專題02 常見函數值域或最值的經典求法.doc

.【高考地位】函數值域是函數概念中三要素之一,是高考中必考內容,具有較強的綜合性,貫穿整個高中數學的始終.而在高考試卷中的形式可謂千變萬化,但萬變不離其宗,真正實現了?？汲Ｐ碌目荚囈?所以,我們應該掌握一些簡單函數的值域求解的基本方法.【方法點評】方法一 觀察法解題模板：第一步 觀察函數中的特殊函數； 第二步 利用這些特殊函數的有界性，結合不等式推導出函數的值域.例1 求函數的值域.【解析】由函數，則： 定義域為： 得：， 值域為：。【變式演練1】求函數的值域.【解析】2x0，082x802故函數的值域是.方法二 分離常數法解題模板：第一步 觀察函數類型，型如； 第二步 對函數變形成形式； 第三步 求出函數在定義域范圍內的值域，進而求函數的值域.例2 求函數的值域.【變式演練2】求函數的值域. 方法三 配方法解題模板：第一步 將二次函數配方成； 第二步 根據二次函數的圖像和性質即可求出函數的值域. 例3 求函數的值域.【變式演練3】已知函數的定義域是，值域為，則的取值范圍是（ ）A B C D【答案】C【解析】試題分析：因二次函數的對稱軸為,且時,函數值,當時,因此當時, .故當,故應選C.考點：二次函數的圖象和性質.方法四 反函數法解題模板：第一步 求已知函數的反函數；來源:Z*xx*k.Com 第二步 求反函數的定義域； 第三步 利用反函數的定義域是原函數的值域的關系即可求出原函數的值域例4 設為，的反函數，則的最大值為 【答案】【變式演練4】求函數的值域.方法五 換元法解題模板：第一步 觀察函數解析式的形式，函數變量較多且相互關聯； 第二步 另新元代換整體，得一新函數，求出新函數的值域即為原函數的值域.例5 求函數的值域.例6 求函數的值域.【解析】令，原函數化為，其開口向下，并且對稱軸是，故當時取得最大值為，沒有最小值，故值域為.例7 求函數，的值域.【變式演練5】 若求函數的值域.方法六 判別式法解題模板：第一步 觀察函數解析式的形式，型如的函數； 第二步 將函數式化成關于的方程，且方程有解，用根的判別式求出參數的取值范圍， 即得函數的值域.例9 求函數的值域.【變式演練6】求函數的值域.【解析】，當時方程有解，當時由可得，綜上可知值域為.方法七 基本不等式法解題模板：第一步 觀察函數解析式的形式，型如或的函數； 第二步 對函數進行配湊成形式，再利用基本不等式求函數的最值，進而得到函數的值域.例10 已知，求函數 的最小值.例11 已知函數，求的值域.【解析】，所以的值域為.【變式演練7 】 求函數的最小值.【變式演練8】 若函數的值域為，則函數的值域是（ ）A B C D【答案】B【解析】考點：函數的性質；基本不等式.方法八 單調性法解題模板：第一步 求出函數的單調性； 第二步 利用函數的單調性求出函數的值域.例 12 求函數的值域.【點評】本題先利用復合函數的單調性確定了函數的單調區(qū)間，從而得到函數的最大值和最小值，得到函數的值域.例13 求函數的值域.【點評】（1）如果能確定函數的單調性時，可以使用函數的單調性求函數的值域.（2）本題中利用了這樣一個性質：增（減）函數+增（減）函數=增（減）函數.（3）本題都是增函數，利用到了復合函數的單調性.【變式演練10】 求函數的值域.【變式演練11】 求函數的值域.【解析】由，解得，在此定義域內函數是單調遞減，所以當時，函數取得最小值，所以函數的值域是.方法九 數形結合法解題模板：第一步 作出函數在定義域范圍內的圖像； 第二步 利用函數的圖像求出函數的值域.例14 如圖，三地有直道相通，千米，千米，千米.現甲、乙兩警員同時從地出發(fā)勻速前往地，經過小時，他們之間的距離為（單位：千米）.甲的路線是，速度為5千米/小時，乙的路線是，速度為8千米/小時.乙到達地后原地等待.設時乙到達地. （1）求與的值； （2）已知警員的對講機的有效通話距離是3千米.當時，求的表達式，并判斷在上得最大值是否超過3？說明理由.【答案】（1），千米；（2）超過了3千米.【考點定位】余弦定理的實際運用，函數的值域.【名師點睛】分段函數是一類重要的函數模型解決分段函數問題，關鍵抓住在不同的段內研究問題，分段函數的值域，先求各段函數的值域，再求并集.例15 求函數的值域.【點評】（1）對于某些具有明顯幾何意義的函數，我們可以利用數形結合的方法求該函數的值域.先找到函數對應的形態(tài)特征，再求該函數的值域.（2）由于對應著兩點之間的斜率（差之比對應直線的斜率），所以本題可以利用斜率分析解答. 