平方差公式的認(rèn)識.docx

2.1平方差公式教學(xué)設(shè)計廣西全州縣永和初中 何鳳飛一、教材的地位和作用乘法公式實際是兩個特殊的多項式相乘及其所得的結(jié)果，由于在數(shù)學(xué)運算中經(jīng)常用到，就把它們作為公式。平方差公式是在學(xué)生已經(jīng)掌握了多項式乘法之后，自然過渡到具有特殊形式的多項式的乘法，是從一般到特殊的認(rèn)知規(guī)律的典型范例.對它的學(xué)習(xí)和研究，不僅給出了特殊的多項式乘法的簡便算法，而且為以后的因式分解、分式的化簡、二次根式中的分母有理化、解一元二次方程、函數(shù)等內(nèi)容奠定了基礎(chǔ)，同時也為完全平方公式的學(xué)習(xí)提供了方法.因此，平方差公式在初中階段的教學(xué)中也具有很重要地位，是初中階段的第一個公式，也是最基本、用途最廣泛的公式之一。二、教學(xué)目標(biāo)分析（一）知識目標(biāo)經(jīng)歷平方差公式的探索及推導(dǎo)過程，掌握平方差公式的結(jié)構(gòu)特征；（二）能力目標(biāo)能運用公式進(jìn)行簡單的運算，進(jìn)一步發(fā)展學(xué)生的符號感和推理能力、歸納能力；（三）情感目標(biāo)讓學(xué)生經(jīng)歷“特殊一般特殊”（即:特例歸納猜想驗證用數(shù)學(xué)符號表示解決問題）這一數(shù)學(xué)活動過程，積累數(shù)學(xué)活動的經(jīng)驗，同時體會數(shù)學(xué)的簡潔美和數(shù)形結(jié)合的思想方法。培養(yǎng)他們的合情推理和歸納的能力以及在解決問題過程中與他人合作交流的意識。三、教學(xué)重點、難點重點：經(jīng)歷探索并歸納平方差公式的過程，并能熟練運用公式進(jìn)行簡單的運算。難點：利用數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法解釋平方差公式，從實際中抽象出字母符號式子的符號化的過程，發(fā)展觀察、歸納、概括等能力。四、教法、學(xué)法分析（一）教法分析1、讓學(xué)生了解平方差公式產(chǎn)生的背景，理解平方差公式的意義，掌握平方差公式的結(jié)構(gòu)特征，并能靈活運用平方差公式解決問題.在數(shù)學(xué)活動中，引導(dǎo)學(xué)生觀察、分析公式的結(jié)構(gòu)特征以及公式中字母的廣泛含義，并在練習(xí)中，對發(fā)生的錯誤做具體分析，加深學(xué)生對公式的理解。2、通過自主探究與合作交流的學(xué)習(xí)方式，讓學(xué)生經(jīng)歷探索新知、鞏固新知和拓展新知這一過程，發(fā)揮學(xué)生的主體作用，增強學(xué)生學(xué)數(shù)學(xué)、用數(shù)學(xué)的興趣.同時，讓學(xué)生在公式的運用中積累解題的經(jīng)驗，體會成功的喜悅。（二）學(xué)法分析學(xué)生已熟練掌握了冪的運算和整式乘法，但在進(jìn)行多項式乘法運算時常常會確定錯某些項符號及漏項等問題學(xué)生學(xué)習(xí)平方差公式的困難在于對公式的結(jié)構(gòu)特征以及公式中字母的廣泛含義學(xué)生的理解因此，教學(xué)中引導(dǎo)學(xué)生分析公式的結(jié)構(gòu)特征，并運用變式訓(xùn)練揭示公式的本質(zhì)特征，以加深學(xué)生對公式的理解。五、教學(xué)過程設(shè)計教學(xué)環(huán)節(jié)教學(xué)設(shè)計設(shè)計意圖（一）創(chuàng)設(shè)情境，導(dǎo)入課題問題1：美麗壯觀的城市廣場，是人們休閑旅游的地方，已經(jīng)成為現(xiàn)代化城市的一道風(fēng)景線。