初中數(shù)學(xué)競賽輔導(dǎo)資料(9)---16.doc

初中數(shù)學(xué)競賽輔導(dǎo)資料(9) 一元一次方程解的討論甲內(nèi)容提要1， 方程的解的定義：能使方程左右兩邊的值相等的未知數(shù)的值叫做方程的解。一元方程的解也叫做根。例如：方程2x60，x（x-1）=0, |x|=6, 0x=0, 0x=2的解分別是：x=3, x=0或x=1, x=6, 所有的數(shù)，無解。2， 關(guān)于x 的一元一次方程的解（根）的情況：化為最簡方程ax=b后，討論它的解：當(dāng)a0時，有唯一的解x=；當(dāng)a=0且b0時，無解；當(dāng)a=0且b0時，有無數(shù)多解。（不論x取什么值，0x0都成立）3,求方程ax=b(a0)的整數(shù)解、正整數(shù)解、正數(shù)解當(dāng)ab時，方程有整數(shù)解；當(dāng)ab，且a、b同號時，方程有正整數(shù)解；當(dāng)a、b同號時，方程的解是正數(shù)。綜上所述，討論一元一次方程的解，一般應(yīng)先化為最簡方程ax=b乙例題例1 a取什么值時，方程a(a2)x=4(a2)有唯一的解？無解？有無數(shù)多解？是正數(shù)解？解：當(dāng)a0且a2 時，方程有唯一的解，x=當(dāng)a=0時，原方程就是0x= 8，無解；當(dāng)a=2時，原方程就是0x=0有無數(shù)多解由可知當(dāng)a0且a2時，方程的解是x=,只要a與4同號，即當(dāng)a0且a2時，方程的解是正數(shù)。例2 k取什么整數(shù)值時，方程k(x+1)=k2（x2）的解是整數(shù)？（1x）k=6的解是負(fù)整數(shù)？解：化為最簡方程（k2）x=4當(dāng)k+2能整除4，即k+2=1，2，4時，方程的解是整數(shù)k=1，3，0，4，2，6時方程的解是整數(shù)?；癁樽詈喎匠蘫x=k6，當(dāng)k0時x=1，只要k能整除6,即 k=1，2，3，6時，x就是整數(shù)當(dāng)k=1,2,3時，方程的解是負(fù)整數(shù)5，2，1。例3己知方程a(x2)=b(x+1)2a無解。問a和b應(yīng)滿足什么關(guān)系？解：原方程化為最簡方程：(ab)x=b方程無解，ab=0且b0a和b應(yīng)滿足的關(guān)系是a=b0。例4a、b取什么值時，方程（3x2）a+（2x3）b=8x7有無數(shù)多解？解：原方程化為最簡方程：（3a+2b8）x=2a+3b7，根據(jù)0x0時，方程有無數(shù)多解，可知當(dāng)時，原方程有無數(shù)多解。解這個方程組得答當(dāng)a=2且b=1時，原方程有無數(shù)多解。丙練習(xí)（9）1, 根據(jù)方程的解的定義，寫出下列方程的解： (x+1)=0, x2=9,|x|=9，|x|=3,3x+1=3x1,x+2=2+x 2,關(guān)于x的方程ax=x+2無解，那么a_ 3,在方程a(a3)x=a中，當(dāng)a取值為時，有唯一的解；當(dāng)a時無解；當(dāng)a時,有無數(shù)多解；當(dāng)a時,解是負(fù)數(shù)。4， k取什么整數(shù)值時，下列等式中的x是整數(shù)？ x= x= x= x=5， k取什么值時，方程xk=6x的解是 正數(shù)？ 是非負(fù)數(shù)？6， m取什么值時，方程3（m+x）=2m1的解 是零？ 是正數(shù)？7， 己知方程的根是正數(shù)，那么a、b應(yīng)滿足什么關(guān)系？8， m取什么整數(shù)值時，方程的解是整數(shù)?9， 己知方程有無數(shù)多解，求a、b的值。初中數(shù)學(xué)競賽輔導(dǎo)資料（10）二元一次方程的整數(shù)解1， 二元一次方程整數(shù)解存在的條件：在整系數(shù)方程ax+by=c中，若a,b的最大公約數(shù)能整除c,則方程有整數(shù)解。