平面匯交力系合成教學(xué)設(shè)計(jì)(朱鑒).doc

平面匯交力系合成 -課程設(shè)計(jì) 永泰城鄉(xiāng)建設(shè)職業(yè)中專 朱鑒教學(xué)內(nèi)容：平面匯交力系的合成教學(xué)目標(biāo)：學(xué)生了解平面匯交力系合成的方法 學(xué)生能夠運(yùn)用所學(xué)的力系合成的方法對(duì)具體問(wèn)題進(jìn)行合成 學(xué)生對(duì)力學(xué)有濃厚的興趣，為以后的課程學(xué)習(xí)奠定基礎(chǔ)教學(xué)重點(diǎn)：解析法在平面力系中的應(yīng)用教學(xué)難點(diǎn)：平面力系的合成定理的掌握教學(xué)課時(shí)：2教學(xué)過(guò)程： 平面匯交力系的合成方法可以分為幾何法與解析法，其中幾何法是應(yīng)用力的平行四邊形法則（或力的三角形法則），用幾何作圖的方法，研究力系中各分力與合力的關(guān)系，從而求力系的合力；而解析法則是用列方程的方法，研究力系中各分力與合力的關(guān)系，然后求力系的合力。下面分別介紹。一、幾何法首先回顧用幾何法合成兩個(gè)匯交力。如圖21a，設(shè)在物體上作用有匯交于點(diǎn)的兩個(gè)力F1和F2，根據(jù)力的平行四邊形法則，可知合力R的大小和方向是以兩力F1和F2為鄰邊的平行四邊形的對(duì)角線來(lái)表示，合力R的作用點(diǎn)就是這兩個(gè)力的匯交點(diǎn)。也可以取平行四邊形的一半即利用力的三角形法則求合力如圖21b所示。圖21對(duì)于由多個(gè)力組成的平面匯交力系，可以連續(xù)應(yīng)用力的三角形法則進(jìn)行力的合成。設(shè)作用于物體上點(diǎn)的力F1、F2、F3、F4組成平面匯交力系，現(xiàn)求其合力，如圖22a所示。應(yīng)用力的三角形法則，首先將F1與F2合成得R1，然后把R1與F3合成得R2，最后將R2與F4合成得R，力R就是原匯交力系F1、F2、F3、F4的合力，圖22b所示即是此匯交力系合成的幾何示意，矢量關(guān)系的數(shù)學(xué)表達(dá)式為 R=F1F2F3F4 （21）實(shí)際作圖時(shí)，可以不必畫出圖中虛線所示的中間合力R1和R2，只要按照一定的比例尺將表達(dá)各力矢的有向線段首尾相接，形成一個(gè)不封閉的多邊形，如圖22c所示。然后再畫一條從起點(diǎn)指向終點(diǎn)的矢量R，即為原匯交力系的合力，如圖22d所示。把由各分力和合力構(gòu)成的多邊形abcde稱為力多邊形，合力矢是力多邊形的封閉邊。按照與各分力同樣的比例，封閉邊的長(zhǎng)度表示合力的大小，合力的方位與封閉邊的方位一致，指向則由力多邊形的起點(diǎn)至終點(diǎn)，合力的作用線通過(guò)匯交點(diǎn)。這種求合力矢的幾何作圖法稱為力多邊形法則。從圖22e還可以看出，改變各分力矢相連的先后順序，只會(huì)影響力多邊形的形狀，但不會(huì)影響合成的最后結(jié)果。圖22將這一作法推廣到由n個(gè)力組成的平面匯交力系，可得結(jié)論：平面匯交力系合成的最終結(jié)果是一個(gè)合力，合力的大小和方向等于力系中各分力的矢量和，可由力多邊形的封閉邊確定，合力的作用線通過(guò)力系的匯交點(diǎn)。矢量關(guān)系式為： R=F1F2F3Fn=Fi （21b）或簡(jiǎn)寫為：R=F （矢量和） （21c）若力系中各力的作用線位于同一條直線上，在這種特殊情況下，力多邊形變成一條直線，合力為： R=F （代數(shù)和） （22）需要指出的是，利用幾何法對(duì)力系進(jìn)行合成，對(duì)于平面匯交力系，并不要求力系中各分力的作用點(diǎn)位于同一點(diǎn)，因?yàn)楦鶕?jù)力的可傳性原理，只要它們的作用線匯交于同一點(diǎn)即可。另外，幾何法只適用于平面匯交力系，而對(duì)于空間匯交力系來(lái)說(shuō)，由于作圖不方便，用幾何法求解是不適宜的。對(duì)于由多個(gè)力組成的平面匯交力系，用幾何法進(jìn)行簡(jiǎn)化的優(yōu)點(diǎn)是直觀、方便、快捷，畫出力多邊形后，按與畫分力同樣的比例，用尺子和量角器即可量得合力的大小和方向。但是，這種方法要求這圖精確、準(zhǔn)確，否則誤差會(huì)較大。二、解析法求解平面匯交力系合成的另一種常用方法是解析法。這種方法是以力在坐標(biāo)軸上的投影為基礎(chǔ)建立方程的。1、力在平面直角坐標(biāo)軸上的投影設(shè)力F用矢量表示如圖23所示。取直角坐標(biāo)系oxy，使力F在oxy平面內(nèi)。過(guò)力矢的兩端點(diǎn)A和B分別向x、y軸作垂線，得垂足a、b及a/、b/，帶有正負(fù)號(hào)的線段ab與a/b/分別稱為力F在x、y軸上的投影，記作Fx、Fy。