角的平分線 知識講解.doc

角的平分線（提高）【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1掌握角平分線的性質(zhì)，理解三角形的三條角平分線的性質(zhì)2掌握角平分線的判定及角平分線的畫法3. 熟練運用角的平分線的性質(zhì)解決問題【要點梳理】要點一、角的平分線的性質(zhì)角的平分線的性質(zhì)：角的平分線上的點到角兩邊的距離相等.要點詮釋：用符號語言表示角的平分線的性質(zhì)定理：若CD平分ADB，點P是CD上一點，且PEAD于點E，PFBD于點F，則PEPF.要點二、角的平分線的逆定理 角平分線的判定：角的內(nèi)部到角兩邊距離相等的點在角的平分線上.要點詮釋：用符號語言表示角的平分線的判定：若PEAD于點E，PFBD于點F，PEPF，則PD平分ADB要點三、角的平分線的尺規(guī)作圖角平分線的尺規(guī)作圖（1）以O(shè)為圓心，適當(dāng)長為半徑畫弧，交OA于D，交OB于E.（2）分別以D、E為圓心，大于DE的長為半徑畫弧，兩弧在AOB內(nèi)部交于點C.（3）畫射線OC.射線OC即為所求.要點四、軌跡把符合某些條件的所有點的集合叫做點的軌跡.和線段兩個端點距離相等的點的軌跡是這條線段的垂直平分線.在一個角的內(nèi)部（包括頂點）且到角兩邊距離相等的點的軌跡是這個角的平分線.到定點的距離等于定長的點的軌跡是以這個定點為圓心，定長為半徑的圓.【典型例題】類型一、角的平分線的性質(zhì)及判定1、已知：如圖，在中，AD平分BAC，DEAB于E，DFAC于F. 求證：AEAF 【答案與解析】證明：AD平分BAC，DEAB于E，DFAC于F. DEDF（角平分線上的點到角兩邊的距離相等） （垂直定義）在和中 （HL）【總結(jié)升華】先由角平分線的性質(zhì)得出DEDF，再證，即可得出AEAF.分析已知，尋找條件，順次證明舉一反三：【變式】如圖，AD是BAC的平分線，DEAB，交AB的延長線于點E，DFAC于點F，且DBDC.求證：BECF.【答案】證明：DEAE，DFAC，AD是BAC的平分線， DEDF，BEDDFC90 在RtBDE與RtCDF中， RtBDERtCDF（HL） BECF2、如圖，AD是ABC的角平分線，DFAB，垂足為F，DEDG，ADG和AED的面積分別為50和39，則EDF的面積為：（ ） A.11 B.5.5 C.7 D.3.5【答案】 B；【解析】解： 過D點作DHAC于H， AD是ABC的角平分線，DFAB，DHACDFDH在RtEDF和RtGDH中DEDG，DFDHRtEDFRtGDH同理可證RtADF和RtADH503911，EDF的面積為5.5 【總結(jié)升華】本題求EDF的面積不方便找底和高，利用全等三角形可用已知ADG和AED的 面積來表示EDF面積.3、如圖，AC=DB，PAC與PBD的面積相等求證：OP平分AOB【答案與解析】證明：作PMOA于M，PNOB于N ，且 又ACBD PMPN 又PMOA，PNOB OP平分AOB 【總結(jié)升華】觀察已知條件中提到的三角形PAC與PBD，顯然與全等無關(guān)，而面積相等、底邊相等，于是自然想到可得兩三角形的高線相等，聯(lián)系到角平分線判定定理可得.跟三角形的高結(jié)合的題目，有時候用面積會取得意想不到的效果.類型二、角的平分線的性質(zhì)綜合應(yīng)用4、如圖，P為ABC的外角平分線上任一點.求證：PBPCABAC.【答案與解析】證明：當(dāng)點P與點A不重合時，在BA延長線上取一點D，使ADAC，連結(jié)PD.P為ABC的外角平分線上一點，12 在PAD和PAC中PADPAC（SAS），PDPC在PBD中，PBPDBD，BDABADPBPCABAC.當(dāng)點P與點A重合時，PBPCABAC.綜上，PBPCABAC.【總結(jié)升華】本題利用角平分線的對稱性，在角兩邊取相同的線段，通過（SAS）構(gòu)造全等三角形，從而把分散的線段集中到同一個三角形中.舉一反三：【變式】如圖，DCAB，BAD和ADC的平分線相交于E，過E的直線分別交DC、AB于C、B兩點. 求證：ADABDC.【答案】 證明：在線段AD上取AFAB，連接EF，AE是BAD的角平分線，12，AFAB AEAE，ABEAFE，BAFE，由CDAB又可得CB180，AFEC180，又DFEAFE180，CDFE，DE是ADC的平分線，34，又DEDE，CDEFDE，DFDC，ADDFAF，ADABDC 類型三、點的軌跡5、到直線的距離等于2的點的軌跡是（）A半徑為2的圓 B與平行且到的距離等于2的一條直線C與平行且到的距離等于2的兩條直線D與垂直的一