微小的壓強(qiáng)和壓強(qiáng)差 A2 A1 pa p h h l 0 0 兩液面的高度差為 所測(cè)的壓強(qiáng)差為 例題1 已知h1 600mm h2 250mm h3 200mm h4 300mm h5 500mm 1 1000kg m3 2 800kg m3 3 13598kg m3 求A B兩點(diǎn)的壓強(qiáng)差 解 圖中1 1 2 2 3 3均為等壓面 可以逐個(gè)寫出有關(guān)點(diǎn)的靜壓強(qiáng)為 聯(lián)立求解得 A B兩點(diǎn)的壓強(qiáng)差為 例題2 兩圓筒用管子連接 內(nèi)充水銀 第一個(gè)圓筒直徑d1 45cm 活塞上受力F1 3197N 密封氣體的計(jì)示壓強(qiáng)pe 9810Pa 第二圓筒直徑d2 30cm 活塞上受力F2 4945 5N 開口通大氣 若不計(jì)活塞質(zhì)量 求平衡狀態(tài)時(shí)兩活塞的高度差h 已知水銀密度 13600kg m3 解 在F1 F2作用下 活塞底面產(chǎn)生的壓強(qiáng)分別為 圖中a a為等壓面 第一圓筒上部是計(jì)示壓強(qiáng) 第二圓筒上部的大氣壓強(qiáng)不必計(jì)入 故有 1 水平等加速直線運(yùn)動(dòng)容器中液體的相對(duì)平衡 單位質(zhì)量液體上的質(zhì)量力沿坐標(biāo)軸的分量為 代入壓強(qiáng)差公式得 積分上式得 根據(jù)邊界條件 x 0 y 0 z 0時(shí)p p0 代入上式得積分常數(shù)C p0 故有 水平等加速直線運(yùn)動(dòng)容器中液體靜壓強(qiáng)的分布規(guī)律 流體靜壓強(qiáng)的分布規(guī)律 等壓面方程 以 xs ys zs 表示自由液面上點(diǎn)的坐標(biāo) 由于在自由液面上的任意一點(diǎn)都有p p0 所以由靜壓強(qiáng)的分布規(guī)律可得自由液面的方程為 將質(zhì)量力代入等壓面方程得 積分上式得 等壓面方程 不同的積分常數(shù)C1代表不同的等壓面 等壓面與水平面之間的夾角為 如果y坐標(biāo)都相同 對(duì)于液面內(nèi)任意一點(diǎn) 有 將上式代入靜壓強(qiáng)分布規(guī)律得 等加速直線運(yùn)動(dòng)容器中 液體內(nèi)任一點(diǎn)的靜壓強(qiáng)仍然是液面上的壓強(qiáng)p0與淹沒深度為h密度為 的液柱產(chǎn)生的壓強(qiáng) gh之和 2 等角速旋轉(zhuǎn)容器中液體的相對(duì)平衡 作用在半徑為r處的液體質(zhì)點(diǎn)上的單位質(zhì)量力沿坐標(biāo)軸的分量為 流體靜壓強(qiáng)的分布規(guī)律 代入壓強(qiáng)差公式得 積分上式得 根據(jù)邊界條件 r 0 z 0時(shí)p p0 代入上式得積分常數(shù)C p0 故有 等角速旋轉(zhuǎn)容器中液體靜壓強(qiáng)的分布規(guī)律 等壓面方程 將質(zhì)量力代入等壓面方程得 積分上式得 等壓面方程 是以z軸為旋轉(zhuǎn)軸的旋轉(zhuǎn)拋物面方程 不同的積分常數(shù)C1代表不同的等壓面 以下標(biāo)s表示自由液面上點(diǎn)的坐標(biāo) 由于在自由液面上的任意一點(diǎn)都有p p0 所以由靜壓強(qiáng)的分布規(guī)律可得自由液面的方程為 如果考察的是相同半徑r處的情況 則由上式得液面下任一點(diǎn)處 將上式代入靜壓強(qiáng)分布規(guī)律得 上式表明 等角速旋轉(zhuǎn)容器中液體相對(duì)平衡時(shí) 液體內(nèi)任一點(diǎn)的靜壓強(qiáng)仍然是液面上的壓強(qiáng)p0與淹沒深度為h密度為 的液柱產(chǎn)生的壓強(qiáng) gh之和 3 兩個(gè)特例 特例一 頂蓋中心開口的旋轉(zhuǎn)容器 代入壓強(qiáng)差公式并積分得 根據(jù)邊界條件 r 0 z 0時(shí)p pa 代入上式得積分常數(shù)C pa 故有 作用在頂蓋上的計(jì)示壓強(qiáng)為 特例二 頂蓋邊緣開口的旋轉(zhuǎn)容器 代入壓強(qiáng)差公式并積分得 根據(jù)邊界條件 r R z 0時(shí)p pa 代入上式得C pa 2R2 2 故有 作用在頂蓋上的真空度為 例題1 汽車上有一與水平運(yùn)動(dòng)方向平行放置的內(nèi)充液體的U形管 已知L 0 5m 加速度a 0 5m s2 試求U形管外側(cè)的液面高度差 解 質(zhì)量力在坐標(biāo)軸方向的分量為 代入壓強(qiáng)差公式并積分得 在y 0 z 0處 p pa求得C pa 即 在y L z h1 h2處 p pa 代入上式得 即 例題2 圓筒形容器的直徑d 300mm 高H 500mm 容器內(nèi)水深h1 300mm 容器繞中心軸等角速旋轉(zhuǎn) 試確定 1 水正好不溢出時(shí)的轉(zhuǎn)速n1 2 