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2018-2019學年重慶市康德卷高二上學期期末數(shù)學試題一、單選題1直線的傾斜角為( )A30B60C120D150【答案】C【解析】由直線的一般式方程得到直線的斜率,再由求解傾斜角.【詳解】直線的斜率,.故選:C【點睛】本題考查了直線的一般式方程、直線的斜率和直線的傾斜角的關系,考查了學生轉化,運算的能力,屬于基礎題.2在一個命題和它的逆命題,否命題,逆否命題這四個命題中,真命題的個數(shù)不可能是( )A0B2C3D4【答案】C【解析】根據(jù)四種命題間的關系,可得出答案.【詳解】在一個命題和它的逆命題,否命題,逆否命題這四個命題中,互為逆否命題的命題有2對,根據(jù)互為逆否命題的兩個命題真假性相同,這四個命題中真命個數(shù)可以為0、2或4.故選:C.【點睛】本題考查四種命題間的關系,考查學生的推理能力,屬于基礎題.3命題“,”的否定是( )A,B,C,D,【答案】C【解析】根據(jù)全稱命題的否定為特稱命題,寫出答案即可.【詳解】命題“,”的否定是,.故選:C.【點睛】全程命題:,它的否定:,.4已知空間中的三條直線,滿足且,則直線與直線的位置關系是( )A平行B相交C異面D平行或相交或異面【答案】D【解析】畫出圖形,在直三棱柱中,列舉對應情況,可得出結論.【詳解】如圖,直三棱柱中,側棱底面,異面,所以,空間中的三條直線,滿足且,則直線與直線的位置關系是平行或相交或異面.故選:D.【點睛】本題考查空間中直線的位置關系,考查學生的空間想象能力與推理能力,屬于基礎題.5若圓的半徑為,則實數(shù)( )AB-1C1D【答案】B【解析】將圓的方程化為標準方程,即可求出半徑的表達式,從而可求出的值.【詳解】由題意,圓的方程可化為,所以半徑為,解得.故選:B.【點睛】本題考查圓的方程,考查學生的計算求解能力,屬于基礎題.6已知直線與平面,則下列說法正確的是( )A若,則B若,則C若,則D若,則【答案】D【解析】結合空間中點、線、面的位置關系,對四個選項逐個分析,即可選出答案.【詳解】A、B選項中,直線都可以在平面內(nèi),故錯誤;C選項中,內(nèi)要有兩條相交直線均與平行,才有,故錯誤;D選項中,內(nèi)有一條直線與垂直,則.故選:D.【點睛】本題考查點、線、面的位置關系,考查學生的空間想象能力,屬于基礎題.7已知某幾何體的三視圖如圖所示,其正視圖與側視圖都是邊長為1的正三角形,俯視圖為正方形,則該幾何體的表面積是( )A1B2CD3【答案】D【解析】根據(jù)三視圖畫出直觀圖,進而求出該幾何體的表面積即可.【詳解】該幾何體的直觀圖為如圖所示的正四棱錐,且,其中于,故表面積為.故選:D.【點睛】本題考查三視圖,考查幾何體表面積的求法,考查學生的空間想象能力與計算求解能力,屬于基礎題.8已知某圓柱形容器的軸截面是邊長為2的正方形,容器中裝滿液體,現(xiàn)向此容器中放入一個實心小球,使得小球完全被液體淹沒,則此時容器中所余液體的最小容量為( )ABCD【答案】B【解析】小球恰好與圓柱側面和底面同時相切時,容器中所余液體最小,求出圓柱的體積及小球的體積,相減可求出答案.【詳解】圓柱的軸截面是邊長為2的正方形,可知圓柱底面半徑為1,母線長為2,故圓柱體積為,當小球與圓柱的側面、上下底面都相切時所余液體容量最小,此時,小球的體積為,所余液體容量為.故選:B.【點睛】本題考查圓柱的性質,考查圓柱的內(nèi)切球問題,考查學生的空間想象能力與計算能力,屬于基礎題.9條件甲:關于的不等式的解集為空集,條件乙:,則甲是乙的( )A必要不充分條件B充分不必要條件C充要條件D既不充分也不必要條件【答案】A【解析】分別求出條件甲、乙所對應的的關系式,比較兩個關系式所表示的圖形,可得出結論.【詳解】由題意,當時,不等式的解集為空集,當不都為0時,.因為的解集為空集,所以,即.如下圖,表示以原點為圓心,半徑為1的圓及其內(nèi)部,表示為圓內(nèi)接正方形及其內(nèi)部,所以甲是乙的必要不充分條件.