第三章 線(xiàn)性方程組.doc

第三章 線(xiàn)性方程組主要內(nèi)容、結(jié)構(gòu)、體系線(xiàn)性方程組理論是線(xiàn)性代數(shù)最基本的內(nèi)容之一.它不僅是中學(xué)里一次方程組討論的最一般的推廣，而且稱(chēng)得上是整個(gè)線(xiàn)性代數(shù)的一個(gè)縮影.學(xué)好本章對(duì)于學(xué)好以后各章起著關(guān)鍵性的作用.對(duì)于一般線(xiàn)性方程組，其主要理論問(wèn)題有：1有沒(méi)有解？有解的條件是什么？2有解時(shí)，解的個(gè)數(shù)是多少？如何求出解？3解不止一個(gè)時(shí)，解之間有沒(méi)有聯(lián)系？圍繞這些問(wèn)題，本章主要有四部分內(nèi)容.第一部分內(nèi)容是1介紹的消元法，它是中學(xué)里“加減消元法”的一般化，是解具體線(xiàn)性方程組的一個(gè)最基本和最有效的方法.第二部分內(nèi)容是介紹討論一般線(xiàn)性方程組所用的主要工具：n維向量與矩陣的秩（24）.首先，2把向量概念推廣到n維向量，并介紹了它的簡(jiǎn)單性質(zhì).3詳細(xì)而深入地討論了n維向量的線(xiàn)性相關(guān)性.這些內(nèi)容，在本章雖然只是以討論線(xiàn)性方程組的工具的面目出現(xiàn)的，但其本身極端重要，在線(xiàn)性代數(shù)中將隨時(shí)用到它們.它是本章的重點(diǎn)之一，也是一個(gè)難點(diǎn).在2，3討論的基礎(chǔ)上，4給出矩陣的概念及計(jì)算秩的方法.第三部分內(nèi)容全面回答了線(xiàn)性方程組的理論問(wèn)題（56）. 5利用矩陣的秩給出了有解的充要條件及解的個(gè)數(shù)的結(jié)論，同時(shí)介紹了基于克蘭姆法則的又一個(gè)求解方法.6則研究了線(xiàn)性方程組解的性質(zhì)與結(jié)構(gòu).這部分內(nèi)容是本章的中心內(nèi)容.第四部分內(nèi)容（7）是介紹線(xiàn)性方程組理論的一個(gè)應(yīng)用給出二元高次方程組的一個(gè)一般解法，這對(duì)于指導(dǎo)中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)有一定的作用.知識(shí)點(diǎn)分類(lèi)（必會(huì)、掌握、了解）理解維向量組的線(xiàn)性相關(guān)性、向量組和矩陣的秩、基礎(chǔ)解系等概念及性質(zhì)，掌握線(xiàn)性方程組有解判別定理，會(huì)求齊次線(xiàn)性方程組的基礎(chǔ)解系及一般線(xiàn)性方程組的所有解.難點(diǎn)疑點(diǎn)重點(diǎn)是向量組的線(xiàn)性相關(guān)性、線(xiàn)性方程組有解判別定理和解的結(jié)構(gòu)，難點(diǎn)是向量組的極大線(xiàn)性無(wú)關(guān)組和方程組解的結(jié)構(gòu).主要方法利用定義討論向量組的線(xiàn)性相關(guān)性，兩個(gè)向量組的等價(jià)和向量組極大線(xiàn)性無(wú)關(guān)組與秩. 利用初等行變換求矩陣的秩.運(yùn)用線(xiàn)性方程組有解判別定理判別方程組是否有解.求齊次線(xiàn)性方程組的基礎(chǔ)解系，齊次線(xiàn)性方程組解的結(jié)構(gòu)和一般線(xiàn)性方程組解的結(jié)構(gòu).例1求矩陣的秩.解：用初等行變換將A化為階梯陣所以當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，.例2 判斷向量能否由向量組線(xiàn)性表出，若能，寫(xiě)出它的一個(gè)線(xiàn)性組合其中，.