旋轉(zhuǎn)拋物面的頂點(diǎn)恰好觸及底部時(shí)的轉(zhuǎn)速n2 3 容器停止旋轉(zhuǎn)后靜水的深度 解 設(shè)坐標(biāo)原點(diǎn)始終位于凹液面的最低點(diǎn) 當(dāng)水恰好觸及容器口時(shí) 自由液面所包容的體積等于原來無水部分的體積 即 其中 所以 當(dāng)自由液面形成的拋物面恰好觸及容器底部時(shí) 拋物面所包容的體積正好為容器體積的一半 此時(shí) 當(dāng)容器停止轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)容器中水的高度為 1 靜止液體作用在平面上的總壓力 液體作用在平面上的總壓力是作用于平面各點(diǎn)上的平行力系的合力 通常情況下要研究的工程設(shè)備都處于大氣環(huán)境中 壁面兩側(cè)都受到大氣壓強(qiáng)的作用 因此只需按靜止液體的計(jì)示壓強(qiáng)去計(jì)算總壓力 總壓力的大小和方向 在平面上取一微元面積dA 其中心的淹沒深度為h 到oy軸的距離為x 液體作用在該微元面積上的微元總壓力為 在平面上積分上式 可得液體作用在平面上的總壓力 液體作用在平面上的總壓力等于以該平面為底 平面形心的淹沒深度為高的柱體內(nèi)液體的重量 并垂直指向平面 四個(gè)容器底面上的總壓力相等 總壓力的作用點(diǎn) 總壓力Fp對(duì)oy軸的力矩等于各微元總壓力對(duì)oy軸的力矩的代數(shù)和 即 根據(jù)慣性矩平行移軸定理Iy Icy xc2A Icy為面積A對(duì)通過其形心并平行于oy軸的坐標(biāo)軸的慣性矩 代入上式 得 同理可求得壓力中心的y坐標(biāo) 若通過形心的坐標(biāo)系中有任何一軸是平面的對(duì)稱軸 則Icxy 0 yD yc 壓力中心便在通過平面形心平行于x軸的直線上 式中 yc為平面形心的y坐標(biāo) Ixy Icxy分別為平面對(duì)oxy坐標(biāo)系和通過平面形心并平行于oxy的坐標(biāo)系的慣性積 由于Icy xcA 恒為正值 故xD xc 即壓力中心永遠(yuǎn)在平面形心的下方 例題 一矩形閘門寬度為b 兩側(cè)均受到密度為 的液體的作用 兩側(cè)液體深度分別為h1 h2 試求作用在閘門上的液體總壓力和壓力中心 解 對(duì)于閘門左側(cè) 同理 對(duì)于閘門右側(cè) 兩側(cè)總壓力的合力為 方向向右 設(shè)合力F的作用點(diǎn)的淹沒深度為xD 根據(jù)合力矩定理 對(duì)oy軸取矩 有 合力作用點(diǎn)的y坐標(biāo)為b 2 2 靜止液體作用在曲面上的總壓力 總壓力的大小 作用在曲面不同點(diǎn)的靜壓強(qiáng)的大小和方向都不同 組成一空間力系 在靜止液體中有一二維曲面 面積為A 它的母線與oy軸平行 它在oxz平面上的投影為曲線ab 在淹沒深度為h的地方取一微元面積dA 則液體作用在該微元面積上的微元總壓力為 微元總壓力在坐標(biāo)軸上的投影為 總壓力的水平分力 靜止液體作用在曲面上的總壓力沿x方向的水平分力等于液體作用在該曲面的投影面積Ax上的總壓力 作用點(diǎn)在Ax的壓力中心 總壓力的垂直分力 靜止液體作用在曲面上的總壓力的垂直分力等于曲面上壓力體的液體重量 其作用線通過壓力體的中心 總壓力大小 總壓力的作用方向 總壓力與垂線之間的夾角為 并指向曲面 總壓力的作用點(diǎn) 總壓力的水平分力Fpx的作用線通過Ax的壓力中心指向受壓面 垂直分力Fpz的作用線通過壓力體的重心指向受壓面 故總壓力的作用線一定通過這兩條作用線的交點(diǎn)并與垂線成 角 3 壓力體 由受壓曲面 曲面邊緣向自由液面所作的垂直面以及自由液面或自由液面的延長(zhǎng)面所組成的封閉體 實(shí)壓力體 液體在曲面上面 壓力體充滿液體 垂直分力方向向下 虛壓力體 液體在曲面下面 壓力體是空的 垂直分力方向向上 例題1 貯水器的壁面上有三個(gè)半球形的蓋子 已知d 0 5m h 1 5m H 2 5m 試求作用在每個(gè)蓋子上的總壓力 解 由于作用在底蓋上的壓強(qiáng)左右對(duì)稱 其總壓力的水平分力為零 垂直分力方向向下 大小為 頂蓋上總壓力的水平分力為零 垂直分力方向向上 大小為 側(cè)蓋上總壓力的水平分力為 側(cè)蓋上總壓力的垂直分力應(yīng)為作用在半球上的上半部分和下半部分垂直分力的合力 即半球體積水的重量 故側(cè)蓋上的總壓力 由于總壓力的作用線與球面垂直 所以它一定通過球心 例題2 一圓筒形容器 筒徑為d 質(zhì)量為m 筒內(nèi)充滿密度為 的液體 并繞軸線以 的角速度旋轉(zhuǎn) 頂蓋的質(zhì)量為m1 其中心裝有開口直管 當(dāng)管內(nèi)液面的最低點(diǎn)高為h時(shí) 作用在螺栓組1和2上的拉力各位多少 解 坐標(biāo)原點(diǎn)選在直管中心的液面上 z軸鉛直向上 由于容器處于大氣環(huán)境中 只需按計(jì)示壓強(qiáng)進(jìn)行計(jì)算 在頂蓋的下表面上有z h 故有 作用在頂蓋上的計(jì)示壓強(qiáng)的合力與頂蓋的重力之差就是螺栓組1受到的拉力 