故答案為:A.【點睛】本題考查充分性與必要性的判斷,考查三角函數(shù)的恒等變換,考查不等式表示的平面區(qū)域,考查學生的計算能力與推理能力,屬于中檔題.10已知橢圓:的左焦點為,點,為橢圓上一動點,則的周長的最小值為( )A3B4C7D10【答案】B【解析】計算可得,可知的周長為,結合,可求得周長的最小值.【詳解】設橢圓的右焦點為,點在橢圓內(nèi),點,且,的周長為,當且僅當位于射線與橢圓的交點時,等號成立,所以周長的最小值為4.故選:B.【點睛】本題考查橢圓的性質,考查三角形周長,考查學生的計算求解能力,屬于中檔題.11橢圓:的左右焦點分別為,拋物線以為焦點,且橢圓與拋物線在第一象限交于點,若,則橢圓的離心率為( )ABCD【答案】B【解析】拋物線的準線與軸交點為,過點向直線作垂線,垂足為,設,可得,從而可表示的坐標,分別代入拋物線及橢圓方程,可得到的關系式,進而可求出離心率.【詳解】設橢圓的右焦點坐標為,則拋物線方程為,拋物線的準線與軸交點為,過點向直線作垂線,垂足為,設,由拋物線的定義知,因為,所以,則,代入拋物線方程得,整理得,即,故,又點在橢圓上,則,整理得,即,所以,又,解得.故選:B.【點睛】本題考查離心率的求法,考查橢圓與拋物線的性質,考查學生的計算求解能力,屬于中檔題.12斜棱柱中,分別為棱,的中點,過,三點的平面將三棱柱分為兩部分,則這兩部分體積之比為( )ABCD【答案】C【解析】在上取靠近的四等分點,連接,易知,則梯形為截面,設斜棱柱的體積為,分別求出截得的兩部分的體積,即可求出答案.【詳解】在上取靠近的四等分點,連接,易知,故梯形為截面,設斜棱柱的體積為,則,又,故,故,兩部分的體積比為.故選:C.【點睛】本題考查空間幾何體的體積,考查學生的計算求解能力和空間想象能力,屬于中檔題.二、填空題13過原點且與直線平行的直線方程是_.【答案】【解析】根據(jù)平行直線的性質,可設出所求直線方程,進而將代入,可求出該直線方程.【詳解】設與直線平行的直線方程為,將代入,得,即所求直線為.故答案為:.【點睛】本題考查直線方程,考查平行直線的性質,考查學生的計算求解能力,屬于基礎題.14已知三棱錐中,兩兩相互垂直,且,則三棱錐外接球的表面積為_.【答案】【解析】由,兩兩垂直,可將三棱錐補成長方體,此長方體的外接球即為三棱錐的外接球,體對角線即為外接球的直徑,求解即可.【詳解】由,兩兩垂直,可將三棱錐補成如圖所示的長方體,此長方體的外接球即為三棱錐的外接球,外接球直徑為:,所以三棱錐外接球的表面積為.故答案為:.【點睛】本題考查空間幾何體的外接球,考查學生的空間想象能力與計算求解能力,屬于基礎題.15已知過原點的動直線與橢圓交于,兩點,為橢圓的上頂點,若直線,的斜率存在且分別為,則_.【答案】【解析】易知,可設,即可得到的表達式,又點在橢圓上,可求得的值.【詳解】由題知,可設,則,又在橢圓上,故,即,所以.故答案為:.【點睛】本題考查直線與橢圓的位置關系,考查直線的斜率,考查學生的計算求解能力,屬于基礎題.16若圓上存在兩點,使得,圓外一動點,則點到原點距離的最小值為_.【答案】【解析】對于點,若圓上存在兩點,使得,只需由點引圓的兩條切線所夾角不小于即可,可知動點在以為圓心,半徑為的圓環(huán)內(nèi)運動,當在線段上時,最小,求解即可.【詳解】如圖,圓的半徑為,圓心為,對于點,若圓上存在兩點,使得,只需由點引圓的兩條切線所夾角不小于即可,從而點距圓心的距離要不超過,故動點在以為圓心,半徑為的圓環(huán)內(nèi)運動,當在線段上時,最小,最小值為.故答案為:.【點睛】本題考查圓的性質,考查數(shù)形結合的數(shù)學思想的應用,考查學生的計算求解能力,屬于中檔題.三、解答題17已知,命題:,命題:.(1)當時,若命題為真,求的取值范圍;(2)若是的充分條件,求的取值范圍.【答案】(1);(2)【解析】(1)由命題為真,可知都是真命題,結合對應的的范圍,可求出答案;(2)利用充分條件對應的關系列出不等式,求解即可.