簡單幾何體的外接球與內切球問題.doc

簡單幾何體的外接球與內切球問題一、外接球的問題：簡單多面體外接球問題是立體幾何中的難點和重要的考點，此類問題實質是解決球的半徑尺或確定球心0的位置問題，其中球心的確定是關鍵（一） 由球的定義確定球心在空間，如果一個定點與一個簡單多面體的所有頂點的距離都相等，那么這個定點就是該簡單多面體的外接球的球心由上述性質，可以得到確定簡單多面體外接球的球心的如下結論結論1：正方體或長方體的外接球的球心其體對角線的中點結論2：正棱柱的外接球的球心是上下底面中心的連線的中點結論3：直三棱柱的外接球的球心是上下底面三角形外心的連線的中點結論4：正棱錐的外接球的球心在其高上，具體位置可通過計算找到結論5：若棱錐的頂點可構成共斜邊的直角三角形，則公共斜邊的中點就是其外接球的球心例1、一個六棱柱的底面是正六邊形，其側棱垂直于底面，已知該六棱柱的頂點都在同一個球面上，且該六棱柱的體積為，底面周長為，則這個球的體積為 . 例2、已知各頂點都在同一個球面上的正四棱柱的高為4，體積為16，則這個球的表面積是 .例3、在直三棱柱中，,則直三棱柱的外接球的表面積 .例4、三棱錐A-BCD中，BAAD，BCCD，且AB=1，AD=，則此三棱錐外接球的體積為 . 例5、沿矩形ABCD的對角線AC折起，形成空間四邊形ABCD，使得二面角B-AC-D為120，若AB=2，BC=1，則此時四面體ABCD的外接球的體積為 . （二）構造正方體或長方體確定球心長方體或正方體的外接球的球心是在其體對角線的中點處以下是常見的、基本的幾何體補成正方體或長方體的途徑與方法途徑1：正四面體、三條側棱兩兩垂直的正三棱錐、四個面都是是直角三角形的三棱錐都分別可構造正方體途徑2：同一個頂點上的三條棱兩兩垂直的四面體、相對的棱相等的三棱錐都分別可構造長方體和正方體途徑3：若已知棱錐含有線面垂直關系，則可將棱錐補成長方體或正方體途徑4：若三棱錐的三個側面兩兩垂直，則可將三棱錐補成長方體或正方體例6、正四棱錐的底面邊長和各側棱長都為，點都在同一球面上，則此球的體積為 . 例7、如果三棱錐的三個側面兩兩垂直，它們的面積分別為6、4和3，那么它的外接球的體積是 . 例8、在三棱錐中，,，則三棱錐外接球的表面積 . 例9、在三棱錐中，則三棱錐外接球的體積 .例10、已知一個三棱錐的三視圖如圖所示，其中三個視圖都是直角三角形，則在該三棱錐的四個面中，直角三角形的個數(shù)為 .例11、若三棱錐的所有頂點都在球的球面上，平面， ，則球的表面積為 . （三） 由性質確定球心利用球心與截面圓圓心的連線垂直于截面圓及球心與弦中點的連線垂直于弦的性質，確定球心例12、三棱錐S_-ABC中，SA面ABC，SA=2。ABC是邊長為1的正三角形，則其外接球的表面積為 .例13、點A,B,C,D在同一個球的球面上，AB=BC=2，AC=2，若四面體ABCD體積的最大值為，則該球的表面積為 .二、 內切球問題若一個多面體的各面都與一個球的球面相切， 則稱這個多面體是這個球的外切多面體，這個球是這個多面體的內切球。1、內切球球心到多面體各面的距離均相等，外接球球心到多面體各頂點的距離均相等。2、正多面體的內切球和外接球的球心重合。3、正棱錐的內切球和外接球球心都在高線上，但不重合。4、基本方法：構造三角形利用相似比和勾股定理。5、體積分割是求內切球半徑的通用做法。（一）正方體的的內切球設正方體的棱長為，求（1）內切球半徑；（2）與棱相切的球半徑。（1）截面圖為正方形的內切圓，得；（2）與正方體各棱相切的球：球與正方體的各棱相切，切點為各棱的中點，作截面圖，圓為正方形的外接圓，易得。（二）棱錐的內切球（分割法）將內切球的球心與棱錐的各個頂點連線，將棱錐分割成以原棱錐的面為底面，內切球的半徑為高的小棱錐，根據(jù)分割前后的體積相等，列出關于半徑R的方程。若棱錐的體積為V，表面積為S，則內切球的半徑為.例13、正四棱錐，底面邊長為2，側棱長為3，則內切球的半徑是 . 例14、三棱錐中，底面是邊長為2的正三角形， 底面，且，則此三棱錐內切球的半徑為 .（ ）（三）