定積分的近似計(jì)算(數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)報(bào)告matlab版).doc

數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)報(bào)告實(shí)驗(yàn)序號(hào)：2日期：2013年 12月 5日班級(jí)2011應(yīng)數(shù)一班姓名孫婉婉學(xué)號(hào)1101114143實(shí)驗(yàn)名稱定積分的近似計(jì)算問題背景描述： 牛頓萊布尼茲公式僅使用于被積函數(shù)的原函數(shù)能用初等函數(shù)表達(dá)出來的情形。如果這點(diǎn)辦不到或者不容易辦到，就有必要考慮近似計(jì)算的方法。在定積分的許多應(yīng)用問題中，被積函數(shù)甚至沒有解析表達(dá)式，可能只是一條實(shí)驗(yàn)記錄曲線，或者是一組離散的采樣值，這時(shí)應(yīng)用近似方法去計(jì)算相應(yīng)的定積分,以便更好地熟練地掌握定積分的近似計(jì)算. 實(shí)驗(yàn)?zāi)康?1 加深理解積分理論中分割、近似、求和、取極限的思想方法；2 了解定積分近似計(jì)算的矩形法、梯形法與拋物線法；3 會(huì)用MATLAB語言編寫求定積分近似值的程序，會(huì)用MALAB中的命令求定積分。實(shí)驗(yàn)內(nèi)容1 分別用梯形法與拋物線法，計(jì)算，取n=120.要求使用函數(shù)trapz( )、quad( )進(jìn)行計(jì)算求解，并比較結(jié)果的差異；2 試計(jì)算定積分.（注意：可以運(yùn)用trapz( )、quad( )或附錄程序求解嗎？為什么？）；3 學(xué)習(xí)fuluBsum.m的程序設(shè)計(jì)方法，嘗試用函數(shù)sum改寫附錄C的程序，避免for循環(huán)。實(shí)驗(yàn)原理與數(shù)學(xué)模型:實(shí)驗(yàn)原理與數(shù)學(xué)模型： 1 矩形法：根據(jù)定積分的定義，每一個(gè)積分和都可以看作是定積分的一個(gè)近似值，即在幾何意義上，這是用一系列小矩形面積近似小曲邊梯形的結(jié)果，所以把這個(gè)近似計(jì)算方法稱為矩形法不過，只有當(dāng)積分區(qū)間被分割得很細(xì)時(shí)，矩形法才有一定的精確度針對(duì)不同的取法，計(jì)算結(jié)果會(huì)有不同。（1） 左點(diǎn)法：對(duì)等分區(qū)間，在區(qū)間上取左端點(diǎn)，即取。（2）右點(diǎn)法：同（1）中劃分區(qū)間，在區(qū)間上取右端點(diǎn)，即取。（3）中點(diǎn)法：同（1）中劃分區(qū)間，在區(qū)間上取中點(diǎn)，即取。2 梯形法等分區(qū)間，相應(yīng)函數(shù)值為 （）曲線上相應(yīng)的點(diǎn)為 （）將曲線的每一段弧用過點(diǎn)，的弦（線性函數(shù)）來代替，這使得每個(gè)上的曲邊梯形成為真正的梯形，其面積為，于是各個(gè)小梯形面積之和就是曲邊梯形面積的近似值，即 ，稱此式為梯形公式。3 拋物線法將積分區(qū)間作等分，分點(diǎn)依次為，對(duì)應(yīng)函數(shù)值為（），曲線上相應(yīng)點(diǎn)為（）現(xiàn)把區(qū)間上的曲線段用通過三點(diǎn)，的拋物線來近似代替，然后求函數(shù)從到的定積分：由于，代入上式整理后得同樣也有將這個(gè)積分相加即得原來所要計(jì)算的定積分的近似值：，即這就是拋物線法公式，也稱為辛卜生（Simpson）公式 實(shí)驗(yàn)所用軟件及版本：2012B主要內(nèi)容： 1，分別用梯形法與拋物線法，計(jì)算，將積分區(qū)間1,2作120等分。并嘗試用函數(shù)trapz(),quad()進(jìn)行算求解，比較結(jié)果的差異。2，試計(jì)算定積分.(注意：可以運(yùn)用trapz()、quad()、或附錄程序求解嗎？為什么？) 3，學(xué)習(xí)fuluBsum.m的程序設(shè)計(jì)方法，嘗試用函數(shù)sum改寫矩形法和拋物線法的程序，避免for循環(huán)。實(shí)驗(yàn)過程記錄（含基本步驟、主要程序清單及異常情況記錄等）：1、（1）梯形法：、format longn=120;a=1;b=2;inum=0;syms x fxfx=1/x; for i=1:n xj=a+(i-1)*(b-a)/n; xi=a+i*(b-a)/n; fxj=subs(fx,x,xj); fxi=subs(fx,x,xi); inum=inum+(fxj+fxi)*(b-a)/(2*n);endinumx=1:1/120:2;y=1./x;trapz(x,y)（2）拋物線法： format longn=120;a=1;b=2;inum=0;syms x fxfx=1/x;for i=1:n xj=a+(i-1)*(b-a)/n; xi=a+i*(b-a)/n; xk=(xi+xj)/2; fxj=subs(fx,x,xj); fxi=subs(fx,x,xi); fxk=subs(fx,x,xk); inum=inum+(fxj+4*fxk+fxi)*(b-a)/(6*n);endinum quad(1./x,1,2)2、（1）符號(hào)求積分：int(sin(x)/x,x,0,inf)（2）quad(sin(x)./x,0,inf)3 ex2zhi2tixingfa.m format