【畢業(yè)學(xué)位論文】（Word原稿）關(guān)于濰坊城區(qū)初中學(xué)生數(shù)學(xué)符號感的調(diào)查與研究-中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)

學(xué)號： 分 類 號： 密級： 公開 學(xué)校代碼： 10636 四川師范大學(xué) 碩 士 學(xué) 位 論 文 關(guān)于濰坊城區(qū)初中學(xué)生數(shù)學(xué)符號感 的調(diào)查與研究 學(xué) 生 類 別 教 育 碩 士 培 養(yǎng) 單 位 四川師范大學(xué)數(shù)學(xué)與軟件科學(xué)學(xué)院 指 導(dǎo) 教 師 職稱 教授 專 業(yè) 名 稱 學(xué)科教學(xué)數(shù)學(xué) 研 究 方 向 中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué) 論文完成日期 2010 年 2 月 1 日 四川師范大學(xué)學(xué)位論文獨(dú)創(chuàng)性及 使用授權(quán)聲明 本人聲明：所呈交學(xué)位論文，是本人在導(dǎo)師 張紅教授 指導(dǎo)下，獨(dú)立進(jìn)行研究工作所取得的成果。除文中已經(jīng)注明引用的內(nèi)容外，本論文不含任何其他個人或集體已經(jīng)發(fā)表或撰寫過的作品或成果。對本文 的研究做出重要貢獻(xiàn)的個人和集體，均已在文中以明確方式標(biāo)明。 本聲明的法律結(jié)果由本人承擔(dān)。 本人承諾：已提交的學(xué)位論文電子版與論文紙本的內(nèi)容一致。如因不符而引起的學(xué)術(shù)聲譽(yù)上的損失由本人自負(fù)。 本人同意所撰寫學(xué)位論文的使用授權(quán)遵照學(xué)校的管理規(guī)定： 學(xué)校作為申請學(xué)位的條件之一，學(xué)位論文著作權(quán)擁有者須授權(quán)所在大學(xué)擁有學(xué)位論文的部分使用權(quán)，即： 1）已獲學(xué)位的研究生必須按學(xué)校規(guī)定提交印刷版和電子版學(xué)位論文， 可以 將學(xué)位論文的全部或部分內(nèi)容編入有關(guān)數(shù)據(jù)庫 供 檢索； 2）為教學(xué)、 科研 和學(xué)術(shù)交流 目的，學(xué)?？梢詫⒐_的學(xué)位論文或解 密后的學(xué)位論文作為資料在圖書館、資料室等場所或在 有關(guān) 網(wǎng) 絡(luò) 上供閱讀、瀏覽。 本人授權(quán)中國科學(xué)技術(shù)信息研究所將本學(xué)位論文收錄到中國學(xué)位論文全文數(shù)據(jù)庫，并通過網(wǎng)絡(luò)向社會公眾提供信息服務(wù)。 （保密的學(xué)位論文在解密后適用本授權(quán)書） 學(xué)位論文作者簽名： 郭建輝 導(dǎo)師簽名： 張紅 簽字日期： 2010 年 5 月 4 日 簽字日期： 2010 年 5 月 5 日 關(guān)于濰坊城區(qū)初中學(xué)生數(shù)學(xué)符號感的調(diào)查與研究 教育碩士 學(xué)科教學(xué)數(shù)學(xué) 專業(yè) 研究生 郭建輝 指導(dǎo)教師 張紅 摘要 ：符號，是人類的一項(xiàng)偉大發(fā)明，我們生活在一個符號化的世界里。數(shù)學(xué)符號，是數(shù)學(xué)的語言，它承載了數(shù)學(xué)概念、數(shù)學(xué)運(yùn)算、數(shù)學(xué)關(guān)系及邏輯推理，使數(shù)學(xué)思維過程更加概括，準(zhǔn)確。數(shù)學(xué)符號從記數(shù)符號開始，經(jīng)歷了運(yùn)算符號、符號代數(shù)、數(shù)學(xué)符號的擴(kuò)充幾百年的發(fā)展，最終形成了數(shù)學(xué)符號系統(tǒng)。它具有形式化，直觀性，抽象化，通用性的特征。而符號感，作為一種對數(shù)學(xué)符號的感覺和領(lǐng)悟力，在數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)中，具有不可替代的作用。本文中，筆者根據(jù)課程標(biāo)準(zhǔn)中對符號感表現(xiàn)的表述將符號感分為能正確理解符號的含義；能從具體情境中抽象出數(shù)量關(guān)系和變化規(guī) 律，并用符號來表示，且會進(jìn)行符號的運(yùn)算；理解符號所代表的數(shù)量關(guān)系和變化規(guī)律；會進(jìn)行符號間的轉(zhuǎn)換；能選擇適當(dāng)?shù)某绦蚝头椒ń鉀Q用符號的表示的問題；能用把具體問題抽象成符號，并用符號來解決問題等 6 個方面，來研究符號感。 筆者通過調(diào)查問卷的方式對濰坊城區(qū)初中一二年級學(xué)生的數(shù)學(xué)符號感的現(xiàn)狀進(jìn)行了調(diào)查研究。主要從同年級不同類型的班級，不同年級同類型的班級總體差異和在符號感 6 方面表現(xiàn)的差異，以及性別差異等幾個方面展開分析。 研究發(fā)現(xiàn)，從整體上來看，學(xué)生的符號感有待提高，特別是“正確、全面理解符號的含義”及“把具有問題中抽 象成符號，并用符號來解決問題”方面，應(yīng)該是今后培養(yǎng)的重點(diǎn)。同時還發(fā)現(xiàn)： （ 1）通過同年級不同類型班級之間的比較，不同學(xué)力水平的學(xué)生的符號感現(xiàn)狀是不同的，數(shù)學(xué)能力水平較強(qiáng)班級的學(xué)生的符號感要好于數(shù)學(xué)能力水平較弱的班級。 （ 2）通過不同年級同類型班級之間的比較，兩個年級學(xué)生的符號差異并沒有想象的大，但是也能說明了隨著認(rèn)知水平和生活經(jīng)歷的豐富，符號感是有所加強(qiáng)的。 （ 3）通過性別之間的比較，符號感在初中一二年級的性別差異基本是很不明顯的，但是，還是能看出從初一時女生占優(yōu)勢，到初二這種優(yōu)勢在縮小。男生在利用符號解決 問題的能力方面占優(yōu)，女生在理解符號含義、用符號表示數(shù)量關(guān)系和變化規(guī)律方面占優(yōu)。 最后，筆者通過教學(xué)經(jīng)歷中發(fā)現(xiàn)的學(xué)生在數(shù)學(xué)符號認(rèn)識方面出現(xiàn)的問題進(jìn)行了案例分析，對初中學(xué)生的數(shù)學(xué)符號感現(xiàn)狀和數(shù)學(xué)符號認(rèn)識上存在的障礙及原因做了更深一步的討論。 通過以上的結(jié)論，筆者在對符號感的培養(yǎng)方面及后續(xù)研究提出一些見解和建議。 關(guān)鍵詞 ：符號；符號感；符號的運(yùn)算；表象；策略 is a we in a of of a of to In is It of as a of an in In of to of it be of a to to of of ne wo of is on on on of of of in in of so be of of of to to be of At of of of is is in of in of of in of so it of be 3. a ne wo of is so it be is a in of a in of to a in of on is a on of of in a of on of 目 錄 中文摘要 英文摘要 第一章 數(shù)學(xué) 符號 的形成發(fā)展與特征分類 學(xué)符號的形成與發(fā) 展 1 學(xué)符號的特征 4 學(xué)符號的分類 5 第二章 符號感及研究符號感的意義 號感 內(nèi)外有關(guān)符號感的闡述及研究成果 9 內(nèi)外有關(guān)符號感培養(yǎng)的闡述及研究成果 11 究符號感的意義 究符號感的理論意義 16 究符號感的現(xiàn)實(shí)意義 17 第三章 符號感的研究方法 查問 卷 20 究的對象 20 查問卷的設(shè)計(jì) 21 例分析 24 第四章 符號感調(diào)查研究的結(jié)果及分析 生的符號感現(xiàn)狀的整體發(fā)展?fàn)顩r 生符號感現(xiàn)狀的班級差異 25 生符號感現(xiàn)狀的年級差異 30 生的符號感現(xiàn)狀的性別差異比較 、女生在平均成績上的 差異比較 34 、女生在符號感的 6 方面表現(xiàn)的差異比較 36 第五章 有關(guān)符號感現(xiàn)狀及發(fā)展障礙的案例分析 中學(xué)生在“字母表示數(shù)”的理解與應(yīng)用現(xiàn)狀及產(chǎn)生障礙 的分析 39 中學(xué)生對“ = ” 的理解與使用現(xiàn)狀及存在的障礙析 40 中學(xué)生在輔助符號“（）、 、”等的理解與使用現(xiàn)狀及存在的障礙分析 42 中學(xué)生對“符號串”的理解與應(yīng)用現(xiàn) 狀及存在的障礙分析 44 中學(xué)生在某些數(shù)學(xué)符號應(yīng)用上障礙與分析 45 第六 章 符號感現(xiàn)狀調(diào)查結(jié)論與培養(yǎng)符號感策略的探索 究結(jié)論 查問卷的研究結(jié)論 生符號感的整體狀況和發(fā)展趨勢 47 生符號感的性別差異 48 例分析的研究結(jié)論 48 養(yǎng)符號感策略的探索 49 后續(xù)研究的設(shè) 想 53 參考文獻(xiàn) 附錄 致謝 第一章 數(shù)學(xué) 符號的形成發(fā)展與特征分類 在初中剛剛引入 “ 負(fù)數(shù) ” 和 “ 用字母表示數(shù) ” 時，會有這樣一道典型的題目：若 a 表示任意一個有理數(shù)，那么 否表示表示負(fù)有理數(shù)。題目的形式可能是判斷題，可能是問答題，也可能是選擇題?？墒菬o論哪種形式的題目，大約有 80%的學(xué)生的第一回答是： 負(fù)的。如果換成數(shù)字，學(xué)生馬上就知道正確答案了，可是換成了 “a” 這個符號，就不明白了，而且，在教師講解后，每個班還會有幾個學(xué)生不能很快明白。這大概是 所有初中數(shù)學(xué)教師在教學(xué)中都會遇到的問題，為什么會出現(xiàn)這樣的問題呢？這是學(xué)生哪種學(xué)習(xí)能力出了問題呢？這里我們就要提到一個概念 “ 符號感 ” 。這個詞對大家來說，也許很陌生，不像 “ 語感 ”“ 數(shù)感 ”提到的那么多。直到 2001年的九年制義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（實(shí)驗(yàn)稿）（以下簡稱課程標(biāo)準(zhǔn)）中才提出 “ 強(qiáng)調(diào)學(xué)生的數(shù)學(xué)活動，發(fā)展學(xué)生的數(shù)感、符號感、空間觀念、統(tǒng)計(jì)觀念，以及應(yīng)用意識與推理能力 ” 1，與 數(shù)感等成為義務(wù)教育階段數(shù)學(xué)的六部分學(xué)習(xí)內(nèi)容之一。隨后，開始受到國內(nèi)數(shù)學(xué)教育一線教師，課程改革研究者的關(guān)注，開始就 “ 符號感 ” 進(jìn)行 討論和研究。 學(xué)符號的形成與發(fā)展 要說 “ 符號感 ” ，就要先從符號開始說起。 符號，可以說是人類的偉大發(fā)明之一，是人類文明的象征。