函數(shù)與極限習題課.pdf

三 連續(xù)與間斷 一 函數(shù) 二 極限 三 連續(xù)與間斷 一 函數(shù) 二 極限 習題課習題課習題課習題課 機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 函數(shù)與極限函數(shù)與極限 第一章第一章 一 函數(shù)的定義 二 極限的概念 三 連續(xù)的概念 一 函數(shù)的定義 二 極限的概念 三 連續(xù)的概念 一 主要內容一 主要內容一 主要內容一 主要內容 機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 基本初等函數(shù)基本初等函數(shù) 1 冪函數(shù)1 冪函數(shù) 是常數(shù)是常數(shù) xy 2 指數(shù)函數(shù)2 指數(shù)函數(shù) 1 0 aaay x 3 對數(shù)函數(shù)3 對數(shù)函數(shù) 1 0 log aaxy a 4 三角函數(shù)4 三角函數(shù) cos xy sin xy 5 反三角函數(shù)5 反三角函數(shù) arccosxy arcsin xy cot xy tan xy arctanxy ycotarcx 機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 雙曲函數(shù)雙曲函數(shù) 2 sinh xx ee x 雙曲正弦 雙曲正弦 2 cosh xx ee x 雙曲余弦 雙曲余弦 xx xx ee ee x x x cosh sinh tanh雙曲正切雙曲正切 機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 求極限的常用方法求極限的常用方法 a 定義及運算法則 b 兩個重要極限 c 夾逼定理和單調有界原理 d 利用無窮小運算性質求極限 e 利用等價無窮小代換 a 定義及運算法則 b 兩個重要極限 c 夾逼定理和單調有界原理 d 利用無窮小運算性質求極限 e 利用等價無窮小代換 機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 1 1 sin lim 0 x x x 2 e x x x 1 1 lim ex x x 1 0 1 lim 1 lim 1 e 某過程某過程 兩個重要極限兩個重要極限 機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 1 sin lim 某過程某過程 0lim 某過程某過程 其中 其中 0lim 某過程某過程 其中 其中 e n n n 1 1 lim 常用等價無窮小 常用等價無窮小 sinxx tanxx 2 1 cos1 2 xx arcsinxx arctanxx 1ln xx 1xe x ln 1axa x xx 1 1 機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 時當時當0 x 閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質 最值定理最值定理 注意 解題思路 注意 解題思路 1 直接法 1 直接法 先利用最值定理 再利用介值定理 先利用最值定理 再利用介值定理 2 輔助函數(shù)法 2 輔助函數(shù)法 先作輔助函數(shù)先作輔助函數(shù)F x 再利用零點存 在定理 再利用零點存 在定理 機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 介值定理介值定理 有界性定理有界性定理 零點存在定理 1 閉區(qū)間 2 連續(xù)函數(shù) 這兩點不滿足上述定理不一定成立 零點存在定理 1 閉區(qū)間 2 連續(xù)函數(shù) 這兩點不滿足上述定理不一定成立 習題習題1 9 P76 1 2 4 5 7 10 13 14 15 2 4 5 2 5 7 8 11 12 14 16 17 作業(yè) 作業(yè) 例1例1 16 log 2 1 的定義域求函數(shù)的定義域求函數(shù)xy x 解解 016 2 x 01 x 11 x 2 1 4 x x x 4221 xx及及 4 2 2 1 即即 二 典型例題二 典型例題二 典型例題二 典型例題 機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 y的反函數(shù)及其定義域 的反函數(shù)及其定義域 解 解 01 x當時 當時 2 xy 則則 1 0 yyx 10 x當時 當時 xyln 則則 0 yex y 21 x當 時 當 時 1 2 x ey 則則 2 2 2 ln1ey y x 反函數(shù)反函數(shù) y 1 0 xx 0 xe x 2 2 2 ln1ex x 定義域為定義域為 2 2 1 e 21 2 10 ln 01 1 2 xe xx xx x 2 12 e2 1 y ox 1 1 0 0 2 2 e 機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 例2 例2 求求 f nMM MMMMM n M n 121 n M M M M M M n M 解得解得 