即如果（a,b）|c 則方程ax+by=c有整數(shù)解顯然a,b互質(zhì)時一定有整數(shù)解。例如方程3x+5y=1, 5x-2y=7, 9x+3y=6都有整數(shù)解。返過來也成立，方程9x+3y=10和 4x-2y=1都沒有整數(shù)解，（9，3）3，而3不能整除10；（4，2）2，而2不能整除1。一般我們在正整數(shù)集合里研究公約數(shù)，（a,b）中的a,b實為它們的絕對值。2， 二元一次方程整數(shù)解的求法：若方程ax+by=c有整數(shù)解，一般都有無數(shù)多個，常引入整數(shù)k來表示它的通解（即所有的解）。k叫做參變數(shù)。方法一，整除法：求方程5x+11y=1的整數(shù)解解：x= (1) , 設(shè)是整數(shù)），則y=1-5k (2) ,把（2）代入（1）得x=k-2(1-5k)=11k-2原方程所有的整數(shù)解是（k是整數(shù)）方法二，公式法：設(shè)ax+by=c有整數(shù)解則通解是（x0,y0可用觀察法）3， 求二元一次方程的正整數(shù)解： 出整數(shù)解的通解，再解x,y的不等式組，確定k值 用觀察法直接寫出。例1求方程5x9y=18整數(shù)解的能通解解x=設(shè)（k為整數(shù)），y=35k,代入得x=99k 原方程整數(shù)解是（k為整數(shù)） 又解：當(dāng)x=o時，y=2，方程有一個整數(shù)解它的通解是（k為整數(shù)）從以上可知整數(shù)解的通解的表達(dá)方式不是唯一的。例2，求方程5x+6y=100的正整數(shù)解解：x=(1)，設(shè)(k為整數(shù))，則y=5k,(2)把（2）代入（1）得x=20-6k，解不等式組得0k,k的整數(shù)解是1，2，3，正整數(shù)解是例3，甲種書每本3元，乙種書每本5元，38元可買兩種書各幾本？解：設(shè)甲種書買x本，乙種書買y本，根據(jù)題意得3x+5y=38（x,y都是正整數(shù)）x1時，y=7，是一個整數(shù)解通解是（k為整數(shù)）解不等式組得解集是整數(shù)k=0，1，2把k=0,1,2代入通解，得原方程所有的正整數(shù)解答：甲、乙兩種書分別買1和7本或6和4本或11和1本。丙練習(xí)101， 求下列方程的整數(shù)解公式法：x+7y=4, 5x-11y=3整除法：3x+10y=1, 11x+3y=42,求方程的正整數(shù)解：5x+7y=87,5x+3y=1103，一根長10000毫米的鋼材，要截成兩種不同規(guī)格的毛坯，甲種毛坯長300毫米，乙種毛坯長250毫米，有幾種截法可百分之百地利用鋼材？4， 兄弟三人，老大20歲，老二年齡的2倍與老三年齡的5倍的和是97，求兄弟三人的歲數(shù)。5， 下列方程中沒有整數(shù)解的是哪幾個？答：（填編號） 4x2y=11, 10x-5y=70, 9x+3y=111,18x-9y=98, 91x-13y=169, 120x+121y=324.6, 一張試巻有20道選擇題，選對每題得5分，選錯每題反扣2分，不答得0分，小這軍同學(xué)得48分，他最多得幾分？7用觀察法寫出方程3x+7y=1幾組整數(shù)解：y=142x=初中數(shù)學(xué)競賽輔導(dǎo)資料（11）二元一次方程組解的討論甲內(nèi)容提要1 二元一次方程組的解的情況有以下三種： 當(dāng)時，方程組有無數(shù)多解。（兩個方程等效） 當(dāng)時，方程組無解。（兩個方程是矛盾的） 當(dāng)（即a1b2a2b10）時，方程組有唯一的解：（這個解可用加減消元法求得）2 方程的個數(shù)少于未知數(shù)的個數(shù)時，一般是不定解，即有無數(shù)多解，若要求整數(shù)解，可按二元一次方程整數(shù)解的求法進(jìn)行。3 求方程組中的待定系數(shù)的取值，一般是求出方程組的解（把待定系數(shù)當(dāng)己知數(shù)），再解含待定系數(shù)的不等式或加以討論。