并規(guī)定：當(dāng)力的始端的投影到終端的投影的方向與投影軸的正向一致時(shí)，力的投影取正值；反之，當(dāng)力的始端的投影到終端的投影的方向與投影軸的正向相反時(shí)，力的投影取負(fù)值。力的投影的值與力的大小及方向有關(guān)，設(shè)力F與x軸的夾角為，則從圖23可知 （23）一般情況下，若已知力F與x和y軸所夾的銳角分別為、，則該力在x、y軸上的投影分別為 （24）即：力在坐標(biāo)軸上的投影，等于力的大小與力和該軸所夾銳角余弦的乘積。當(dāng)力與軸垂直時(shí)，投影為零；而力與軸平行時(shí)，投影大小的絕對(duì)值等于該力的大小。圖23 圖24反過(guò)來(lái)，若已知力F在坐標(biāo)軸上的投影Fx、Fy，亦可求出該力的大小和方向角： （25）式中為力F與x軸所夾的銳角，其所在的象限由Fx、Fy的正負(fù)號(hào)來(lái)確定。在圖23中，若將力沿x、y軸進(jìn)行分解，可得分力Fx和Fy。應(yīng)當(dāng)注意，力的投影和分力是兩個(gè)不同的概念：力的投影是標(biāo)量，它只有大小和正負(fù)；而力的分力是矢量，有大小和方向。它們與原力的關(guān)系各自遵循自己的規(guī)則。在直角坐標(biāo)系中，分力的大小和投影的絕對(duì)值是相同的。同時(shí)，力的矢量也可以轉(zhuǎn)化為力的標(biāo)量進(jìn)行計(jì)算，即 F=Fx+Fy= （26）式中i、j分別為沿直角坐標(biāo)軸x、y軸正向的單位矢量。力在平面直角坐標(biāo)軸上的投影計(jì)算，在力學(xué)計(jì)算中應(yīng)用非常普遍，必須熟練掌握。例21 如圖24所示，已知，各力的方向如圖，試分別求各力在x軸和y軸上的投影。解：根據(jù)公式（23）或（24），列表計(jì)算如下力力在x軸上的投影（）力在y軸上的投影（）F1F2F3F42、合力投影定理為了用解析法求平面匯交力系的合力，必須先討論合力及其分力在同一坐標(biāo)軸上投影的關(guān)系。圖25如圖25所示，設(shè)有一平面匯交力系F1、F2、F3作用在物體的點(diǎn)，如圖25所示。從任一點(diǎn)A作力多邊形ABCD，如圖25b所示。則矢量就表示該力系的合力R的大小和方向。取任一軸x如圖示，把各力都投影在x軸上，并且令FX1、FX2、FX3和Rx分別表示各分力F1、F2、F3和合力R在x軸上的投影，由圖25b可見(jiàn) Fx1=ab，F(xiàn)x2=bc，Rx=ad而 ad=ab+bc-cd因此可得Rx=Fx1+Fx2+Fx3這一關(guān)系可推廣到任意個(gè)匯交力的情形，即Rx=Fx1+Fx2+Fxn=Fx （26） 由此可見(jiàn)，合力在任一軸上的投影，等于各分力在同一軸上投影的代數(shù)和。這就是合力投影定理。3、用解析法求平面匯交力系的合力當(dāng)平面匯交力系為已知時(shí)，如圖26所示，我們可選直角坐標(biāo)系，先求出力系中各力在x軸和y軸上的投影，再根據(jù)合力投影定理求得合力R在x、y軸上的投影Rx、Ry，從圖26中的幾何關(guān)系，可見(jiàn)合力R的大小 和方向由下式確定： （27）式中：為合力R與x軸所夾的銳角，R在哪個(gè)象限由Fx和Fy的正負(fù)號(hào)來(lái)確定，具體詳見(jiàn)圖27所示。合力的作用線通過(guò)力系的匯交點(diǎn)。圖26 圖27 下面舉例說(shuō)明如何求平面匯交力系的合力：例22 如同28所示，固定的圓環(huán)上作用著共面的三個(gè)力，已知三力均通過(guò)圓心。試求此力系合力的大小和方向。解：運(yùn)用兩種方法求解合力。（1）幾何法取比例尺為：1cm代表10kN，畫力多邊形如圖28b所示，其中ab=。從起點(diǎn)a向終點(diǎn)d作矢量，即得合力R。由圖上量得，ad=4.4cm，根據(jù)比例尺可得，R=44kN；合力R與水平線之間的夾角用量角器量得=。圖28（2）解析法取如圖28所示的直角坐標(biāo)系，則合力的投影分別為：則合力R的大小為： 合力R的方向?yàn)椋?由于0，0，故在第一象限，而合力R的作用線通過(guò)匯交力系的匯交點(diǎn)。例23 如圖29所示，一平面匯交力系作用于點(diǎn)。已知 各力方向如圖。若此力系的合力R與F2沿同一直線，求F3與合力R的大小。解：用兩種方法（1）幾何法取比例尺如圖所示。取任一點(diǎn)a開(kāi)始作力多邊形，由b點(diǎn)作得折線abc，再?gòu)恼劬€上的c點(diǎn)和a點(diǎn)分別作F3和R的平行線，它們相交于一點(diǎn)d。多邊形abcd即為力多邊形。根據(jù)比例尺量得R=573N，F(xiàn)3=141N，合力R的作用線通過(guò)匯交點(diǎn)。圖29（2）解析法取如圖29所示的坐標(biāo)系。由題可知R沿x軸