普朗克黑體輻射公式推導(dǎo).doc

量子力學(xué)結(jié)課論文：對普朗克黑體輻射公式的推證及總結(jié)摘要：黑體輻射現(xiàn)象是指當(dāng)黑體（空腔）與內(nèi)部輻射處于平衡時，腔壁單位面積所發(fā)射出的輻射能量與它所吸收的輻射能量相等。實驗得出的平衡時輻射能量密度按波長分布的曲線，其形狀和位置只與黑體的絕對溫度有關(guān)，而與空腔的形狀和組成物質(zhì)無關(guān)。基于能量量子化的假設(shè)，普朗克提出了與實驗結(jié)果相符的黑體輻射能量公式：vd=8h3c31ehvkT-1普朗克的理論很好地解釋了黑體輻射現(xiàn)象，并且突破了經(jīng)典物理學(xué)在微觀領(lǐng)域內(nèi)的束縛，打開了人類認識光的微粒性的途徑1。本文主要介紹了普朗克公式的推導(dǎo)過程及其能量假設(shè)并將普朗克對黑體輻射的解釋做了總結(jié)。關(guān)鍵詞：黑體輻射 能量量子化 普朗克公式 麥克斯韋-玻爾茲曼分布1. 普朗克的量子化假設(shè)：黑體以h為能量單位不連續(xù)地發(fā)射和吸收頻率為的光子的能量.且能量單位h稱為能量子，h為普朗克常量（h=6.6260689610-34JS）2. 普朗克公式的推導(dǎo)過程：2.1 任意頻率下的輻射能量：假設(shè)有一處于平衡狀態(tài)的黑體，其內(nèi)有數(shù)量為N的原子可吸收或發(fā)出頻率為的光子，其中Ng 為這些原子中處在基態(tài)的原子數(shù)，Ne為處在激發(fā)態(tài)（此處指可由基態(tài)原子受頻率為的光子激發(fā)達到的能態(tài)）的原子數(shù)，n為頻率為的光子平均數(shù)。則由統(tǒng)計力學(xué)中的麥克斯韋-玻爾茲曼公式2知：NeNe-EekT Ng Ne-EgkT 由此可得NeNg=e-Ee-EgkT =e-hkT (2.1.1)平衡狀態(tài)下，體系內(nèi)原子在兩能級間相互轉(zhuǎn)化的速率相等，且其速率正比于轉(zhuǎn)化的概率和該狀態(tài)下的原子數(shù)目。結(jié)合愛因斯坦系數(shù)關(guān)系3可得： Ng n=Ne (n+1) (2.1.2)結(jié)合(2.1.1)，可解得： n=1ehkT -1 (2.1.3)則該狀態(tài)下光子總能量為：0= nhv = hvehkT -1 (2.1.4)2.2 vv+dv頻率段中可被體系接收的頻率數(shù)目設(shè)所求黑體為規(guī)整的立方體，其長，寬，高分別為Lx，Ly，Lz。體積為V0。不妨先討論一維情況：體系線寬為L，則L必為光子半波長的整數(shù)倍，設(shè)其波數(shù)為K，有k j = jL （j為整數(shù)） (2.2.1) 成立 。則兩相鄰可被體系接收的頻率所對應(yīng)的波數(shù)間隔為k=kj+1-kj=L (2.2.2)由此可得在k波數(shù)段內(nèi)，可被體系接收的頻率數(shù)目（或稱波數(shù)數(shù)目）為： N = kk = Lk (2.2.3)因空腔內(nèi)光波為駐波（波數(shù)為K和-K的兩列波合成），考慮K值的正負 ，(2.2.3)式可修正為： N =L2k (2.2.4)由此可得，在三維情況下，有Nx = Lx2kx Ny = Ly2ky (2.2.5)Nz = Lz2kz 并由此得到Nk=NxNyNz= LxLyLz 83kxkykz (2.2.6)因LxLyLz為黑體體積V0，kxkykz為K體積元d3k ，考慮半徑為K，厚度為dk的球殼，則2.2.6式可化為：dNk=V083d3k =V0834k2dk 即dNk=V022k2dk (2.2.7) 由 k=2vc 代入(2.2.7)可得dNv=43c3V0 d (2.2.8)因光為電磁波，對任意波矢K可有兩正交的偏振，其頻率相互獨立，所以(2.2.8)應(yīng)修正為：dNv=83c3V0 d (2.2.9)此即為vv+dv頻率段中可被體系接收的頻率數(shù)目。2.3 vv+dv頻率段內(nèi)的黑體輻射能量由(2.1.4)和(2.2.9)可得vv+dv頻率段內(nèi)的黑體輻射能量為：0dN(v) = 8h3c3ehkT -1V0 d繼而可得：vd=0dN(v)V0=8h3c31ehvkT-1 (2.3.1)由此，普朗克公式已推出。結(jié)論：相較于同時提出的維恩公式及瑞利-金斯公式，普朗克提出的(2.3.1)式精確地貼合了實驗得出的黑體輻射能量分布曲線（如下圖）。普朗克對黑體輻射光譜的研究以及他對(2.3.1)的發(fā)現(xiàn)開創(chuàng)了量子力學(xué)整個學(xué)科。4推導(dǎo)過程中的不足：論證結(jié)果是在黑體為規(guī)整的立方體的前提下得出的，沒有進行更具有一般性的論證。參考資料：1 周世勛 ，陳灝 量子力學(xué)教程（第二版） 北京：