（見例2、3）乙例題例1.選擇一組a,c值使方程組 有無數(shù)多解，無解，有唯一的解解：當(dāng)5a=12=7c時，方程組有無數(shù)多解解比例得a=10,c=14。 當(dāng)5a127c時，方程組無解。解得a=10,c14。當(dāng)5a12時，方程組有唯一的解，即當(dāng)a10時，c不論取什么值，原方程組都有唯一的解。例2.a取什么值時，方程組 的解是正數(shù)？解：把a(bǔ)作為已知數(shù)，解這個方程組得解不等式組得解集是6答：當(dāng)a的取值為6時，原方程組的解是正數(shù)。例3.m取何整數(shù)值時，方程組的解x和y都是整數(shù)？解：把m作為已知數(shù)，解方程組得x是整數(shù)，m8取8的約數(shù)1，2，4，8。y是整數(shù)，m8取2的約數(shù)1，2。取它們的公共部分，m81，2。解得m=9，7，10，6。經(jīng)檢驗m=9，7，10，6時，方程組的解都是整數(shù)。例4（古代問題）用100枚銅板買桃，李，欖橄共100粒，己知桃，李每粒分別是3，4枚銅板，而欖橄7粒1枚銅板。問桃，李，欖橄各買幾粒？解：設(shè)桃，李，欖橄分別買x,y,z粒,依題意得由（1）得x= 100yz (3)把（3）代入（2），整理得y=200+3z 設(shè)(k為整數(shù))得z=7k, y=200+20k, x=30027kx,y,z都是正整數(shù)解得（k是整數(shù)）10k3和不等式（2）的解集x2的交集，x3. 如數(shù)軸所示： 0234一類問題，它的答案要同時符合幾個條件，一般可用交集來解答。把符合每個條件的所有的解（即解的集合）分別求出來，它們的公共部分（即交集）就是所求的答案。有時可以先求出其中的一個（一般是元素最多）的解集，再按其他條件逐一篩選、剔除，求得答案。（如例2）乙例題例1.一個自然數(shù)除以3余2，除以5余3，除以7余2，求這個自然數(shù)的最小值。解：除以3余2的自然數(shù)集合A2，5，8，11，14，17，20，23，26，除以5余3的自然數(shù)集B3，8，13，18，23，28，除以7余2自然數(shù)集合C2，9，16，23，30，集合A、B、C的公共元素的最小值23就是所求的自然數(shù)。例2. 有兩個二位的質(zhì)數(shù)，它們的差等于6，并且平方數(shù)的個位數(shù)字相同，求這兩個數(shù)。解：二位的質(zhì)數(shù)共21個，它們的個位數(shù)字只有1，3，7，9，即符合條件的質(zhì)數(shù)它們的個位數(shù)的集合是1，3，7，9；其中差等于6的有：1和7；3和9；13和7，三組；平方數(shù)的個位數(shù)字相同的只有3和7；1和9二組。同時符合三個條件的個位數(shù)字是3和7這一組故所求質(zhì)數(shù)是：23，17；43，37；53，47；73，67共四組。例3. 數(shù)學(xué)興趣小組中訂閱A種刊物的有28人，訂閱B種刊物的有21人，其中6人兩種都訂，只有一人兩種都沒有訂，問只訂A種、只訂B種的各幾人？數(shù)學(xué)興趣小組共有幾人？解：如圖左、右兩橢圓分別表示訂閱A種、B種刊物的人數(shù)集合，則兩圓重疊部分就是它們的交集（A、B兩種都訂的人數(shù)集合）。只訂A種刊物的人數(shù)是28622人；只訂B刊物的人數(shù)是21615人；小組總?cè)藬?shù)是22156144人。設(shè)N，N（A），N（B），N（AB），分別表示總?cè)藬?shù)，訂A種、B種、AB兩種、都不訂的人數(shù)，則得公式一N+ N（A）+N（B）N（AB）。例4. 在40名同學(xué)中調(diào)查，會玩乒乓球的有24人，籃球有18人，排球有10人，同時會玩乒乓球和籃球的有6人，同時會玩乒乓球和排球的有4人，三種球都會的只有1人，問：有多少人只會打乒乓球同時會打籃球和排球只會打排球？