螺栓組2受到的拉力為 下面用壓力體的概念求解該題 筒壁處自由液面的高度為 頂蓋上壓力體的體積為 故螺栓組1受到的拉力為 螺栓組2受到的拉力為 結(jié)果與積分法求得的結(jié)果相同 浮體 當(dāng)浸沒物體所受的浮力大于物體的重力 物體漂浮在液面上 潛體 當(dāng)浸沒物體所受的浮力等于物體的重力 物體在液體中任何位置均處于平衡狀體 沉體 當(dāng)浸沒物體所受的浮力小于物體的重力 物體沉底 a 浮體 b 潛體 c 沉體 作用在物體上表面總壓力的垂直分力為壓力體Vacbfg的重量 方向向下 作用在物體下表面總壓力的垂直分力為壓力體Vadbfg的重量 方向向上 作用在物體上的總壓力為 負(fù)號(hào)說明 總壓力的方向向上 浮力的值常用FB表示 即 阿基米德原理 液體作用在完全浸沒物體上的總壓力等于物體排開同體積液體的重力 力的方向?yàn)榇怪毕蛏?返回目錄 流體運(yùn)動(dòng)時(shí) 表征運(yùn)動(dòng)特征的運(yùn)動(dòng)要素一般隨時(shí)間空間而變 而流體又是眾多質(zhì)點(diǎn)組成的連續(xù)介質(zhì) 流體的運(yùn)動(dòng)是無窮多流體運(yùn)動(dòng)的綜合 怎樣描述整個(gè)流體的運(yùn)動(dòng)規(guī)律呢 拉格朗日法 歐拉法 1 拉格朗日法 拉格朗日法 質(zhì)點(diǎn)系法把流體質(zhì)點(diǎn)作為研究對(duì)象 跟蹤每一個(gè)質(zhì)點(diǎn) 描述其運(yùn)動(dòng)過程中流動(dòng)參數(shù)隨時(shí)間的變化 綜合流場(chǎng)中所有流體質(zhì)點(diǎn) 來獲得整個(gè)流場(chǎng)流體運(yùn)動(dòng)的規(guī)律 設(shè)某一流體質(zhì)點(diǎn)在t t0時(shí)刻占據(jù)起始坐標(biāo) a b c t為時(shí)間變量 圖拉格朗日法 x 流體質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)方程 圖拉格朗日法 t時(shí)刻 流體質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到空間坐標(biāo) x y z 式中 a b c t 拉格朗日變數(shù) a b c 對(duì)應(yīng)流體微團(tuán)或液體質(zhì)點(diǎn) 不同 a b c t不變 表示在選定時(shí)刻流場(chǎng)中流體質(zhì)點(diǎn)的位置分布 給定 a b c t變化時(shí) 該質(zhì)點(diǎn)的軌跡方程確定 流體質(zhì)點(diǎn)的速度為 流體質(zhì)點(diǎn)的加速度為 問題 2 數(shù)學(xué)上存在難以克服的困難 3 實(shí)用上 不需要知道每個(gè)質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)情況 因此 該方法在工程上很少采用 2 歐拉法 又稱為流場(chǎng)法 核心是研究運(yùn)動(dòng)要素分布場(chǎng) 即研究流體質(zhì)點(diǎn)在通過某一空間點(diǎn)時(shí)流動(dòng)參數(shù)隨時(shí)間的變化規(guī)律 該法是對(duì)流動(dòng)參數(shù)場(chǎng)的研究 例如速度場(chǎng) 壓強(qiáng)場(chǎng) 密度場(chǎng) 溫度場(chǎng)等 采用歐拉法 可將流場(chǎng)中任何一個(gè)運(yùn)動(dòng)要素表示為空間坐標(biāo) x y z 和時(shí)間t的單值連續(xù)函數(shù) 液體質(zhì)點(diǎn)在任意時(shí)刻t通過任意空間固定點(diǎn) x y z 時(shí)的流速為 式中 x y z t 稱為歐拉變數(shù) 令 x y z 為常數(shù) t為變數(shù) 令 x y z 為變數(shù) t為常數(shù) 表示在某一固定空間點(diǎn)上 流體質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)參數(shù)隨時(shí)間的變化規(guī)律 表示在同一時(shí)刻 流場(chǎng)中流動(dòng)參數(shù)的分布規(guī)律 即在空間的分布狀況 a b c 質(zhì)點(diǎn)起始坐標(biāo)t 任意時(shí)刻 x y z 質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的位置坐標(biāo) a b c t 拉格朗日變數(shù) x y z 空間固定點(diǎn) 不動(dòng) t 任意時(shí)刻 x y z t 歐拉變數(shù) 拉格朗日法 歐拉法 液體質(zhì)點(diǎn)通過任意空間坐標(biāo)時(shí)的加流速 式中 ax ay az 為通過空間點(diǎn)的加速度分量 利用復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法 將 x y z 看成是時(shí)間t的函數(shù) 則 寫為矢量形式 時(shí)變加速度分量 三項(xiàng) 位變加速度分量 九項(xiàng) 用歐拉法表達(dá)加速度 從歐拉法來看 不同空間位置上的液體流速可以不同 在同一空間點(diǎn)上 因時(shí)間先后不同 流速也可不同 因此 加速度分 遷移加速度 位變加速度 同一時(shí)刻 不同空間點(diǎn)上流速不同 而產(chǎn)生的加速度 當(dāng)?shù)丶铀俣?