例16 求函數的值域.【解析】由得,所以函數的定義域是，設點，所以,所以答案填：.【點評】要迅速地找到函數對應的形，必須注意積累.這樣才能提高解題的效率. 例17 某公司生產甲、乙兩種桶裝產品.已知生產甲產品1桶需耗原料1千克、原料2千克；生產乙產品1桶需耗原料2千克，原料1千克.每桶甲產品的利潤是300元，每桶乙產品的利潤是400元.公司在生產這兩種產品的計劃中，要求每天消耗、原料都不超過12千克.通過合理安排生產計劃，從每天生產的甲、乙兩種產品中，公司共可獲得的最大利潤是（ ）A、1800元 B、2400元 C、2800元 D、3100元【變式演練12】 定義運算：例如，則函數的值域為（ ）A B C D【答案】D【解析】試題分析：在平面直角坐標系中畫出函數的圖象,結合圖象可以看出其值域為,故應選D.考點：正弦函數和余弦函數的圖象和性質方法十 導數法解題模板：第一步 利用函數的導數求函數在定義域內的單調性； 第二步 利用函數的圖像求出函數的值域.例18 函數，則的值域.【解析】在上是增函數，,故的值域.【變式演練13】求函數在區(qū)間上的值域.【高考再現】1. 【2014，安徽理9】若函數的最小值為3，則實數的值為 （ ） A5或8 B或5 C或 D或8【答案】D【解析】考點：函數的最值【名師點睛】對于含絕對值的不等式或函數問題，首先要考慮的是根據絕對值的意義去絕對值.常用的去絕對值方法是零點分段法，特別是用于多個絕對值的和或差的問題，另外，利用絕對值的幾何意義解題會加快做題速度.本題還可以利用絕對值的幾何意義進行求解.2. 【2014上海,理18】若是的最小值，則的取值范圍為（ ）. (A)-1,2 (B)-1，0 (C)1，2 (D) 【答案】D【解析】由于當時，在時取得最小值，由題意當時，應該是遞減的，則，此時最小值為，因此，解得，選D【考點】分段函數的單調性與最值問題【名師點睛】(1)根據分段函數解析式求函數值首先確定自變量的值屬于哪個區(qū)間，其次選定相應的解析式代入求解(2)已知函數值或函數值范圍求自變量的值或范圍應根據每一段的解析式分別求解，但要注意檢驗所求自變量的值或范圍是否符合相應段的自變量的取值范圍3 【2014高考重慶理第12題】函數的最小值為_.【答案】考點：1、對數的運算；2、二次函數的最值.【名師點睛】本題考查了對數運算，二次函數，換元法，配方法求最值，本題屬于基礎題，注意函數的定義域.4. 【2014福建,理13】要制作一個容器為4，高為的無蓋長方形容器，已知該容器的底面造價是每平方米20元，側面造價是每平方米10元，則該容器的最低總造價是_（單位：元）【答案】88來源:Zxxk.Com【解析】試題分析：假設底面長方形的長寬分別為, . 則該容器的最低總造價是.當且僅當的時區(qū)到最小值.考點：函數的最值.【名師點睛】本題主要考查函數的應用及基本不等式，解決此題的關鍵是先求出函數解析式，再利用基本不等式求最值，在利用基本不等式求最值時,一定要緊扣“一正、二定、三相等”這三個條件,注意創(chuàng)造“定”這個條件時常要對所給式子進行拆分、組合、添加系數等處理,使之可用基本不等式來解決,若多次使用基本不等式,必須保持每次取等的一致性.5【2014高考重慶理第16題】若不等式對任意實數恒成立，則實數的取值范圍是_.【答案】【解析】試題分析：令，其圖象如下所示（圖中的實線部分）考點：1、分段函數；2、等價轉換的思想；3、數形結合的思想.【名師點睛】本題考查了絕對值不等式，絕對值的性質，分段函數的圖象，數形結合法，不等式的恒成立，屬于基礎題6 【2015高考北京，理14】設函數若，則的最小值為；若恰有2個零點，則實數的取值范圍是【答案】(1)1，(2)或.若函數與軸有無交點，則函數與軸有兩個交點，當時與軸有無交點，在與軸有無交點，不合題意；當時，與軸有兩個交點，和，由于，兩交點橫坐標均滿足；綜上所述的取值范圍或.考點定位：本題考點為函數的有關性質，涉及函數圖象、函數的最值，函數的零點、分類討論思想解【名師點睛】本題考查函數圖象與函數零點的有關知識，本題屬于中等題，第一步正確畫出圖象，利用函數圖象研究函數的單調性，求出函數的最值，第二步涉計參數問題，針對參數進行分類討論，按照題目所給零點的條件，找出符合零點要求的參數，討論要全面，注意數形結合7. 【2015高考浙江，理10】已知函數，則 ，的最小值是 【答案】，.【解析】，當時，當且僅當時，等來源:Zxxk.Com號成立，當時，當且僅當時，等號成立，故最小值為.