三角函數(shù)與相似三角形練習(xí)題.pdf

1 1 ABC 中 中 a b c分別是分別是CBA 的對(duì)邊 已知的對(duì)邊 已知10a 32b 23 c 則 則 sinsinbBcC 的值等于 的值等于 解析 注意到 222 52 652 610bca 所以A 為直角 所以sin b B a sin c C a 所以 22 2 sinsin1 bc bBcC a 2 若若045 且 且 3 sincos7 16 求 求sin 的值的值 解析 方法 1 解析 方法 1 由 由 22 363 sincos7sincos 16256 結(jié)合 結(jié)合 22 sincos1 可得 可得 222 6397 sin 1 sin sin 2561616 或 由由045 可知可知 22 1 sinsin 45 2 故 故 2 77 sinsin 164 方法方法 2 由 由 33 sincos72sincos7 168 結(jié)合 結(jié)合 22 sincos1 可得 可得 337 sincos17 84 337 cossin17 84 故 故 7 sin 4 3 3 利用頂角為利用頂角為36 的等腰三角形來求的等腰三角形來求sin18 的值 的值 解析 如圖 等腰ABC 中 ABAC 36BAC 作ABC 的平分線 交AC于點(diǎn) E 取BC中點(diǎn) D 連接 AD 則ADBC 設(shè)CDx 則2BCBEAEx 由角平分線定理可知 AEAB ECBC 即 2 2 xAC ECx 又2ACAECExCE 故 22 240CExCEx 從而 22 5 15 2 xx CEx 又0CE 故 51CEx 于是 151 sin18 415 251 CDx AC xx 另 解 通 過 證 明ABC BEC 也 可 得 出 上 述 關(guān) 系 式 22 240CExCEx ABC 222 240 BCAC BECBCAC CECExCEx CEBC 點(diǎn)評(píng) 以上兩個(gè)例題主要考察如何利用特殊角來求其它特殊角的三角函數(shù)值 例 10 介紹的是一種典型的題型和方 法 解題技巧一定要掌握 4 4 化簡(jiǎn)計(jì)算 化簡(jiǎn)計(jì)算 1 22 2sincos 2cossin 2 2 sin 701 2sin20 cos20sin201 3 1sin1sin1cos1cos 1sin1sin1cos1cos 090 4 化簡(jiǎn) 4 化簡(jiǎn) 222 tan1tan2 tan89 sin 1sin 2 sin 89 5 若銳角 5 若銳角 A 滿足滿足tancot2AA 求 求 22 tancotAA 的值 的值 6 化簡(jiǎn) 化簡(jiǎn) 22 tan 40cot 402 7 化簡(jiǎn) 7 化簡(jiǎn) 2 2 sincossin 1sincostg 解析 1 1 2222 2sincos 2cossin 5 sincos 5 2 2 sin 701 2sin20 cos20sin201sin70 cos20sin20 1 sin201 E D C B A 3 原式 2222 2222 1sin1sin1cos1cos 1sin1sin1cos1cos 由090 可知 0cos1 0sin1 故原式 1sin1sin1cos1cos coscossinsin 2sin2cos 4 cossin 4 tan1tan2 tan89tan451 22222222 sin 1sin 2 sin 89sin 1cos 1sin 2cos 2 sin 45 189 44 22 故原式 2 89 5 5 tancot2AA tancot1AA 22222 tancot tancot2tancottancot24AAAAAAAA 22 tancot426AA 6 6 tancot1 又 又tan40cot 9040 cot50cot40 22 tan 40cot 402 22 tan 40cot 402tan40 cot40 2 cot40tan40 cot40tan40 7 原式 2 2 22 cossincossin cossinsincos 22 cossin sincos cossin 5 5 已知已知tan 2 求下列各式的值 求下列各式的值 sincos sincos 22 2sinsincoscos 解析 sin 1 sincostan11 cos sin sincostan13 1 cos 另解 sin tan22sin2cos