時(shí)變加速度 同一空間點(diǎn) 不同時(shí)刻上因流速不同 而產(chǎn)生的加速度 圖時(shí)變加速度產(chǎn)生說明 圖位變加速度說明 例題1 已知平面流動(dòng)的ux 3xm s uy 3ym s 試確定坐標(biāo)為 8 6 點(diǎn)上流體的加速度 解 由式 1 定常流動(dòng)與非定常流動(dòng) 在討論流體運(yùn)動(dòng)的基本規(guī)律和基本方程之前 為了便于分析 研究問題 先介紹一些有關(guān)流體運(yùn)動(dòng)的基本概念 若流場(chǎng)中流體的運(yùn)動(dòng)參數(shù) 速度 加速度 壓強(qiáng) 密度 溫度等 不隨時(shí)間而變化 而僅是位置坐標(biāo)的函數(shù) 則稱這種流動(dòng)為定常流動(dòng)或恒定流動(dòng) 定常流動(dòng) 若流場(chǎng)中流體的運(yùn)動(dòng)參數(shù)不僅是位置坐標(biāo)的函數(shù) 而且隨時(shí)間變化 則稱這種流動(dòng)為非定常流動(dòng)或非恒定流動(dòng) 非定常流動(dòng) 圖定常流動(dòng)說明 如圖所示容器中水頭不隨時(shí)間變化的流動(dòng)為定常流動(dòng) 流體的速度 壓強(qiáng) 密度和溫度可表示為 運(yùn)動(dòng)要素之一不隨時(shí)間發(fā)生變化 即所有運(yùn)動(dòng)要素對(duì)時(shí)間的偏導(dǎo)數(shù)恒等于零 定常流動(dòng)的特點(diǎn) 因此 定常流動(dòng)時(shí)流體加速度可簡(jiǎn)化成 即 在定常流動(dòng)中只有遷移加速度 非定常流動(dòng)的特點(diǎn) 運(yùn)動(dòng)要素之一隨時(shí)間而變化的流動(dòng) 即運(yùn)動(dòng)要素之一對(duì)時(shí)間的偏導(dǎo)數(shù)不為零 圖中 當(dāng)水箱的水位保持不變時(shí) 1點(diǎn)到2點(diǎn)流體質(zhì)點(diǎn)速度增加 就是由于截面變化而引起的遷移加速度 2 一維 二維和三維流動(dòng) 維 是指空間自變量的個(gè)數(shù) 實(shí)際上 任何實(shí)際液體流動(dòng)都是三維流 需考慮運(yùn)動(dòng)要素在三個(gè)空間坐標(biāo)方向的變化 由于實(shí)際問題通常非常復(fù)雜 數(shù)學(xué)上求解三維問題的困難 所以流體力學(xué)中 在滿足精度要求的前提下 常用簡(jiǎn)化方法 盡量減少運(yùn)動(dòng)要素的 維 數(shù) 例如 下圖所示的帶錐度的圓管內(nèi)黏性流體的流動(dòng) 流體質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)參數(shù) 如速度 即是半徑r的函數(shù) 又是沿軸線距離的函數(shù) 即 u u r x 顯然這是二元流動(dòng)問題 圖錐形圓管內(nèi)的流動(dòng) 工程上在討論其速度分布時(shí) 常采用其每個(gè)截面的平均值u 就將流動(dòng)參數(shù)如速度 簡(jiǎn)化為僅與一個(gè)坐標(biāo)有關(guān)的流動(dòng)問題 這種流動(dòng)就叫一維流動(dòng) 即 u u x 如圖所示的繞無限翼展的流動(dòng)就是二維流動(dòng) 二維流動(dòng)的參數(shù)以速度為例 可寫成 3 跡線和流線 流體質(zhì)點(diǎn)不同時(shí)刻流經(jīng)的空間點(diǎn)所連成的線 即流體質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的軌跡線 由拉格朗日法引出的概念 跡線 例如在流動(dòng)的水面上撒一片木屑 木屑隨水流漂流的途徑就是某一水點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡 也就是跡線 跡線的微分方程 從該方程的積分結(jié)果中消去時(shí)間t 便可求得跡線方程式 某一瞬時(shí)在流場(chǎng)中所作的一條曲線 在這條曲線上的各流體質(zhì)點(diǎn)的速度方向都與該曲線相切 因此流線是同一時(shí)刻 不同流體質(zhì)點(diǎn)所組成的曲線 由歐拉法引出 流線 圖流經(jīng)彎道的流線 圖繞過機(jī)翼剖面的流線 