《高等工程數(shù)學(矩陣論)》復習提綱與習題選講.pdf

矩陣論 復習提綱與習題選講 矩陣論 復習提綱與習題選講 chapter1 線性空間和內(nèi)積空間 chapter1 線性空間和內(nèi)積空間 內(nèi)容總結(jié) 內(nèi)容總結(jié) 線性空間的定義 基和維數(shù) 一個向量在一組基下的坐標 同一線性空間不同基之間的過度矩陣 線性子空間的定義與判斷 子空間的交 內(nèi)積的定義 內(nèi)積空間的定義 向量的長度 距離和正交的概念 Gram Schmidt 標準正交化過程 標準正交基 習題選講 習題選講 1 設表示實數(shù)域1 設表示實數(shù)域 3 x RR上次數(shù)小于 3 的多項式再添上零多項式構(gòu)成的線性空 間 按通常多項式的加法和數(shù)與多項式的乘法 上次數(shù)小于 3 的多項式再添上零多項式構(gòu)成的線性空 間 按通常多項式的加法和數(shù)與多項式的乘法 1 求的維數(shù) 并寫出的一組基 1 求的維數(shù) 并寫出的一組基 3 x R 3 x R 2 求在所取基下的坐標 2 求在所取基下的坐標 2 21xx 3 寫出 1 所取基到的另一組基的過渡矩陣 3 寫出 1 所取基到的另一組基的過渡矩陣 3 x R 2 1 1 1 xx 4 在中定義 4 在中定義 3 x R 1 1 dxxgxfgf n xRxgxf 證明上述代數(shù)運算是內(nèi)積 求出的一組標準正交基 證明上述代數(shù)運算是內(nèi)積 求出的一組標準正交基 3 xR 5 求與之間的距離 5 求與之間的距離 2 21xx 2 x2x1 1 二 設二 設 22 R 是實數(shù)域是實數(shù)域R上全體上全體22 實矩陣構(gòu)成的線性空間 按通常矩陣的加 法和數(shù)與矩陣的乘法 實矩陣構(gòu)成的線性空間 按通常矩陣的加 法和數(shù)與矩陣的乘法 1 求 1 求 22 R 的維數(shù) 并寫出其一組基 的維數(shù) 并寫出其一組基 2 在 1 所取基下的坐標 2 在 1 所取基下的坐標 31 11 3 設 3 設W是實數(shù)域是實數(shù)域R上全體上全體22 實對稱矩陣構(gòu)成的線性空間 按通常矩 陣的加法和數(shù)與矩陣的乘法 實對稱矩陣構(gòu)成的線性空間 按通常矩 陣的加法和數(shù)與矩陣的乘法 證明 證明 W是是 22 R 的子空間 并寫出的子空間 并寫出W的維數(shù)和一組基 的維數(shù)和一組基 4 在 4 在W中定義內(nèi)積 中定義內(nèi)積 AB tr B A T WB A 求出 求出W的一組標準正交基 的一組標準正交基 5 求與之間的距離 5 求與之間的距離 03 31 12 21 6 設 6 設V是實數(shù)域是實數(shù)域R上全體上全體22 實上三角矩陣構(gòu)成的線性空間 按通常矩 陣的加法和數(shù)與矩陣的乘法 實上三角矩陣構(gòu)成的線性空間 按通常矩 陣的加法和數(shù)與矩陣的乘法 證明 證明 V也是也是 22 R 的子空間 并寫出的子空間 并寫出V的維數(shù)和一組基 的維數(shù)和一組基 7 寫出子空間的一組基和維數(shù) 7 寫出子空間的一組基和維數(shù) VW 2 chapter2 線性映射與線性變換 chapter2 線性映射與線性變換 內(nèi)容總結(jié) 內(nèi)容總結(jié) 線性映射在基對下的矩陣表示 矩陣的典型關(guān)系 相抵 等價 相似與相合 線性變換在基下的矩陣表示 線性變換在不同基下的矩陣之間的關(guān)系 相似 矩陣的特征值的定義與計算 習題選講 習題選講 一 一 設表示實數(shù)域 設表示實數(shù)域 3 x RR上次數(shù)小于 3 的多項式再添上零多項式構(gòu)成 上次數(shù)小于 3 的多項式再添上零多項式構(gòu)成 的線性空間 