2020屆衡水中學(xué)全國高三期末大聯(lián)考數(shù)學(xué)（文）試題（解析版）

2020屆河北省衡水中學(xué)全國高三期末大聯(lián)考數(shù)學(xué)（文）試題一、單選題1已知集合，則中元素的個(gè)數(shù)為（ ）A2B3C4D5【答案】B【解析】化簡集合，根據(jù)交集的定義，即可求解.【詳解】因?yàn)?，所以，所以中元素的個(gè)數(shù)為3.故選:B.【點(diǎn)睛】本題考查集合的基本運(yùn)算，化簡是解題的關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題.2已知復(fù)數(shù)z滿足，則復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于（ ）A第一象限B第二象限C第三象限D(zhuǎn)第四象限【答案】C【解析】根據(jù)復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算法則，求出復(fù)數(shù)z，即可求解.【詳解】由，得，所以復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為，所以對(duì)應(yīng)點(diǎn)位于第三象限.故選:C.【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算，以及復(fù)數(shù)的幾何意義，屬于基礎(chǔ)題.3隨著人口老齡化的不斷加快，我國出現(xiàn)了一個(gè)特殊的群體“空巢老人”.這些老人或經(jīng)濟(jì)困難，或心理寂寞，亟需來自社會(huì)的關(guān)心關(guān)愛。為此，社區(qū)志愿者開展了“暖巢行動(dòng)”，其中A，B兩個(gè)小區(qū)“空巢老人”的年齡如圖所示，則A小區(qū)“空巢老人”年齡的平均數(shù)和B小區(qū)“空巢老人”年齡的中位數(shù)分別是（ ）A83.5；83B84；84.5C85；84D84.5；84.5【答案】B【解析】根據(jù)莖葉圖，即可求出小區(qū)“空巢老人”年齡的平均數(shù)和B小區(qū)“空巢老人”年齡的中位數(shù).【詳解】解：A小區(qū)“空巢老人”年齡的平均數(shù)為，B小區(qū)“空巢老人”年齡的中位數(shù)為.故選：【點(diǎn)睛】本題考查莖葉圖數(shù)據(jù)的處理，涉及到平均數(shù)和中位數(shù)，考查運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題.4已知，則a，b，c的大小關(guān)系為（ ）ABCD【答案】D【解析】化簡c,利用對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，即可得出結(jié)論.【詳解】因?yàn)?，又因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞增，且，所以.故選:D.【點(diǎn)睛】本題考查對(duì)數(shù)的簡單運(yùn)算，考查利用函數(shù)的單調(diào)性比較函數(shù)值的大小，屬于基礎(chǔ)題.5民間有一種五巧板拼圖游戲.這種五巧板（圖1）可以說是七巧板的變形，它是由一個(gè)正方形分割而成（圖2），若在圖2所示的正方形中任取一點(diǎn)，則該點(diǎn)取自標(biāo)號(hào)為和的巧板的概率為（ ）ABCD【答案】C【解析】分別求出和的巧板的面積，根據(jù)幾何概型的概率關(guān)系轉(zhuǎn)化為面積比.【詳解】設(shè)巧板的邊長為1，則結(jié)合圖2可知大正方形的邊長為3，其面積.其中巧板是底邊長為2的等腰直角三角形，其面積為，巧板可看作是邊長為的正方形與腰長為1的等腰直角三角形的組合圖形，其面積為，故所求的概率.故選:C.【點(diǎn)睛】本題考查幾何概型的概率求法，轉(zhuǎn)化為面積比，屬于中檔題 .6（ ）ABCD【答案】A【解析】利用誘導(dǎo)公式，將所求的角轉(zhuǎn)化為特殊銳角，即可求解.【詳解】.故選:A.【點(diǎn)睛】本題考查特殊角三角函數(shù)求值，利用誘導(dǎo)公式化簡是解題的關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題.7已知函數(shù)的部分圖象如下圖所示，則的解析式可能為（ ）ABCD【答案】D【解析】根據(jù)圖像的性質(zhì)，如對(duì)稱性，可排除選項(xiàng)C，再取特殊值，即可求解.