2020屆北京市石景山區(qū)高三上學期期末考試數(shù)學試題（解析版）

石景山區(qū)2020屆高三第一學期期末數(shù)學第一部分（選擇題共40分）一、選擇題共10小題，每小題4分，共40分在每小題列出的四個選項中，選出符合題目要求的一項1.已知集合，則( )A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】根據(jù)集合的交集運算，得到答案.【詳解】因為集合，所以.故選：B.【點睛】本題考查集合的交集運算，屬于簡單題.2.復數(shù)的共軛復數(shù)在復平面內對應的點所在象限為( )A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】A【解析】【分析】先對復數(shù)進行化簡，然后得到其共軛復數(shù)，再找到其再復平面對應的點，得到答案.【詳解】，所以在復平面對應的點為，在第一象限.故選：A.【點睛】本題考查復數(shù)的運算，共軛復數(shù)，復數(shù)在復平面對應的點，屬于簡單題.3.下列函數(shù)中既是奇函數(shù)，又在區(qū)間(0,1)上單調遞減的是( )A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】判斷四個選項中的函數(shù)的奇偶性和在上的單調性，得到答案.【詳解】選項A中，是奇函數(shù)，但在上單調遞增，不滿足要求；選項B中，是偶函數(shù)，不滿足要求，選項C中，是奇函數(shù)，在上單調遞減，滿足要求；選項D中，是偶函數(shù)，不滿足要求.故選：C.【點睛】本題考查判斷函數(shù)的奇偶性和單調性，屬于簡單題.4.已知向量，若，則實數(shù) ( )A. -1B. 1C. 2D. -2【答案】B【解析】【分析】根據(jù)向量坐標的線性運算得到，再根據(jù)向量垂直的坐標表示，得到關于的方程，解出的值，得到答案.【詳解】因為向量，所以，因為，所以所以解得.故選：B.【點睛】本題考查向量線性運算的坐標表示，根據(jù)向量垂直關系求參數(shù)的值，屬于簡單題.5.我國古代數(shù)學名著九章算術有“米谷粒分”題：糧倉開倉收糧，有人送來米1534石，驗得米內夾谷，抽樣取米一把，數(shù)得254粒內夾谷28粒，則這批米內夾谷約為（ ）A. 134石B. 169石C. 338石D. 1365石【答案】B【解析】【詳解】設夾谷石，則，所以，所以這批米內夾谷約為石，故選B.考點：用樣本的數(shù)據(jù)特征估計總體.【此處有視頻，請去附件查看】6.已知，則，的大小關系是( )A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】分別對，與特殊值或進行比較，從而判斷出出它們的大小關系，得到答案.【詳解】因為，所以，因為，所以，因為，所以，所以.故選：D.【點睛】本題考查判斷對數(shù)的大小關系，屬于簡單題.7.藝術體操比賽共有7位評委分別給出某選手的原始評分，評定該選手的成績時, 從7個原始評分中去掉1個最高分、1個最低分，得到5個有效評分5個有效評分與7個原始評分相比，不變的數(shù)字特征是( )A. 中位數(shù)B. 平均數(shù)C. 方差D. 極差【答案】A【解析】【分析】根據(jù)平均數(shù)、中位數(shù)、方差、極差的概念來進行求解，得到答案.【詳解】從7個原始評分去掉1個最高分、1個最低分，得到5個有效評分，其平均數(shù)、極差、方差都可能會發(fā)生改變，不變的數(shù)字特征數(shù)中位數(shù).故選：A.【點睛】本題考查平均數(shù)、中位數(shù)、方差、極差的概念，屬于簡單題.8.