某城市廣場呈長方形，長為803米，寬797米。你能用簡便的方法計算出它的面積嗎？教學(xué)時，可先讓學(xué)生按算式803797，發(fā)現(xiàn)這種算法十分繁瑣。然后告訴學(xué)生學(xué)過本章相關(guān)內(nèi)容后，將有簡單的筆算方法，以激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)本章的興趣。（二）探索新知，嘗試發(fā)現(xiàn)問題2：時代中學(xué)計劃將一個邊長為m米的正方形花壇改造成長（m+1）米，寬為（m-1）米的長方形花壇。你會計算改造后的花壇的面積嗎?計算下列多項式的積，你能發(fā)現(xiàn)什么規(guī)律？（1）（m+1）（m-1）=；（2）（5+x）（5-x）=；（3）=；（4）（2x+1）（2x-1）=問題3：依照以上四道題的計算回答下列問題：式子的左邊具有什么共同特征？它們的結(jié)果有什么特征？能不能用字母表示你的發(fā)現(xiàn)？通過對特殊的多項式與多項式相乘的計算，既復(fù)習(xí)了舊知，又為下面學(xué)習(xí)平方差公式作了鋪墊，讓學(xué)生感受從一般到特殊的認(rèn)識規(guī)律，引出乘法公式-平方差公式。根據(jù)“最近發(fā)展區(qū)”理論，在學(xué)生已掌握的多項乘法法則的基礎(chǔ)上,探索具有特殊形式的多項式乘法平方差公式，這樣更加自然、合理。先讓學(xué)生觀察后獨立思考，再進(jìn)行小組內(nèi)交流討論，由學(xué)生代表發(fā)言，全班統(tǒng)一認(rèn)識。（三）總結(jié)歸納，發(fā)現(xiàn)新知問題4：你能用文字語言表示所發(fā)現(xiàn)的規(guī)律嗎？師生活動：教師提問，學(xué)生通過自主探究、合作交流，發(fā)現(xiàn)規(guī)律：式子左邊是兩個數(shù)的和與這兩個數(shù)的差的積，右邊是這兩個數(shù)的平方差，即：兩個數(shù)的和與這兩個數(shù)的差的積，等于這兩個數(shù)的平方差并猜想出：提供充分的時間，鼓勵學(xué)生用自己的語言表述到公式表示的過過渡，教師巡回引導(dǎo)，并集思廣益。從而提高學(xué)生觀察歸納、語言表達(dá)、合作交流等能力。（四）數(shù)形結(jié)合，幾何說理問題5：在邊長為a的正方形中剪去一個邊長為b的小正方形，然后把剩余的兩個長方形拼成一個長方形（如圖）.你能用這兩個圖形的面積說明平方差公式嗎？提示：a2-b2與(a+b)(a-b)都可表示該圖形的面積。通過學(xué)生小組合作，完成剪拼游戲活動,利用這些圖形面積的相等關(guān)系,進(jìn)一步從幾何角度驗證了平方差公式的正確性,滲透了數(shù)形結(jié)合的思想，讓學(xué)生體會到代數(shù)與幾何的內(nèi)在聯(lián)系引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會從多角度、多方面來思考問題對于任意的a、b，由學(xué)生運用多項式乘法計算，驗證其公式的正確性即：（五）剖析公式，發(fā)現(xiàn)本質(zhì)在平方差公式中，其結(jié)構(gòu)特征為：左邊是兩個二項式相乘，其中“a與a”是相同項，“b與-b”是相反項；右邊是二項式，相同項與相反項的平方差，即；讓學(xué)生說明以上四個算式中，哪些式子相當(dāng)于公式中的a和b，明確公式中a和b的廣泛含義，歸納得出：a和b可能代表數(shù)或式通過觀察平方差公式，體驗公式的簡潔性并通過分析公式的本質(zhì)特征掌握公式在認(rèn)清公式的結(jié)構(gòu)特征的基礎(chǔ)上，進(jìn)一步剖析a、b的廣泛含義，抓住了概念的核心，使學(xué)生在公式的運用中能得心應(yīng)手，起到事半功倍的效果。