【詳解】由圖可知，該函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱，所以函數(shù)為偶函數(shù)，所以選項(xiàng)C不符合；又因?yàn)椋赃x項(xiàng)A，B不符合.故選:D.【點(diǎn)睛】本題考查由函數(shù)圖像求解析式，觀察圖形找出特征是解題的關(guān)鍵，屬于中檔題.8已知向量，若，則在上的投影為（ ）ABCD【答案】A【解析】首先求出的坐標(biāo)，根據(jù)，則得到，的關(guān)系式，由計(jì)算在上的投影.【詳解】解：由，得，所以，則得，所以在上的投影為故選：【點(diǎn)睛】本題考查向量的數(shù)量積及幾何意義，屬于基礎(chǔ)題.9執(zhí)行如圖所示的程序框圖，則輸出的結(jié)果為（ ）A-2B-6C-8D-12【答案】D【解析】將初始值，代入循環(huán)體運(yùn)算，直至滿足條件，退出循環(huán)體，即可得出結(jié)論.【詳解】當(dāng)，不滿足條件；執(zhí)行第一次循環(huán)：，不滿足條件；執(zhí)行第二次循環(huán)：，不滿足條件；執(zhí)行第三次循環(huán)：，不滿足條件；執(zhí)行第四次循環(huán)：，滿足條件；執(zhí)行第五次循環(huán)：，滿足條件，退出循環(huán)，所以輸出S的值為-12.故選:D.【點(diǎn)睛】本題考查循環(huán)結(jié)構(gòu)的運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題.10設(shè)F是雙曲線的右焦點(diǎn).過點(diǎn)F作斜率為-3的直線l與雙曲線左、右支均相交.則雙曲線離心率的取值范圍為（ ）ABCD【答案】C【解析】根據(jù)雙曲線的圖像特征，當(dāng)過點(diǎn)F的直線的斜率在之間，則直線與雙曲線左、右支均相交，即可求出的范圍，從而求出離心率的取值范圍.【詳解】因?yàn)殡p曲線的兩條漸近線方程為，當(dāng)過點(diǎn)F且斜率為-3的直線l與漸近線平行時(shí).直線l只與雙曲線右支有一個(gè)交點(diǎn)，數(shù)形結(jié)合可知，當(dāng)漸近線的斜率滿足，即時(shí)，直線l與雙曲線左、右支均相交，所以.故選:C.【點(diǎn)睛】本題考查雙曲線的簡單幾何性質(zhì)，數(shù)形結(jié)合是解題的關(guān)鍵，屬于中檔題.11在如圖所示的平面四邊形ABCD中，則的最小值為（ ）A4B8CD【答案】B【解析】在中由三角函數(shù)求出，在中由余弦定理得，再由基本不等式可得即可求出的最小值.【詳解】解：在中，因?yàn)椋?在中，因?yàn)?，所以由余弦定理得，即，又由不等式的性質(zhì)可知，即得，所以，從而，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立.故選：.【點(diǎn)睛】本題考查余弦定理解三角形，基本不等式的應(yīng)用，屬于中檔題.12已知函數(shù)，若存在，使不等式成立，則的取值范圍為（ ）ABCD【答案】C【解析】將轉(zhuǎn)化為關(guān)于的二次函數(shù)，配方求出的最小值，只需，解關(guān)于的不等式，即可得出結(jié)論.【詳解】，可化為.當(dāng)時(shí)，所以當(dāng)時(shí)，由題意可知，所以，從而得到，所以或或.故選:C.【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)存在成立問題，轉(zhuǎn)化為求函數(shù)最值，考查配方法求二次函數(shù)的最值，以及三角不等式的解法，屬于較難題.二、填空題13已知函數(shù)，則曲線在點(diǎn)處的切線在y軸上的截距為_.【答案】【解析】求導(dǎo)，求出，即可得出結(jié)論.【詳解】由，得，所以，又，所以切點(diǎn)為，所以切線方程為，即，令，得，所以切線在y軸上的截距為-2.