符號是人們對某種事物的記號，是人們用簡單的記號去表現(xiàn)復(fù)雜的事物，符號現(xiàn)在 用的非常廣泛，無處不在，可以說我們生活在符號的世界里。開車的朋友都知道，路上所有的交通標(biāo)志都是一些符號。就連人類的語言，我們也可以看成是人類表達(dá)思想的一種符號系統(tǒng)。 而數(shù)學(xué)可以說是世界上最嚴(yán)謹(jǐn)，最精確的科學(xué)， 其嚴(yán)謹(jǐn)和精確，很大程度上是取決于它的語言 數(shù)學(xué)符號的，數(shù)學(xué)符號承1 中華人民共和國教育部制定全日制義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（試驗(yàn)稿） M北京：北京師范大學(xué)出版社， 2001 載了數(shù)學(xué)概念、數(shù)學(xué)運(yùn)算、數(shù)學(xué)關(guān) 系及邏輯推理，使數(shù)學(xué)思維過程更加概括，準(zhǔn)確。沒有了這種符號語言，數(shù)學(xué)也就不會發(fā)展到今天。數(shù)學(xué)符號的形成經(jīng)歷了一個漫長復(fù)雜的過程，是隨著數(shù)學(xué)的發(fā)展逐步提出，并隨著數(shù)學(xué)發(fā)展逐漸得到完善的。 1 記數(shù)符號 數(shù)學(xué)符號里最基本的符號就是數(shù)字，也是在所有符號里出現(xiàn)最早的。其實(shí)，數(shù)及其數(shù)學(xué)符號早在文字出現(xiàn)之前就出現(xiàn)了，從最早的 “ 結(jié)繩記事 ” 到不 同進(jìn)位制的數(shù)字符號的出現(xiàn)，不同的文明古國隨著生產(chǎn)力的發(fā)展，產(chǎn)生了一些不同的記數(shù)符號，如：羅馬人的五進(jìn)制，中國和埃及的十進(jìn)制，瑪雅人的 20 進(jìn)制等等。而現(xiàn)在世界普遍使用的阿拉伯?dāng)?shù)字 0， 1， 2， 3， 4， 5， 6， 7， 8， 9，最初是由印度人創(chuàng)造的，后來傳入阿拉伯，并通過歐洲商人帶到了歐洲。由于這種數(shù)字書寫、概括上的優(yōu)越性，很快就在世界范圍內(nèi)普及推廣開來了。 記數(shù)符號是人們在對自然界的認(rèn)識中逐漸發(fā)明、改進(jìn)的，后來又隨著數(shù)學(xué)自身發(fā)展選擇并推廣的。 2 運(yùn)算符號 有關(guān)加減乘除等的運(yùn)算，早在古巴比倫時代就已經(jīng)非常發(fā)達(dá)了，但是由于當(dāng)時數(shù)學(xué)才剛剛起步，記數(shù)符號也處于萌芽狀態(tài)，運(yùn)算符號還沒有產(chǎn)生和發(fā)展的必要條件。人們都是通過默認(rèn)的方式來表達(dá)運(yùn)算關(guān)系，只需要通過對上下文的理解，就能基本弄明白里面的概念和關(guān)系。但 是隨著數(shù)學(xué)的迅猛發(fā)展，這種含糊其辭的表達(dá)方式就不能滿足數(shù)學(xué)發(fā)展的需要。 15 世紀(jì)起，人們開始發(fā)明一些運(yùn)算符號，來滿足數(shù)學(xué)表達(dá)的需要。 “+” 和 “ ” 是由 15世紀(jì)德國人維德曼首先創(chuàng)用，后有荷蘭數(shù)學(xué)家赫克正式用作運(yùn)算符號； “” 號是英國人奧特雷德首創(chuàng)的； “” 是由瑞士人雷恩發(fā)明的； “=” 是英國人雷科德首先運(yùn)用的，但是一直到 17 世紀(jì)后期，才逐漸通用； “ ” 和 “ ” 是英國人哈里奧特首先使用；而 “ （） ” 是德國人克拉維斯最早使用，等等。 運(yùn)算符號的產(chǎn)生是數(shù)學(xué)發(fā)展的必然產(chǎn)物，為數(shù)學(xué)的繼續(xù)發(fā)展奠定了堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)，對后面符號代數(shù)的 發(fā)展而言，是不可或缺的。 3 符號代數(shù) 代數(shù)早在古巴比倫時代就已經(jīng)非常發(fā)達(dá)，到古希臘的丟番圖時代，丟番圖突破傳統(tǒng)，開創(chuàng)了簡字代數(shù)，到了 1516 世紀(jì)，由于代數(shù)學(xué)始終沒有良好的符號表示，發(fā)展極為緩慢，到 16 世紀(jì)末，法國數(shù)學(xué)家韋達(dá)改變了這種狀態(tài)，成為了數(shù)學(xué)史上第一個有意識、有系統(tǒng)的使用字母代表數(shù)的數(shù)學(xué)家，對數(shù)學(xué)的發(fā)展產(chǎn)生了巨大的影響，稍后的笛卡爾對韋達(dá)的符號做出了改進(jìn)，成為了我們現(xiàn)在的通用的符號。 符號代數(shù)的產(chǎn)生，推動了解析幾何和微積分的創(chuàng)立，是數(shù)學(xué)發(fā)展史上的里程碑之一。 4 數(shù)學(xué)符號的擴(kuò)充 到 16 世紀(jì)末到 17 世紀(jì)初，德國數(shù)學(xué)家萊布尼茲創(chuàng)立了符號邏輯學(xué)，用代數(shù)改造邏輯。沿著這種思路，英國數(shù)學(xué)家布爾將數(shù)學(xué)方法引入邏輯學(xué)，建立了更加完善的數(shù)理邏輯符號系統(tǒng)，對數(shù)理邏輯做出了實(shí)質(zhì)性的推動。與布爾同時代以及以后的許多人，像弗雷格、羅素、皮亞諾等人，都為數(shù)理邏輯的發(fā)展做出了重要的貢獻(xiàn)，使數(shù)理邏輯發(fā)展成一門成熟的學(xué)科。而且，隨著數(shù)學(xué)符號的不斷擴(kuò)充，數(shù)學(xué)符號系統(tǒng)更加完善， 20 世紀(jì)上半葉，美國實(shí)用主義哲學(xué)家皮爾斯對符號進(jìn)行了研究，創(chuàng)立了關(guān)于符號的一般理論。 