對(duì)一道課本習(xí)題的深入探索_喻青山.pdf

對(duì)一道課本習(xí)題的深入探索 喻青山 湖北省十堰市竹山縣第二中學(xué) 普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書(shū)數(shù)學(xué)必修 習(xí) 題 組第 題 第 頁(yè) 分別以一個(gè)直角三 角形的斜邊 兩直角邊所在直線為軸 其余各邊旋 轉(zhuǎn)一周形成的曲面圍成三個(gè)幾何體 畫(huà)出它們的 三視圖與直觀圖 并探討它們體積之間的關(guān)系 對(duì)這道題 體積的計(jì)算并沒(méi)有多大問(wèn)題 學(xué)生 大多做得比較順利 但到了要探討體積之間的關(guān) 系時(shí)卻犯了難 一時(shí)不知道該怎么前進(jìn) 一是因?yàn)?題中所說(shuō)的體積之間的關(guān)系含義不太明確 是指 等量關(guān)系呢還是大小關(guān)系呢 學(xué)生更多的理解是 討論體積之間的大小關(guān)系 或先討論體積之間的 大小關(guān)系 在看看體積之間有沒(méi)有特別的等量關(guān) 系 二是學(xué)生不善于變換 使得到的各種結(jié)果相互 協(xié)調(diào)統(tǒng)一 教師用書(shū)上給出的參考答案 學(xué)生看懂證明是不難的 三個(gè)幾何體的體積之間到底有哪些關(guān)系 如 何更自然 更合理地探討體積之間的關(guān)系呢 這 些關(guān)系又能否推廣到任意三角形呢 另外 三個(gè) 幾何體的表面積是否也有類似的關(guān)系呢 帶著這 些疑問(wèn) 筆者對(duì)這道習(xí)題展開(kāi)了探究 沒(méi)想到卻收 獲了一個(gè)又一個(gè)意想不到的精彩 不斷感悟和欣 賞數(shù)學(xué)那一道道美麗的風(fēng)景 體驗(yàn)數(shù)學(xué)獨(dú)特的 魅力 圖 為了表示得簡(jiǎn)便和直觀 約定 中 角 的對(duì)邊分別為 邊 上的高分 別為 的面積為 分別以邊 所在直線為軸 其余各邊旋轉(zhuǎn)一周形成的曲 面圍成三個(gè)幾何體的體積分別為 表面 積分別為 圖 圖 旋轉(zhuǎn)體的體積 直角三角形 三角形是直角三角形時(shí)的體積公式 如圖 是直角三角形時(shí) 它以邊 或 所在直線為軸 其余各邊旋轉(zhuǎn)一周形成的曲面 圍成的幾何體是圓錐 以斜邊 所在直線為軸 其 余各邊旋轉(zhuǎn)一周形成的曲面圍成的幾何體是對(duì)頂 圓錐 兩圓錐的底面在內(nèi)部疊合 兩錐頂相對(duì) 即 在底面的兩側(cè) 可得 因?yàn)?所以 年 第 卷 第 期 數(shù)學(xué)通報(bào) 則 這樣就得到了 的表達(dá)式 雖然這 些式子不算太復(fù)雜 結(jié)構(gòu)上也比較接近 但要根據(jù) 得出 的關(guān)系卻并不容易 注 意到 的表達(dá)式結(jié)構(gòu)上比較接近 看能 否變換一下 使它們?cè)诮Y(jié)構(gòu)和成分上更加協(xié)調(diào) 統(tǒng) 一 注意到 用邊表示的式子最復(fù)雜 是分式 且 分母為 于是想到 這樣 就得到了一個(gè)優(yōu)美的結(jié)論 三個(gè)幾何體的體積公式是如此和諧 若再注意到 又可得 若令 則由 可得 由此知旋轉(zhuǎn)體的體積與作為軸的三角形的邊長(zhǎng)成 反比 三角形是直角三角形時(shí)的體積關(guān)系 由 或 或 可知 若 則 若 則 這樣 就得到結(jié) 論 在直角三角形中 以越大的邊為軸生成的旋轉(zhuǎn) 體的體積越小 沒(méi)想到直角三角形有如此和諧的 關(guān)系 對(duì)這個(gè)發(fā)現(xiàn) 筆者一邊是喜悅 一邊是驚訝 由于直角三角形 中 利用 或 或 又可得 這又是一個(gè)十分優(yōu)美的結(jié)論 其結(jié)構(gòu)很像勾股定 理 它可看成是將 中的 分別換 成了 