故答案為:-2【點(diǎn)睛】本題考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，屬于基礎(chǔ)題.14已知橢圓的右焦點(diǎn)為F，點(diǎn)M在C上，點(diǎn)N為線段MF的中點(diǎn)，點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，若，則C的離心率為_.【答案】【解析】根據(jù)橢圓的定義以及三角形的中位線定理，求出的值，即可求解.【詳解】設(shè)橢圓C的左焦點(diǎn)為，由橢圓定義得，即（）.O為線段的中點(diǎn)，N為線段MF的中點(diǎn)，由中位線的性質(zhì)得，代入（）式，解得，故其離心率.故答案為:.【點(diǎn)睛】本題考查橢圓定義的應(yīng)用，以及橢圓簡單的幾何性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題.15已知等比數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且，則滿足不等式成立的最小正整數(shù)n為_.【答案】【解析】由，且，得，求出公比，進(jìn)而求出通項(xiàng)公式和前n項(xiàng)和，然后解不等式，即可得結(jié)論【詳解】設(shè)數(shù)列的公比為q，由，得，所以或，又因?yàn)?，所以，從而，所?令，又因?yàn)?，所?故答案為:6【點(diǎn)睛】本題考查等比數(shù)列通項(xiàng)公式和前n項(xiàng)和基本量的計(jì)算，考查解指數(shù)不等式，屬于中檔題.16在平面直角坐標(biāo)系xOy中，圓與x軸，y軸的正方向分別交于點(diǎn)A，B，點(diǎn)P為劣弧AB上一動(dòng)點(diǎn)，且，當(dāng)四邊形OAQP的面積最大時(shí)，的值為_.【答案】【解析】設(shè)，因?yàn)?，所以四邊形OAQP為平行四邊形，所以，當(dāng)時(shí)取得最大值，即可求出點(diǎn)的坐標(biāo)，則的值可求.【詳解】解：如圖所示：則，因?yàn)辄c(diǎn)P在圓弧上運(yùn)動(dòng)，所以可設(shè)，則，因?yàn)椋运倪呅蜲AQP為平行四邊形，所以，當(dāng)時(shí)，最大，此時(shí)點(diǎn)P與點(diǎn)B重合，點(diǎn)，.故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查三角函數(shù)的定義，向量的加法的平行四邊形法則，屬于基礎(chǔ)題.三、解答題17在數(shù)列中，有.（1）證明：數(shù)列為等差數(shù)列，并求其通項(xiàng)公式；（2）記，求數(shù)列的前n項(xiàng)和.【答案】(1)證明見解析，(2)【解析】（1）由前項(xiàng)和與通項(xiàng)關(guān)系，求出的通項(xiàng)公式，再利用等差數(shù)列的定義，即可證明；（2）求出數(shù)列的通項(xiàng)公式，用裂項(xiàng)相消法，即可求解.【詳解】（1）因?yàn)?，所以?dāng)時(shí)，上述兩式相減并整理，得.又因?yàn)闀r(shí)，適合上式，所以.從而得到，所以，所以數(shù)列為等差數(shù)列，且其通項(xiàng)公式為.（2）由（1）可知，.所以.【點(diǎn)睛】本題考查由數(shù)列的前項(xiàng)和求通項(xiàng)，考查用定義證明等差數(shù)列，以及裂相消法求數(shù)列的前項(xiàng)和，屬于中檔題.18第二屆中國國際進(jìn)口博覽會(huì)于2019年11月5日至10日在上海國家會(huì)展中心舉行.它是中國政府堅(jiān)定支持貿(mào)易自由化和經(jīng)濟(jì)全球化，主動(dòng)向世界開放市場(chǎng)的重要舉措，有利于促進(jìn)世界各國加強(qiáng)經(jīng)貿(mào)交流合作，促進(jìn)全球貿(mào)易和世界經(jīng)濟(jì)增長，推動(dòng)開放世界經(jīng)濟(jì)發(fā)展.某機(jī)構(gòu)為了解人們對(duì)“進(jìn)博會(huì)”的關(guān)注度是否與性別有關(guān)，隨機(jī)抽取了100名不同性別的人員（男、女各50名）進(jìn)行問卷調(diào)查，并得到如下列聯(lián)表：男性女性合計(jì)關(guān)注度極高351449關(guān)注度一般153651合計(jì)5050100（1）根據(jù)列聯(lián)表，能否有99.9%的把握認(rèn)為對(duì)“進(jìn)博會(huì)”的關(guān)注度與性別有關(guān)；（2）若從關(guān)注度極高的被調(diào)查者中按男女分層抽樣的方法抽取7人了解他們從事的職業(yè)情況，再從7人中任意選取2人談?wù)勱P(guān)注“進(jìn)博會(huì)”的原因，求這2人中至少有一名女性的概率.