解：仿公式一,得公式二：N+ N（A）+N（B）+N(C)N（AB）N（AC）N(BC)+N(ABC)只會打乒乓球的是2464115（人）求N（BC）可用公式二：4024181064N（BC）1N（BC）3，即同時會打籃球和排球的是3人只會打排球的是10316（人）例5. 十進(jìn)制中，六位數(shù)能被33整除，求x和y的值解：0x，y9， 0x+y18， 9xy9，x+yxy33311，19x+y+87的和是3的倍數(shù)，故x+y=2,5,8,11,14,17(1+x+8)(9+y+7)是11的倍數(shù)，故xy=4，7x+y和xy是同奇數(shù)或同偶數(shù)，它們的交集是下列四個方程組的解： 解得 （x=12不合題意舍去）答：x=2,y=6或x=5,y=9或x=9,y=2丙練習(xí)121 負(fù)數(shù)集合與分?jǐn)?shù)集合的交集是2 等腰直角三角形集合是三角形集合與三角形集合的交集。3 12的正約數(shù)集合A，30的正約數(shù)集合B12和30的公約數(shù)集合C，集合C是集合A和集合B的4 解下列不等式組并把解集（不是空集）表示在數(shù)軸上：5 某數(shù)除以3余1，除以5余1，除以7余2，求某數(shù)的最小值。6 九張紙各寫著1到9中的一個自然數(shù)（不重復(fù)），甲拿的兩張數(shù)字和是10，乙拿的兩張數(shù)字差是1，丙拿的兩張數(shù)字積是24，丁拿的兩張數(shù)字商是3，問剩下的一張是多少？7 求符合如下三條件的兩位數(shù)：能被3整除它的平方、立方的個位數(shù)都不變兩個數(shù)位上的數(shù)字積的個位數(shù)與原兩位數(shù)的個位數(shù)字相同。8 據(jù)30名學(xué)生統(tǒng)計，會打籃球的有22人，其中5人還會打排球；有2人兩種球都不會打。那么會打排球有幾人？只會打排球是幾人？9 100名學(xué)生代表選舉學(xué)生會正付主席，對侯選人A和B進(jìn)行表決，贊成A的有52票，贊成B的有60票，其中A、B都贊成的有36人，問對A、B都不贊成的有幾人？10.數(shù)、理、化三科競賽，參加人數(shù)按單科統(tǒng)計，數(shù)學(xué)24人，物理18人，化學(xué)10人；按兩科統(tǒng)計，參加數(shù)理、數(shù)化、理化分別是13、4、5人，沒有三科都參加的人。求參賽的總?cè)藬?shù)，只參加數(shù)學(xué)科的人數(shù)。（本題如果改為有2人三科都參加呢？）11.12.十進(jìn)制中，六位數(shù)能被21整除，求x,y的值（仿例5）初中數(shù)學(xué)競賽輔導(dǎo)資料（13）用枚舉法解題甲內(nèi)容提要有一類問題的解答，可依題意一一列舉，并從中找出規(guī)律。列舉解答要注意： 按一定的順序，有系統(tǒng)地進(jìn)行； 分類列舉時，要做到既不重復(fù)又不違漏； 遇到較大數(shù)字或抽象的字母，可從較小數(shù)字入手，由列舉中找到規(guī)律。乙例題1例1如圖由西向東走，從A處到B處有幾種走法？ 1 解：我們在交叉路上有順序地標(biāo)上不同走法的數(shù)目，例如從A到C有三種走法，在C處標(biāo)上3，從A到M（N）有314種，從A到P有34411種，這樣逐步累計到B，可得111113（種走法）例2 寫出由字母X，Y，Z中的一個或幾個組成的非同類項（系數(shù)為1）的所有四次單項式。解法一：按X4，X3，X2，X，以及不含X的項的順序列出（如左）解法二：按XYZX的順序輪換寫出（如右）X4 ， X 4 ， Y4 ， Z4X3Y，X3Z， X3Y ， Y3Z ， Z3XX2Y2， X2Z2， X2YZ， X3Z ， Y3X， Z3Y XY3， XZ3， XY2Z， XYZ2， X2Y2， Y2Z2 ， Z2X2Y4， Z 4 Y3Z， Y2Z 2， YZ3。 