30 年代，美國哲學(xué)家 C W 英里斯系統(tǒng)的總結(jié)了符號的應(yīng)用規(guī)律，出版了符號學(xué) 基礎(chǔ)和符合、語言與行動，使符號學(xué)發(fā)展成為一門獨(dú)立的學(xué)科。 1 數(shù)學(xué)符號的創(chuàng)造是在數(shù)學(xué)發(fā)展的過程中逐漸形成和發(fā)展的，數(shù)學(xué)研究中每提出一種新的概念、理論、方法，必然會增加一些新的符號。因此，數(shù)學(xué)符號是一個不斷擴(kuò)充的開放的系統(tǒng)。 學(xué)符號的特征 1徐品方，張紅數(shù)學(xué)符號史 M北京：科學(xué)出版社， 2006， 346 數(shù)學(xué)符號是抽象的語言，是文字的縮寫，是數(shù)學(xué)家們記錄、交流和傳達(dá)數(shù)學(xué)思維信息的簡明話語，數(shù)學(xué)符號用無聲的音符，傳達(dá)著嚴(yán)謹(jǐn)?shù)臄?shù)學(xué)概念和縝密的思維，已故的數(shù)學(xué)史家梁宗巨先生曾說過： “ 一套合適的符號，絕不僅僅是起速記、節(jié)省時間的作用。它能精確、深刻地表達(dá)某種概念、 方法和邏輯關(guān)系，一個較復(fù)雜的公式，如果不用符號而用日常語言來敘述，往往十分冗長而且含混不清。 ” 1 1 數(shù)學(xué)符號具有 “ 形式化 ” 的特征 數(shù)學(xué)符號的 “ 形式化 ” 特點(diǎn)主要體現(xiàn)在：如用字母符號 a 表示任意一個有理 數(shù)；用符號 |a|表示數(shù) a 的絕對值，用字母符號組成的表達(dá)式 (a+b)(示平方差公式等。學(xué)生學(xué)習(xí)這些符號，首先要記住它們的外形，理解它們所表示的概念的含義，再通過一定量的練習(xí)，逐漸建立起符號的外形與概念意義之間的聯(lián)系，形成符號與意義之間的形意對應(yīng)，隨著學(xué)生對這種形意對應(yīng)的印象的加深，符號概念 的意義就逐漸寓于符號之中，符號所代表的本質(zhì)意義就被納入到學(xué)生的認(rèn)知結(jié)構(gòu)中，并能在新情景下將內(nèi)容還原。 2 數(shù)學(xué)符號具有 “ 直觀性 ” 的特征 數(shù)學(xué)符號的 “ 直觀性 ” 的特點(diǎn)主要體現(xiàn)在 ：如圓 ，平行 |，垂直 ，角 ，三角形 等。這些符號實(shí)際上就是幾何圖形的象形符號，直觀的示意了幾何概念、命題、推理之間的相應(yīng)的數(shù)學(xué)關(guān)系。這樣的具有直觀表象的符號，對于學(xué)生來說，內(nèi)部表象和外部特征是一致的，學(xué)生能采用相對直觀的思維表象和心理意向來思考和接受。英國數(shù)學(xué)家 為，對于初學(xué)者來說，幾何圖形比代數(shù)符號更容易掌握接受 。因此，學(xué)生在學(xué)習(xí)這些符號中，只需要通過符號的形象特色和象形特征，去理解、掌握、記憶，非常直觀，是所有類型的數(shù)學(xué)符號中最易掌握的。 3 數(shù)學(xué)符號具有 “ 抽象化 ” 的特征 1 梁宗巨世界數(shù)學(xué)史簡編 M 寧教育出版社， 1981， 134 數(shù)學(xué)符號的 “ 抽象化 ” 既包含了 “ 具體化 ” ，也包含了 “ 簡明化 ” 的特征，主要體 現(xiàn)在：如 a b 0，表示 a 和 b 這兩個數(shù)互為相反數(shù) ，而相反數(shù)的文字概念只是： “ 只有符號不同的兩個數(shù) ” ，這就需 要學(xué)生首先從文字概念中抽象出 a，然后抽象出 a+（ =0 這一相反數(shù)的本質(zhì)意義，從而繼續(xù)推理出若 a+b=0，則 a 與 b 互為相反數(shù)。這樣的表示，不僅要比文 字表述要簡單明了的多，而且包含了多方面的意義，概括性強(qiáng)。對于這種特征的符號，其內(nèi)涵和外延非常重要，學(xué)習(xí)過程中，學(xué)生對符號概念內(nèi)涵的抽象過程和其外延的概括過程的體驗(yàn)越深，對符號的抽象意義就理解的越深，符號概念掌握的也就越牢固。 4 數(shù)學(xué)符號具有 “ 通用性 ” 的特征 數(shù)學(xué)符號的 “ 通用性 ” 主要體現(xiàn)在：如 示的是一個角的正弦，無論在哪 本書，哪個國家，表示的意義不會隨著空間的變化而變化。這樣的符號，需要學(xué)生加強(qiáng)的是對這種數(shù)學(xué)詞語的“ 詞感 ” ，即見到 想到是對數(shù)的符號，前蘇聯(lián)教育家維果茨基從語言學(xué)的角度分析認(rèn)為 ：詞感 是 優(yōu)于詞義 的 ，它是一個動態(tài)的、復(fù)雜的流動的整體，并有幾個穩(wěn)定不同的區(qū)域，詞義則是詞感的一個最穩(wěn)定、最精確的區(qū)域，它是詞的規(guī)定的含義。 1因此，要從多方面加深學(xué)生對詞義的理解和記憶，形成 相應(yīng)的 “ 詞感 ” ，這些符號也就掌握的越好。 學(xué)符號的分類 數(shù)學(xué)符號是在幾千年的發(fā)展歷程中，根據(jù)不同的需求而創(chuàng)造和發(fā)展的，根據(jù)其功能的不同，也產(chǎn)生了不同的分類方法。 最古老的一種分類是：文詞符號、簡字符號、符號代數(shù)。 根據(jù)數(shù)學(xué)符號的來源可以分為：客觀自然形成的、大量用外文字頭表示的、象形為主的、演變而來的、名人約 定的、以上原因兼有的。 1 余震球譯 維果茨基教育論著選 M 北京：人民教育出版社， 1994 根據(jù)主要作用可以分為：元素符號、運(yùn)算符號、關(guān)系符號、約定符號、性質(zhì)符號與輔助符號。 