光電信息物理基礎數(shù)學基礎ppt課件.pptx

第一章數(shù)學基礎 光電信息物理基礎 1 第一章數(shù)學基礎 1 1矢量代數(shù)和矢量函數(shù)1 矢量 既有大小又有方向的量 如 力 速度 位移等 標量 只有大小沒有方向的量 如 長度 時間 質量等 矢量表示 帶箭頭的字母 如 等 黑斜體字母 如A B等 矢量的模 矢量的大小 用A或 2 第一章數(shù)學基礎 2 矢量加減運算矢量加法服從交換律 A B CA B B A當有三個矢量相加時 服從結合律 A B C A B C A B C 平行四邊形法則三角形法則 3 兩個矢量相減時 如A B 先取B的負矢量 B 第一章數(shù)學基礎 B A B 3 單位矢量和分矢量一個矢量A乘以一個正標量m得到一個新矢量 與A同向 大小為A的m倍 單位矢量 大小為1的矢量 如A的單位矢量表示為 一個矢量可以用該矢量方向上的單位矢量和該矢量的大小相乘所得 即 4 任意矢量都可以分解為幾個矢量 特別是可以分解為沿坐標軸的互相垂直的分量 如在笛卡爾坐標系中 矢量A可以分解為 為坐標軸方向的單位矢量 4 兩矢量的標量積矢量A和矢量B的標量積記為A B 第一章數(shù)學基礎 是矢量A和矢量B的夾角 5 若將矢量A和矢量B用直角坐標系方法表示 則有兩矢量的標量積滿足交換律和分配律5 兩矢量的矢量積記為矢量積是一個矢量 大小等于方向垂直于矢量A和矢量B所決定的平面 第一章數(shù)學基礎 是矢量A和矢量B的夾角 A B 6 兩矢量的矢量積不服從交換律 滿足分配律若將矢量A和矢量B用直角坐標系方法表示 則有6 三矢量相乘 第一章數(shù)學基礎 7 7 矢量函數(shù)與矢量線標量函數(shù) 具有確定數(shù)值的標量可以是空間坐標 如直角坐標系中的x y z 和時間t的函數(shù) 稱f x y z t 為標量函數(shù) 矢量函數(shù) 具有確定方向的物理量的矢量 一般都是一個或幾個 標量 變量的函數(shù) 稱F x y z t 為矢量函數(shù) 一個矢量函數(shù)F x y z t 對應三個標量函數(shù)若f或F的物理狀態(tài)與時間無關 則代表靜態(tài)場 若與時間有關 則為動態(tài)場或時變場 第一章數(shù)學基礎 8 矢量和矢量場的不變特性描述物理狀態(tài)空間分布的標量函數(shù)f x y z t 和矢量函數(shù)F x y z t 在時間是一定值的情況下 它們是唯一的 它們的數(shù)值和方向與所選擇的坐標系無關 即使進行坐標系轉換 它們也保持不變 大小和方向都保持不變的矢量稱為常失 反之稱為變失 矢量函數(shù)對時間和空間坐標變量的微分 仍然是一個矢量 第一章數(shù)學基礎 9 矢量線為形象描述矢量場在空間的分布狀態(tài) 引入矢量線概念 矢量線上的每一點的切線方向都代表該點的矢量場方向 矢量場中的每一點均有唯一的一條矢量線通過 所有矢量線充滿了整個矢量所在空間 如 電力線 磁力線就是電場和磁場的矢量線 由矢量線定義可知 其上任一點的切向長度元dl與該點矢量場A的方向平行 于是有 第一章數(shù)學基礎 10 直角坐標系中由可得這就是矢量線的微分方程 求得它的通解可繪出矢量線 第一章數(shù)學基礎 0 11 1 2場 梯度 散度和旋度1 場如果在一個空間區(qū)域中 某個物理量在其中每一點都取確定值 就稱這個空間區(qū)域存在物理量的場 如果這個物理量是標量 則為標量場 如溫度場 電勢場等 如果這個物理量是矢量 則為矢量場 如電場 磁場等 2 標量場的方向導數(shù)和梯度標量場中分布在各點的物理量u是場中點坐標的單值函數(shù) 即u u r r代表三個空間坐標 x y z u在場中的變化情況通常具有更重要的物理意義 故引入方向導數(shù)的概念 第一章數(shù)學基礎 12 在場中取一點 由點引射線 其方向由方向余弦 確定 在l上取另一點M 記 定義u在點沿l的方向導數(shù)為方向導數(shù)描述u在點沿l方向的變化率 設函數(shù)u在點可微 方向導數(shù)在直角坐標系下可表示為 1 2 3 式中為函數(shù)u在該點的偏導數(shù) 方向余弦 第一章數(shù)學基礎 M 13 在標量場u中定義一個矢量G 是沿直角坐標系坐標軸x y z方向的單位矢量 在場中任意點 矢量G是唯一的 記沿l方向的單位矢量為由 1 2 3 得意義 它在任意方向的投影就給出沿這個方向u的方向導數(shù) 矢量G的方向就是u變化率最大的方向 其模就是變化率的最大值 G稱為標量場u的梯度 記做gradu G 第一章數(shù)學基礎 14 引進矢量微分算子 第一章數(shù)學基礎 15 例1 1 已知標量場 求空間一點P 1 1 1 的梯度和沿方向的方向導數(shù) 解 由根據(jù)梯度公式 得標量場在P點的梯度為 第一章數(shù)學基礎 16 l的單位矢量為由方向導數(shù)與梯度之間的關系式可知 沿方向的方向導數(shù)為 第一章數(shù)學基礎 17 3 矢量場的通量和散度引進矢量線來描述矢量場 矢量場分為兩種 縱場 矢量線從場中一點發(fā)出 終止在另外一點上或無窮遠處 橫場 矢量場沒有起點及終點 是閉合回線 第一章數(shù)學基礎 18 矢量場A沿場中任一有向曲面S的積分稱為矢量場A穿過面S的通量 當式中S為一小閉合曲線時 取曲面正法向由內向外 記S包圍的空間區(qū)域為 其體積為 在直角坐標系中矢量A可表示為有向面元dS可表示為 故 第一章數(shù)學基礎 19 根據(jù)高斯積分公式 上式可寫為 利用積分中值定理 上式可寫為式中 為閉合曲面S所圍區(qū)域中的一點 的體積為 第一章數(shù)學基礎 20 在矢量場A中取一點 作一包圍點的閉合有向曲面S 設S包圍的空間區(qū)域為 體積為 以記為穿過S的通量 當以任意方式縮向時 極限值稱為矢量場A在點的散度