按通常多項式的加法和數(shù)與多項式的乘法 的線性空間 按通常多項式的加法和數(shù)與多項式的乘法 1 求的維數(shù) 并寫出的一組基 1 求的維數(shù) 并寫出的一組基 3 x R 3 x R 2 在 1 所取基下的坐標 求與之 間的距離 2 在 1 所取基下的坐標 求與之 間的距離 2 x2x1 23 x2x1 2 x2x1 3 已知其另一組基為 3 已知其另一組基為 2 ax ax 1 4 求由 1 總所取的基到這組基的過度矩陣 4 求由 1 總所取的基到這組基的過度矩陣 5 在中定義內(nèi)積 5 在中定義內(nèi)積 3 x R 1 1 dxxgxfgf n xRxgxf 求出的一組標準正交基 求出的一組標準正交基 3 xR 6 在中定義線性變換 6 在中定義線性變換 3 x RD D xf xf n xRxf 求 求D在 1 中所取基下的矩陣表示 在 1 中所取基下的矩陣表示 3 chapter3 chapter3 矩陣與矩陣的 Jordan 標準形 矩陣與矩陣的 Jordan 標準形 內(nèi)容總結(jié) 內(nèi)容總結(jié) 矩陣的定義與運算 矩陣的 smith 標準形 不變因子 行列式因子和初等因子 矩陣的相似的條件 矩陣的 Jordan 標準形 一 一 20 分 設矩陣 分 設矩陣 210 121 14134 A 1 求 求A的特征多項式和的特征多項式和A的全部特征值 的全部特征值 2 求 求A的行列式因子 不變因子和初等因子 的行列式因子 不變因子和初等因子 3 寫出 寫出A的的 Jordan 標準形標準形 Chapter4 矩陣的因子分解 Chapter4 矩陣的因子分解 內(nèi)容總結(jié) 內(nèi)容總結(jié) 矩陣的滿秩分解 矩陣的三角分解 了解矩陣的 QR 分解 了解矩陣的 schur 定理和奇異值分解 習題選講 習題選講 一 一 1 已知 已知 作出矩陣 作出矩陣 621 911 432 AA的分解 的分解 LU 2 已知 已知 作出矩陣 作出矩陣 0101 1110 1011 AA的滿秩分解 的滿秩分解 4 Chapter5 Hermite 矩陣與正定矩陣 Chapter5 Hermite 矩陣與正定矩陣 Hermite 矩陣的定義和性質(zhì) 正定矩陣的定義 性質(zhì)和判定定理 矩陣不等式 習題選講 習題選講 一 設 其中設 其中 2ii i2i ii2 A1i 證明 證明 0A 1 設 問 1 設 問 201 021 113 A 111 112 121 BBA 嗎 說明理由 嗎 說明理由 3 設均為階設均為階 Hermite 矩陣 且 且矩陣 且 且B An0A 0B BAAB 證明 證明 0AB 4 設均為階設均為階 Hermite 矩陣 且 即矩陣 且 即B An0A A正定 正定 證明 證明 AB相似于實對角矩陣 相似于實對角矩陣 5 設均為階設均為階 Hermite 矩陣 且 矩陣 且 B An0A 0AB 證明 證明 0B 6 證明 若則 6 證明 若則 0A 0A 1 5 Chapter6 范數(shù)與極限 Chapter6 范數(shù)與極限 向量范數(shù) 矩陣范數(shù) 1 2 F 范數(shù)的定義與計算 范數(shù)等價性 范數(shù)不等式 習題選講 習題選講 1 設 求 設 求 230 321 012 A F AAAA 21 2 設是可逆矩陣 設是可逆矩陣 nn CA 是滿足是滿足1I 的相容矩陣范數(shù) 的相容矩陣范數(shù) 證明 證明 1 1 AA 3 設 證明 3 設 證明 nm CA 22 AArankAA F Chapter8 廣義逆矩陣 Chapter8 廣義逆矩陣 廣義逆矩陣的定義 廣義逆矩陣 A 的定義 性質(zhì) 計算 利用廣義逆矩陣 A 判斷線性方程組的相容性 并表示通解形式 習題選講 習題選講 1 敘述廣義逆矩陣 敘述廣義逆矩陣 A 的定義 的定義 2 設 設 作出