流線的基本特性 1 流線和跡線相重合 在定常流動(dòng)時(shí) 因?yàn)榱鲌?chǎng)中各流體質(zhì)點(diǎn)的速度不隨時(shí)間變化 所以通過同一點(diǎn)的流線形狀始終保持不變 因此流線和跡線相重合 2 流線不能相交和分支 通過某一空間點(diǎn)在給定瞬間只能有一條流線 一般情況流線不能相交和分支 否則在同一空間點(diǎn)上流體質(zhì)點(diǎn)將同時(shí)有幾個(gè)不同的流動(dòng)方向 3 流線不能突然折轉(zhuǎn) 是一條光滑的連續(xù)曲線 4 流線密集的地方 表示流場(chǎng)中該處的流速較大 稀疏的地方 表示該處的流速較小 流線的特例 駐點(diǎn) 速度為0的點(diǎn) 奇點(diǎn) 速度為無窮大的點(diǎn) 源和匯 在駐點(diǎn)和奇點(diǎn)處 由于不存在不同流動(dòng)方向 流線可以轉(zhuǎn)折和彼此相交 圖源 圖匯 流線微分方程 設(shè)在流場(chǎng)中某一空間點(diǎn) x y z 的流線上取微元段矢量該點(diǎn)流體質(zhì)點(diǎn)的速度矢量為 根據(jù)流線的定義 該兩個(gè)矢量相切 其矢量積為0 即 上式即為流線的微分方程 式中時(shí)間t是個(gè)參變量 例題2 有一流場(chǎng) 其流速分布規(guī)律為 ux ky uy kx uz 0 試求其流線方程 解 由于uz 0 所以是二維流動(dòng) 其流線方程微分為 將兩個(gè)分速度代入流線微分方程 上式 得到 積分 即流線簇是以坐標(biāo)原點(diǎn)為圓心的同心圓 4 流管 流束和總流 在流場(chǎng)中任取一不是流線的封閉曲線C 過曲線上的每一點(diǎn)作流線 這些流線所組成的管狀表面稱為流管 流管 C 流管內(nèi)部的全部流體稱為流束 流管與流線只是流場(chǎng)中的一個(gè)幾何面和幾何線 而流束不論大小 都是由流體組成的 因?yàn)榱鞴苁怯闪骶€構(gòu)成的 所以它具有流線的一切特性 流體質(zhì)點(diǎn)不能穿過流管流入或流出 由于流線不能相交 流束 微小截面積的流束 微小流束 注意 5 流量 有效截面和平均流速 單位時(shí)間內(nèi)通過有效截面的流體體積稱為體積流量 以qv表示 其單位為m3 s m3 h等 流量 有三種表示方法 從總流中任取一個(gè)微小流束 其過水?dāng)嗝鏋閐A 流速為u 則通過微小流束的體積流量為qv 式中 dA為微元面積矢量 為速度u與微元法線方向n夾角的余弦 處處與流線相垂直的截面稱為有效截面 有效截面 有效斷面可能是曲面 或平面 在直管中 流線為平行線 有效截面為平面 在有錐度的管道中 流線收斂或發(fā)散 有效截面為曲面 圖有效截面為平面 圖有效截面為平面 常把通過某一有效截面的流量qv與該有效截面面積A相除 得到一個(gè)均勻分布的速度v 平均流速 圖有效截面為平均流速 平均流速是一個(gè)假想的流速 即假定在有效截面上各點(diǎn)都以相同的平均流速流過 這時(shí)通過該有效截面上的體積流量仍與各點(diǎn)以真實(shí)流速流動(dòng)時(shí)所得到的體積流量相同 使流體運(yùn)動(dòng)得到簡(jiǎn)化 使三維流動(dòng)變成了一維流動(dòng) 在實(shí)際工程中 平均流速是非常重要的 引入斷面平均流速的意義 在總流的有效截面上 流體與固體壁面接觸的長(zhǎng)度 用 表示 6 當(dāng)量直徑 濕周和水力半徑 濕周 在總流的有效截面上 流體與固體壁面接觸的長(zhǎng)度 用 表示 濕周 總流的有效截面與濕周之比 用Rh表示 水力半徑 圓管 直徑是水力半徑的4倍 非圓管 當(dāng)量直徑 直徑是水力半徑的4倍 幾種非圓形管道的當(dāng)量直徑 充滿流體的矩形管道 充滿流體的圓環(huán)形管道 s2 充滿流體的流束 7 系統(tǒng)和控制體 一群流體質(zhì)點(diǎn)的組合 系統(tǒng) 在運(yùn)動(dòng)的過程中 盡管系統(tǒng)的形狀和位置常常不停地變化 但始終包含這群流體質(zhì)點(diǎn) 有確定的質(zhì)量 在流場(chǎng)中確定的空間區(qū)域稱為控制體 控制體 控制體外表面稱控制面 控制體可根據(jù)需要將其取成不同形狀 流體可自由進(jìn)出控制體 有效截面 壁面 自由液面 控制體的組成 圖一段管道控制體 圖一個(gè)微分控制體 連續(xù)性方程是質(zhì)量守恒定律在流體力學(xué)中的應(yīng)用 他建立了流體流速與流動(dòng)面積之間的關(guān)系 推導(dǎo) 選取控制體 過流斷面1 1 2 2及管壁所圍成的體積 取微元流束 流束的兩過流斷面面積為dA1 dA2 速度分別為u1 u2 dt時(shí)間流經(jīng)兩個(gè)過流斷面的流體體積 u1A1dt和u2dA2dt 1 流束和總流的連續(xù)性方程 假設(shè)條件 流束的形狀不隨時(shí)間改變 為定常流動(dòng) 流束側(cè)面沒有流體質(zhì)點(diǎn)流入或流出 流體是不可壓縮的 