而得到的 當(dāng)然 能得到的等量關(guān)系并不只有 同樣利 用 或 或 還可得 等 事實(shí)上 由 可知對(duì)于直角三角形成立的 任何一個(gè)邊角關(guān)系中 將 分別換成 后也都是成立的 受到對(duì)直角三角形的情形的 研究的啟發(fā) 接著繼續(xù)研究斜三角形的情形 銳角三角形 銳角三角形以任意一邊所在直線為軸 其余 各邊旋轉(zhuǎn)一周形成的曲面圍成的幾何體都是對(duì)頂 圓錐 兩圓錐的底面在內(nèi)部疊合 兩錐頂相對(duì) 即 在底面的兩側(cè) 由圖 可知 同理 因?yàn)?所以 代入上面的式子 則有 這與直角三角形中的結(jié)果 是完全一樣的 鈍角三角形 鈍角三角形以最大邊所在直線為軸 其余各 邊旋轉(zhuǎn)一周形成的曲面圍成的幾何體是對(duì)頂圓錐 兩圓錐的底面在內(nèi)部疊合 兩錐頂相對(duì) 即在底 面的兩側(cè) 以另外兩邊中的任意一邊所在直線為 軸 其余各邊旋轉(zhuǎn)一周形成的曲面圍成的幾何體 是兩個(gè)圓錐的組合體 一種凹幾何體 一個(gè)大圓錐 挖去一個(gè)小圓錐 兩個(gè)圓錐同底 兩錐頂在底面的 同側(cè) 由圖 可知 同理 又 因?yàn)?所以 數(shù)學(xué)通報(bào) 年 第 卷 第 期 代入上面的式子 則有 這也與直角三角形中的結(jié)果 是完全一樣的 至此 筆者發(fā)現(xiàn)了對(duì)任意三角形都成立的一 個(gè)結(jié)論 分別以邊 所在直線為軸 其余 各邊旋轉(zhuǎn)一周形成的曲面圍成三個(gè)幾何體的體積 分別為 的面積為 則 由 可以得出對(duì)任意三角形都成立的一些體積 關(guān)系 若 則 即在任意 三角形中 以越大的邊為軸生成的旋轉(zhuǎn)體的體積 越小 若 中有兩個(gè)相等 則相應(yīng)的體積也相 等 如當(dāng) 時(shí) 必有 等 等對(duì)三角形成立的任 何一個(gè)邊角關(guān)系中 將 分別換成了 后 也 都 是 成 立 的 如 等都是 對(duì)的 旋轉(zhuǎn)體的表面積 經(jīng)過(guò)一番探索發(fā)現(xiàn) 已經(jīng)收獲了很多 不僅得 到了三個(gè)旋轉(zhuǎn)體的體積統(tǒng)一的計(jì)算公式 它們是 那么漂亮 還得到了很多關(guān)于三個(gè)旋轉(zhuǎn)體的體積 之間的和諧的關(guān)系 既有等量關(guān)系 也有大小關(guān) 系 它們是那樣的美妙 不過(guò)不要因此太滿足而停 下了探索的腳步 既然體積有如此美妙的關(guān)系 那 表面積呢 由圖 與圖 可知 無(wú)論 是銳角三角 形還是鈍角三角形 都有 當(dāng) 是直角三角形時(shí) 這樣 筆者又得到了一個(gè)對(duì)任意三角形都成立的 結(jié)論 分別以邊 所在直線為軸 其余 各邊旋轉(zhuǎn)一周形成的曲面圍成三個(gè)幾何體的表面 積分別為 的面積為 則 當(dāng) 時(shí) 有 則 當(dāng) 時(shí) 時(shí) 當(dāng) 時(shí) 這樣 由 與 就得到了一個(gè)更加統(tǒng)一 更加和諧更加優(yōu)美的結(jié)論 即在三角形中 以越大 的邊為軸生成的旋轉(zhuǎn)體的體積越小 表面積也 越小 同樣可得 分別以一個(gè)矩形的一邊所在直線 為軸 其余各邊旋轉(zhuǎn)一周形成的曲面圍成的兩個(gè) 圓柱 其中以越大的邊為軸生成的圓柱的體積越 小 表面積也越小 證明就不在這里贅述了 結(jié)語(yǔ) 這樣 筆者經(jīng)歷了一個(gè)充滿樂(lè)趣的數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn) 的過(guò)程 從中可以體會(huì)如何提出數(shù)學(xué)問(wèn)題 并如何 解決問(wèn)題的過(guò)程與方法 體驗(yàn)數(shù)學(xué)知識(shí)發(fā)生 發(fā)展 的