1 1 max M M M N M 取取 時當 時當NnN 0 1 nn xx n x又顯然又顯然有極限 所以有極限 所以 n x 設為 設為 A則則 n n n n x n M xA 1 limlim 1 00 A 0 lim n M n n 即即由夾逼定理由夾逼定理 0 lim n a n n 0 lim n a n n 從而從而 機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 一般地 一般地 Axf xx lim 0 lim 0 Axf xx 注意 注意 反之不成立 但 反之不成立 但 0 lim 0 xf xx 0 lim 0 xf xx 例 7 例 7 證明 證明 0lim n k n a n 1 a Nk 證明 證明 1 0aa設設 nn a 1 nk k knnn a 1 1 1 1 1 1 1 k k knnn 時當時當kn 1 1 1 0 1 knknnn nk a n k kn k 1211 axNnN k 時當時當 222 axNnN k 時當時當 2 12max 21 NNN 取 取 時當時當Nn axxx nNnL nn xaax L n xa L n xa x 1 1 1 1 1 x x x xxx n 2 22 1 2 1 nnn 1 22 1 nnn1 2 1 n nnn nnnn 1 2 1 22 1 2 1 2 22 1 2 1lim 2 1lime n e n n n n n 而而 2 2 22 1 lime nn n n 所以所以 機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 1 3 2 2 1 lim 11 n n n 1 11 3 13 2 12 lim n n n 1 1 1 3 1 2 1 2 1 1 lim nn n 1 1 1 lim n n 1 sin 1 2 lim 12 4 1 0 x x e e x x x 解 解 x x e e x x x sin 1 2 lim 4 1 0 x x e ee x xx x sin 1 2 lim 4 34 0 1 x x e e x x x sin 1 2 lim 4 1 0 x x e e x x x sin 1 2 lim 4 1 0 1 原式 1 原式 1 2000考研 2000考研 機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 2 cos 4 cos 2 coslim 13 n n 解解將分子 分母同乘以將分子 分母同乘以 n 2 sin2 n nnn n 2 sin2 2 2 sin 2 cos 2 cos 2 cos 2 cos lim 1 原式原式 n n n 2 sin2 sin lim sin 機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 1 1 1 1 lim 1 14 242 n xxxx x n 求 時當 求 時當 解解將分子 分母同乘以因子將分子 分母同乘以因子 1 x 則則 x xxxxx n n 1 1 1 1 1 1 lim 242 原式原式 x xxxx n n 1 1 1 1 1 lim 2422 x xx nn n 1 1 1 lim 22 x x n n 1 1 lim 1 2 1 1 x 0lim 1 1 2 時當 a nn nn n n n n aa aa x x 1 1 1 1 limlim 11 1 n n n a a a a a 1 1 1 1 1 1 1 lim 1 a 1 機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 0時當時當 a nn nn n n n n aa aa x x 1 1 1 1 limlim 11 1 1 1 1 1 1 1 1 lim 1 n n n a a a a aa 1 01 0 1 lim 1 a aa x x n n n 所以所以 機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 例16 例16 設設 2 1 0 iai 證 證 顯然顯然 1 nn xx 證明下述數(shù)列有極限 證明下述數(shù)列有極限 1 1 1 1 1 1 2121 2 1 1 n n aaa a aa a a a n x 2 1 n 即即 n x 單調增 又單調增 又 n kk k n aa a x 11 1 1 1 1 1 1 a 1 1 n kk aa 211 1 1 1 1 1 1 1k aa 1 1 1 1 1n aa 1 n x x xx n n n 設設 并求極限 收斂證明 并求極限 收斂證明 n n n xx lim 2 1 0 1 2 1 0 10 n x x xx n n n 2 1 0 2 2 2 2 1 n x x n n 又又 有界即有界即 20 n x 1 n x211 2 1 1 0 1 x x 1 2 3 3 51 1x x x kk xx 1212 1232 kk xx 1 1 1 1 222kk xx kk kk xx xx 222 222 0 機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 單調減少單調增加 單調減少單調增加 122 kk xx 由歸納法假設 