解：設(shè)，即有方程組（1）對(duì)方程組（1）的增廣矩陣作初等行變換化階梯陣所以方程組（1）有解（1）的一般解為令，得（1）的一個(gè)解（1,0，1），從而有例3已知向量組，（1）試求這個(gè)向量組的秩和一個(gè)極大線(xiàn)性無(wú)關(guān)組；（2）寫(xiě)出每個(gè)向量用（1）中求出的極大線(xiàn)性無(wú)關(guān)組線(xiàn)性表出的表達(dá)式.解：以為列向量作矩陣，并對(duì)矩陣進(jìn)行初等行變換.由于初等行變換不改變列向量組的線(xiàn)性關(guān)系，也不改變矩陣的秩，由B看出，秩（B）秩（A）2.B的前兩列是B的列向量組的一個(gè)極大線(xiàn)性無(wú)關(guān)組.（1）向量組的秩為2，且為這個(gè)向量組的一個(gè)極大線(xiàn)性無(wú)關(guān)組（極大線(xiàn)性無(wú)關(guān)組也可取或或或或）.（2）由矩陣B易得線(xiàn)性表達(dá)式，.例4求齊次線(xiàn)性方程組 的一個(gè)基礎(chǔ)解系解：對(duì)齊次線(xiàn)性方程組的系數(shù)矩陣A 進(jìn)行初等行變換： 則原方程組的解為： （其中為自由未知量）令，得；令，得從而原方程的基礎(chǔ)解系為：，原方程組的一般解為：例5求解方程組.解：可見(jiàn)，所以原方程組有解，并有，（其中為自由未知量）取，則 ，即得原方程組的一個(gè)特解下面求導(dǎo)出組的基礎(chǔ)解系：導(dǎo)出組與 同解取，得；取，得于是原方程組的通解為：例6問(wèn)取何值時(shí)，齊次線(xiàn)性方程組有非零解?解: 當(dāng)時(shí)，所以由Cramer法則得方程組有非零解例7設(shè)線(xiàn)性方程組，(1)試求的兩個(gè)特解；(2)用的導(dǎo)出組的基礎(chǔ)解系與的特解表出的全部解.解 (1)對(duì)的增廣矩陣進(jìn)行初等行變換，由此，得的一般解（其中為自由未知量）.令，得一個(gè)解為，令，得一個(gè)解為.(2) 為求的導(dǎo)出組的基礎(chǔ)解系，只要把上面得到的的最簡(jiǎn)階梯陣的最后一列劃去，得矩陣這就是的導(dǎo)出組的系數(shù)矩陣經(jīng)初等行變換而得的最簡(jiǎn)階梯陣，從而可得導(dǎo)出組的一般解：（其中為自由未知量）.令，得一個(gè)解為，令，得一個(gè)解為，即為導(dǎo)出組的基礎(chǔ)解系.故的全部解為 （其中為任意常數(shù)）.例8如果向量可由向量組線(xiàn)性表出，證明：表示法唯一的充要條件是線(xiàn)性無(wú)關(guān).證明：必要性由題設(shè)知 用反證法. 設(shè)線(xiàn)性相關(guān)，那么存在一組不全為零的數(shù)，使 將與相加，得由于不全為零，這樣就得到了的兩種不同的表示法，這與題設(shè)矛盾，所以線(xiàn)性無(wú)關(guān). 充分性設(shè)有兩種表示方法： 將兩式相減，得由于線(xiàn)性無(wú)關(guān)，所以此即，唯一性得證.例9設(shè)向量可由向量組線(xiàn)性表出，但不能由線(xiàn)性表出，證明：（1）不能由線(xiàn)性表出；（2）能由線(xiàn)性表出.證明：（1）反設(shè)能由線(xiàn)性表出： 由題設(shè)向量可由向量組線(xiàn)性表出，設(shè)為 將代入，得這與不能由線(xiàn)性表出的題設(shè)矛盾，故得不能由線(xiàn)性表出.（2）由于題設(shè)不能由線(xiàn)性表出，故上面的式中，從而這就是說(shuō)，能由線(xiàn)性表出.經(jīng)典例題分析例10解線(xiàn)性方程組 解：方程組的系數(shù)行列式 ，所以由Cramer法則得方程組有唯一解（1，2，3，1）.例11 取什么值時(shí)，線(xiàn)性方程組有解？當(dāng)有解時(shí)，求一般解.解 對(duì)方程組的增廣矩陣進(jìn)行初等行變換，化為最簡(jiǎn)階梯陣由此可見(jiàn)，當(dāng)且僅當(dāng)且時(shí)，原方程組有解.這時(shí)原方程組與方程組同解.其一般解為（其中為自由未知量）.