附：.參考數(shù)據(jù)：0.0500.0100.0013.8416.63510.828【答案】（1）有, （2）【解析】（1）根據(jù)列聯(lián)表求出，比較數(shù)據(jù)，即可得結(jié)論；（2）按比例分配抽取男性5人，女性2人，對(duì)抽取的7人，分別進(jìn)行編號(hào)，列出從7人任意選取2人的所有情況，找出滿足條件的基本事件的個(gè)數(shù)，由古典概型概率公式，即可求解.【詳解】18.解：（1），所以有99.9%的把握認(rèn)為對(duì)“進(jìn)博會(huì)”的關(guān)注度與性別有關(guān).（2）關(guān)注度極高的被調(diào)查者中男性與女性的比例為，所以抽取的7人中有男性5人，女性2人.記男性5人分別為a，b，e，d，e；女性2人分別為A，B，從7人中任意選取2人的所有情況有：ab，ac，ad，ae，aA，aB，bc，bd，be，bA，bB，cd，ce，cA，cB，de，dA，dB，eA，eB，AB，共21種，其中這2人至少有一名女性的情況有11種，所以，所以這2人中至少有一名女性的概率為.【點(diǎn)睛】本題考查兩變量間的相關(guān)性檢驗(yàn)，以及求古典概型的概率，考查計(jì)算能力，屬于中檔題.19在如圖所示的三棱柱中，底面ABC，.（1）若，證明：；（2）若底面ABC為正三角形，求點(diǎn)到平面的距離.【答案】（1）證明見解析，（2）【解析】（1） ， 底面ABC，可證平面，即可求證；（2）取的中點(diǎn)F，連接，可證平面，求出三棱錐，根據(jù)等體積法，求出的面積，即可求解.【詳解】（1）因?yàn)榈酌鍭BC，所以，又，所以平面，又平面，所以.（2）設(shè)點(diǎn)到平面的距離為d，所以，由題可知，所有棱長均為2a，所以在中，所以.取的中點(diǎn)F，連接，由題易知，從而得到平面，所以是點(diǎn)到平面的距離，所以，又，所以由等體積法可知，即得，所以點(diǎn)到平面的距離為.【點(diǎn)睛】本題考查空間垂直關(guān)系的轉(zhuǎn)換和證明，以及利用等體積法求點(diǎn)到平面的距離，屬于中檔題.20在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)滿足方程.（1）求點(diǎn)M的軌跡C的方程；（2）作曲線C關(guān)于軸對(duì)稱的曲線，記為，在曲線C上任取一點(diǎn)，過點(diǎn)P作曲線C的切線l，若切線l與曲線交于A，B兩點(diǎn)，過點(diǎn)A，B分別作曲線的切線，證明的交點(diǎn)必在曲線C上.【答案】（1）；（2）證明見解析.【解析】（1）將方程兩邊平方化簡即得解；（2）求出曲線在處的切線方程，聯(lián)立直線與拋物線方程，消去，列出韋達(dá)定理，設(shè)，分別求出曲線上在，兩點(diǎn)處的切線，的方程，求出，的交點(diǎn)，即可得證.【詳解】（1）由，兩邊平方并化簡，得，即，所以點(diǎn)M的軌跡C的方程為.（2）由（1）及題意可知曲線：，又由知，所以點(diǎn)處的切線方程為，即，又因?yàn)辄c(diǎn)在曲線C上，所以，所以切線方程為，聯(lián)立消去整理得，設(shè)，所以，（）又由，得，所以曲線上點(diǎn)處的切線的方程為，即，同理可知，曲線上點(diǎn)處的切線的方程為，聯(lián)立方程組，又由（）式得，所以，的交點(diǎn)為，此點(diǎn)在曲線C上，故，的交點(diǎn)必在曲線C上.【點(diǎn)睛】本題考查求動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程，直線與拋物線綜合問題，屬于中檔題.21已知函數(shù)，.（1）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間及極值；（2）討論函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù).【答案】（1）增區(qū)間為，減區(qū)間為，極大值為，無極小值，（2）當(dāng)時(shí)，函數(shù)沒有零點(diǎn)；當(dāng)或時(shí).函數(shù)有1個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，函數(shù)有2個(gè)零點(diǎn).【解析】（1）求導(dǎo)，求出的解，即可求出單調(diào)區(qū)間，進(jìn)而求出極值；（2）求導(dǎo)，求出單調(diào)區(qū)間，確定極值，根據(jù)極值的正負(fù)以及零點(diǎn)存在性定理，對(duì)分類討論，即可求解.【詳解】由題得，函數(shù)的定義域?yàn)?（1）當(dāng)時(shí)，所以，當(dāng)時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞減，所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為.所以當(dāng)時(shí)，有極大值，且極大值為，無極小值.（2）由，得.當(dāng)時(shí)，恒成立，函數(shù)單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，又，所以函數(shù)有且只有一個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，令，當(dāng)時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞減，所以的極大值為，當(dāng)，即得時(shí)，解得，此時(shí)函數(shù)沒有零點(diǎn)；當(dāng)，即時(shí)，函數(shù)有1個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)，即時(shí)，.當(dāng)時(shí)，令，則在上恒成立，所以，即，所以，故當(dāng)且時(shí)，.當(dāng)時(shí)，有，所以函數(shù)有2個(gè)零點(diǎn).綜上所述：當(dāng)時(shí)，函數(shù)沒有零點(diǎn)；當(dāng)或時(shí).函數(shù)有1個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，函數(shù)有2個(gè)零點(diǎn).【點(diǎn)睛】本題考查導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)性質(zhì)的應(yīng)用，涉及到函數(shù)的單調(diào)區(qū)級(jí)、極值、和零點(diǎn)個(gè)數(shù)判斷，以及零點(diǎn)存在性定理的靈活運(yùn)用，考查分類討論思想和數(shù)形結(jié)合思想，屬于難題.22在平面直角坐標(biāo)系中，曲線C的參數(shù)方程為（為參數(shù)），以平面直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)O為極點(diǎn)，x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系.（1）求曲線C的極坐標(biāo)方程；（2）過點(diǎn)，傾斜角為的直線l與曲線C相交于M，N兩點(diǎn)，求的值.【答案】（1），（2）【解析】（1）利用，消去參數(shù)，將曲線C的參數(shù)方程化為普通方程，再運(yùn)用 ，將曲線C的直角坐標(biāo)方程化為極坐標(biāo)方程；（2）根據(jù)條件求出直線l具有幾何意義的參數(shù)方程，代入曲線C普通方程，利用韋達(dá)定理以及直線參數(shù)的幾何意義，即可求解.【詳解】（1）因?yàn)榍€C的參數(shù)方程為，（為參數(shù)），所以曲線C的直角坐標(biāo)方程為，即，將，代入上式得.（2）直線l的參數(shù)方程為，（t為參數(shù)），將代入，整理得，設(shè)點(diǎn)M，N所對(duì)應(yīng)的參數(shù)分別為，則，因?yàn)椋愄?hào)，所以.【點(diǎn)睛】本題考查參數(shù)方程化普通方程，直角坐標(biāo)方程化極坐標(biāo)方程，考查直線參數(shù)方程幾何意義的應(yīng)用，屬于中檔題.23已知函數(shù).（1