X2YZ， Y2ZX， Z2XY解法三：還可按3個字母，2個字母，1個字母的順序輪換寫出(略)例3 討論不等式axb的解集。解：把a(bǔ)、b、c都以正、負(fù)、零三種不同取值，組合成九種情況列表ax0時，解集是x, 當(dāng)a, 當(dāng)a=0,b0時，解集是所有學(xué)過的數(shù)， 當(dāng)a=0,b0時，解集是空集(即無解)例4如圖把等邊三角形各邊4等分，分別連結(jié)對應(yīng)點，試計算圖中所有的三角形個數(shù)解：設(shè)原等邊三角形邊長為4個單位，則最小的等邊三角形邊長是1個單位，再按頂點在上和頂點在下兩種情況，逐一統(tǒng)計： 邊長1單位，頂點在上的有：1+2+3+4=10邊長1單位，頂點在下的有：1+2+3=6邊長2單位，頂點在上的有：1+2+3=6邊長2單位，頂點在下的有：1邊長3單位，頂點在上的有：1+2=3邊長4單位，頂點在上的有：1合計共27個丙練習(xí)131 己知x，y都是整數(shù)，且xy=6，那么適合等式解共_個，它們是2 a+b=37,適合等式的非負(fù)整數(shù)解共_組，它們是3 xyz=6,寫出所有的正整數(shù)解有：4 如圖線段AF上有B，C，D，E四點,試分別寫出以A，B，C，D，E為一端且不重復(fù)的所有線段，并統(tǒng)計總條數(shù)。A B C D E F 5.寫出以a,b,c中的一個或幾個字母組成的非同類項（系數(shù)為1）的 所有三次單項式 。6. 除以4余1 兩位數(shù)共有幾個？7. 從1到10這十個自然數(shù)中每次取兩個，其和要大于10，共有幾種不同取法？8.把 邊長等于4的正方形各邊4等分，連結(jié)各對應(yīng)點成16個小正方形，試用枚舉法，計算共有幾個正方形？如果改為 5等分呢？10等分呢？9.右圖是街道的一部分，縱橫各有5條路，如果從A到B(只能從北向南，從西向東)，有幾種走法？ 10.列表討論不等式axb的解集. 11.一個正整數(shù)加上3是5的倍數(shù)，減去3是6的倍數(shù)，則這個正整數(shù)的最小值是 初中數(shù)學(xué)競賽輔導(dǎo)資料（14）經(jīng)驗歸納法甲內(nèi)容提要1通常我們把“從特殊到一般”的推理方法、研究問題的方法叫做歸納法。通過有限的幾個特例，觀察其一般規(guī)律，得出結(jié)論，它是一種不完全的歸納法，也叫做經(jīng)驗歸納法。例如由 ( 1)2 1 ，（ 1 ）3 1 ，（ 1 ）4 1 ，歸納出 1 的奇次冪是 1，而 1 的偶次冪 是 1 。由兩位數(shù)從10 到 99共 90 個（ 9 10 ），三位數(shù)從 100 到 999 共900個（9102），四位數(shù)有91039000個（9103），歸納出n 位數(shù)共有910n-1(個) 由1+3=22,1+3+5=32,1+3+5+7=42推斷出從1開始的n個連續(xù)奇數(shù)的和等于n2等?？梢钥闯鼋?jīng)驗歸納法是獲取新知識的重要手段，是知識攀緣前進(jìn)的階梯。2.經(jīng)驗歸納法是通過少數(shù)特例的試驗，發(fā)現(xiàn)規(guī)律，猜想結(jié)論，要使規(guī)律明朗化，必須進(jìn)行足夠次數(shù)的試驗。由于觀察產(chǎn)生的片面性，所猜想的結(jié)論，有可能是錯誤的，所以肯定或否定猜想的結(jié)論，都必須進(jìn)行嚴(yán)格地證明。（到高中，大都是用數(shù)學(xué)歸納法證明）乙例題例1 平面內(nèi)n條直線，每兩條直線都相交，問最多有幾個交點？解：兩條直線只有一個交點， 1 2第3條直線和前兩條直線都相交，增加了2個交點，得12 3 第4條直線和前3條直線都相交，增加了3個交點，得123 第5條直線和前4條直線都相交，增加了4個交點，得1234第n條直線和前n1條直線都相交，增加了n1個交點由此斷定n 條直線兩兩相交，最多有交點123n1（個），這里n2，其和可表示為1+（n+1）,即個交點。例2符號n！表示正整數(shù)從1到n的連乘積，讀作n的階乘。