【詳解】(1)由題意,即命題:,當時,命題:,即:,若為真,則都是真命題,則;(2)由題意,:,:,若是的充分條件,則,即,解得.故的取值范圍是.【點睛】本題考查復合命題間的關系,考查充分性的應用,考查不等式的解法,考查學生的計算能力與推理能力,屬于基礎題.18在中,邊,所在直線的方程分別為,.(1)求邊上的高所在的直線方程;(2)若圓過直線上一點及點,當圓面積最小時,求其標準方程.【答案】(1);(2)【解析】(1)聯(lián)立直線和的方程,可求出點坐標,由直線的斜率,可求得邊上的高所在的直線的斜率,然后利用點斜式可求得所求直線方程;(2)過點向直線作垂線,垂足記為,當圓以線段為直徑時面積最小,求出點的坐標,進而可求出圓心的坐標和半徑,即可得到該圓的標準方程.【詳解】(1)聯(lián)立,解得點,又直線的斜率為,故邊上的高所在直線方程為,即;(2)過點向直線作垂線,垂足記為,顯然,當圓以線段為直徑時面積最小,易知直線的斜率為,則直線的方程為,由,解得點,故圓的圓心為,半徑為,所以圓面積最小時,標準方程為.【點睛】本題考查直線方程與圓的方程,考查圓的性質,考查學生的計算求解能力,屬于基礎題.19如圖,棱長為2的正方體中,點,分別是棱,的中點.(1)求證:直線平面;(2)求異面直線和所成角的余弦值.【答案】(1)證明見解析;(2)【解析】(1)連接,則,又,可得,即可證明直線平面;(2)取棱的中點,連接,易知,則異面直線與所成的角即為,利用余弦定理求出即可.【詳解】(1)連接,則,又,又平面,平面,故直線平面;(2)取棱的中點,連接,易知,故異面直線與所成的角即為,由題知,.【點睛】本題考查線面平行的證明,考查異面直線夾角的求法,考查學生的計算求解能力,屬于基礎題.20已知拋物線:的焦點為,為拋物線上一點,且.(1)求拋物線的方程;(2)過點的直線與拋物線交于,兩點,求線段的垂直平分線的橫截距的取值范圍.【答案】(1);(2)【解析】(1)由拋物線的定義知,即可求出的值,進而求出拋物線的方程;(2)設直線的方程為,與拋物線方程聯(lián)立,可求得,兩點的中點坐標,進而求得線段的垂直平分線方程,令,可求得橫截距的表達式,求出取值范圍即可.【詳解】(1)由拋物線的定義知,即,故拋物線的方程為;(2)由題意,直線的斜率不為0,設直線的方程為,聯(lián)立,得,線段中點縱坐標為,橫坐標為,的垂直平分線方程為,令得,由題知直線不與軸垂直,否則中垂線的橫截距不存在,即,.【點睛】本題考查拋物線的方程,考查直線與拋物線的位置關系,考查韋達定理的應用,考查學生的計算求解能力,屬于中檔題.21如圖,四棱錐中,底面為菱形,直線平面,是上的一點,.(1)證明:直線平面;(2)若,求二面角的余弦值.【答案】(1)證明見解析;(2)【解析】(1)設,連接,由平面,可得,證明和相似,可得,從而可知平面;(2)由,可知為正方形,以為原點,所在方向分別為,軸的正半軸建立空間直角坐標系,分別求得平面和的法向量,進而可求得二面角的余弦值.【詳解】(1)設,連接,平面,又,面,在直角中,故,則,和相似,故,又,平面;(2)由,可知為正方形,又平面,故以為原點,所在方向分別為,軸的正半軸建立空間直角坐標系,則,故,顯然平面的一個法向量為,設平面的一個法向量為,則,即,令,得,設二面角的大小為,則,故二面角的余弦值為.【點睛】本題考查線面垂直的證明,考查利用空間向量求二面角,考查學生的空間想象能力和計算求解能力,屬于基礎題.22如圖,、是離心率為的橢圓:的左、右焦點,過作軸的垂線交橢圓所得弦長為,設、是橢圓上的兩個動點,線段的中垂線與橢圓交于、兩點,線段的中點的橫坐標為1.(1)求橢圓的方程;(2)求的取值范圍.【答案】(1);(2)【解析】(1)將代入橢圓方程,可得,再結合離心率為,聯(lián)立可求得,即可求出橢圓方程;(2)結合的橫坐標為1,可表示出直線的方程,與橢圓方程聯(lián)立,結合韋達定理,可得到的表達

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