由歸納法假設 極限存在由單調有界原理 極限存在由單調有界原理 122 kk xx lim lim 122 BxAx k k k k 設設有式 由有式 由 12 2 2 12 1 1 1 1 k k k k x x x x 兩邊取極限兩邊取極限 B A A B 1 1 1 1 解得 解得 2 51 BA 2 51 lim 1 n n n F F 于是于是 機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 例19 例19 證明 證明 時存在漸近線當曲線時存在漸近線當曲線 xxfy 的充分必要條件是 的充分必要條件是 baxy lima x xf x 均存在 均存在 limbaxxf x 證明 必要性 證明 必要性 由條件知 由條件知 0 lim baxxf x x xf x lim 1 lim x b abaxxf x x a baxxf x lim 充分性 充分性 limbaxxf x baxxf x lim0 機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 33 1xy 0 1 lim 33 bxax x 解1 解1 原式原式 0 1 1 lim 3 3 x b a x x x 0 1 1 lim 3 3 x b a x x 故故 01 a于是于是 1 a而而 1 lim 33 xxb x 233 3 23 1 1 1 lim xxxx x 0 xy 例20例20 確定常數(shù) 確定常數(shù) a b 使使 機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 0 1 lim 2 bxaxx x 解2 解2 由條件知 由條件知 1 lim 33 xxb x 233 3 23 1 1 1 lim xxxx x 0 練習練習 確定常數(shù) 確定常數(shù) a b 使使 機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 漸近線是漸近線是 33 1 xxfbxay x xf a x lim 3 3 1 1 lim x x 1 2 1 1 b a 8 3 lim 2 ax bbxx ax 解 解 由條件知 由條件知 例21 例21 確定常數(shù) 確定常數(shù) a b 使使 機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 axbbxx 中必有因子中必有因子3 2 3 2 cxaxbbxx 設 設acxcax 2 比較系數(shù)得 比較系數(shù)得 2 3 1 bac bca ax bbxx ax 3 lim 2 ax cxax ax lim 3 8 ca 聯(lián)立 1 2 3 式得 聯(lián)立 1 2 3 式得 64 aa或或 416 bb或或 例22 例22 設函數(shù)設函數(shù) xf cos1 2 x xa 0 x 在 在 x 0 連續(xù) 則 連續(xù) 則 a b 解解 2 0 cos1 lim 0 x xa f x 2 a 2 2 1 cos1xx lnlim 0 2 0 xbf x bln b a ln1 2 2 e eba 2 機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 例23例23 1 2 cos 1 1 的連續(xù)性討論 的連續(xù)性討論 x x xx xf 解解改寫成將改寫成將 xf 1 2 1 1 2 1 1 1 2 x ba x ba xx xbxax 機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 即必須處連續(xù)即可 在只要 上連續(xù)在要使 即必須處連續(xù)即可 在只要 上連續(xù)在要使 1 x xfxf lim lim 1 11 xfxff xx lim lim 1 11 xfxff xx 1 1 ba ba 即得 即得 1 0 ba解得 解得 機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 例25 例25 求 的間斷點 并判別其類型 求 的間斷點 并判別其類型 解 解 1 1 sin 1 xxx xx xf 1 1 sin 1 lim 1 xxx xx x 1sin 2 1 x 1 為第一類間斷點為第一類間斷點 lim 1 xf x x 1 為第二類間斷點為第二類間斷點 1 lim 0 xf x 1 lim 0 xf x x 0 為第一類間斷點為第一類間斷點 機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 例26 例26 求的間斷點 并判別其類型 求的間斷點 并判別其類型 解 解 機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 xxxf 不是整數(shù)時 不是整數(shù)時 0 1 x則 設則 設1 0 nxn lim lim 00 xxxf xxxx nx 0 000 xfxx 0 連續(xù)在即連續(xù)在即xxf 是整數(shù)時 是整數(shù)時 0 2 x則 設則 設nx 0 lim lim 00 00 xxxf xxxx nx 0 000 xfxx lim