例如5！12345。試比較3n與（n+1）！的大?。╪ 是正整數(shù)）解：當(dāng)n 1時，3n3,（n1）！122當(dāng)n 2時，3n9，（n1）！1236當(dāng)n 3時，3n27,（n1）！123424當(dāng)n 4時，3n81,（n1）！12345120當(dāng)n 5時，3n243,（n1）！6！720猜想其結(jié)論是：當(dāng)n1，2，3時，3n（n1）！，當(dāng)n3時3n（n1）！。例3求適合等式x1+x2+x3+x2003=x1x2x3x2003的正整數(shù)解。分析：這2003個正整數(shù)的和正好與它們的積相等，要確定每一個正整數(shù)的值，我們采用經(jīng)驗歸納法從2個，3個，4個直到發(fā)現(xiàn)規(guī)律為止。解：x1+x2=x1x2的正整數(shù)解是x1=x2=2x1+x2+x3=x1x2x3的正整數(shù)解是x1=1,x2=2,x3=3x1+x2+x3+x4=x1x2x3x4的正整數(shù)解是x1=x2=1,x3=2,x4=4x1+x2+x3+x4+x5=x1x2x3x4x5的正整數(shù)解是x1=x2=x3=1,x4=2,x5=5x1+x2+x3+x4+x5+x6=x1x2x3x4x5x6的正整數(shù)解是x1=x2=x3=x4=1,x5=2,x6=6由此猜想結(jié)論是：適合等式x1+x2+x3+x2003=x1x2x3x2003的正整數(shù)解為x1=x2=x3=x2001=1, x 2002=2，x2003=2003。丙練習(xí)141 除以3余1的正整數(shù)中，一位數(shù)有個，二位數(shù)有個，三位數(shù)有個，n位數(shù)有個。2 十進(jìn)制的兩位數(shù)可記作10a1a2,三位數(shù)記作100a1+10a2+a3,四位數(shù)記作，n位數(shù)記作3 由1323（12）2，132333（123）2，13233343（）2 ,13152，1323n3=( )2。4 用經(jīng)驗歸納法猜想下列各數(shù)的結(jié)論（是什么正整數(shù)的平方）（）2；（）2。（）2；（）25 把自然數(shù)1到100一個個地排下去：1239101199100 這是一個幾位數(shù)？這個數(shù)的各位上的各個數(shù)字和是多少6計算（提示把每個分?jǐn)?shù)寫成兩個分?jǐn)?shù)的差）7a是正整數(shù)，試比較aa+1和(a+1)a的大小.8. 如圖把長方形的四條邊涂上紅色，然后把寬3等分，把長8等分，分成24個小長方形，那么這24個長方形中，兩邊涂色的有個，一邊涂色的有個，四邊都不著色的有個。本題如果改為把寬m等分,長n等分(m,n都是大于1的自然數(shù))那么這mn個長方形中，兩邊涂色的有個，一邊涂色的有個，四邊都不著色的有個9把表面涂有紅色的正方體的各棱都4等分，切成64個小正方體，那么這64個中，三面涂色的有個，兩面涂色的有個，一面涂色的有個，四面都不涂色的有個。本題如果改為把長m等分,寬n等分,高p等分，（m,n,p都是大于2的自然數(shù)）那么這mnp個正方體中，三面涂色的有個，兩面涂色的有個，一面涂色的有個，四面都不涂色的有個。10一個西瓜按橫，縱，垂直三個方向各切三刀，共分成塊，其中不帶皮的有塊。11已知兩個正整數(shù)的積等于11112222，它們分別是，。 初中數(shù)學(xué)競賽輔導(dǎo)資料（15）乘法公式甲內(nèi)容提要1 乘法公式也叫做簡乘公式，就是把一些特殊的多項式相乘的結(jié)果加以總結(jié)，直接應(yīng)用。公式中的每一個字母，一般可以表示數(shù)字、單項式、多項式，有的還可以推廣到分式、根式。公式的應(yīng)用不僅可從左到右的順用（乘法展開），還可以由右到左逆用（因式分解），還要記住一些重要的變形及其逆運(yùn)算除法等。2 基本公式就是最常用、最基礎(chǔ)的公式，并且可以由此而推導(dǎo)出其他公式。