例12 對(duì)的不同取值，討論線(xiàn)性方程組的解的情況.解法一 (1)當(dāng)即時(shí)，則 ，從而原方程組無(wú)解.(2) 當(dāng)時(shí)， (i)當(dāng)時(shí)，原方程組與同解.此時(shí)，一般解為（為自由未知量），一個(gè)基礎(chǔ)解系為，.(ii) 當(dāng)時(shí)，結(jié)論：(1) 當(dāng)時(shí)，原方程組無(wú)解.(2) 當(dāng)時(shí)，原方程組有無(wú)窮多解，其一般解為（為自由未知量），一個(gè)基礎(chǔ)解系為，.(3) 當(dāng)且時(shí)，原方程組有唯一解，.解法二 原方程組的系數(shù)矩陣行列式為(1) 當(dāng)時(shí)，原方程組為，由得：，所以原方程組無(wú)解.(2) 當(dāng)時(shí)，原方程組為，所以原方程組為齊次線(xiàn)性方程組，其一般解為（為自由未知量），一個(gè)基礎(chǔ)解系為，.(3) 當(dāng)且時(shí)，所以原方程組有唯一解，.例13 證明線(xiàn)性方程組有解.證法一 對(duì)線(xiàn)性方程組的系數(shù)矩陣和增廣矩陣進(jìn)行初等行變換，得所以 所以線(xiàn)性方程組有解.證法二：必要性設(shè)線(xiàn)性方程組有解為，則有 . 充分性 如果，則可取，則，即線(xiàn)性方程組有解為.例14 設(shè)為矩陣，是在中劃去第列所得的子式.證明：齊次線(xiàn)性方程組的解為.證明：因?yàn)?，所以的每一個(gè)基礎(chǔ)解系僅有個(gè)非零解，從而的任一個(gè)非零解都構(gòu)成的一個(gè)基礎(chǔ)解系. 下面我們證明是的一個(gè)非零解.令 ，則，所以 ，所以 ，故是的一個(gè)解.因?yàn)?，故至少有一個(gè)，故是的一個(gè)非零解.例15證明線(xiàn)性方程組有解當(dāng)且僅當(dāng)齊次方程組的每一個(gè)解有，其中.證明： 必要性 設(shè)有解，則，設(shè)是的任一解，則. 充分性 考察齊次方程組因?yàn)榈拿恳粋€(gè)解滿(mǎn)足，所以式與同解，從而 ，故線(xiàn)性方程組有解.例16 設(shè)向量組 線(xiàn)性無(wú)關(guān)，向量可由向量組線(xiàn)性表出，向量不能由向量組線(xiàn)性表出.證明：線(xiàn)性無(wú)關(guān)，其中是任意數(shù).證明：設(shè)有數(shù)使 則必. 事實(shí)上，若，則由上式，可由線(xiàn)性表出，而又可由向量組線(xiàn)性表出，由此，可由向量組線(xiàn)性表出，與題設(shè)矛盾，故成立.由，式即為由于向量組 線(xiàn)性無(wú)關(guān)，所以，這樣得到式只有全為零才成立，這就證明了線(xiàn)性無(wú)關(guān).練習(xí)題（基本題，提高題，考研題）基本題1使向量組，線(xiàn)性無(wú)關(guān)的的值是 . 2設(shè)，則當(dāng) 時(shí)有唯一解，當(dāng) 時(shí)有無(wú)窮多解.3是某齊次線(xiàn)性方程組的基礎(chǔ)解系，是一組向量，當(dāng)且僅當(dāng) 與 等價(jià)時(shí)，也是該齊次線(xiàn)性方程組的基礎(chǔ)解系.4維向量組線(xiàn)性無(wú)關(guān)的充要條件是（ ）使.A存在不全為零的數(shù)；B存在全不為零的數(shù)；C不存在全不為零的數(shù)；D當(dāng)且僅當(dāng).5當(dāng)（ ）時(shí)維向量組線(xiàn)性相關(guān).A； B； C； D.6若，則（ ）.A的階子式不全為零； B的階子式（如有的話(huà)）全為零； C只有一個(gè)不為零的階子式； D的列向量組的秩為.7已知向量，.（1）試求用線(xiàn)性表出的表達(dá)式；（2）判斷能否有兩種方法用線(xiàn)性表出，并敘述理由.8已知，.