該流束內(nèi)流體的質(zhì)量不變 根據(jù)上述條件 得 上述各式即為流束的連續(xù)性方程 它表明流束過流斷面面積與該斷面上速度的乘積為一常數(shù) 或所有過流斷面上流量都相等 將上式沿總流過水?dāng)嗝孢M(jìn)行積分 得 移項(xiàng)得 上式即為總流的連續(xù)性方程 表明流量一定時(shí) 斷面平均流速與斷面面積成反比 在過水?dāng)嗝娣e小處 流速大 過水?dāng)嗝婷娣e大處 流速小 2 連續(xù)性方程的微分形式 設(shè)在流場(chǎng)中任取一個(gè)微元平行六面體 其邊長(zhǎng)分別為dx dy和dz 如下圖所示 假設(shè)微元平行六面體形心的坐標(biāo)為x y z 在某一瞬時(shí)t經(jīng)過形心的流體質(zhì)點(diǎn)沿各坐標(biāo)軸的速度分量為ux uy uz 流體的密度為 先分析x軸方向 由于ux和 都是坐標(biāo)和時(shí)間的連續(xù)函數(shù) 即ux uxx x y z t 和 x y z t 根據(jù)泰勒級(jí)數(shù)展開式 略去高于一階的無窮小量 得在dt時(shí)間內(nèi) 沿軸方向從左邊微元面積dydz流入的流體質(zhì)量為 同理可得在dt時(shí)間內(nèi)從右邊微元面積dydz流出的流體質(zhì)量為 上述兩者之差為在dt時(shí)間內(nèi)沿x軸方向流體質(zhì)量的變化 即 同理 在dt時(shí)間內(nèi)沿y軸和z軸方向流體質(zhì)量的變化分別為 因此 dt時(shí)間內(nèi)經(jīng)過微元六面體的流體質(zhì)量總變化為 由于流體是作為連續(xù)介質(zhì)來研究的 六面體內(nèi)流體質(zhì)量的總變化 唯一的可能是因?yàn)榱骟w內(nèi)流體密度的變化而引起的 因此上式中流體質(zhì)量的總變化和由流體密度變化而產(chǎn)生的六面體內(nèi)的流體質(zhì)量變化相等 設(shè)開始瞬時(shí)流體的密度為 經(jīng)過dt時(shí)間后的密度為 在dt時(shí)間內(nèi) 六面體內(nèi)因密度變化而引起的質(zhì)量變化為 代入相等條件 得 上式為可壓縮流體非定常三維流動(dòng)的連續(xù)性方程 不可壓縮流體 可壓縮流體定常三維流動(dòng)的連續(xù)性方程 若流體是定常流動(dòng) 上式變?yōu)?不可壓縮流體三維流動(dòng)的連續(xù)性方程 在同一時(shí)間內(nèi)通過流場(chǎng)中任一封閉表面的體積流量等于零 也就是說 在同一時(shí)間內(nèi)流入的體積流量與流出的體積流量相等 物理意義 假設(shè)有一不可壓縮流體三維流動(dòng) 其速度分布規(guī)律為ux 3 x y3 uy 4y z2 w x y 2z 試分析該流動(dòng)是否連續(xù) 例題3 解 根據(jù)連續(xù)性方程的微分形式 該流動(dòng)不連續(xù) 有一輸水管道 如圖所示 水自截面1 1流向截面2 2 測(cè)得截面1 1的水流平均流速v1 2m s 已知d1 0 5m d2 1m 試求截面2 2處的平均流速v2為多少 例題4 解 根據(jù)連續(xù)性方程 運(yùn)動(dòng)物體在某一時(shí)間段內(nèi)動(dòng)能的增量 等于同一時(shí)間段內(nèi)作用在運(yùn)動(dòng)物體上外力做功的總和 能量轉(zhuǎn)換與守恒定律是自然界物質(zhì)運(yùn)動(dòng)的普遍規(guī)律 伯努力方程是這一定律在流體力學(xué)中的應(yīng)用 1 伯努力方程的建立 動(dòng)能定理 運(yùn)動(dòng)物體的質(zhì)量 外力對(duì)運(yùn)動(dòng)物體所做的功 運(yùn)動(dòng)物體的末速度 運(yùn)動(dòng)物體的初速度 1 不可壓縮理想流體的定常流動(dòng) 2 沿同一微元流束 也就是沿流線 積分 3 質(zhì)量力只有重力 假定條件 從理想流體恒定流中取出一微小流束 并截取1 1和2 2斷面之間的流段來研究 沿流束取二過流斷面1 2 其上的流速和壓強(qiáng)分別為u1 u2和p1 p2 斷面面積分別為dA1 dA2 面積中心距基準(zhǔn)面的高度分別為z1 z2 如下圖所示 圖微小流束的伯努力方程 時(shí)段dt內(nèi) 流段由1 2斷面流至1 2 的位置 其動(dòng)能增量和外力做功的總和分別為 動(dòng)能的增量 1 1 流段的動(dòng)能 2 2 流段的動(dòng)能 由于是定常流動(dòng) 時(shí)段dt內(nèi) 流段1 2 內(nèi)流動(dòng)的動(dòng)能不變 所以其動(dòng)能增量?jī)H為2 2 與1 1 動(dòng)能之差 對(duì)不可壓縮液體有 動(dòng)能增量 外力做功總和 質(zhì)量力 重力 表面力 壓力和摩擦力 作用在1 2流束段上的外力有 重力做的功W1 壓力做的功W2 流束側(cè)表面壓力與流動(dòng)方向垂直 不做功 過流斷面1與2上的壓力做功 由于 