一個正方體被一個平面截去一部分后，剩余部分的三視圖如圖，則截去部分體積與原正方體體積的比值為( )A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】根據(jù)三視圖還原出幾何體，得到是在正方體中，截去四面體，利用體積公式，求出其體積，然后得到答案.【詳解】根據(jù)三視圖還原出幾何體，如圖所述，得到是在正方體中，截去四面體設正方體的棱長為，則，故剩余幾何體的體積為，所以截去部分的體積與剩余部分的體積的比值為.故選：C.【點睛】本題考查了幾何體的三視圖求幾何體的體積；關鍵是正確還有幾何體，利用體積公式解答，屬于簡單題.9.在等差數(shù)列中，設，則是的（ ）A. 充分非必要條件B. 必要非充分條件C. 充要條件D. 既非充分非必要條件【答案】D【解析】【分析】舉出特殊數(shù)列的例子，即可排除選項【詳解】若等差數(shù)列為 則當時，成立，但不成立，所以非充分條件當時，成立，但不成立，所以非必要條件綜上可知，是的既非充分非必要條件所以選D.【點睛】本題考查了等差數(shù)列的定義，充分必要條件的判定，注意特殊值法在選擇題中的應用，屬于基礎題10.關于曲線給出下列三個結論： 曲線恰好經(jīng)過個整點（即橫、縱坐標均為整數(shù)點） 曲線上任意一點到原點的距離都不大于 曲線上任意一點到原點的距離都不小于2其中，正確結論的個數(shù)是( )A. 0B. 1C. 2D. 3【答案】C【解析】【分析】將曲線，看成關于的方程，利用方程有解，得到的范圍，再分別研究對應的整數(shù)和的情況；根據(jù)基本不等式，得到的范圍，從而判斷出曲線上一點到原點的距離范圍.【詳解】曲線，看成關于的二次方程則，得所以整數(shù)的取值為，當時，或，滿足題意當時，不是整數(shù)，不滿足題意當時，或，滿足題意當時，不是整數(shù)，不滿足題意當時，或，滿足題意故曲線過的整點為，共6個，故命題正確.，當時，即，得，即當且僅當或時，等號成立所以得曲線上任意一點到原點的距離都不大于，命題正確.當時，即，得，即，當且僅當或時，等號成立所以得曲線上任意一點到原點的距離都不小于，故命題錯誤；故選：C【點睛】本題考查判斷二次方程根的情況，基本不等式求最值，屬于中檔題.第二部分（非選擇題共110分）二、填空題共6小題，每小題5分，共30分11.在的二項展開式中，常數(shù)項等于 (用數(shù)值表示)【答案】-160【解析】試題分析：，由得：r=3，所考點：二項式定理點評：熟記二項展開式的通項公式：此通項公式集中體現(xiàn)了二項展開式中的指數(shù)、項數(shù)、系數(shù)的變化12.雙曲線的焦點到它的漸近線的距離為_；【答案】1【解析】試題分析：由雙曲線方程可知，則，即，所以焦點為，漸近線為所以焦點到漸近線的距離為考點：1雙曲線的基本性質；2點到線的距離13.已知數(shù)列為等比數(shù)列，則_【答案】【解析】【分析】根據(jù)題意，得到，從而得到關于的方程，解出的值，得到答案.【詳解】因為數(shù)列為等比數(shù)列，所以，即，解得.故答案為：.【點睛】本題考查根據(jù)等比中項求值，屬于簡單題.14.已知平面給出下列三個論斷：；以其中兩個論斷作為條件，余下的一個論斷作為結論，寫出一個正確的命題：_【答案】或【解析】【分析】根據(jù)面面平行和面面垂直的性質，得到線面垂直，從而得到答案.【詳解】由，可得故，由，可得故，由，則平面與平面可以平行和可以相交，故.故答案為：或【點睛】本題考查面面平行和面面垂直的性質及判定，面面關系有關的命題，屬于簡單題.15.在的內角，的對邊分別為，已知，則的值為_.【答案】【解析】試題分析：代入得，由余弦定理得考點：1正弦定理；2余弦定理的推論【此處有視頻，請去附件查看】16.