根據(jù)傳統(tǒng)和多重意義可分為：文字縮寫符號、特殊符號、多重含義符號（一符多義）、一義多符。 根據(jù)形式可分為：表意符號、象形符號、表述概念的拉丁語詞的簡化和縮寫、某些特定的符號。 根據(jù)數(shù)學(xué)概念種類的區(qū)別可分為：表示數(shù)學(xué)具體概念的符號、表示數(shù)學(xué)過程概念的符號、表示數(shù)學(xué)關(guān)系概念的符號、輔助符號。 也有仁者見仁智者見智的分類方法，如：鄭毓信在數(shù)學(xué)方法論中將數(shù)學(xué)符號分為：縮寫意義上的符號與操作意義上的符號。李士 錡在 學(xué)教育心理中將數(shù)學(xué)中的符號分為：字母和數(shù)字、標(biāo)識符、象形符、標(biāo)點(diǎn)符號。 劉云章在數(shù)學(xué)符號學(xué)概論中將數(shù)學(xué)符號分為：元素符號、關(guān)系符號、運(yùn)算符號、輔助符號。羅新兵在數(shù)學(xué)符號的教與學(xué)一文中認(rèn)為中小學(xué)數(shù)學(xué)符號可分為：概念符號、關(guān)系符號、單值運(yùn)算符號、多值運(yùn)算符號、分組符號、輔助符號。 筆者認(rèn)為，初中階段數(shù)學(xué)符號可分為：概念符號、關(guān)系符號、運(yùn)算符號、輔助符號、具有一定意義的符號串。 1 概念符號 （ 1）表示數(shù)的概念的符號，如： 0， ，54， 29%， 等 （ 2）表示代數(shù)概念的符號，如： |a|， x， a ，等 （ 3）表示幾何圖形的符號，如： ， 、 ，等 （ 4）表示集合概念的符號，如： ， 2 關(guān)系符號 （ 1）表示數(shù)量關(guān)系的符號： =， ， ，等 （ 2）表示代數(shù)關(guān)系的符號： x+5=9， x 3，等 （ 3）表示函數(shù)關(guān)系的符號： y=2x 3 （ 4）表示運(yùn)算順序關(guān)系的符號：（）， ， （ 5）表示幾何圖形關(guān)系的符號： ， ， ， 3 運(yùn)算符號 如： +, , , ，平方，開方， 4 輔助符號 如： ， ， ， 5 具有一定意義的 符 號 串 如 ： 平 方 差 公 式 )(22 ， 完 全 平 方 公 式222 2)( ，勾股定理 222 。 第二章 符號感及研究符號感的意義 符號是數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)，有了符號，才有了今天的數(shù)學(xué)，因此，在數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)中，首先要解決的就是讓學(xué)生認(rèn)識數(shù)學(xué)符號，會用數(shù)學(xué)符號，將數(shù)學(xué)符號內(nèi)化為自己知識結(jié)構(gòu)的一部分，從而進(jìn)行下一步知識的學(xué) 習(xí)和 空間觀念、統(tǒng)計(jì)觀念，以及應(yīng)用意識與推理能力的培養(yǎng)，最終達(dá)到抽象能力，建模能力，以及涉及到其他學(xué)科的能力的培養(yǎng)。 認(rèn)知發(fā)展理論認(rèn)為：兒童 7是具體符號的發(fā)展階段，活動的要素是從記號發(fā)展到概念，從單結(jié)構(gòu)的具體符號活動發(fā)展為進(jìn)一步的抽象多結(jié)構(gòu)的具體符號活動。在這個階段，培養(yǎng)起兒童良好的符號感，能有助于兒童使用類邏輯和等價(jià)邏輯進(jìn)行操作運(yùn)算，為下一步形式運(yùn)算階段中對抽象的概念與命題的操作奠定良好的基礎(chǔ)。 號感 “ 感 ” 是感覺的意思，現(xiàn)代漢語詞典中，感覺解釋為 “ 客觀事物的個別特性在人腦中引起的發(fā)應(yīng)， 感覺是最簡單的心理過程，是形成各種復(fù)雜心理過程的基礎(chǔ)。 ” 1 辭海中的解釋是： “ 人類的感覺在復(fù)雜的生活條件下和變革現(xiàn)實(shí)的活動中得到高度的發(fā)展，它不僅是自然的產(chǎn)物，而且也是社會發(fā)展的產(chǎn)物。感覺屬于認(rèn)識的感性階段， 它同知覺緊密結(jié)合，為思維活動提供材料。 ” 2 英文的 意義十分豐富，不僅僅是 “ 感覺 ” 的意思 。新英漢詞典給出了 4 種相關(guān)解釋：感覺；辨別力；觀念；意識。其中就感覺而言，它主要指人對冷暖、疼痛、饑飽以及煩惱與快樂的感覺，常用于語感、美感、幽默 感等。 3 因此，根據(jù)詞典的解釋， “可譯成符號感，符號覺或符號意識，也就是說我們可以把 “ 符號感 ” 理解為一種“ 符號意識 ” ，實(shí)際上，我們說的培養(yǎng)學(xué)生的符號感，筆者認(rèn)為，1中國社會科學(xué)院語言研究所詞典編輯室編 現(xiàn)代漢語詞典 M 北京：商務(wù)印書館， 1979，351 2 辭海編輯委員會編 辭海（縮印本） 上海：上海詞書出版社， 1979， 1596 3 新漢語詞典編寫組編 新漢語詞典 M 上海：上海譯文出版社， 1978， 1237 應(yīng)該是培養(yǎng)學(xué)生一種符號意識，一種看到符號的定向思維和發(fā)散思維的意識。 內(nèi)外有關(guān)符號感的闡述及研究成果 “ 符號感 ” 一詞出現(xiàn)在 1989 年美國數(shù)學(xué)教師全國委員會（ 稱 制定的 “ 美國數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn) ” （學(xué)校數(shù)學(xué)課程與評估的標(biāo)準(zhǔn) ）中 。