完全平方公式：(ab)2=a22ab+b2,平方差公式：（a+b）(ab)=a2b2立方和（差）公式：(ab)(a2ab+b2)=a3b33.公式的推廣： 多項式平方公式：(a+b+c+d)2=a2+b2+c2+d2+2ab+2ac+2ad+2bc+2bd+2cd即：多項式平方等于各項平方和加上每兩項積的2倍。 二項式定理：(ab)3=a33a2b+3ab2b3(ab)4=a44a3b+6a2b24ab3+b4）（ab）5=a55a4b+10a3b2 10a2b35ab4b5）注意觀察右邊展開式的項數(shù)、指數(shù)、系數(shù)、符號的規(guī)律 由平方差、立方和（差）公式引伸的公式（a+b）(a3a2b+ab2b3)=a4b4 (a+b)(a4a3b+a2b2ab3+b4)=a5+b5(a+b)(a5a4b+a3b2a2b3+ab4b5)=a6b6 注意觀察左邊第二個因式的項數(shù)、指數(shù)、系數(shù)、符號的規(guī)律在正整數(shù)指數(shù)的條件下，可歸納如下：設(shè)n為正整數(shù)(a+b)(a2n1a2n2b+a2n3b2ab2n2b2n1)=a2nb2n(a+b)(a2na2n1b+a2n2b2ab2n1+b2n)=a2n+1+b2n+1類似地：（ab）(an1+an2b+an3b2+abn2+bn1)=anbn4. 公式的變形及其逆運(yùn)算由（a+b）2=a2+2ab+b2 得 a2+b2=(a+b)22ab由 (a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3=a3+b3+3ab(a+b) 得 a3+b3=(a+b)33ab(a+b)由公式的推廣可知：當(dāng)n為正整數(shù)時anbn能被ab整除, a2n+1+b2n+1能被a+b整除,a2nb2n能被a+b及ab整除。乙例題例1. 己知x+y=a xy=b 求x2+y2 x3+y3 x4+y4 x5+y5解：x2+y2(x+y)22xya22bx3+y3(x+y)33xy（x+y）a33abx4+y4(x+y)44xy（x2+y2）6x2y2a44a2b2b2x5+y5（x+y）(x4x3y+x2y2xy3+y4) =(x+y)x4+y4xy(x2+y2)+x2y2 =aa44a2b+2b2b(a22b)+b2a55a3b+5ab2例2. 求證：四個連續(xù)整數(shù)的積加上1的和，一定是整數(shù)的平方。證明：設(shè)這四個數(shù)分別為a, a+1, a+2, a+3(a為整數(shù))a(a+1)(a+2)(a+3)+1=a(a+3)(a+1)(a+2)+1=(a2+3a)(a2+3a+2)+1 =(a2+3a)2+2(a2+3a)+1=(a2+3a+1)2a是整數(shù)，整數(shù)的和、差、積、商也是整數(shù)a2+3a+1是整數(shù)證畢例3. 求證：22223111能被7整除證明：22223111（22）111311141113111根據(jù)a2n+1+b2n+1能被a+b整除，（見內(nèi)容提要4）41113111能被43整除22223111能被7整除例4. 由完全平方公式推導(dǎo)“個位數(shù)字為5的兩位數(shù)的平方數(shù)”的計算規(guī)律 解：(10a+5)2=100a2+210a5+25=100a(a+1)+25“個位數(shù)字為5的兩位數(shù)的平方數(shù)”的特點是：冪的末兩位數(shù)字是底數(shù)個位數(shù)字5的平方，冪的百位以上的數(shù)字是底數(shù)十位上數(shù)字乘以比它大1的數(shù)的積。如：152=225 冪的百位上的數(shù)字2=12)， 252=625 (6=23)，352=1225 (12=34) 452=2025 (20=45)丙練習(xí)151 填空：a2+b2=(a+b)2_ (a+b)2=(ab)2+_ a3+b3=(a+b)33ab(_) a4+b4=(a2+b2)2_ ,a5+b5=(a+b)(a4+b4)_ a5+b5=(a2+b2)(a3+b3)_2 填空：(x+y)(_)=x4y4 (xy)(_)=x4y4(x+y)( _)=x5+y5 （xy）(_)=x5y53.