lim 00 00 xxxf xxxx 1 0 nx 時 時0 ni0 0 x 0 0 lim 0 0 fxf xx 時 時0 nii 1 lim 0 0 0 nxxf xx 0 xf 是非零整數(shù)時 是非零整數(shù)時 0 x 的第一類間斷點是 的第一類間斷點是 xf 1 xax be xf x 有無窮間斷點有無窮間斷點 0 x及可去間斷點及可去間斷點 1 x 解 解 為無窮間斷點 為無窮間斷點 0 x 1 lim 0 xax be x x 所以所以 be xax x x 1 lim 0b a 1 0 1 0 ba 為可去間斷點 為可去間斷點 1 x 1 lim 1 xx be x x 極限存在極限存在 0 lim 1 be x x eeb x x 1 lim 試確定常數(shù) 試確定常數(shù) a 及 及 b 例27 例27 設函數(shù)設函數(shù) 機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 內 內 有有yx yfxfyxf 若 若 f x 在連續(xù) 在連續(xù) 0 x 解解 lim 0 xxf x lim 0 xfxf x 0 fxf 0 xf xf 且對任意實數(shù) 證明 且對任意實數(shù) 證明 f x 對一切 對一切 x 都連續(xù)都連續(xù) 例28 例28 設 設 f x 定義在區(qū)間定義在區(qū)間 機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 例29例29 2 1 1 0 1 0 1 0 ff ffxf 使得證明必有一點 且上連續(xù)在閉區(qū)間設 使得證明必有一點 且上連續(xù)在閉區(qū)間設 證明證明 2 1 xfxfxF 令 令 2 1 0 上連續(xù)在則上連續(xù)在則xF 0 2 1 0 ffF 2 1 1 2 1 ffF 討論 討論 0 0 F若若 0 則則 0 2 1 0 ff 0 2 1 F若若 2 1 則則 2 1 2 1 2 1 ff 機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 則若則若 0 2 1 0 0 FF 2 1 0 FF 2 0 2 1 ff 0 由零點定理知 由零點定理知 0 2 1 0 F使使 2 1 成立即成立即 ff 綜上 綜上 1 0 2 1 0 必有一點必有一點 2 1 成立使成立使 ff 機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 例30例30 4 1 1 0 1 0 1 0 ff ffxf 使得證明必有一點 且上連續(xù)在閉區(qū)間設 使得證明必有一點 且上連續(xù)在閉區(qū)間設 證明證明 4 1 xfxfxF 令 令 4 3 0 上連續(xù)在則上連續(xù)在則xF 反證 反證 機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 都有若對任何 都有若對任何0 4 3 0 xFx上那么在上那么在 4 3 0 0 0 xFxF或必有或必有 則不妨設 則不妨設0 xF 0 0 4 1 0 ffF 0 4 1 2 1 4 1 ffF 0 2 1 4 3 2 1 ffF 0 4 3 1 4 3 ffF 0 1 ff 從而矛盾 從而矛盾 4 1 ff 即 即 0 1 0 F使得故存在使得故存在 例31例31 1 1 0 1 0 1 0 f n f n ffxf 使得必有一點對任何自然數(shù)證明 且上連續(xù)在閉區(qū)間設 使得必有一點對任何自然數(shù)證明 且上連續(xù)在閉區(qū)間設 機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 證明 證明 略 略 例32例32 1 0 10 0 1 0 1 0 faf aa ffxf 使得 必有一點則對任意的實數(shù) 且上非負連續(xù)在設 使得 必有一點則對任意的實數(shù) 且上非負連續(xù)在設 機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 證明證明 xfaxfxF 令令 0 0 fafF 1 1 1 affaF 0 af 0 1 af 0 0 1 afF若若 則取 則取0 0 1 1 2 afaF若若 則取 則取 1 0 1 a 則若則若 0 1 0 0 3 aFF0 1 0 aFF 1 0 1 0 a而而 1 0 上連續(xù)在上連續(xù)在axF faf 即即 0 1 0 F使得故存在使得故存在 例33例33 2 1 2 1 21n i xnfxfxf nn f ba nibaxbaxf 使得證明 必存在一點 且內連續(xù)在設 使得證明 必存在一點 且內連續(xù)在設 機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 證明 證明 bxxxa n X 當當 Xx 時 有時 有 M 使 使 1 XXxMxf 取取 1 maxMAAM 則則 xMxf xf 在在 內連續(xù) 內連續(xù) limxf x 存在 則存在 則 xf必在必在 內有界 內有界 xf X X A 1 M y o x 例34 例34 證明 若證明 若 機動 目錄 上頁 下頁 返