1 在香港的數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)中也提到： “ 建立數(shù)字感、符號感、空間感、度量感及鑒別結(jié)構(gòu)和規(guī)律的能力。 ” 2 2001 年 7 月教育部制定并頒布的課程標(biāo)準(zhǔn)中，在總體目標(biāo)中提出要使學(xué) 生 “ 經(jīng)歷運(yùn)用數(shù)學(xué)符號和圖形描述現(xiàn)實(shí)世界的過程，建立數(shù)感和符號感，發(fā)展抽象思維。 ” 3并且在內(nèi)容標(biāo)準(zhǔn)中明確指出 ： “ 課程內(nèi)容的學(xué)習(xí)，強(qiáng)調(diào)學(xué)生的數(shù)學(xué)活動，發(fā)展學(xué)生的數(shù)感、符號感、空間觀念、統(tǒng)計(jì)觀念以及應(yīng)用意識與推理能力。 ” 3與以往教學(xué)大綱相比，培養(yǎng)學(xué)生的 “ 符號感 ” 為首次提出 。 由于條件所限，筆者未能查 到國外關(guān)于 “ 符號感 ” 的描 繪與闡述。 在國內(nèi)，大部分的論著未對符號感做出描繪和闡述，只有一小部分提到了什么是符號感。如： 上海師范大學(xué)王兄在數(shù)學(xué)教學(xué)中的符號感 :表象圖式意義下的理解中提到： “ 符號感通常是指對符號的感受和領(lǐng)悟能力 ,對符號適時運(yùn)用的理解以及對數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)的感悟。 ” 1 宜春學(xué)院郭森明在培養(yǎng)和發(fā)展數(shù)感與符號感 中提到 “ 所謂符號感就是人們主動自覺地理解和運(yùn)用符號進(jìn)行交流與解決問1 002 2 教育部基礎(chǔ)教育司組織，數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)研制組編寫 全日制義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（實(shí)驗(yàn)稿）解讀 M北京：北京師范大學(xué)出版社， 2002， 5 3 中華人民共和國教育部制定 全日制義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（試驗(yàn)稿） M 北京：北京師范大學(xué)出版社， 2001 1 王兄 數(shù)學(xué)教學(xué)中的符號感 :表象圖式意義下的理解 中國教育學(xué)刊 J， 2007 1 題的態(tài)度與意識。 ” 江蘇省徐州市第五中學(xué)李桂強(qiáng)在談中學(xué)生數(shù)學(xué)符號感的培養(yǎng)中提到 “ 而數(shù)學(xué)符號感則是個體理解符號所表示的實(shí)際意義，運(yùn)用符號 進(jìn)行運(yùn)算和轉(zhuǎn)換，從而借助于符號解決數(shù)學(xué)問題的一種心理品質(zhì) 。 ” 而 鄭毓信教授則在他的 “ 數(shù)感 ”“ 符號感 ” 與其它 課程標(biāo)準(zhǔn)大家談中對符號感做了這樣的解釋： “ 符號感 ” 這一用詞實(shí)在值得商榷，因?yàn)槲覀兯坪鹾茈y想象什么是對于符號（式）的敏感性，對于符號（式）的鑒別（鑒賞）似乎也完全是一種自覺的行為，我們或許也很難發(fā)展起某種關(guān)于符號（式）演算的估算能力由課程標(biāo)準(zhǔn)中所給出的關(guān)于 “ 符號感 ” 的以下解釋我們似乎可引出這樣的結(jié)論： “ 符號感主要表現(xiàn)在：能從具體情景中抽象出數(shù)量關(guān)系和變化規(guī)律，并用符號來表示；理解符號所代表的數(shù)量關(guān)系和變化規(guī)律；會進(jìn)符號（應(yīng)為 符號表達(dá)式 引者注）間的轉(zhuǎn)換，能選擇適當(dāng)?shù)某绦蚝头椒ń鉀Q用符號所表達(dá)的問題 ” 因?yàn)椋渲兴褂玫恼?“ 抽象 ” 、 “ 表示 ” 、“ 理解 ” 、 “ 選擇 ” 等這樣一些表示自覺思維活動的詞語 ” 4而將 “ 符號感 ” 的問題直接轉(zhuǎn)向了 “ 數(shù)學(xué)語言 ” 。 而論著大多集中在對數(shù)學(xué)符號（感）的認(rèn)識和學(xué)習(xí)上。如： 托和勒理認(rèn)為：數(shù)學(xué)符號系統(tǒng)作為一種認(rèn)識成果，不僅對自身建立知識體系具有確切性、簡單性和通用性，而且可以作為其他學(xué)科的通用語言，為科學(xué)研究工作提供最嚴(yán)格、最恰當(dāng)?shù)谋硎龇绞胶屯评砉ぞ摺?1 出有關(guān)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)符號時的感情反應(yīng)， (如害怕、猶豫、尷尬、羞愧 )并指出對于學(xué)習(xí)者而言，他們對符號的感情接 郭森明 培養(yǎng)和發(fā)展數(shù)感與符號感 江西教育 J， 2002， 21 李桂強(qiáng)談中學(xué)生數(shù)學(xué)符號感的培養(yǎng) 上海中學(xué)教育 J， 2006， 6 4 鄭毓信“數(shù)感”“符號感”與其它 課程標(biāo)準(zhǔn)大家談 數(shù)學(xué)教育學(xué)報(bào) J，2002， 8 1 托和勒理數(shù)學(xué)符號系統(tǒng)的形成與認(rèn)識功能東北師大學(xué)報(bào)自然科學(xué)版 J， 1995， 2 受能力的重要性。 2 出：孩子們必須在遇到正式符號之前應(yīng)被提供機(jī)會去積累他們自己的經(jīng)歷。 