計算：552= 652= 752= 852= 952=4. 計算下列各題 ，你發(fā)現(xiàn)什么規(guī)律1119= 2228= 3436= 4347= 7674=5.已知x+=3, 求x2+ x3+ x4+的值6.化簡：（a+b）2(ab)2 (a+b)(a2ab+b2) (ab)(a+b)32ab(a2b2) (a+b+c)(a+bc)(ab+c)(a+b+c)7.己知a+b=1,求證：a3+b33ab=18.己知a2=a+1，求代數(shù)式a55a+2的值9.求證：2331能被9整除10.求證：兩個連續(xù)整數(shù)的積加上其中較大的一個數(shù)的和等于較大的數(shù)的平方11如圖三個小圓圓心都在大圓的直徑上，它們的直徑分別是a,b,c 求證：三個小圓周長的和等于大圓的周長 求：大圓面積減去三個小圓面積和的差。初中數(shù)學(xué)競賽輔導(dǎo)資料（16）整數(shù)的一種分類甲內(nèi)容提要1 余數(shù)的定義：在等式AmBr中，如果A、B是整數(shù)，m是正整數(shù)，r為小于m的非負(fù)整數(shù)，那么我們稱r是A 除以m的余數(shù)。即：在整數(shù)集合中被除數(shù)除數(shù)商余數(shù) (0余數(shù)除數(shù))例如：13，0，1，9除以5的余數(shù)分別是3，0，4，1（15（1）4。95（2）1。）2 顯然，整數(shù)除以正整數(shù)m ,它的余數(shù)只有m種。例如 整數(shù)除以2，余數(shù)只有0和1兩種，除以3則余數(shù)有0、1、2三種。3 整數(shù)的一種分類：按整數(shù)除以正整數(shù)m的余數(shù)，分為m類，稱為按模m分類。例如：m=2時，分為偶數(shù)、奇數(shù)兩類，記作2k,2k1（k為整數(shù)）m=3時，分為三類，記作3k,3k+1,3k+2. 或3k,3k+1，3k1其中3k1表示除以3余2。m=5時，分為五類，5k.5k+1,5k+2,5k+3,5k+4 或5k,5k1,5k2，其中5k2表示除以5余3。4 余數(shù)的性質(zhì)：整數(shù)按某個模m分類，它的余數(shù)有可加，可乘，可乘方的運(yùn)算規(guī)律。舉例如下：（3k1+1）+(3k2+1)=3(k1+k2)+2 （余數(shù)112） （4k1+1）(4k2+3)=4(4k1k2+3k1+k2)+3（余數(shù)133）（5k2）225k220k+4=5(5k24k)+4（余數(shù)224）以上等式可敘述為： 兩個整數(shù)除以3都余1，則它們的和除以3必余2。 兩個整數(shù)除以4，分別余1和3，則它們的積除以4必余3。 如果整數(shù)除以5，余數(shù)是2或3，那么它的平方數(shù)除以5，余數(shù)必是4或9。余數(shù)的乘方，包括一切正整數(shù)次冪。如：17除以5余2 176除以5的余數(shù)是4 （2664）5 運(yùn)用整數(shù)分類解題時，它的關(guān)鍵是正確選用模m。乙例題例1. 今天是星期日，99天后是星期幾？分析：一星期是7天，選用模m=7, 求99除以7的余數(shù)解：99（72）9，它的余數(shù)與29的余數(shù)相同，29（23）383（71）3它的余數(shù)與13相同，99天后是星期一。又解：設(shè)A表示A除以7的余數(shù)，99（72）92983（71）3131例2. 設(shè)n為正整數(shù)，求43 n+1 除以9的余數(shù)。分析：設(shè)法把冪的底數(shù)化為9kr形式解：43 n+1443n=4(43)n=4（64）n4(971)n (