【考點定位】分段函數【名師點睛】本題主要考查分段函數以及求函數的最值，屬于容易題，在求最小值時，可以求每個分段上的最小值，再取兩個最小值之中較小的一個即可，在求最小值時，要注意等號成立的條件，是否在其分段上，分段函數常與數形結合，分類討論等數學思想相結合，在復習時應予以關注.8. 【2015高考福建，理14】若函數 （ 且 ）的值域是 ，則實數 的取值范圍是 【答案】【考點定位】分段函數求值域【名師點睛】本題考查分段函數的值域問題，分段函數是一個函數，其值域是各段函數值取值范圍的并集，將分段函數的值域問題轉化為集合之間的包含關系，是本題的一個亮點，要注意分類討論思想的運用，屬于中檔題9. 【2015高考山東，理14】已知函數 的定義域和值域都是 ，則 .【答案】 【考點定位】指數函數的性質.【名師點睛】本題考查了函數的有關概念與性質，重點考查學生對指數函數的性質的理解與應用，利用方程的思想解決參數的取值問題，注意分類討論思想方法的應用.10 【2015高考浙江，理18】已知函數，記是在區(qū)間上的最大值.（1） 證明：當時，；（2）當，滿足，求的最大值.【答案】（1）詳見解析；（2）.試題分析：（1）分析題意可知在上單調，從而可知，分類討論的取值范圍即可求解.；（2）分析題意可知，再由可得，即可得證.【考點定位】1.二次函數的性質；2.分類討論的數學思想.【名師點睛】本題主要考查了二次函數的性質以及分類討論的數學思想，屬于中檔題，以二次函數或指對函數為背景的函數綜合題是今年數學考試說明調整之后的熱點題型，創(chuàng)新題，亮點問題常源于此，通常會結合函數與方程，不等式，化歸，分類討論的數學思想，數形結合的數學思想等知識點，綜合考查學生的邏輯推理能力與運算求解能力，在復習時應予以關注.11. 【2016高考江蘇卷】（本小題滿分14分）現需要設計一個倉庫，它由上下兩部分組成，上部分的形狀是正四棱錐，下部分的形狀是正四棱柱(如圖所示)，并要求正四棱柱的高的四倍. （1）若則倉庫的容積是多少？（2）若正四棱柱的側棱長為6m,則當為多少時，倉庫的容積最大？【答案】（1）312（2）【解析】正四棱柱ABCD-A1B1C1D1的體積 所以倉庫的容積V=V錐+V柱=24+288=312（m3）. (2)設A1B1=a(m),PO1=h(m)，則0h6,OO1=4h.連結O1B1.因為在中， 所以，即 于是倉庫的容積，從而.令，得 或（舍）.當時， ，V是單調增函數；當時，V是單調減函數.故時，V取得極大值，也是最大值.因此，當 時，倉庫的容積最大.考點：函數的概念、導數的應用、棱柱和棱錐的體積【名師點睛】對應用題的訓練，一般從讀題、審題、剖析題目、尋找切入點方面進行強化，注重培養(yǎng)將文字語言轉化為數學語言能力，強化構建數學模型的幾種方法.而江蘇應用題，往往需結合導數知識解決相應數學最值問題，因此掌握利用導數求最值方法是一項基本要求，需熟練掌握.12 【2016年高考北京理數】設函數.若，則的最大值為_；若無最大值，則實數的取值范圍是_.【答案】，.【解析】考點：1.分段函數求最值；2.數形結合的數學思想.【名師點睛】1.分段函數的函數值時，應首先確定所給自變量的取值屬于哪一個范圍，然后選取相應的對應關系若自變量值為較大的正整數，一般可考慮先求函數的周期若給出函數值求自變量值，應根據每一段函數的解析式分別求解，但要注意檢驗所求自變量的值是否屬于相應段自變量的范圍；2.在研究函數的單調性時，常需要先將函數化簡，轉化為討論一些熟知的函數的單調性，因此掌握一次函數、二次函數、冪函數、對數函數等的單調性，將大大縮短我們的判斷過程【反饋練習】1. 【2016-2017學年河北武邑中學高一上周考9.18數學試卷，理13】函數的定義域為，值域為，則滿足條件的實數組成的集合是_.【答案】2【解析】試題分析：由題意，解得，所以的取值集合為考點：二次函數的值域2. 【2015-2016學年浙江湖州中學高二下學期期中數學試卷，理14】已知函數，若此函數的定義域為，則實數的取值范圍是 ；若此函數的值域為，則實數的取值范圍是 【答案】 考點：對數函數.3. 【2015-2016學年河北唐山一中高二下學期期末，文16】若函數在區(qū)間上的值域為，則的值是_.【答案】【解析】試題分析：設，,函數在奇函數, 則,即,在區(qū)間上的值域為,當取得最大值時,也取得最大值,取得最小值時,也取得最小值,函數的圖象關于原點對稱，函數在區(qū)間上的最大值和最小值互為相反數,即,即,故答案為. 考點：1、函數的奇偶性；2、函數的單調性和值域.4. 【20