已知向量，是平面內的一組基向量，為內的定點，對于內任意一點，當時，則稱有序實數(shù)對為點的廣義坐標，若點、的廣義坐標分別為、，對于下列命題: 線段的中點的廣義坐標為 向量平行于向量的充要條件是 向量垂直于向量的充要條件是其中，真命題是_.（請寫出所有真命題的序號）【答案】【解析】分析】根據(jù)定義，分別寫出中點的廣義坐標，根據(jù)向量平行的坐標表示和向量垂直的坐標表示進行判斷，得到答案.【詳解】點、的廣義坐標分別為、可得，設為中點，則所以線段的中點的廣義坐標為，故命題正確向量平行于向量，則即，所以，故命題正確，向量垂直于向量，則即，故命題不一定正確.故答案為：.【點睛】本題考查向量的新定義運算，向量平行和垂直的表示，向量的數(shù)量積的運算，考查理解推理能力，屬于中檔題.三、解答題共6小題，共80分解答應寫出文字說明，演算步驟或證明過程17.已知函數(shù).（）若，且，求的值；（）求函數(shù)的最小正周期，及函數(shù)的單調遞減區(qū)間.【答案】（）（）最小正周期. .【解析】【分析】（）根據(jù)以及的范圍，得到，代入到中，得到答案；（）對進行整理化簡，得到，根據(jù)正弦型函數(shù)的圖像和性質，求出其周期和單調減區(qū)間.【詳解】解：（）因為，且，所以 .所以 . （） 所以函數(shù)的最小正周期. 由， 解得. 所以函數(shù)的單調遞減區(qū)間.【點睛】本題考查同角三角函數(shù)關系，利用二倍角公式、降冪公式、輔助角公式對三角函數(shù)進行化簡，求正弦型函數(shù)的周期和單調區(qū)間，屬于簡單題.18.一款小游戲的規(guī)則如下：每盤游戲都需拋擲骰子三次，出現(xiàn)一次或兩次“6點”獲得15分，出現(xiàn)三次“6點”獲得120分，沒有出現(xiàn)“6點”則扣除12分(即獲得12分)（）設每盤游戲中出現(xiàn)“6點”的次數(shù)為X，求X的分布列；（）玩兩盤游戲，求兩盤中至少有一盤獲得15分的概率；（）玩過這款游戲的許多人發(fā)現(xiàn)，若干盤游戲后，與最初的分數(shù)相比，分數(shù)沒有增加反而減少了請運用概率統(tǒng)計的相關知識分析解釋上述現(xiàn)象【答案】（）分布列見解析 （）（）見解析【解析】【分析】（）先得到可能的取值為，根據(jù)每次拋擲骰子，出現(xiàn)“6點”的概率為，得到每種取值的概率，得到分布列；（）計算出每盤游戲沒有獲得15分的概率，從而得到兩盤中至少有一盤獲得15分的概率；（）設每盤游戲得分為，得到的分布列和數(shù)學期望，從而得到結論.【詳解】解：（）可能的取值為，. 每次拋擲骰子，出現(xiàn)“6點”的概率為.， ， 所以X的分布列為：0123（）設每盤游戲沒有得到15分為事件，則.設“兩盤游戲中至少有一次獲得15分”為事件，則因此，玩兩盤游戲至少有一次獲得15分的概率為.（）設每盤游戲得分為.由（）知，的分布列為：Y-1215120P的數(shù)學期望為. 這表明，獲得分數(shù)的期望為負因此，多次游戲之后分數(shù)減少的可能性更大【點睛】本題考查求隨機變量的分布列和數(shù)學期望，求互斥事件的概率，屬于中檔題.19.已知在四棱錐中，底面是邊長為的正方形，是正三角形，CD平面PAD，E,F,G,O分別是PC,PD,BC,AD 的中點（）求證：PO平面；（）求平面EFG與平面所成銳二面角的大小；（）線段上是否存在點，使得直線與平面所成角為，若存在，求線段的長度；若不存在，說明理由【答案】（）證明見解析 （）（）不存在，見解析【解析】【分析】（）正三角形中，由平面得到，所以得到面；（）以點為原點建立空間直角坐標系，根據(jù)平面的法向量，和平面的法向量，從而得到平面與平面所成銳二面角的余弦值，再得到所求的角；（）線段上存在滿足題意的點，直線與平面法向量的夾角為，設，利用向量的夾角公式，得到關于的方程，證明方程無解，從而得到不存在滿足要求的點.