3 報(bào)告涉及到數(shù)學(xué)的交流，他指出了在數(shù)學(xué)符號體系的表面結(jié)構(gòu)與深層次數(shù)學(xué)的主體結(jié)構(gòu)之間存在的差別。 3 劉吉存認(rèn)為：數(shù)學(xué)符號的學(xué)習(xí)要經(jīng)過感知、抽象、應(yīng)用、反省 4 個階段。 4 王兄認(rèn)為：對表象圖式和發(fā)生式數(shù)學(xué)形式作用的認(rèn)知有助于發(fā) 展學(xué)生的符號感。表象圖式在數(shù)學(xué)形式與內(nèi)容間構(gòu)筑了通往理解的認(rèn)知橋梁 ,為符號感的發(fā)展提供了認(rèn)知紐帶。 5 李桂強(qiáng)認(rèn)為：不同學(xué)力水平的學(xué)生對數(shù)學(xué)符號的理解水平不同 因而在理解符號時能自覺對數(shù)學(xué)符號所蘊(yùn)含的相關(guān)內(nèi)容進(jìn)行處理 ,使自己的認(rèn)知結(jié)構(gòu)形成了網(wǎng)狀排列 ,進(jìn)而使知識點(diǎn)之間保持了一定的連續(xù)性 而且只看到了數(shù)學(xué)符號表層的形式意義 ,即使有聯(lián)系也常常是混亂和松散的 ,有時還是錯誤的 。 6 內(nèi)外有關(guān)符號感培 養(yǎng)的闡述及研究成果 更多的論著則是根據(jù)課程標(biāo)準(zhǔn)所提到的符號感的主要表現(xiàn)，著重闡述了如何培養(yǎng)學(xué)生的符號感。如： 曹平認(rèn)為應(yīng)該從： “ 引入符號讓學(xué)生感到必要，掌握符號要求學(xué)生做的正確。 ” 這兩個方面來培養(yǎng)學(xué)生的符號感。 1 陳華慶認(rèn)為： “ 在教學(xué)中盡量使學(xué)生用自己獨(dú)特的方式表示2 1988) 3 1989)111 4 劉吉存數(shù)學(xué)符號語言的心理表征機(jī)制及對中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的啟示數(shù)學(xué)教學(xué)研究 J，2005， 6： 3 5 王兄 數(shù)學(xué)教學(xué)中的符號感 :表象圖式意義下的理解 中國教育學(xué)刊 J， 2007， 1 6 李桂強(qiáng)對中學(xué)生數(shù)學(xué) 符號感的調(diào)查與分析數(shù)學(xué)教學(xué)通訊 J， 2004， 12 1 曹平符號感：必要的學(xué)習(xí)內(nèi)容江蘇教育 J， 2003， 1B 具體情境的數(shù)量關(guān)系和變化規(guī)律 ；引進(jìn)字母 ， 加強(qiáng)對字母的教學(xué) ， 對學(xué)生學(xué)會用符號表示具體情境中隱含的數(shù)量關(guān)系和變化規(guī)律具有重要的意義；加強(qiáng)師生之間的交流 ,促進(jìn)學(xué)生理解和概括符號所代表的數(shù)量關(guān)系和變化規(guī)律；在教學(xué)中注意 引導(dǎo)學(xué)生對符號進(jìn)行主動加工的意識和習(xí)慣 ， 使學(xué)生能選擇適當(dāng)?shù)某绦蚝头椒ń鉀Q用符號所表示的問題。 ” 2這四個方面來培養(yǎng)學(xué)生符號感。 姜家鳳認(rèn)為：通過鑒賞符號的直觀性和體驗(yàn)符號表達(dá)的簡約性來培養(yǎng)學(xué)生的符號感。 3 祁國正認(rèn)為，培養(yǎng)學(xué)生的符號感，要 “ 理解符號意義，擴(kuò)展符號聯(lián)結(jié)；聯(lián)系實(shí)際模型，化抽象為具體；表示一般情況，揭示普遍規(guī)律；滲透符號化思想，培養(yǎng)用符號意識。 ” 4 從眾多學(xué)者的研究中，我們發(fā)現(xiàn)，符號感的培養(yǎng)要帶入課堂，滲透到學(xué)生的日常生活，運(yùn)用不同的教學(xué)手段，讓學(xué)生來體驗(yàn)、體會，從中發(fā)現(xiàn)符號的規(guī)律，來加 強(qiáng)學(xué)生的符號感。 從前面對符號感的描繪和闡述及符號感的培養(yǎng)的闡述中，筆者仍認(rèn)為，符號感與數(shù)感一樣，可以從以下四個方面來認(rèn)識符號感。 1符號感是一種關(guān)于符號的感覺。 “ 符號感 ” 在英文中是 “,感覺；辨別力；觀念；意識等。因此，我們可以把符號感理解為對符號的感受、 辨別?？涿兰~斯曾說過，一切知識生于感覺，一切知識都是從感官的知覺開始的。存在心靈中的事情是沒有不先存在感覺里面的，所以心智所用的一切思想材料全是從感覺得來的，它進(jìn)行思想的 方式可以叫做 “ 內(nèi)在的感覺 ” ，對 數(shù)學(xué)的內(nèi)在的 感覺可2 陳華慶 新課程標(biāo)準(zhǔn)下的數(shù)學(xué)符號與教學(xué) 中學(xué)數(shù)學(xué)雜志（初中） J， 2004， 1 3 姜家鳳在鑒賞和體驗(yàn)中培養(yǎng)學(xué)生的符號感云南教育 小學(xué)教師 J， 2007， 12 4 祁國正數(shù)學(xué)符號感培養(yǎng)淺談現(xiàn)代中小學(xué)教育 J， 2005， 2 以稱之為數(shù)學(xué)感覺。 1在人們的學(xué)習(xí)和生活實(shí)踐中經(jīng)常和符號打交道，我們生活在一個符號的世界里，例如： 這是禁止吸煙的標(biāo)識符， 這是奧迪車的標(biāo)志，這個則是馬路上常見的行車標(biāo)志。將符號感 定義成 “ 感受 ” 、 “ 感覺 ” 是從最初級的層面上來認(rèn)識和理解符號感 的。