摩擦阻力做的功W3 摩擦阻力與流動(dòng)方向相反 對(duì)流體運(yùn)動(dòng)做負(fù)功 令W3為流段由1 2流至1 2 時(shí)摩擦阻力所做的功 令 ghw 表示摩擦阻力對(duì)單位質(zhì)量流體沿微小流束全流程1 2所做的平均功 有 外力做功的總和 伯努力方程 將動(dòng)能增量與外力做功的總和代入動(dòng)能定理 得 重力作用下 不可壓縮流體 定常流動(dòng)的伯努力方程 2 伯努力方程的物理意義 伯努力方程中每一項(xiàng)都表示單位重量流體所具有的能量 單位重量流體對(duì)某一基準(zhǔn)面所具有的位能勢(shì)能 單位重量流體所有的壓力勢(shì)能 單位重量流體所具有的動(dòng)能 單位重量流體兩斷面間為克服摩擦阻力所消耗的機(jī)械能 單位重量流體所具有的勢(shì)能 單位重量流體所具有的總機(jī)械能 物理意義 流體沿流束從一個(gè)斷面流到另一個(gè)斷面時(shí) 位能 壓能與動(dòng)能可以相互轉(zhuǎn)化 但在流經(jīng)前一個(gè)斷面時(shí)流體所具有的單位重量流體的總機(jī)械能 應(yīng)等于它在流經(jīng)后一個(gè)斷面時(shí)所具有的單位重量流體的機(jī)械能 與單位重量流體在流經(jīng)兩斷面間的過程中阻力損失之和 hw 水頭損失 總水頭 壓強(qiáng)水頭 測(cè)壓管水頭 速度水頭 3 伯努力方程的幾何意義 伯努力方程中每一項(xiàng)都具有長(zhǎng)度的量綱 可按比例用幾何線段長(zhǎng)度來表示能量方程中各項(xiàng)的值 表示為水頭線圖示 4 伯努力方程的幾何圖示 0 1 2 z1 hw 1 z2 z u12 2g u22 2g 測(cè)壓管水頭線 總水頭線 位置水頭線 5 伯努力方程的應(yīng)用舉例 1 容器小孔射出水流的速度 圖示一水箱 在近底部的側(cè)壁上開有一小孔 水在重力作用下從小孔射出 求射流速度 大氣 取過小孔中心B處的流速 沿流束寫A B斷面的伯努力方程 可見 從比自由界面低h的小孔出流的速度與質(zhì)點(diǎn)從h高度自由落下所達(dá)到的速度一樣 2 畢托管原理 流體流動(dòng)因受阻時(shí)流動(dòng)完全停于1點(diǎn) 改點(diǎn)稱為駐點(diǎn) 壓力記為p0 叫總壓 未受到擾動(dòng)的流束上流速記為u 壓力為p 稱為靜壓 過駐點(diǎn)取水平基準(zhǔn)面列駐點(diǎn)與未受擾動(dòng)點(diǎn)的伯努力方程 有 整理得 表示 總壓水頭等于靜壓水頭與由流動(dòng)轉(zhuǎn)化而來的速度水頭之和 在工程上 通常用畢托管來測(cè)定某一點(diǎn)的流速 并用系數(shù) 來修正由液體的粘性和儀器所帶來的誤差 值的大小在出廠時(shí)經(jīng)率定來確定 畢托管及其測(cè)定原理如下圖所示 動(dòng)壓管 靜壓管 h h1 h2 A A A A 形式一 形式二 一 總流伯努力方程的建立 不可壓縮實(shí)際液體定常流動(dòng)微小流束的伯努力方程為 實(shí)際工程中 考慮的流體都是總流 應(yīng)用伯努力方程解決實(shí)際問題 需把微小流束的伯努力方程推廣到總流中去 dA1 u1 1 2 1 2 p1 z1 z2 u2 p2 dA2 由連續(xù)性方程 單位時(shí)間內(nèi)從dA1 dA2流過的液體質(zhì)量相等 即 單位時(shí)間內(nèi)流過二過流斷面的流體的總能量應(yīng)滿足 把組成總流的每條微小流束的能量疊加起來 即沿總流過水?dāng)嗝娣e分 得單位時(shí)間內(nèi)流過總流過流斷面A1 A2的能量關(guān)系 第 類積分 勢(shì)能積分 第 類積分 動(dòng)能積分 第 類積分 能量損失積分 類積分 類積分 類積分 確定三種類型的積分 第 類積分 條件 漸變流過水?dāng)嗝?第 類積分 解決動(dòng)能積分 用斷面平均流速v代替實(shí)際流速u 引入動(dòng)能修正系數(shù) 第 類積分 單位重量流體總流從過水?dāng)嗝? 1到2 2之間的平均能量損失 將 式代入 式 有 各項(xiàng)同除以 有 上式即為實(shí)際不可壓縮單位重量流體定?？偭鞯牟ζ胶夥匠?或 二 應(yīng)用總流伯努力方程的注意事項(xiàng) 1 總流伯努力方程的應(yīng)用條件 總流的伯努力方程是在一定的限制條件下推導(dǎo)出來 因此在應(yīng)用時(shí)須滿足這些條件 流體必須是定常流動(dòng) 且不可壓縮 作用于流體上的力只有重力 選取的過流斷面必須符合漸變緩斷面 在選取的兩過流斷面間 流量保持不變 兩過流斷面間 能量損失必須是以熱能形式擴(kuò)散 2 總流伯努力方程中各項(xiàng)的取值 基準(zhǔn)面z的選取 斷面壓強(qiáng)的計(jì)算 基準(zhǔn)面的選取是任意的 但在計(jì)算不同斷面的位置水頭z時(shí) 應(yīng)選同一基準(zhǔn)面 位能與壓強(qiáng)的計(jì)算點(diǎn)要統(tǒng)一 計(jì)算斷面上值時(shí) 