cos 代入原式即可 由 22 sincos1 可知 22 22 22 2sinsincoscos 2sinsincoscos sincos 2 2 2tantan1 tan1 2 22217 55 另解 sin tan22sin2cos cos 代入原式有 222 2sinsincoscos7cos 將sin2cos 代入 22 sincos1 可得 2 5cos1 故原式 7 5 6 如果如果sincosa sincosb 222 sincossinb 求 求a b的值 的值 解析 可得 22 sincosab 由 可知 2 sinabb 可得 1 2sinsin 2 abab 從而 1 cos 2 ab 從而有 2 1 210 2 abbabbab 若0ab 則sin0 1 cos 2 abb 故 2 11bb 此時(shí)1a 若 1 210 2 bb 則由 22 22 12 22 abab ab 故 7 2 a 綜上所述 1 1 a b 1 1 a b 7 2 1 2 a b 7 2 1 2 a b 7 7 若若 0 30 且 且 1 sin 3 km k為常數(shù) 且為常數(shù) 且k 0 則 則m的取值范是的取值范是 用 用 k 表示 表示 解析 解析 0 30 sin0 sin sin30 即 即0 sin 1 2 0 1 3 km 1 2 所以 所以 11 36 km 又因?yàn)?又因?yàn)?k 11 63 m kk 8 8 已知 已知 ABC 中 中 A B C 的對(duì)邊分別是的對(duì)邊分別是 a b c若若 a b是關(guān)于是關(guān)于x的一元二次方程的一元二次方程 2 4 480 xcxc 的兩個(gè)根 且的兩個(gè)根 且925 sin caA 1 求證求證 ABC是直角三角形是直角三角形 2 求求 ABC的三邊長(zhǎng)的三邊長(zhǎng) 解析 解析 1 a b是方程是方程 2 4 480 xcxc 的兩個(gè)根 的兩個(gè)根 4 48abc abc 222222 2 4 2 48 816816abababcccccc ABC是直角三角形是直角三角形 C 90 2 在在Rt ABC中 中 sin a A c 并代入 并代入925 sincaA 得得 22 925 ca 34 55 ac bc 由由 34 4 4 55 abcccc 得 10c 且此時(shí) 且此時(shí)0 從而從而6 8ab 9 9 在在 ABC 中 中 sin sin2 1AB 且 且 22 2cbbc 求 求 ABC 的度數(shù) 解析 分析 的度數(shù) 解析 分析 題目中涉及了角的正弦的關(guān)系 以及邊的關(guān)系 常規(guī)方法便是利用正弦定理 解 解 由正弦定理 得 sin 2 sin aA bB 2ab 又由余弦定理得 222 2cosabcbcA 把 代入 得 22 2cosbcbcA 再把已知條件 22 2cbbc 代入 得 22 22cosbbbcbcA 0bc 2 cos 2 A 45A 21 sinsin 22 BA 又 AB 30B 即30ABC 10 已知 已知 ABC 中 方程中 方程 2 sinsin sinsin sinsin 0BA xAC xCB 的兩根相等 求證的兩根相等 求證 60B 解析 分析 解析 分析 兩根相等則判別式為0 但是觀察系數(shù)的規(guī)律 是否有其他的好辦法呢 解 解 此方程系數(shù)之和為0 1x 必為此方程的根 又 此方程兩根相等 12 1xx 12 sinsin 1 sinsin CB x x BA 又由正弦定理 有cbba 2 ca b 再由余弦定理 有 222 22222 3 2621 2 cos 22882 ca ac cabaccacaca B cacacaca 60B 且等號(hào)不會(huì)成立 否則方程就不存在了 11 在在ABC 中 已知中 已知 3abc abcab 3 sinsin 4 AB 試判定此三角形的形狀 試判定此三角形的形狀 解析 分析 解析 分析 題目中涉及的仍然是角的正弦的關(guān)系以及邊的關(guān)系 解 解 3abc abcab 222 abcab 兩邊同除以2ab 得 222 1 22 abc ab 即 1 cos 2 C 60C 3 sinsin 4 AB 由正弦定理 有 3 224 ab RR 即 2 3abR 又由正弦定理有 2sin3 CC R C 22 3RC 把 代入 得 2 abc 由 有 22 ababab