（1）試求這個(gè)向量組的一個(gè)極大線(xiàn)性無(wú)關(guān)組與秩；（2）寫(xiě)出每個(gè)向量用極大線(xiàn)性無(wú)關(guān)組線(xiàn)性表出的表達(dá)式.9計(jì)算下列矩陣的秩. （1）（2）（3）（4）10證明：若線(xiàn)性相關(guān)，而線(xiàn)性無(wú)關(guān)，則（1）可由線(xiàn)性表出；（2）不能由線(xiàn)性表出.11設(shè)向量組線(xiàn)性無(wú)關(guān)，證明：當(dāng)且僅當(dāng)n是奇數(shù)時(shí)，向量組：也線(xiàn)性無(wú)關(guān).12設(shè)有個(gè)向量：，且，證明：（1）若線(xiàn)性無(wú)關(guān)，則也線(xiàn)性無(wú)關(guān)；（2）若線(xiàn)性相關(guān)，則也線(xiàn)性相關(guān).13設(shè)向量組線(xiàn)性相關(guān)，且它們都不是零向量，證明：其中至少有兩個(gè)向量，這兩個(gè)向量的每一個(gè)都可由其余向量線(xiàn)性表出.14證明：向量組線(xiàn)性無(wú)關(guān)的充要條件是存在向量可由線(xiàn)性表出，但不能由其中的個(gè)向量線(xiàn)性表出.15設(shè)向量組線(xiàn)性無(wú)關(guān)，而線(xiàn)性相關(guān).證明：若與向量組不等價(jià)，則與中有且僅有一個(gè)向量可由線(xiàn)性表出.提高題1 設(shè)，且，則k= 2設(shè)，令，求的一個(gè)基礎(chǔ)解系.3設(shè)矩陣，證明矩陣方程有解當(dāng)且僅當(dāng).4設(shè)齊次線(xiàn)性方程組有非零解，證明存在使得無(wú)解.5設(shè)有向量組，其中，且每個(gè)都 不能被線(xiàn)性表出，證明：線(xiàn)性無(wú)關(guān).6設(shè)有兩個(gè)向量組：； . 證明：（1）若向量組線(xiàn)性無(wú)關(guān)，則也線(xiàn)性無(wú)關(guān)；（2）若，且對(duì)任意的，向量組都線(xiàn)性無(wú)關(guān)，則也線(xiàn)性無(wú)關(guān).7設(shè)是一組n維向量，證明：線(xiàn)性無(wú)關(guān)的充要條件是任一n維向量都可被它們線(xiàn)性表出.8設(shè)是r個(gè)互不相同的數(shù)，證明：向量組 線(xiàn)性無(wú)關(guān).9設(shè)是n個(gè)互不相同的數(shù)，令證明: 任一n維向量都可由線(xiàn)性表出，且表法唯一.10已知向量組線(xiàn)性無(wú)關(guān)， 證明：線(xiàn)性無(wú)關(guān)的充要條件是.11設(shè)是線(xiàn)性方程組的一個(gè)解，是的導(dǎo)出方程組的一個(gè)基礎(chǔ)解系.令.證明：的任一解，都可表成，其中.考研題1設(shè)方程組的導(dǎo)出組為，(1)下列命題正確的一個(gè)是 有惟一解僅有零解有解有解有非零解有無(wú)窮多解有非零解有無(wú)窮多解(2) 設(shè)是的一個(gè)解，是的一個(gè)基礎(chǔ)解系，則下列命題錯(cuò)誤的一個(gè)是 是的一組線(xiàn)性無(wú)關(guān)的解的每個(gè)解都可以表成的線(xiàn)性組合是的一個(gè)解的所有解都可以表成的線(xiàn)性組合2當(dāng)取何值(或滿(mǎn)足何種關(guān)系式)時(shí)，元線(xiàn)性方程組有解？有多少解？3設(shè)是s個(gè)線(xiàn)性無(wú)關(guān)的n維向量，證明：存在含n個(gè)未知量的齊次線(xiàn)性方程組，使是它的一個(gè)基礎(chǔ)解系.4設(shè) 是非齊次的線(xiàn)性方程組（即至少有一個(gè)），且系數(shù)陣A的秩為r.證明：若有解，則它有個(gè)線(xiàn)性無(wú)關(guān)的解向量，使