明渠取液面點(diǎn) 管道取管軸線上點(diǎn)的數(shù)值為代表點(diǎn) 壓強(qiáng)的表述要一致 動(dòng)能修正系數(shù) 紊流時(shí)取1 層流時(shí)取2 同一基準(zhǔn)面取同一值 阻力水頭損失hw 包括沿程水頭損失和局部水頭損失兩類 可寫成 三 總流伯努力方程中的擴(kuò)充 1 兩斷面有能量輸入或輸出的情況 以上所推導(dǎo)的總流伯努力方程 沒有考慮由1 1斷面到2 2斷面之間 中途有能量輸入或輸出的情況 有些情況下 兩個(gè)斷面之間有能量的輸入和輸出 例如 抽水管路系統(tǒng)中設(shè)置的抽水機(jī) 是通過水泵葉片轉(zhuǎn)動(dòng)向水流輸入能量 水電站有壓管路系統(tǒng)上所安置的水輪機(jī) 是通過水輪機(jī)葉片由水流輸出能量 1 流體對(duì)水輪機(jī)做功 流體向外輸出能量 若所取的斷面1 1到2 2之間有能量輸入或輸出時(shí) 總流伯努力方程可寫為 式中 H為水力機(jī)械對(duì)單位重量液體所作的功 當(dāng)為輸入能量時(shí) H前符號(hào)為 當(dāng)為輸出能量時(shí) H前符號(hào)為 2 兩斷面有流量分入或匯出的情況 圖為兩支匯合的流體 每一支流量分別為qv1和qv2 根據(jù)能量守恒的物理概念 單位時(shí)間內(nèi) 從1 1與2 2斷面流入的總能量應(yīng)等于3 3斷面流出的總能量加上能量的損失 即 圖流體的分流與匯流 以管軸線所在平面為基準(zhǔn)面 寫伯努力方程 有 流體匯流 流體分流 同理 對(duì)于分流有 四 總流伯努力方程應(yīng)用舉例 文丘里流量計(jì) 圖文丘里流量計(jì) 圖示為一文丘里流量計(jì) 它通常安裝在管道中用來測(cè)定流量 文丘里流量計(jì)通常由收縮段 喉部及擴(kuò)張段三部分組成 以平面3 5為等壓面 有 寫1 1與2 2斷面的伯努力方程 計(jì)算化簡(jiǎn)后得 文丘里流量計(jì)流量系數(shù) 由率定得出 例題5 有一直徑緩慢變化的錐形管 如圖所示 1 1斷面的直徑d1 0 15m 中心點(diǎn)的相對(duì)壓強(qiáng)P1 7 2KN m2 2 2斷面直徑d2 0 3m P2 7 2KN m2 v2 1 5m s A B兩點(diǎn)高差 h 1 0m 是判斷水流方向 求1 1 2 2兩斷面的水頭損失 首先利用連續(xù)性方程求斷面1 1的平均流速 因 因水管直徑緩慢變化 1 1及2 2斷面水流可近似看作緩變流 以過A點(diǎn)的水平面為基準(zhǔn)分別計(jì)算兩斷面的總能量 解 因 故管中水流應(yīng)從A流向B 水頭損失 在需要確定流體與外界的相互作用力時(shí) 連續(xù)性方程和能量方程都無法解決 需引入動(dòng)量方程 動(dòng)量方程是自然界的動(dòng)量定理在流體力學(xué)中的應(yīng)用 1 恒定總流動(dòng)量方程的建立 在恒定總流中 取一流段 控制體 研究 如下圖所示 斷面1 1至2 2所具有的動(dòng)量 經(jīng)過時(shí)間dt后 液體從1 2運(yùn)動(dòng)至1 2 此時(shí)所具有的動(dòng)量為 dt時(shí)段動(dòng)量變化 dt時(shí)間內(nèi)水流動(dòng)量的變化 dt時(shí)間內(nèi)水流的動(dòng)量變化 總流1 1 與2 2 斷面的動(dòng)量 因?yàn)閿嗝嫔系牧魉俜植家话爿^難確定 所以上述積分不能完成 如何解決這個(gè)積分問題 上述積分問題的解決 造成的誤差用動(dòng)量修正系數(shù)來修正 按照動(dòng)量定律原理 則 引入動(dòng)量修正系數(shù)后 R P1 P2 v2 v1 G 式中 Fx Fy Fz為作用于控制體上所有外力在三個(gè)坐標(biāo)方向的投影 不包括慣性力 二 應(yīng)用恒定總流動(dòng)量方程的注意事項(xiàng) 1 所選斷面必須是不可壓縮流體定常流動(dòng)的緩變流斷面 對(duì)斷面之間流體的流動(dòng)不作要求 2 動(dòng)量方程是矢量方程 式中的作用力和速度均為矢量 3 取控制體 控制體可任意選擇 但一般選取總流的一段作為控制體來研究 通常由下列部分組成 底部 側(cè)部 固體邊壁 例如 管壁 渠底 表面 自由液面等 橫向邊界 過流斷面 控制體 4 選擇坐標(biāo)軸 做出受力圖 在圖上畫上所有受力 流量 流速 壓力等矢量 凡是和坐標(biāo)軸方向一致的力和流速為正 反之 則為負(fù) 5 動(dòng)量方程是輸出項(xiàng)減去輸入項(xiàng) 不可顛倒 輸出項(xiàng) 輸入項(xiàng) 外力項(xiàng)不包括慣性力 7 動(dòng)量方程只能求解一個(gè)未知數(shù) 如果未知數(shù)的數(shù)目多于一 必須聯(lián)合其他方程 連續(xù)方程 或能量程 方可求解 6 未知力的方向可以假定 若計(jì)算為正值 則說明假定正確 反之 則說明實(shí)際力的方向和假定相反 當(dāng)流體