從這個層面上來看，具有良好符號感的人能夠主動地將符號與我們的生活實(shí)際聯(lián)系起來，建立良好的數(shù)學(xué)符號感，則有利于學(xué)生將各種數(shù)學(xué)符號與數(shù)學(xué)知識聯(lián)系起來，推動數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)和能力的培養(yǎng)。 2符號感是一種符號意識。 從認(rèn)知心理學(xué)的角度來看：符號感是人的感官對外界刺激物“ 形 ” 與 “ 量 ” 之間的關(guān)系的非正式反映，帶有 “ 直覺 ” 的性質(zhì)，因此， 符號感可以說是一種數(shù)學(xué)直覺。即符號感是以直覺和意識來突出對數(shù)學(xué)信息加工的快速反應(yīng)，符號感的本質(zhì)應(yīng)是數(shù)學(xué)直覺的產(chǎn)物。以 “直覺論 ”定性符號感，則是突出強(qiáng)調(diào)了學(xué)習(xí)者能在不假思索的狀態(tài)中領(lǐng)悟符號的各種要素，能對情境中符號的各種復(fù)雜的含義及表達(dá)進(jìn)行整體性的和直覺性的理解。但從本質(zhì)上來說，符號感是一種精致化了的數(shù)學(xué)意識，不同于一般素樸意義上的原始直覺。數(shù)學(xué)符號是數(shù)學(xué)抽象思維的產(chǎn)物，而符號感的作用對象數(shù)學(xué)知識也是抽象思維的產(chǎn)物，而并不是對客觀世界規(guī)律性的 直接研究。從這個層面上來說，良好的符號感就是在較短的時間內(nèi)把對數(shù)學(xué)符號的 “ 第一感覺 ” 反應(yīng)成數(shù)學(xué)問題，從感知的層面 轉(zhuǎn)化成數(shù)學(xué)思維。例如：看到 |a|，第一反應(yīng)是絕對值，進(jìn)而想到絕對值有非負(fù)性，原因是絕對值的定義是在數(shù)軸上，一個數(shù)的點(diǎn)1 黃曉學(xué)讓鮮活的思想在數(shù)學(xué)課堂中流淌 J數(shù)學(xué)教育學(xué)報(bào)， 2005， 14(1)： 16 到原點(diǎn)的距離，還有什么是具有非負(fù)性的，非負(fù)性還有什么用處，從而形成一種連貫的數(shù)學(xué)思維。 3符號感是一種數(shù)學(xué)技能。 技能是通過練習(xí)獲得的能完成一定任務(wù)的動作系統(tǒng)。 認(rèn)知心理學(xué)認(rèn)為：動作技能從命題網(wǎng)絡(luò)的程序性表征轉(zhuǎn)化為產(chǎn)生式系統(tǒng)的程序性知識，經(jīng)過適當(dāng)?shù)淖兪骄毩?xí)，單個心智動作緊密聯(lián)系形成能 自動激活的、快速的主體操作行為，這是一種理想的 “技能組塊 ” 數(shù)學(xué)表征狀態(tài)，以 “ 組塊 “ 形式表征的數(shù)學(xué)技能在運(yùn)用時只需占 據(jù)少量的記憶空間，同一時間內(nèi)為其他的知識、技能進(jìn)入記憶提供了思維工作空間，從而大大地提高了問題解決的效率。 1 課程標(biāo)準(zhǔn)中指出： “ 符號感主要表現(xiàn)在：能從具體情境中抽象出數(shù)量關(guān)系和變化規(guī)律，并用符號來表示；理解符號所代表的數(shù)量關(guān)系和變化規(guī)律；會進(jìn)行符號間的轉(zhuǎn)換；能選擇適當(dāng)?shù)某绦蚝头椒ń鉀Q用符號的表示的問題。 ” 2這就是說，符號感要對具體情境中的問題和現(xiàn)象的數(shù)量關(guān)系和變化規(guī)律進(jìn)行分解、抽象、整合、構(gòu)造有所感悟，應(yīng)該是對數(shù)學(xué)概念、公式、性質(zhì)、定理、公理等透徹理解和掌握熟練后的一種外顯的心理現(xiàn)象，而 這些，都是可以通過一定的方法和練習(xí)能夠掌握的。如果符號感僅是對照能力和仿造能力，那么符號感本質(zhì)屬性 敏捷性和創(chuàng)造性就會被排除出去，而人對數(shù)學(xué)的反應(yīng)也就只能停留在類似條件反射或者是思維定勢的水平上。因此，我們可以把符號感看成是一種數(shù)學(xué)技能。 4符號感還應(yīng)該是一種數(shù)學(xué)能力。 克魯捷茨基認(rèn)為：能力是某項(xiàng)活動得以順利完成并且直接影響活動效果的心理特征。 1數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)能力則表現(xiàn)為創(chuàng)造性的數(shù)學(xué)能力。數(shù)學(xué)能力的 形成是以遺傳為前提、由后天生活環(huán)境及個體實(shí)1 曹才翰，章建躍數(shù)學(xué) 教育心理學(xué) M北京：北京師范大學(xué)出版社， 2001， 159 2 中華人民共和國教育部制定全日制義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程準(zhǔn)（試驗(yàn)稿） M北京：北京師范大學(xué)出版社， 2001 1 趙裕春等譯蘇克魯捷茨基中小學(xué)生數(shù)學(xué)能力心理學(xué) M教育科學(xué)出版社 ,1984 踐共同作用而決定的。其中，個體的素質(zhì)、智力水平和認(rèn)知結(jié)構(gòu)是數(shù)學(xué)能力形成和發(fā)展的基礎(chǔ)。中學(xué)數(shù)學(xué)所要培養(yǎng)的運(yùn)算能力、邏輯思維能力和空間想象能力三大能力就是這種學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的數(shù)學(xué)能力。 符號感首先是一種先天的才能，但是它是具有發(fā)展性的，可以通過后天的學(xué)習(xí)，訓(xùn)練并在后天的數(shù)學(xué)活動中得到發(fā)展。符號感主要表現(xiàn)為主體在數(shù)學(xué)