long n=120;a=1;b=2;inum=0;syms x fxfx=1./x;for i=1:n xj=a+(i-1)*(b-a)/n; xi=a+i*(b-a)/n; fxj=subs(fx,x,xj); fxi=subs(fx,x,xi); inum=inum+(fxj+fxi)*(b-a)/(2*n);end inum integrate=int(fx,1,2)integrate=double(integrate)fprintf(The relative error between inum and real-value is about:%gnn,.abs(inum-integrate)/integrate)ex2zhi2paowuxianfa.mformat long n=120;a=1;b=2;m=0;p=0;syms x fxfx=1./x;for k=1:n i=2*k-1; j=2*k; xi=a+(b-a)*i/(2*n); xj=a+(b-a)*j/(2*n); fxi=subs(fx,x,xi); fxj=subs(fx,x,xj); m=m+fxi;p=p+fxj;end fxa=subs(fx,x,a); fxb=subs(fx,x,b); inum=(b-a)*(fxa+fxb+4*m+2*p)/(6*n)integrate=int(fx,1,2)integrate=double(integrate)fprintf(The relative error between inum and real-value is about:%gnn,.abs(inum-integrate)/integrate)ex2zhi2paowuxianfa.mformat long n=120;a=1;b=2;m=0;p=0;syms x fxfx=1./x;for k=1:n i=2*k-1; j=2*k; xi=a+(b-a)*i/(2*n); xj=a+(b-a)*j/(2*n); fxi=subs(fx,x,xi); fxj=subs(fx,x,xj); m=m+fxi;p=p+fxj;end fxa=subs(fx,x,a); fxb=subs(fx,x,b); inum=(b-a)*(fxa+fxb+4*m+2*p)/(6*n)integrate=int(fx,1,2)integrate=double(integrate)fprintf(The relative error between inum and real-value is about:%gnn,.abs(inum-integrate)/integrate)改寫矩形法ex6gaixiejuxingfa.mformat long n=100;a=0;b=1; syms x fxfx=1/(1+x2);i=1:n;xj=a+(i-1)*(b-a)/n;xi=a+i*(b-a)/n;fxj=subs(fx,x,xj);fxi=subs(fx,x,xi);fxij=(fxi+fxj)/2;m=fxj*(b-a)/n;p=fxi*(b-a)/n;k=fxij*(b-a)/n;inum1=sum(m)inum2=sum(p)inum3=sum(k)改寫拋物線法 ex6gaixiepaowuxianfa.mformat long n=100;a=0;b=1; syms x fxfx=1/(1+x2);i=0:(n-1);xj=a+(2*i)*(b-a)/(2*n);xi=a+(2*i+1)*(b-a)/(2*n);xk=a+(2*i+2)*(b-a)/(2*n);fxj=subs(fx,x,xj);fxi=subs(fx,x,xi);fxk=subs(fx,x,xk);m=(fxj+4*fxi+fxk)*(b-a)/(6*n);inum=sum(m)實(shí)驗(yàn)結(jié)果報(bào)告與實(shí)驗(yàn)總結(jié)：run(E:matlabex2zhi2tixingfa.m)inum = 0.69315152080005integrate =log(2)integrate =0.69314718055995The relative error between inum and real-value is about:6.26164e-006 0.69315152080005integrate =log(2)integrate =0.69314718055995The relative error between inum and real-value is about:6.26164e-006run(E:matlabex2zhi2paowuxianfa.m)inum = 0.69453606945825integrate =log(2)integrate = 0.69314718055995The relative error between inum and real-value is about:0.00200374run(E:matlabex2zhi2trapz.m)inum = 0.69315152080005integrate =log(2) integrate = 0.69314718055995The relative error between inum and real-value is about:6.26164e-006、（1）梯形法 inum = 0.693151520800048 ans = 0.693151520800048(2)拋物線法 inum = 0.693147180569364 ans = 0.6931471998629702、（1）ans =pi/21， 求定積分時(shí)用quad()求解相對(duì)精確，trap