【詳解】（）證明:因為是正三角形，是的中點，所以 .又因為平面，平面，所以.，平面，所以面.（）如圖，以點為原點分別以、所在直線為軸、軸、軸建立空間直角坐標系.則，設平面的法向量為所以，即令，則 ， 又平面的法向量，設平面與平面所成銳二面角為，所以.所以平面與平面所成銳二面角為. （）假設線段上存在點，使得直線與平面所成角為，即直線與平面法向量所成的角為，設，所以所以，整理得，方程無解，所以，不存在這樣的點.【點睛】本題考查線面垂直的性質和判定，利用空間向量求二面角，利用空間向量證明存在性問題.20.已知函數(shù).（ ）（）求函數(shù)的單調區(qū)間；（）若，的圖象與軸交于點，求在點處的切線方程；（）在（）的條件下，證明：當時，恒成立【答案】（）時，單調增區(qū)間為，無單調減區(qū)間，時，單調增區(qū)間為，單調減區(qū)間為. （）（）證明見解析【解析】【分析】（）對求導，得到，對按照和進行分類討論，研究的正負，從而得到的單調區(qū)間；（）將代入，得到切線斜率，點斜式寫出切線方程；（）令，得到，令，得到，從而得到，得到在上單調遞增，即，從而使得原命題得證.【詳解】解：（），當時，恒成立，所以在上單調遞增， 當時，令，解得.當變化時，變化情況如下表：0+減極小值增所以時，在上單調遞減，在上單調遞增.綜上所述，時，單調增區(qū)間為，無單調減區(qū)間，時，單調增區(qū)間為，單調減區(qū)間為.（）時，令，得，則，因為，所以， 所以在點處的切線方程為，即.（）證明：令，則. 令，則，當時，單調遞減，當時，單調遞增； 所以，即恒成立. 所以在上單調遞增，所以， 所以，即當時，恒成立【點睛】本題考查利用導數(shù)求函數(shù)的單調區(qū)間，根據(jù)導數(shù)的幾何意義求函數(shù)圖像在一點的切線，利用導數(shù)研究不等式恒成立問題，屬于中檔題.21.已知橢圓過點（）求橢圓的方程，并求其離心率；（）過點作軸的垂線，設點為第四象限內一點且在橢圓上（點不在直線上），直線關于的對稱直線與橢圓交于另一點設為坐標原點，判斷直線與直線的位置關系，并說明理由【答案】（），離心率（）直線與直線平行見解析【解析】【分析】（）將點代入到橢圓方程，解得的值，根據(jù)，得到的值，從而求出離心率；（）直線，點，將直線與橢圓聯(lián)立，得到和，從而得到的斜率，得到，得到直線與直線平行【詳解】解：（）由橢圓過點，可得，解得 所以， 所以橢圓的方程為，離心率 （）直線與直線平行 證明如下：由題意，設直線，設點，由得， 所以，所以，同理，所以， 由，有，因為在第四象限，所以，且不在直線上，所以，又，故，所以直線與直線平行.【點睛】本題考查求橢圓方程，直線與橢圓相交求交點，判斷兩直線的位置關系，屬于中檔題.22.已知由個正整數(shù)構成的集合，記，對于任意不大于的正整數(shù)，均存在集合的一個子集，使得該子集的所有元素之和等于m. （）求的值；（）求證：“成等差數(shù)列”的充要條件是“”；（）若，求的最小值，并指出取最小值時的最大值.【答案】（）， （）證明見解析 （）的最小值為11，此時的最大值.【解析】【分析】（）和時，根據(jù)的定義，以及集合的性質，得到答案；（）必要性：，可得，充分性：由條件可得，從而有，當且僅當時，等號成立，從而得證；（）含有個元素的非空子集個數(shù)有，當時，不滿足題意，當時，集合，可以表示共個正整數(shù)，滿足題意，由并且得到，結合，得到的最大值【詳解】解:（）時，由條件知，必有，又均為整數(shù)，. 時，由條件知，由的定義及均為整數(shù)，必有，.（）必要性：由“成等差數(shù)列”及,得此時滿足題目要