（六）鞏固運用，內(nèi)化新知問題6：判斷下列算式能否運用平方差公式計算：（1）（2x+3a）(2x3b)；（2）；（3）（m+n）（mn）；（4）；問題7：利用平方差公式計算：（1）（3x+2y）（3x2y）；（2）（-7+2m2）（-7-2m2）.解：（1）（3x+2y）（3x2y）=（3x）2（2y）2= 9x24y2（2）（-7+2m2）（-7-2m2）=（-7）2(2m2)2=494m4學(xué)生經(jīng)過思考、討論、交流，進(jìn)一步熟悉平方差公式的本質(zhì)特征，掌握運用平方差公式必須具備的條件鞏固平方差公式，進(jìn)一步體會字母a、b可以是數(shù)，也可以是式，加深對字母含義廣泛性的理解。觀察體會與公式的對應(yīng)關(guān)系：（3x+2y）（3x2y）=（3x）2（2y）2解決書寫操作層面問題可提議用不同方法計算，以體現(xiàn)學(xué)生的創(chuàng)造性。（七）拓展應(yīng)用，強化思維問題8：利用平方差公式計算情景導(dǎo)航中提出的問題：即：803797=（800+3）（800-3）=8002-32=640000-9=639991問題9：小明家有一塊“L”形的自留地，現(xiàn)在要分成兩塊形狀、面積相同的部分，種上兩種不同的蔬菜，請你來幫小明設(shè)計，并算出這塊自留地的面積把相乘兩數(shù)轉(zhuǎn)化成兩數(shù)和與兩數(shù)差的乘積形式，此題體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化的思想和數(shù)式通性；運用平方差公式解決實際問題，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)來源于生活，服務(wù)于生活，學(xué)生感受到學(xué)習(xí)了有用的數(shù)學(xué)，設(shè)計此題與平方差公式的幾何意義相吻合，加深學(xué)生對平方差公式的理解。（八）小試牛刀，挑戰(zhàn)自我1計算：2在下列括號中填上合適的多項式：3看誰算得快：設(shè)計此組題旨在從正反兩方面靈活運用平方差公式，由結(jié)果追溯算式中的相同項和相反項，關(guān)鍵在于理解公式結(jié)構(gòu)特征，同時訓(xùn)練了學(xué)生逆向思維能力，也為后續(xù)的學(xué)習(xí)做了鋪墊第2個填空題有兩種填法，屬開放設(shè)計目的是加強學(xué)生對公式結(jié)構(gòu)特征的理解，同時也鍛煉學(xué)生的發(fā)散思維。（九）總結(jié)概括，自我評價問題12：這節(jié)課你有哪些收獲？還有什么困惑？提示：從知識和情感態(tài)度兩個方面加以小結(jié)。使學(xué)生對本節(jié)課的知識有一個系統(tǒng)全面的認(rèn)識分組討論后交流。（十）課后作業(yè)必做題：課本P36習(xí)題2.1A組1、2選做題：1課本P36習(xí)題2.1B組1、22計算：（1+1/2）（1+1/4）（1+1/16）（1+1/256）作業(yè)分層處理有較大的彈性，體現(xiàn)作業(yè)的鞏固性和發(fā)展性原則，尊重學(xué)生的個體差異，滿足多樣化的學(xué)習(xí)需要，讓不同的人在數(shù)學(xué)上得到不同的發(fā)展。六、教學(xué)反思：本節(jié)課學(xué)習(xí)了平方差公式：，即兩個數(shù)的和與這兩個數(shù)的差的積，等于這兩個數(shù)的平方差。它是特殊的整式的乘法，運用這一公式可迅速而簡捷地計算出符合平方差公式特征的多項式乘法的結(jié)果。運用公式的關(guān)鍵要看是否符合公式的特征，在課堂上，教師要引導(dǎo)學(xué)生注意觀察平方差公式的