柯西不等式的證明.doc

柯西不等式的證明及應(yīng)用（河西學(xué)院數(shù)學(xué)系01（2）班 甘肅張掖 734000）摘要：柯西不等式是一個(gè)非常重要的不等式，靈活巧妙的應(yīng)用它，可以使一些較為困難的問(wèn)題迎刃而解。本文在證明不等式，解三角形相關(guān)問(wèn)題，求函數(shù)最值，解方程等問(wèn)題的應(yīng)用方面給出幾個(gè)例子。關(guān)鍵詞：柯西不等式 證明 應(yīng)用 中圖分類號(hào)： O178 Identification and application of Cauchy inequalityChen Bo（department of mathematics , Hexi university zhangye gansu 734000）Abstract: Cauchy-inequality is a very important in equation, flexible ingenious application it, can make some comparatively difficult problems easily solved . This text prove inequality, solve triangle relevant problem, is it worth most to ask, the application which solves such questions as the equation ,etc. provides several examples.Keyword：inequation prove application柯西（Cauchy）不等式 等號(hào)當(dāng)且僅當(dāng)或時(shí)成立（k為常數(shù)，）現(xiàn)將它的證明介紹如下：證明1：構(gòu)造二次函數(shù) = 恒成立即當(dāng)且僅當(dāng) 即時(shí)等號(hào)成立證明（2）數(shù)學(xué)歸納法 （1）當(dāng)時(shí) 左式= 右式=顯然 左式=右式當(dāng) 時(shí)， 右式 右式 僅當(dāng)即 即時(shí)等號(hào)成立故時(shí) 不等式成立 （2）假設(shè)時(shí)，不等式成立即 當(dāng) ，k為常數(shù)， 或時(shí)等號(hào)成立設(shè) 則 當(dāng) ，k為常數(shù)， 或時(shí)等號(hào)成立即 時(shí)不等式成立綜合（1）（2）可知不等式成立柯西不等式是一個(gè)非常重要的不等式，靈活巧妙的應(yīng)用運(yùn)用它，可以使一些較為困難的問(wèn)題迎刃而解，這個(gè)不等式結(jié)構(gòu)和諧，應(yīng)用靈活廣泛，利用柯西不等式可處理以下問(wèn)題：1） 證明相關(guān)命題例1 用柯西不等式推導(dǎo)點(diǎn)到直線的距離公式。 已知點(diǎn)及直線 設(shè)點(diǎn)p是直線上的任意一點(diǎn)， 則 （1） （2）點(diǎn)兩點(diǎn)間的距離就是點(diǎn)到直線的距離，求（2）式有最小值，有由（1）（2）得： 即 （3）當(dāng)且僅當(dāng) （3）式取等號(hào) 即點(diǎn)到直線的距離公式即2） 證明不等式例2 已知正數(shù)滿足 證明 證明：利用柯西不等式 又因?yàn)?在此不等式兩邊同乘以2，再加上得：故3） 解三角形的相關(guān)問(wèn)題例3 設(shè)是內(nèi)的一點(diǎn)，是到三邊的距離，是外接圓的半徑，證明證明：由柯西不等式得，記為的面積，則故不等式成立。4） 求最值例4已知實(shí)數(shù)滿足， 試求的最值 解：由柯西不等式得，有即由條件可得， 解得，當(dāng)且僅當(dāng) 時(shí)等號(hào)成立，代入時(shí)， 時(shí) 5）利用柯西不等式解方程例5在實(shí)數(shù)集內(nèi)解方程解：由柯西不等式，得 又即不等式中只有等號(hào)成立從而由柯西不等式中等號(hào)成立的條件，得它與聯(lián)立，可得 6）用柯西不等式解釋樣本線性相關(guān)系數(shù)在概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)一書(shū)中，在線性回歸中，有樣本相關(guān)系數(shù)，并指出且越接近于1，相關(guān)程度越大，越接近于0，則相關(guān)程度越小。現(xiàn)在可用柯西不等式解釋樣本線性相關(guān)系數(shù)?，F(xiàn)記，則，由柯西不等式有，當(dāng)時(shí)，此時(shí)，為常數(shù)。點(diǎn) 均在直線上，當(dāng)時(shí)，即而為常數(shù)。此時(shí)，此時(shí)，為常數(shù)點(diǎn)均在直線附近，所以越接近于1，相關(guān)程度越大當(dāng)時(shí)，不具備上述特征，從而，找不到合適的常數(shù)，使得點(diǎn)都在直線附近。所以，越接近于0，則相關(guān)程度越小。致謝：在本文的寫(xiě)作過(guò)程中，得到了馬統(tǒng)一老師的精心指導(dǎo)，在此表示衷心的感謝。 參考文獻(xiàn)： 柯西不等式的微小改動(dòng) 數(shù)學(xué)通報(bào) 2002 第三期 柯西不等式與排序不等式 南山 湖南教育出版社 普通高中解析幾何 高等教育出版社1990-年全國(guó)統(tǒng)一考試 數(shù)學(xué)試卷李永新 李德祿 中學(xué)數(shù)學(xué)教